2016-2017学年高中数学第2章概率2.1.2离散型随机变量及其分布列学案北师大版选修2-3讲义

第2课时离散型随机变量及其分布列1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)2．掌握离散型随机变量分布列的求法．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量阅读教材P35“抽象概括”以下部分，完成下列问题．随机变量的取值能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．【答案】一一列举出来下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①某宾馆每天入住的旅客数量是X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数是X.【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．【答案】②教材整理2 离散型随机变量X的分布列阅读教材P35“抽象概括”以下内容～P37“习题2－1”以上部分，完成下列问题．1．定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)，(1)或把(1)式列成如下表格：如果随机变量X 的分布列为上述表格或(1)式，我们称随机变量X 服从这一分布(列)，并记为：X ～______________.2．性质在离散型随机变量X 的分布列中， (1)p i >________； (2)p 1＋p 2＋…＝________. 【答案】 1.⎝⎛⎭⎪⎫a 1 a 2…p 1 p 2 … 2.(1)0 (2)1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )【解析】 (1)× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件． (3)√ 由分布列的性质可知，该说法正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【精彩点拨】随机变量的 实际背景→判断取值是否 具有可列性→得出 结论【自主解答】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．2．由条件求解随机变量的值域．3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．[再练一题]1．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．【解】(1)是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n )． (2)求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．[再练一题]2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：能否求出q 【提示】 由分布列的性质得，1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，∴q ＝1－22.探究2 上述问题中，请求出P (ξ<0)，P (ξ≤0)的值．【提示】 P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0)＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12. 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia(i ＝1,2,3,4)，求： (1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a＝1，∴a ＝10， 则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.1．利用离散型随机变量分布列的性质，(1)可以求随机变量取值的概率；(2)可以检验所求分布列是否正确．2．分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此在求随机变量在某一范围内取值的概率时，可先确定随机变量可取哪几个值，再利用概率的加法公式求其概率．[再练一题]3．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710.【解】 题目所给随机变量X 的分布列为：(1)由a ＋2a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45. 法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<X <710，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.[构建·体系]1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )【导学号：62690029】A ．1 B.913 C.2713D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23【解析】 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.【答案】 B3．随机变量η的分布列如下：则x ＝【解析】 由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554．(2016·阜阳一模)如图2­1­1所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.图2­1­1【解析】 由已知得，X 的取值为7,8,9,10，故P (X ≥8)与P (X ＝7)是对立事件，所以P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.【答案】 455．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的分布列及 P (X >1)．【解】 依题意，有P (X ＝1)＝2P (X ＝2)，P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由分布列的性质得：1＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)，所以P (X ＝2)＝27，所以X 的分布列如下：故P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝7.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( ) A.B.C.D.【解析】 ξ取值不能重复，可排除选项A ；由性质(1)p i >0，可排除选项B ；由性质(2) i ＝1npi＝1，可排除选项C ，故选D.【答案】 D2．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( ) 【导学号：62690030】A.316B.14C.116 D.15【解析】 ∵2<X ≤4时，X ＝3,4.∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.【答案】 A5．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an n ＋1，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B.34 C.45 D.56【解析】a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝ a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝⎛⎭⎪⎫14－15＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.【答案】 D 二、填空题6．若随机变量X 服从两点分布，则P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________.【解析】 由Y ＝－2，且Y ＝3X －2，得X ＝0， ∴P (Y ＝－2)＝0.8. 【答案】 0.87．设离散型随机变量X 的概率分布列为：则P (X ≤2)＝【解析】 P (X ≤2)＝1－25＝35.【答案】 358．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16三、解答题9．盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列．【解】 ξ的所有可能取值为3,4,5,6. P (ξ＝3)＝C 33C 312＝1220；P (ξ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220；P (ξ＝5)＝C 29C 13C 312＝2755；P (ξ＝6)＝C 39C 312＝2155.所以ξ的分布列为：10.《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X .(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P (X ＝6)＝C 24A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为：1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )A ．25B ．10C ．7D ．6【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.【答案】 C2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ≤4)D ．P (ξ＝4)【解析】 C 47表示从交通不方便的7个村庄中选4个，C 68表示从交通方便的8个村庄中选6个，结合超几何分布的定义知D 项正确．【答案】 D3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 234．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x |.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．【解】 (1)∵x ，y 可能的取值为1,2,3， ∴|x －2|≤1，|y －x |≤2，∴ξ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3＝9种， ∴P (ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况；ξ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况； ξ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况； ξ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况． ∴P (ξ＝0)＝19，P (ξ＝1)＝49，P (ξ＝2)＝29，P (ξ＝3)＝29.则随机变量ξ的分布列为：。