高中数学选修2-2：函数的最大(小)值与导数(课时作业解析版)
高中数学选修2-2课时作业9_ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e22．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D.1033．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－324．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5D ．以上都不对5．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l 1：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－6) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，0)6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52D.227．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题8．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________．9．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是________．10．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________．11．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的命题：x －1 0 2 4 5 其中说法正确的是①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点；④如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4. 三、解答题12．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．13.已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[答案]精析1．B 2.A 3.C 4.A 5．B [直线l ：y ＝－92x －c2，由题意知：f (x )－(－92x －c2)<0在[－2,2]上恒成立，即13x 3－x 2＋32x ＋43＋c2<0在x ∈[－2,2]上恒成立． 令g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43＋c 2，g ′(x )＝x 2－2x ＋32＝(x －1)2＋12>0，故g ′(x )在[－2,2]上单调递增， g (x )max ＝g (2)＝3＋c2<0，c <－6.]6．D [由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2(t ＋22)(t －22)t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值．] 7．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.] 8．(0,1)[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . 又∵x ∈(0,1)，要使f (x )在(0,1)内有最小值， 只需0<a <1，即0<a <1.9．[0，e][解析] 由f ′(x )＝2x e x －x 2e x(e x )2＝2x －x 2e x ＝0，得x ＝0或2(应舍去)， f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e ，∴f (x )的值域为[0，e]． 10.3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33， a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， a ＝3－1. 11．①②③12．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ，f ′(x )<0，解得0<x <1e，所以当x ＝1e 时取得最小值，为－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1]． 13．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时， f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1)．。
高中数学选修2-2课时作业15：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数A 级 基础巩固一、选择题 1．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x ) ( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D ．(0，12)3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 ( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15D ．5，－164．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为 ( ) A ．f (a )－g (a ) B ．f (b )－g (b ) C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )5．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)6．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是 ( ) A ．3x －15y ＋4＝0 B ．15x －3y －2＝0 C ．15x －3y ＋2＝0 D ．3x －y ＋1＝0二、填空题7．曲线y ＝x e x 在点(0,0)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0上的点的最近距离是 .8．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________. 三、解答题9．设函数f (x )＝12x 2－ax ＋2ln x (a ∈R )在x ＝1时取得极值.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．10．设函数f (x )＝e x sin x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的最大值与最小值．B 级 素养提升一、选择题1．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (1.9＋x )＝f (0.1－x )且(x －1)f ′(x )＜0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >aD ．b >a >c2．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )＞1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为 ( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(3，＋∞)二、填空题3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为__________.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是_______________. 三、解答题5．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．6．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x ).(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求g (x )的最大值．C 级 能力拔高设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0； (Ⅲ)设a ＞0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于14.——★ 参 考 答 案 ★——A 级 基础巩固一、选择题 1． [答案]D[解析]∵函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx，∴[x 2f (x )]′＝e xx，令F (x )＝x 2f (x )，则f ′(x )＝e xx，F (2)＝4·f (2)＝e 22.