人教版七年级数学下册学练优同步练习：5.1.2垂线
人教版七年级数学下册5.1.2 垂线 2 同步练习
5.1.2 垂线一、填空题１．当两条直线相交所成的四个角中有一个角是______时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的_______,它们的交点叫做_______．垂直是相交的一种特殊情形．２．过一点___________直线与已知直线垂直．３．“神舟”六号发射塔与地平面的夹角为__________度,它与地面的位置关系为_________．４．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,__________最短,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的________．如图,过点O 作四条与直线l 相交的直线,交点分别为点A、B、C、D,其中OC ⊥l,则在OA、OB、OC、OD 这四条线段中,________最短,点O 到直线l 的距离是线段______的长．第4题图第5题图第6题图5．如图,OB⊥OA,直线CD 过点O,且∠AOC＝２５°,则∠BOC＝______,∠BOD＝_______．6．如图,AC⊥BC,CD⊥AB．(１)图中共有______个直角;(２)图中点C 到直线AB 的距离是线段______的长度,点B 到直线AC 的距离是线段_____的长度,点B 到直线CD 的距离是线段______的长度;(３)线段AD 的长表示___________的距离．7．如图,AB、CD 相交于点O,AC⊥CD 于点C．若∠BOD ＝３８°,则∠A ＝__________．第7题图第8题图二、选择题8．如图,∠１＋∠２等于 ( ) A．６０° B．９０° C．１１０° D．１８０°9．①过直线上一点作该直线的垂线不止一条;②直线a 的垂线有无数条;③相交的直线不一定垂直,但垂直的直线必定相交;④过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条．上述说法中不正确的有 ( )A．１个 B．２个 C．３个 D．４个10．过一条线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在 ( ) A．这条线段上B．这条线段的端点C．这条线段的延长线上D．这条线段上或这条线段的延长线上１１．跳远比赛时,小新从点A 跳落在沙坑内B 处(如图所示),这次小新的跳远成绩是３．４m,则小新从起跳点到落脚点之间的距离 ( )A．等于３．４m B．小于３．４m C．大于３．４m D．不能确定12．如图,点P 在∠AOC 的边OA 上．(１)过点P 画OA 的垂线PB,交OC 于点B;(２)画出点P 到OC 的垂线段PM ;(３)上述作图中,哪一条线段的长表示点P 到OB 的距离?(４)比较PM 与OP 的大小,并说明理由．１3．如图所示,直线AB、CD 相交于点O,OM ⊥AB．(１)若∠１＝∠２,判断ON 与OD 的位置关系,并说明理由;1∠BOC,求∠AOC 和∠MOD 的度数．(２)若∠１＝4１4．如图,A 处是某学生的家,B 处是学校,l 是一条公路,学生要去学校,如何走最近? 该学生要去公路怎样走最近? 请在图中画出相应的路线,并简述理由．１5．已知线段AB 的长为a cm,点A、B 到直线l 的距离分别为６cm,４cm．请画图说明在下列条件下符合条件的直线l有几条．(１)a＝３;(２)a＝１０;(３)a＝１５．。
人教版七年级下数学同步检测5.1.2垂线
5.1.2垂线知识点一垂线的定义及画法1.两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是()A.一定有一个锐角B.一定有一个钝角C.一定有一个直角D.至少有一个不是钝角2.过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在()A.这条线段上B.这条线段的端点C.这条线段的延长线上D.以上都有可能3.(2019·辽宁大连一模)如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为()A.28°B.60°C.62°D.152°知识点二垂线的性质4.(2019·河北沧州东光期中)如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3，点P是射线BC上的动点，则线段AP长不可能是()A.2.5B.3C.4D.55.(2019·山东济南槐荫区期末)如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据是.知识点三点到直线的距离6.(2019·湖北襄阳老河口期中)下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是()7.如图所示，CD⊥OB于点D，EF⊥OA于点F，那么点O到CD的距离是_______，点O到EF的距离是________，点C到OB的距离是__________，点E到OA的距离是__________.拓展点一与垂直有关的角的计算1.(2019·河北石家庄新华区期末)如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足的关系是() A.对顶角 B.相等C.互补D.互余2.(2019·山东潍坊高密期中)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数为(D)A.30°B.60°C.150°D.30°或150°3.如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD=3∶5，求∠BOF与∠DOF的度数.拓展点二垂线的性质的应用4.如图所示，村庄A要从河流l引水入村庄，需修一条水渠，请你画出修建水渠的路线图，并求出水渠的最短长度(比例尺为1∶200 000)，你能用所学的知识解决吗?5.小华站在长方形操场的左侧A处，(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在上面左图中画出所走路线.这是因为.(2)若要到操场对面的B处，怎样走最近，在上面右图中画出所走路线.这是因为.1.导学号14154006(2019·北京中考)如图所示，点P到直线l的距离是()A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度2.(2019·山东淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()A.2条B.3条C.4条D.5条3.(2019·江苏常州中考)已知三角形ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是()A.2B.4C.5D.74.(2019·江苏南通中考)已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD=度.5.(2019·重庆江津区期中)如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数.6.如图①，∠AOB，∠COD都是直角.(1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系.你能说明你猜想的正确性吗?(2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置时，你的猜想还成立吗?为什么?5.1.2垂线答案解析知识点一垂线的定义及画法1.两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是(D)A.一定有一个锐角B.一定有一个钝角C.一定有一个直角D.至少有一个不是钝角2.过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在(D)A.这条线段上B.这条线段的端点C.这条线段的延长线上D.以上都有可能3.(2019·辽宁大连一模)如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为(C)A.28°B.60°C.62°D.152°知识点二垂线的性质4.(2019·河北沧州东光期中)如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3，点P是射线BC上的动点，则线段AP长不可能是(A)A.2.5B.3C.4D.55.(2019·山东济南槐荫区期末)如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据是垂线段最短.知识点三点到直线的距离6.(2019·湖北襄阳老河口期中)下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(C)7.如图所示，CD⊥OB于点D，EF⊥OA于点F，那么点O到CD的距离是线段OD的长度，点O到EF的距离是线段OF的长度，点C到OB的距离是线段CD的长度，点E到OA的距离是线段EF的长度.拓展点一与垂直有关的角的计算1.(2019·河北石家庄新华区期末)如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足的关系是(D) A.对顶角 B.相等C.互补D.互余2.(2019·山东潍坊高密期中)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数为(D)A.30°B.60°C.150°D.30°或150°3.导学号14154004如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD=3∶5，求∠BOF与∠DOF的度数.AOE ∶∠AOD=3∶5，∠AOD=90°，所以∠AOE=90°×35=54°， 所以∠BOF=∠AOE=54°，所以∠DOF=90°-54°=36°.拓展点二 垂线的性质的应用4.导学号14154005如图所示，村庄A 要从河流l 引水入村庄，需修一条水渠，请你画出修建水渠的路线图，并求出水(比例尺为1∶200 000)，你能用所学的知识解决吗?A 向l 作垂线，垂足为B ，则AB 为水渠路线，量得AB=1.4 cm ，因为比例尺为1∶，所以水渠的长为1.4×200 000=280 000(cm)=2.8(km).5.小华站在长方形操场的左侧A 处，(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在上面左图中画出所走路线.这是因为 .(2)若要到操场对面的B 处，怎样走最近，在上面右图中画出所走路线.这是因为 .如图(1)，理由:垂线段最短；(2)如图(2)，理由:两点之间线段最短.1.导学号14154006(2019·北京中考)如图所示，点P 到直线l 的距离是(B )A.线段PA 的长度B.线段PB 的长度C.线段PC 的长度D.线段PD 的长度2.(2019·山东淄博中考)如图，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，垂足分别为A ，D ，则图中能表示点到直线距离的线段共有(D )A .2条B .3条C .4条D .5条3.