由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx ，得f ′(x )＝e x －2F (x )x 3， 令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2f ′(x )＝e x (x －2)x .∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0.∴φ(x )≥0. 又x ＞0，∴f ′(x )≥0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D ． 2．[答案]B[解析]f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >02b <1，∴0<b <12.3．[答案]A[解析]令y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A ． 4．[答案]A[解析]令F (x )＝f (x )－g (x ) ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0.所以F ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上递减，∴F (x )max ＝f (a )－g (a )． 5．[答案]D[解析]∵2x (x －a )<1， ∴a >x －12x ，令y ＝x －12x ，∴y 是单调增函数，若x >0，则y >－1，∴a >－1. 6．[答案]B[解析] ∵f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋2a 2＋3， ∵f ′(x )的最大值为5， ∴2a 2＋3＝5，∵a >0，∴a ＝1∴f ′(1)＝5，f (1)＝133.∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －133＝5(x －1)，即15x －3y －2＝0.二、填空题 7．[答案]2－1[解析]y ′|x ＝0＝(x ＋1)e x |x ＝0＝1，∴切线方程为y ＝x ，圆心(2,0)到直线的距离d ＝2，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为2－1. 8．[答案](－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1. 三、解答题9．解：(1)f ′(x )＝x －a ＋2x，因为当x ＝1时f (x )取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1－a ＋2＝0，解得a ＝3， 经检验，符合题意．(2)由(1)得：f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝x －3＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，(x >0)，令f ′(x )>0解得0<x <1或x >2， 令f ′(x )<0解得1<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)． 10．解：(1)f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin(x ＋π4)．f ′(x )≥0，所以sin(x ＋π4)≥0，所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k π－π4≤x ≤2k π＋34π，k ∈Z .f (x )的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋34π]，k ∈Z .(2)由(1)知当x ∈[0，π]时，[0，34π]是单调增区间，[34π，π]是单调减区间．f (0)＝0，f (π)＝0，f (34π)＝22e 34π，所以f (x )max ＝f (3π4)＝22e 34π， f (x )min ＝f (0)＝f (π)＝0.B 级 素养提升一、选择题 1．[答案]D[解析] ∵(x －1)f ′(x )＜0，∴当x ＞1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减； 当x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增． 又f (1.9＋x )＝f (0.1－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴f (3)＝f [2－(－1)]＝f (－1)， ∵－1＜0<12，∴f (－1)＜f (0)＜f (12)，∴f (3)<f (0)<f (12)，∴b ＞a ＞c ，故选D ． 2．[答案]A[解析] 设g (x )＝e x f (x )－e x ，(x ∈R )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]， ∵f (x )＋f ′(x )＞1，∴f (x )＋f ′(x )－1＞0， ∴g ′(x )＞0，∴y ＝g (x )在定义域上单调递增， ∵e x f (x )＞e x ＋3，∴g (x )＞3， 又∵g (0)＝e 0f (0)－e 0＝4－1＝3， ∴g (x )＞g (0)，∴x ＞0，故选A ． 二、填空题 3．[答案]－1[解析]y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1.当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1. 4．[答案](－1,0)∪(1，＋∞) [解析]令g (x )＝f (x )x (x ≠0)，∵x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 三、解答题5．解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1. (2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．6．解：(1)由题意得x ＞0，f ′(x )＝1－2x ＋ax 2.由函数f (x )在定义域上是增函数得，f ′(x )≥0， 即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x ＞0)． 因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1，＋∞)． (2)g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x＋1，因为f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0. 故x ＝1时，g (x )取得最大值g (1)＝－e.C 级 能力拔高(Ⅰ) 解：由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：(1)当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3，或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(Ⅱ)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(Ⅰ)知a >0，且x 0≠0，由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3， 进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a 3x 0－b . 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a 3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0.所以x 1＋2x 0＝0.(Ⅲ)设g (x )在区间[－1,1]上最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论： (1)当a ≥3时，－3a 3≤－1<1≤3a3，由(Ⅰ)知，f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (1)，f (－1)]，因此 M ＝max{|f (1)|，|f (－1)|} ＝max{|1－a －b |，|－1＋a －b |} ＝max{|a －1＋b |，|a －1－b |}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ，b ≥0a －1－b ，b <0， 所以M ＝a －1＋|b |≥2.(2)当34≤a <3时，－23a 3≤－1<－3a 3<3a 3<1≤23a 3，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)≥f (－23a 3)＝f (3a 3)，f (1)≤f (23a3) ＝f (－3a 3)， 所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (3a 3)，f (－3a 3)]，因此 M ＝max{|f (3a 3)|，|f (－3a3)|} ＝max{|－2a 93a －b |，|2a93a －b )|}＝max{|2a 93a ＋b |，|2a 93a －b )|}＝2a93a ＋|b |≥29×34×3×34＝14. (3)当0<a <34时，－1<－23a 3<23a3<1，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)<f (－23a 3)＝f (3a3)，f (1)>f (23a 3)＝f (－3a3)，所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (－1)，f (1)]，因此 M ＝max{|f (－1)|，|f (1)|}， ＝max{|－1＋a －b |，|1－a －b |} ＝max{|1－a ＋b |，|1－a －b |} ＝1－a ＋|b |>14.综上所述，当a >0时， g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于14.。