(2019·江苏常州中考)已知三角形ABC 中，BC=6，AC=3，CP ⊥AB ，垂足为P ，则CP 的长可能是 (A )A.2B.4C.5D.74.(2019·江苏南通中考)已知，如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，∠COE=60°，则∠BOD=30 度.5.(2019·重庆江津区期中)如图，直线AB ，CD 相交于O 点，∠AOC=80°，OE ⊥AB ，OF 平分∠，求∠EOF 的度数.∠AOC=80°，∴∠BOD=∠AOC=80°，∵OF 平分∠DOB ，∴∠DOF=12∠DOB=40°.∵OE ⊥AB ，∴∠AOE=90°.∵∠AOC=80°，∴∠EOD=180°-90°-80°=10°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°.6.如图①，∠AOB ，∠COD 都是直角.(1)试猜想∠AOD 和∠BOC 在数量上是否存在相等、互余或互补关系.你能说明你猜想的正确性吗?COD 绕点O 旋转到如图②的位置时，你的猜想还成立吗?为什么?∠AOD 与∠BOC 互补.说明如下: 因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD ，∠BOD=90°-∠BOC ，所以∠AOD=90°+90°-∠BOC ，即∠AOD+∠BOC=180°.所以∠AOD 与∠BOC 互补.(2)猜想仍然成立.说明如下:因为∠AOB，∠COD都是直角，所以∠AOB+∠COD=180°.又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，所以∠BOC+∠AOD=180°，所以∠AOD与∠BOC互补.。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．到直线L 的距离等于2cm 的点有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个2．如图，能表示点到直线的距离的线段共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条3．点P 是直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上的三点，4PA cm =，5PB cm =，2PC cm =，则点P 到直线l 的距离（ ）A ．小于2cmB ．等于2cmC ．不大于2cmD ．等于4cm4．如图，有三条公路，其中AC 与AB 垂直，小明和小亮分别沿AC 、BC 同时从A 、B 出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ）A ．小明骑车的速度快B ．小亮骑车的速度快C ．两人一样快D ．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C ，D ，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）A ．CD AD >B ．AC BC < C ．BC BD > D ．CD BD <6．与一条已知直线垂直的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE⊥CD 于点O ，∠AOC＝36°，则∠BOE＝( )A ．36°B ．64°C ．144°D ．54°8．下面说法正确的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线成直角,则这两直线一定垂直C ．没有交点的两条直线一定平行D ．过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直9．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．70°二、填空题1．如图所示，A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 为直线l 外一点，已知PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，则点P 到直线l 的距离为__________．2．如图，115∠=︒，CO OA ⊥，点B ，O ，D 在同一直线上，则∠2的度数为________．3．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝______．4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么∠BOE 的度数是________．5．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.三、解答题1．数学是从实际生活中来的，又应用于生活．请将下列事件与对应的数学原理连接起来．事件数学原理教室的门要用两扇合页才能自由开关直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直的经过两点有且只有一条直线测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直两点之间线段最短2．如图，M，N为坐落于公路两旁的村庄，如果一辆施工的机动车由A向B行驶，产生的噪音会对两个村庄造成影响．(1)当施工车行驶到何处时，产生的噪音分别对两个村庄影响最大？在图中标出来．(2)当施工车从A向B行驶时，产生的噪音对M，N两个村庄的影响情况如何？3．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．