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课时作业
2019-2020学年人教A 版选修2-2 函数的最大（小）值与导数 课时作业1.若函数32231(0)e (0())ax x x x x x f ++≤>⎧⎪=⎨⎪⎩在[2,3]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是A ．1[ln2,)3+∞ B ．10,ln23[] C ．(,0]-∞D ．1(,ln2]3-∞【答案】D 【解析】依题意，时，，函数()f x 在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D ．2.若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(5,1)- B ．[5,1)- C ．[2,1)-D ．(5,2]--【答案】C3.若存在正实数,,x y z ，使得e 2zx y z =，且2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]2【答案】B【解析】易得e ln ln ln ln ln ln2ln2zxy y x x x x x z z z z z=-=-=--，由2e x z x ≤≤可得1e 2x z ≤≤，设x t z =，则1[,e]2t ∈，令l (n )n2l f t t t --=，1[,e]2t ∈，则11()1t f t t t-=-='． 易得函数()f t 在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min ()(1)1ln2f t f ==-，因为1111()ln ln22222f =--=，1(e)e 1ln 22f =-->，所以max (e e 1n 2()l )f f t =--=，所以[1ln2,e 1ln2]()f t ---∈，即ln [1ln2,e 1ln2]yx∈---．故选B ．4.已知函数e ()e xx x f x a=+，0a >，若函数()f x 的最小值为1-，则a =A ．21e B ．1eC ．eD ．2e【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上． 5.若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(3,1)-【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<．6.已知函数23((4)2)ln 2f x x a x x =++-，若函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】(9,5)--【解析】由题可得22(3(43)2)()4x a x x x a x f 'x++-=++-=，因为函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，所以()(120)f 'f '⋅<，即9)50()(a a ++<，解得95a -<<-，故实数a 的取值范围是(9,5)--． 7.已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为________________． 【答案】37-【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，0()f 'x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-．8.抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．【答案】869【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为2(,2)(02)x x x -<<，则抛物线与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的面积232(2)42S x x x x =-=-， 所以246S x '=-，令0S '=，可得63x =，当603x <<时，0S '>；当623x <<时，0S '<，所以当63x =时，S 取得最大值，且3max 668642()339S =⨯-⨯=． 11．已知函数e ,1()e ,1xx x f x x -⎧≤-⎪=⎨≥⎪⎩，2()g x mx =，若函数)())((f x F g x x +=有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为________________．【答案】2e [e,)4--三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 错误！未找到引用源。
2020秋高中数学人教A版选修2-2学案：1.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析
姓名，年级：时间：1。
3。
3 函数的最大(小)值与导数自主预习·探新知情景引入中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此,很多人就以为“毫、厘”就是长度单位的最小值,在天文学中常用的长度单位是光年（Light y e a r），是光(速度为每秒299 792。
458公里)在一年(365天)里走的距离，因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年．随着人类对宏观世界认识的不断扩大，对微观世界认识的不断深入,大单位的值越来越大,小单位的值越来越小，那么函数是否也有最大值与最小值呢？下面我们谈谈-—函数的最大值与最小值．新知导学1．函数y＝f（x）在闭区间［a,b］上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x）的图象是__一条连续不断__的曲线,那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f(x)在[a，b］上的最大值与最小值的步骤(1）求函数y＝f（x）在__（a，b）__内的极值．（2)将函数y＝f（x)的__各极值__与端点处的__函数值f(a）,f（b)__比较,其中__最大__的一个是最大值，__最小__的一个是最小值．预习自测1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)（ B ）A．最大值为4，最小值为－4B．最大值为4，无最小值C．最小值为－4，无最大值D．既无最大值，也无最小值[解析] f′（x)＝－4x3＋4x,由f′（x）＝0得x＝±1或x＝0。
易知f（－1）＝f（1)＝4为极大值也是最大值,故应选B．2．(2020·鄂伦春自治旗二模）若函数f（x)＝错误!在(－2，a）上有最小值,则a的取值范围为( A )A．（－1,＋∞）B．[－1,＋∞)C．（0，＋∞) D．［0，＋∞）［解析］f′（x）＝错误!，令f′(x）＞0,解得：x＞－1,令f′(x）＜0，解得：x＜－1,故f(x）在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，若f(x)在(－2，a)有最小值,则a＞－1,故选A．3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__。
高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业(含解析)新人教A版选修22