4．把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：5．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠AOF ＝25°.求∠BOC与∠EOF的度数．参考答案一、单选题1．D解析：根据点到直线的距离和直线与直线之间的距离进行分析.详解：当两条平行线互相平行时，且其中一条直线上的一点到另一条直线的距离为2时，则这条直线上所有的点到另一条直线的距离都为2，所以有无数个.故选D.点睛：考查了点到直线的距离和直线与直线之间的距离，解题关键理解点到直线的距离和两条平行线间的距离之间的联系.2．D解析：根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．3．C解析：根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案．详解：解：点P为直线l外一点，当P点直线l上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为不大于2cm，故选：C．点睛：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，利用垂线段最短是解题关键．4．B分析：根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知BC＞AC，然后根据速度公式即可判断．详解：∵AC与AB垂直，∴BC＞AC，若他们同时到达，根据速度公式可得，小亮骑车的速度快，小明骑车的速度慢．故选B5．C解析：A选项,CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；B选项,AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；C选项,BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；D选项,CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．6．D解析：根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；而直线外有无数个点，因此与一条已知直线垂直的直线有无数条.详解：解：与一条已知直线垂直的直线有无数条，故选D.点睛：本题主要考查了垂线的性质，准确理解性质是解题的关键．7．D解析：由垂直的定义可知∠DOE=90°；直线AB，CD相交于点O，对顶角相等，然后根据角的差计算即可详解：∵OE⊥CD∴∠DOE=90°∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=36°∴∠DOB=36°∴∠BOE=∠DOE−∠BOD=90°−36°=54°故本题答案应为：D点睛：垂直的定义、对顶角相等的性质是本题的考点，找出角之间的关系是解题的关键.8．B解析：根据平行公理，垂线的定义，平行线的定义和以及垂线的性质对各选项分析判断即可求解．解：A.应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B.两直线成直角，则这两直线一定垂直正确，故本选项正确；C.应为在同一平面内，没有交点的两条直线一定平行，故本选项错误；D.应为在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误. 故选B.9．C解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C ．考点：1．余角和补角；2．垂线．二、填空题1．3厘米解析：分析：点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段，结合已知，因此点P 到直线l 的距离为PC 的长．详解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短）的长度，PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，∴点P 到直线l 的距离为3厘米，故答案为：3厘米.点睛：本题考查了垂线段最短，关键是要明确点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段的长度.2．105°分析：根据垂直的定义及平角的定义计算即可．详解：解：∵CO OA ⊥，115∠=︒，∴∠COB=90°-15°=75°，∵点B ，O ，D 在同一直线上，∴∠2=180°-∠COB =180°-75°=105°．故答案为：105°．点睛：本题考查垂直定义与平角定义．熟练掌握垂直的定义是解题的关键．3．60°分析：根据题意由对顶角相等先求出∠ FOD，然后根据AB⊥CD，∠2与∠ FOD互为余角，求出即可详解：∵CD、EF相交于点O∴∠FOD=∠1=30°∵AB⊥CD∴∠2=90°−∠FOD=90°−30°=60°故本题答案应为：60°点睛：对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.4．90°解析：观察图形，可猜想OE⊥AB，根据已知条件，证明∠AOE是直角即可．详解：∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为互相垂直．点睛：考查了对顶角、邻补角，利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．5．45分析：根据垂直定义得BOE=∠90〬,由角平分线定义得∠BOD=12∠BOE=45〬，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD=45〬详解：因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，所以，BOE=∠90〬,因为，OD平分∠BOE，所以，∠BOD=12∠BOE=45〬，所以，∠AOC＝∠BOD=45〬故答案为45点睛：本题考核知识点：垂直定义、角平分线、对顶角. 解题关键点：理解垂直定义、角平分线、对顶角性质.三、解答题1．见解析分析：两个合页所在的位置可看成的两个点，目的是为了让门与门框在一条直线上，应用的是两点确定一条直线；两个城市可看做两个点，两个城市之间，航行路线是直的，应用的是两点之间，线段最短．跳远成绩可将踏板看作直线，脚后跟看作一点，应用的是垂线段最短．详解：点睛：本题考查了生活中的数学知识、直线公理、线段公理、垂线段最短．注意一些物体或地方可看做一个点．2．见解析解析：试题分析：（1）过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大；（2）此题说明时要分3段A到P；由P向Q，由Q 向B分别说明对两学校的影响情况．试题解：（1）如图所示，过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，则当施工车行驶到点P，Q处时产生的噪音分别对M，N两个村庄影响最大．（2）由A至P时，产生的噪音对两个村庄的影响越来越大，到P处时，对M村庄的影响最大；由P至Q时，对M村庄的影响越来越小，对N村庄的影响越来越大，到Q处时，对N村庄的影响最大；由Q至B时，对M，N两个村庄的影响越来越小．点睛：此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．3．（1）见解析；（2）见解析.解析：本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．⑴连结AD，BC，交于点H，则H为所求的蓄水池点．⑵过H作HK EF于K，沿HK开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）4．AB∥CD，MN∥OP，EF∥GH；AB⊥GH，AB⊥EF，CD⊥EF，CD⊥GH．解析：试题分析:根据平行的含义，在同一平面内不相交的两条线叫做平行线，在图中所给的6条线段中找出互相平行的线，写出即可；根据垂直的含义，在同一平面内两条直线相交成直角时这两条直线互相垂直，在图中所给的6条线段中找出互相垂直的线，写出即可。
人教版七年级数学下册《5.1.2垂线》同步训练题-附答案
人教版七年级数学下册《5.1.2垂线》同步训练题-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．如图，下列线段中，长度最短的是（ ）A ．PDB ．PC C ．PBD ．PA2．平面内过直线l 外一点O 作直线l 的垂线能作出（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条3．在同一平面内，经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的垂线数为（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．无数条4．P 为直线m 外一点，A ，B ，C 为直线m 上三点4cm 5cm 6cm PA PB PC ===，，，则点P 到直线m 的距离（ ）A ．等于5cmB ．等于4cmC ．小于4cmD ．不大于4cm 5．如图，点D 在AB 上BE AC ⊥，垂足为E ，BE 交CD 于点F ，则下列说法错误的是（ ）A ．线段AE 的长度是点A 到直线BE 的距离B ．线段FD 的长度是点F 到直线AB 的距离C ．线段FE 的长度是点F 到直线AC 的距离D ．线段CE 的长度是点C 到直线BE 的距离 6．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，ON OM ⊥若70AOC ∠=︒，则CON ∠的度数为（ ）A．35︒B．45︒C．55︒D．60︒，，点P在直线CD上，用三角尺过点P画直线AB的垂线l．下7．如图，已知直线AB CD列选项中，三角尺摆放位置正确的是（）A．B．B．C．D．8．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若⊥BOD⊥⊥AOC＝5⊥2，则⊥BOC等于()A．6B．4.8C．2.4D．5二、填空题11．已知，．若OB 在内，则的度数为______． 12．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC 进行测量，其依据是 ．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，射线OF CD ⊥于点O ，36AOC ∠=︒则BOF ∠= 度．三、解答题14．如图，直线AB CD ⊥，垂足为O ，直线EF 经过点O ，∠2=55°，求∠1，∠3，∠BOE 的度数．15．如图，是某同学在学校运动会跳远比赛中留下的脚印，请测量他的成绩．（要求：画出图形，并进行简要说明，按照答题卡．．．测量距离，比例尺1:200计算）参考答案：1．C2．B3．B4．D5．B6．C7．C8．B9．110．12011．CD的长12．垂线段最短13．30°14．135∠=︒ 335∠=︒ 145BOE ∠=︒ 15．小明这次跳远的成绩是4.4m ． 16．(1)ON CD ⊥ (2)60BOD ∠=︒。