高中数学1.3.3函数的最大（小）值与导数课时作业（含解析）新人教A 版选修22知识点一 函数最值的概念1.设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点 答案 C解析 根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确，只有选项C 正确． 2．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能答案 A解析 由题意，知在区间[a ，b ]上，有m ≤f (x )≤M ，当M ＝m 时，今M ＝m ＝C ，则必有f (x )＝C ，∴f ′(x )＝C ′＝0.故选A.知识点二 求函数的最值3.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y ＝x －sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.知识点三 含参数的函数的最值问题5.若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2 D.52答案 C解析 y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，又f (1)＝m ＋52，f (－2)＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.故选C.6．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.答案 20解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3， ∴当x >1或x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ， ∴f (0)<f (3)．∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m . ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递增单调递减单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；递减区间为⎝ ⎭⎪－3，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2. 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．一、选择题1．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值的x 为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2答案 B解析 ∵f ′(x )＝1－2sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ＝12，x ＝π6，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，即x ＝π6，f (x )取最大值．故选B.2．函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2 答案 B解析 y ′＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )，令y ′＝0， ∴x ＝1.∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．故选B.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11答案 A解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37.4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <12答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B.5．已知(a ＋1)x －1－ln x ≤0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－2ln 2 D.－1＋ln 22答案 C解析 原问题等价于a ＋1≤ln x ＋1x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )＞0，当x ∈(1,2]时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，h 2＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，所以a ≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，选C.二、填空题 6．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． 答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0，可得x ＝1或－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.7．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________． 答案 2－2ln 2＋2a解析 令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时F ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0， ∴当x ＝2时F (x )min ＝F (2)＝2－2ln 2＋2a .8．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a ＞0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x .令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12， 且0＜x ＜e 12 时，g ′(x )＞0；当x ＞e 12时g ′(x )＜0， ∴x ＝e 12 时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数【学习目标】1.理解函数的最大值和最小值的观点，认识其与函数的极值的差别与联系；2.会求可导函数 f x 在闭区间a, b 的最大（或最小）值.【新知自学】知识回首：1.鉴别 f(x0)是极大、极小值的方法 :若x 0 知足0，且在0 的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f ( x) 的极值点，0f ( x ) 0x f ( x )是极值，而且假如 f ( x) 在x0双侧知足“”，则 x0是f (x)的极大值点，f ( x0)是极大值；假如 f(x) 在 x0双侧知足“”，则 x0是 f (x) 的极小值点， f ( x0 )是极小值 .新知梳理：1.最值与极值的差别与联系:⑴“最值”是整体观点，是比较 _____________ 的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较________函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不必定独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在_____部获得，而最值能够在区间的_____处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．2.函数的最大值与最小值（ 1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性观点，最大值必是整个区间上全部函数值中的，最小值一定是整个区间上的全部函数值中的.（ 2）一般地，假如在区间a,b 上函数的图象是____，那么它必有最大值和最小值.3.求函数y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求 _________________内的极值；（2）将f x的各极值与 _______ 比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .对点练习：1. 函数f ( x)的定义域为( a, b) ，其导函数f (x)在(a,b) 内的图象以下图，则函数 f (x)在区间 (a,b) 内极小值点的个数是（）A.1B.2C.3D.42.以下说法中正确的选项是（）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B. 闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之如有极值，则必定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但如有极值，则可有多个极值3.函数 y=sinx+1 在区间-,上的最小值是__________,极小值 __________.224.求函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3 在区间 [-1,3] 内的极值和最值．【合作研究】典例精析：例 1. 求函数f(x)=e x(3-x2)在区间[2,5]上的最大值和最小值.