人教版七年级数学下册5.1.2垂线(一)同步作业(含答案)
垂线(一)◆典型例题【例 1】①两条直线订交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线相互垂直；② 两条直线订交，如有一组对顶角互补，则这条直线相互垂直；③两条直线订交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线订交，如有一组邻补角相等，则这两条直线垂直 .此中说法正确的有()A.1个B.2个C. 3个D. 4个【分析】题中的 4 个说法，都是对于两条直线垂直的判断问题.依据垂直定义，只需推出两条直线订交所成的四个角中有一个角是直角，就能够判断两条直线相互垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，由于对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线订交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确 .【答案】D【例 2】如图5－16，过点A、B分别画OB、OA的垂线.图 5－16图 5－ 17【分析】画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在 OB 的反向延伸线上和OA 的延伸线上 .【答案】如图5－ 17 所示，直线AE 为过点 A 与 OB 垂直的直线，垂足为E;直线 BD 为过点 B 与 OA 垂直的直线，垂足为 D.【例 3】如图5－18，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE均分∠ AOC，OF 均分∠ BOC(1)若∠ BOC=50°，尝试究 OE、 OF 的地点关系；(2) 若∠ BOC=α (0 °＜ x＜180 °)， (1)中 OE、OF 的地点关系能否仍建立?请说明原因，由此你发现了什么规律?图 5－ 18【分析】要研究 OE 、OF 的地点关系， 可先用三角尺或量角器检测∠ EOF 的大小来判断 OE 、 OF 的关系，再经过计算加以说明；第(2) 问用代数代表示∠ EOF ，再概括出结论 .【答案】(1)由量角器测得∠ EOF=90° ,所以 OE ⊥OF.由邻补角的定义，可得∠AOC=180° －∠ BOC=130° .由 OE 均分∠ AOC ， OF 均分∠ BOC 可得∠ COF= 1∠ BOC=25° ， 2∠ COE= 1∠ AOC=65° .2所以∠ EOF=∠ COF+∠ COE=90° .所以 OE ⊥OF.(2)OE ⊥ OF 仍建立 .由于∠ AOC=180° － α，∠ COF= 1α， 2∠ COE= 1 (180 °－ α )=90－°1α.2 21 1 所以∠ EOF=∠ COF+∠ COE= α +(90－° α )=90 °.22由此发现 :不论∠ BOC 度数是多少，∠EOF 总等于 90°.即邻补角的均分线相互垂直 .◆课前热身1.两条直线相互垂直时，所得的四个角中有 __________ 个直角 .2.过一点 ________条直线与已知直线垂直.◆课上作业3.如图 5－ 19， OA ⊥ OB 于 O ，直线 CD 经过点 O ，∠ AOD=35°，则∠ BOC=________.4.如图 5－ 20，直线 AB 与 CD 订交于点 O ，EO ⊥AB 于 O ，则∠ 1 与∠ 2 的关系是 ________.图 5－ 19图 5－ 205.如图 5－ 21， O 是直线 AB 上一点 OC⊥ OD ，有以下两个结论:①∠ AOC 与∠ BOD 互为余角；②∠ AOC 、∠ COD 、∠ BOD 互为邻补角 .此中说法正确的选项是 ________(填序号 ).图 5－ 21图5－226.如图 5－ 22，已知 OC⊥ AB ， OE⊥OD ，则图中互余的角共有________对 .◆课下作业一、填空题 (每题 5 分，共 50 分 )7.假如 CD⊥AB 于 D，自 CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.8.如图 5－ 23，直线 AB 、CD 、 EF 交于一点O， CO⊥ EF 且∠ GOB=30°，∠ AOC=40°，则∠COE=________.9.从钝角∠ AOB 的极点 O 引射线 OC⊥ OA ，若∠ ACO ∶∠ COB=3 ∶ 1，则∠ AOB=________.10.如图 5－ 24，直线AB 、 CD 订交于O， EO⊥AB ， OB 均分∠ DOF，若∠ EOC=115°，则∠BOF=________. ∠ COF=________.图 5－ 23图 5－ 24二、选择题 (每题 5 分，共10 分 )11.如图 5－ 25，∠ PQR 等于 138 °， SQ⊥ QR，TQ ⊥ PQ 则∠ SQT 等于 ()A.42 °B.64°C.48 °D.24 °图 5－ 25图5－2612.如图 5－26 所示， AB 、 CD 订交于点A. ∠ AOC 与∠ COE 互为余角C.∠ COE 与∠ BOE 互为补角O ， OE⊥ AB ，那么以下结论错误的选项是() B. ∠BOD 与∠ COE 互为余角D. ∠ AOC 与∠ BOD 是对顶角三、解答题 (每题 20 分，共 40 分 )13.OC 把∠ AOB 分红两部分且有以下两个等式建立：①∠ AOC= 1直角 +1∠BOC ；②∠ BOC=1平角－1∠ AOC ，问∶3332(1)OA 与 OB 的地点关系如何?(2)OC 能否为∠ AOB 的均分线 ?并写出判断的原因.14.如图 5－27，已知 AB 、 C D、 EF 订交于点 O， EF⊥ AB ，OG 为∠ COF 的均分线， OH 为∠DOG 的均分线 .