换成一个不但一有极值比较的状况或扩大区间为 -4— 4 即可变式练习：求函数 f x x 2 x 在区间 [0,4] 上的最大值与最小值.例 2.已知a是实数，函数f(x)=x 2(x-a).（1）若f (1) 3，求 a 的值及曲线 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）求函数 f(x) 在区间 [0,2] 上的最大值 .增添条件a=-3/2变式练习：在本例中，区间[0,2] 改为 [-1,0] 结果怎样？增添条件a=-3/2规律总结：（ 1）函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；（2）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件；（3）闭区间上的连续函数必定有最值；开区间 (a ， b)内的可导函数不必定有最值，如有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．【讲堂小结】【当堂达标】1.连续函数f x在a,b上有最大值是有极大值的（）A. 充足条件C.充要条件B.必需条件D.既非充足又非必需条件．函数32 2时有极值，则 a,b 的值为（）f ( x) xax bx a，在x 1102A ． a 3,b3或 a -4,b 11B.a -4,b 1或a -4, b 11C. a-1,b 5D. 以上都不正确 3.函数 f(x)=x 3-3x(|x|<1)()A. 有最大值但无最小值B. 有最大值也有最小值D. 无最大值也无最小值4.求函数 f(x)= 1 x sin x, x [ 0,2 ] 的最值 .2【课时作业】1.函数 y=x-sinx,x[ ,] 的最大值是（）2A. -1B.12C. D.+1x）2.函数 f(x)=e sinx 在区间[0, ]上的值域是（2A. [0，e2]B. (0，e2)C. [0，e2)D. (0，e2]3.若函数f ( x)x33x a 在区间0,3 上的最大值、最小值分别为M,N,则M N=.4.求函数 f x x 1 x 2 2在区间0,3 上的最小值.5.设函数 f(x)=tx 2+2t2x+t-1(x R，t>0).（1）求 f(x) 的最小值 h(t) ；（2）若 h(t)<-2t+m 对t（0,2）恒建立，务实数 m 的取值范围 .26．已知函数f(x)＝ x － 1(1)若 f(x)， g(x)的图象在点 (1,0) 处有公共的切线，务实数 a 的值；(2) 设 F(x)＝ f(x)－ 2g(x)，求函数F(x)的极值．。
人教A版选修2-2导数及其应用常考题型：函数的最大小值
函数的最大(小)值与导数【知识梳理】1．函数y ＝f (x )在闭区间a ，b ]上取得最值的条件如果在区间a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求函数y ＝f (x )在a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a,_b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【常考题型】题型一、求函数的极值典例] 求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间－2，＋∞)上的最值． 解] f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－2，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由于当x ＞32时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．【类题通法】求函数最值的四个步骤(1)求函数的定义域．(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． (4)求极值、端点值，确定最值． 【对点训练】函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12，∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B.题型二、由函数的最值求参数的取值范围典例] (1)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间0,2]上的最大值是3，则a 等于( )A ．3B ．1C ．2D ．－1(2)已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在－2，2]上的最大值．解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2， 则f (2)最大，即a ＋2＝3， 所以a ＝1. 答案：B(2)解：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 又f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40. f (0)>f (2)>f (－2)，所以当x ＝－2时，f (x )min ＝a －40＝－37，得a ＝3.所以当x＝0时，f(x)max＝3.【类题通法】已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值．(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．【对点训练】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：存在．显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以当x＝又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以当x＝又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2，综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.题型三、与最值有关的恒成立问题典例] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若对x ∈－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：所以函数f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 一题多变]1．变设问]若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解：由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈－1,2]，不等式f (x )<c 2成立，所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3＞0，解得c ∈R.2．变条件，变设问]已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处取得极小值－43.(1)求f (x )的单调递增区间． (2)若f (x )≤m 2＋m ＋103在－4,3]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋a ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4； 再由f (2)＝－43，得b ＝4.所以f (x )＝13x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝x 2－4>0，得x >2或x <－2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )在－4,3]上的最大值为283. 要使f (x )≤m 2＋m ＋103在－4,3]上恒成立， 只需m 2＋m ＋103≥283， 解得m ≥2或m ≤－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪2，＋∞)． 【类题通法】恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f (x )<h 在区间m ，n ]上恒成立，可先在区间m ，n ]上求出函数的最大值f (x )max ，只要h >f (x )max ，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f (x )>h 在区间m ，n ]上恒成立，可先在区间m ，n ]上求出函数f (x )的最小值f (x )min ，只要f (x )min >h ，则不等式f (x )>h 恒成立．。
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析