(1)若∠ AOC ∶∠ COG=4 ∶ 7，求∠ DOF 的大小；(2)若∠ AOC ∶∠ DOH=8 ∶ 29，求∠ COH 的大小 .图 5－27参照答案◆课前热身1.两条直线相互垂直时，所得的四个角中有__________个直角.答案： 42.过一点 ________条直线与已知直线垂直.答案：有且只有◆课上作业3.如图 5－ 19， OA ⊥ OB 于 O，直线 CD 经过点 O，∠ AOD=35°，则∠ BOC=________.答案： 125°4.如图 5－ 20，直线 AB 与 CD 订交于点O，EO⊥AB 于 O，则∠ 1 与∠ 2 的关系是 ________.图 5－ 19图 5－ 20答案：互为余角5.如图 5－ 21， O 是直线 AB 上一点角；②∠ AOC 、∠ COD 、∠ BOD OC⊥ OD ，有以下两个结论:①∠ AOC 与∠ BOD互为邻补角 .此中说法正确的选项是________(填序号互为余).图 5－ 21图5－22答案：①6.如图 5－ 22，已知答案： 4OC⊥ AB ， OE⊥OD ，则图中互余的角共有________对 .◆课下作业一、填空题 (每题 5 分，共 50 分 )7.假如 CD⊥AB 于 D，自 CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图 5－ 23，直线 AB 、CD 、 EF 交于一点O， CO⊥ EF 且∠ GOB=30°，∠ AOC=40°，则∠COE=________.答案： 20°9.从钝角∠ AOB 的极点 O 引射线 OC⊥ OA ，若∠ ACO ∶∠ COB=3 ∶ 1，则∠ AOB=________.答案： 120°10.如图 5－ 24，直线AB 、 CD 订交于O， EO⊥AB ， OB 均分∠ DOF，若∠ EOC=115°，则∠BOF=________. ∠ COF=________.图 5－ 23图 5－ 24答案： 25°； 130°二、选择题 (每题 5 分，共10 分 )11.如图 5－ 25，∠ PQR 等于 138 °， SQ⊥ QR，TQ ⊥ PQ 则∠ SQT 等于 ()A.42 °B.64°C.48 °D.24 °图5－25答案： A12.如图 5－26 所示， AB 、 CD 订交于点A. ∠ AOC 与∠ COE 互为余角C.∠ COE 与∠ BOE 互为补角O ， OE⊥ AB ，那么以下结论错误的选项是() B. ∠BOD 与∠ COE 互为余角D. ∠ AOC 与∠ BOD 是对顶角图 5－26答案：C三、解答题(每题20 分，共40 分 )13.OC把∠ AOB分红两部分且有以下两个等式建立：①∠ AOC=1 直角+1 ∠BOC；②∠BOC=1 平角－1∠ AOC ，问∶3332(1)OA 与 OB 的地点关系如何?(2)OC 能否为∠ AOB 的均分线 ?并写出判断的原因.答案： (1)OA ⊥ OB (2)O(C 为∠ AOB 的平分线，由于∠BOC= ∠ AOC=45° .14.如图 5－27，已知 AB 、 C D、 EF 订交于点 O， EF⊥ AB ，OG 为∠ COF 的均分线， OH 为∠DOG 的均分线 .图5－27(1)若∠ AOC ∶∠ COG=4 ∶ 7，求∠ DOF 的大小；(2)若∠ AOC ∶∠ DOH=8 ∶ 29，求∠ COH 的大小 .答案： (1)∠ DOF=110°(2) ∠ COH=107.5°7、我们各样习惯中再没有一种象战胜骄傲那麽难的了。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(4)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条2．下列说法中正确的是（）A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直B．有且只有一条直线垂直于已知直线C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段就是点到直线的距离4．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线，能折出这样的直线的条数为( )A．0条B．1条C．2条D．无数条5．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．平行线间的距离相等6．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A．垂直的定义 B．两点之间线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线7．下列说法中，正确的是( )A．垂线最短 B．两点之间直线最短C．如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角 D．同角的补角相等8．下列说法中正确的有（）(1) 钝角的补角一定是锐角(2) 过己知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条(3) —个角的两个邻补角是对顶角(4) 等角的补角相等(5) 直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm .A．2个B．3个C．4 个D．5 个9．下列说法中，正确的是( )A．过直线外一点可以画无数条直线与这条直线垂直B．过直线外一定点不可以画这条直线的垂线C．过直线外一点可以画这条直线的一条垂线D．