．函数的最大(小)值与导数预习课本～，思考并完成下列问题()什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？()函数的最值与极值有什么关系？()求函数最值的方法和步骤是什么？．函数＝()在闭区间[，]上取得最值的条件，如果在区间[上函数＝()的图象是的曲线，那么它必有最大值和最小值一条连续不断]．[点睛]对函数最值的三点说明()闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．()函数的最大值和最小值是一个整体性概念．()函数＝()在[，]上连续，是函数＝()在[，]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．．求函数＝()在[，]上的最大值与最小值的步骤内的极值．()求函数＝()在()与端点处的函数值()将函数＝()的()，()各极值最小比较，其中的一个是最大值，最大的一个是最小值．[点睛]函数极值与最值的关系()函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．()函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．()极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()函数的最大值一定是函数的极大值．( ) ()开区间上的单调连续函数无最值．( )()函数()在区间[，]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )答案：()× ()√ ()×．若函数()＝－＋＋，则()( )．最大值为，最小值为－ ．最大值为，无最小值 ．最小值为－，无最大值 ．既无最大值，也无最小值答案：．函数()＝＋ 在∈[，π]上的最小值为．答案：．已知()＝－＋＋在区间[－，－]上的最大值就是函数()的极大值，则的取值范围是．答案：(－，－)错误!求函数的极值[典例] 求函数()＝＋－＋在区间[－，＋∞)上的最值． [解]′()＝＋－，令′()＝， 得＝－，＝.当变化时，′()，()的变化情况如下表：－ ())) ′() － ＋ ()－所以()在上为增函数．因此，函数()在[－，＋∞)上只有最小值－，无最大值．求函数最值的四个步骤第一步求函数的定义域．。
高中数学选修2-2课时作业22：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值 2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A ．f (1)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (1)，f (5) D ．f (5)，f (2) 3．函数y ＝xex 在[0,2]上的最大值是( )A ．当x ＝1时，y ＝1eB ．当x ＝2时，y ＝2e 2C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12，y ＝12e4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．－1 D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－32二、填空题7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．三、解答题10．求下列各函数的最值． (1)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11.已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围． 能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的[解析]式； (2)对(1)中的φ(a )和任意的a >0，b >0，证明： φ′(a ＋b 2)≤φ′(a )＋φ′(b )2≤φ′(2aba ＋b)．——★ 参 考 答 案 ★——1．D[解析]函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值． 2．D[解析]f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6. ∴最大值为f (5)，最小值为f (2)． 3．A[解析]y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－xe x ，令y ′＝0得x ＝1.∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2，∴最大值为1e (x ＝1时取得)．4．A [解析]y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12.又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0，所以y max ＝12＋ 1－12＝ 2. 5．B[解析]∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4. 6．C[解析]y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．7．－1[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，122e π[解析]∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤122e π9．20[解析]f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)． ∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20. 10．解：(1)因为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，所以f ′(x )＝11＋x －12x ＝－x 2－x ＋22(1＋x )＝－(x ＋2)(x －1)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表]∴当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 2－14，又∵ln 3－1>0，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值0.即f (x )在[0,2]上的最大值为ln 2－14，最小值为0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 11．解：由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5， 故m 的取值范围为(5，＋∞)． 12．解：(1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2x (x ＋2)．由e x2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间， 由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－3,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2， ∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．13．(1)解 由条件知h (x )＝x －a ln x (x >0)，∴h ′(x )＝12x －ax＝x －2a 2x .①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2， ∴当0<x <4a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0,4a 2)上递减； 当x >4a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．∴x ＝4a 2是h (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值 点．∴最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln 4a 2 ＝2a (1－ln 2a )． ②当a ≤0时，h ′(x )＝x －2a2x>0，h (x )在(0，＋∞)上递增，无最小值． 故h (x )的最小值φ(a )的[解析]式为 φ(a )＝2a (1－ln 2a )(a >0)． (2)证明 由(1)知φ′(a )＝－2ln 2a ， 对任意的a >0，b >0，φ′(a )＋φ′(b )2＝－2ln 2a ＋2ln 2b2＝－ln 4ab ，①φ′(a＋b2)＝－2ln(2·a＋b2)＝－ln(a＋b)2≤－ln 4ab，②φ′(2aba＋b)＝－2ln(2·2aba＋b)≥－2ln4ab2ab＝－ln 4ab，③故由①②③得φ′(a＋b2)≤φ′(a)＋φ′(b)2≤φ′(2aba＋b)．。
高中数学选修2-2学案9：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数学习目标1.理解函数的最值的概念(难点)．2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)．3.会用导数求闭区间上函数的最大(小)值(重点、难点)． 知识提炼1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如果在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值或最小值，若函数在(a ，b )上是可导的，该函数的最值必在区间端点处或极值点处取得．温馨提示 注意极值与最值的联系和区别：极值是函数的“局部”性质，而最值是函数的“全局”性质．2．求可导函数在[a ，b ]上最值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的所有极值点；(2)计算函数y ＝f (x )在各极值点和函数值f (a )，f (b )的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．温馨提示 如果函数有最大值或最小值，则最大值或最小值是唯一的．如y ＝sin x ，有无数个极值点，但最大值和最小值分别是1和－1. 思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)有些函数的最值不能通过求导数法求得．( ) (2)三次函数f (x )没有最大值，也没有最小值．( )(3)连续不断的函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )上一定有最大值或最小值．( ) (4)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( )2．连续不断的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能3．函数f (x )＝x －2sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值点为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝π6 C ．x ＝π4 D ．x ＝π24．函数y ＝x e x 的最小值为________．5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上有最小值3，那么f (x )在[－2，2]上的最大值是________． 核心突破类型1 求函数在闭区间上的最值(自主研析) 典例1 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 归纳升华1．求可导函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值步骤如下： (1)求f (x )在开区间(a ，b )内所有极值点；(2)计算函数f (x )在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． 3．若连续函数在区间[a ，b ]上是单调函数，则在区间端点处取得最大值和最小值． 变式训练 (1)函数f (x )＝x e －x (x ∈[0，4])的最小值、最大值分别为a ，b ，则a ＋b ＝________． (2)a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．类型2 由函数的最值求参数 典例2 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．归纳升华已知函数的最值求参数或参数范围是求函数最值的逆向探究题型，解决这类问题，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，它们都含有参数，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数或其范围．变式训练 设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求类型3 与函数最值有关的不等式恒成立问题 典例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．归纳升华解决含参数不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法．f(x)>m恒成立⇔f(x)min>m，f(x)<m恒成立⇔f(x)max<m.变式训练已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．课堂小结1．函数的最大值与最小值是一个整体性概念，最大值必须是函数定义域内所有函数值的最大值，最小值必须是函数定义域内所有函数值的最小值，而函数的极值则是函数的局部概念．要注意两者的区别与联系．2．在开区间上连续的函数不一定有最值．例如y＝log2x在区间(0，2)上是连续的，但在该区间上，y＝log2x既没有最大值，也没有最小值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：第1步：求y＝f(x)在开区间(a，b)内的极值；第2步：将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．——★参考答案★——思考尝试1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[解析](1)对，如f(x)＝|x|的最值不能通过求导数法求得．(2)对，三次函数的定义域和值域都是R ，没有最值． (3)错，若函数y ＝f (x )在(a ，b )上是单调函数，则没有最值． (4)错，有极值的函数不一定有最值． 2．[答案]A[解析]因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f ′(x )＝0. 3．[答案]C[解析]令f ′(x )＝1－2cos x ＝0，得cos x ＝22，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π4，又f (0)＝0， f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝π4－1，所以f (π4)最小，所以最小值点为x ＝π4. 4．[答案]－1e[解析]y ′＝e x ＋x ·e x ，令y ′＝0，得x ＝－1. 所以y min ＝－1×e －1＝－1e .5．[答案]43[解析]令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，x ＝－2，0，2对应的f (x )的值分别为a －40，a ，a －8.因为a －40<a －8<a ，所以a －40为最小值，a 为最大值，则a －40＝3，a ＝43，故f (x )在[－2，2]上的最大值是43. 核心突破类型1 求函数在闭区间上的最值(自主研析) 典例1 解：(1)x ∈R ，f (0)＝e 0cos 0－1＝1， 又f ′(x )＝e x cos x －e x sin x －1， 则f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0－1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0，即y ＝1. (2)设g (x )＝f ′(x )＝e x cos x －e x sin x －1， 则g ′(x )＝e x cos x －e x sin x －e x sin x －e x cos x ， 即g ′(x )＝－2e x sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，e x >0，sin x >0，故g ′(x )<0，则g (x )单调递减， 则g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0，故f (x )单调递减， 则f ⎝⎛⎭⎫π2≤f (x )≤f (0)，即－π2≤f (x )≤1， 故f (x )的最大值为1，最小值为－π2.变式训练 (1)[答案]1e[解析] f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．令f ′(x )＝0，得x ＝1，因为f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (4)＝4e 4，所以f (x )的最小值a ＝f (0)＝0，最大值为b ＝f (1)＝1e ，所以a ＋b ＝1e .(2)解：f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时， 有最大值f (0)＝0.若a >0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 因为x ∈[0，1]，则只考虑x ＝a 的情况．①若0<a <1，即0<a <1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)②若a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0，1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0<a <1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1. 类型2 由函数的最值求参数典例2 解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ； 令29＋2a ＞0，得a >－19，所以当a >－19时，f (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增．因为0<a <2，所以x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，所以f (4)<f (1)，所以f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为f (2)＝103.变式训练解：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表所示：从上表可知，当x＝0，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故要比较f(0)与f(1)的大小．从上表可知，当x＝0，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故要比较f(0)与f(1)的大小．综上可得：a＝63，b＝1.类型3与函数最值有关的不等式恒成立问题典例3解：(1)因为f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，所以当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：↗↘所以g(t)在h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0.所以m的取值范围为(1，＋∞)．变式训练解：f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x>1时，g′(x)<0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．。
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高中数学选修2-2：函数的最大(小)值与导数（课时作业解析版）
一、选择题
1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π
2－1 C ．π
D ．π＋1
解析：选C y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．当x ＝π时，y max ＝π.
2．已知函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝1
ln 2时，f (x )取最大值
B ．当x ＝
1
ln 2
时，f (x )取最小值 C ．当x ＝－1
ln 2时，f (x )取最大值
D ．当x ＝－1
ln 2时，f (x )取最小值
解析：选D f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2
. 又∵当x <－1
ln 2
时，f ′(x )<0； 当x >－
1
ln 2
时，f ′(x )>0， ∴当x ＝－
1
ln 2
时，f (x )取最小值． 3．函数f (x )＝2x ＋1
x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174
D ．22＋1
2
解析：选B 由f ′(x )＝1x －1
x 2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，
且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.
4．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
解析：选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1
3(舍去)或x ＝1.又因为f (0)
＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.
5．若对任意的x ＞0，恒有ln x ≤px －1(p ＞0)，则p 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(1，＋∞) C ．(0,1)
D ．[1，＋∞)
解析：选D 原不等式可化为ln x －px ＋1≤0，令f (x )＝ln x －px ＋1，故只需f (x )max ≤0，由f ′(x )＝1x －p 知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1p 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1p ，＋∞上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫
1p ＝－ln p ，即－ln p ≤0，解得p ≥1.
二、填空题
6．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________． 解析：g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－3
3
(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：
答案：－23
9
7．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.
解析：f ′(x )＝3x 2－3，
当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.
∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)， ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20.
答案：20
8．已知函数f (x )＝a
x 2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
解析：由f (x )＝a
x 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3
.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
且a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0，故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.
答案：[e ，＋∞) 三、解答题
9．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，1
4上的最大值和最小值． 解：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－3
2，＋∞. (1)f ′(x )＝2
2x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3
＝
2(2x ＋1)(x ＋1)
2x ＋3
.
当－3
2＜x ＜－1时，f ′(x )＞0；
当－1＜x ＜－1
2
时，
f ′(x )＜0；当x ＞－1
2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2上单调递减． (2)由(1)知f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，14上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝ln 2＋1
4. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－34－f ⎝⎛⎭⎫14＝ln 32＋916－ln 72－1
16 ＝ln 37＋12＝1
2⎝
⎛⎭⎫1－ln 499＜0， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，1
4上的最大值为 f ⎝⎛⎭⎫14＝116＋ln 7
2.
10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值．
(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1
a 对任意x >0成立． 解：(1)由题设知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1
x ， 所以g ′(x )＝
x －1
x 2
.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．
因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.
(2)由(1)知g (x )的最小值为1， 所以g (a )－g (x )<1
a ，对任意x >0成立
⇔g (a )－1<1
a ，即ln a <1，得0<a <e ， 所以实数a 的取值范围为(0，e)．。