如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相垂直二、填空题1．如图，AH⊥BC，垂足为H，若AB＝1.7cm，AC＝2cm，AH＝1.1cm，则点A到直线BC的距离是_____cm．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的________．3．如图，跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.8米，则起跳点A与落脚点B之间的距离_____（填“大于”、“小于”或“等于”）4.8米.4．邻补角的两条平分线互相_________.5．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是___________三、解答题1．作图并写出结论：如图，点P 是∠AOB 的边OA 上一点，请过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别交BO 的延长线于M 、N ，线段 的长表示点P 到直线BO 的距离；线段 的长表示点M 到直线AO 的距离； 线段ON 的长表示点O 到直线 的距离；点P 到直线OA 的距离为 ．2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)图中∠COE 的余角是 ．(请符合条件的角都写出来)；(2)图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；① ；② ；③ ．(3)若∠AOF=3∠COE，求∠COE 的度数(请写出解答过程)．3．如图，直线AB 、CD 、MN 相交于点O ，FO⊥BO，OM 平分∠DOF（1）请直接写出图中所有与∠AON 互余的角：．（2）若∠AOC=52∠FOM，求∠MOD 与∠AON 的度数．4．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE AB ⊥于O ，射线OF CD ⊥于O ，且BOF 25.∠=求：AOC ∠与EOD ∠的度数．5．如图，已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥OE于点O，OM平分∠COE，点F 在OE的反向延长线上．(1)当OP在∠BOC内，OE在∠BOD内时，如图①所示，直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系；(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时，如图②所示，试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化？并说明理由．参考答案一、单选题1．D解析：平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．详解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．点睛：本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．C解析：同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．详解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故该选项错误；B、一条直线的垂线有无数条，故该选项错误；C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该选项正确；D、点到直线的距离指的是垂线段的长度，而非垂线段，故该选项错误．故选C．点睛：本题考查了相交线的位置关系、垂线、点到直线距离的定义以及平行公理的推论，属于基础考题，比较简单．3．C解析：根据垂线的定义、直线的定义、垂线的性质、垂线段的定义逐一进行分析即可得.详解：A、在平面上，一条直线有无数条垂线，错误；B、过直线上一点的直线有无数条，错误；C、在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条，正确；D、垂线段是线段，是图形，垂线段的长度是点到直线的距离，错误，故选C．点睛：本题考查了垂线、垂线段、垂线的性质等知识，熟练掌握相关的概念以及性质是解题的关键.4．B解析：试题根据垂线的性质，这样的直线只能作一条.故选B.点睛：根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．5．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短，掌握垂线段的性质是解题的关键．6．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．点睛：本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．7．D解析：分析：根据线的性质，直线的性质，补角的性质解答即可.详解：A、垂线段最短,故选项错误;B、两点之间线段最短,故选项错误;C、可以为两个直角,故选项错误;D、同角的补角相等,故选项正确.故选D.点睛：本题考查了垂线的性质，直线的性质，补角的性质，是基础知识要熟练掌握图形的性质. 对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．8．D解析：①180°-钝角=锐角，钝角的补角一定是锐角，故①正确；②过已知直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条，故②正确；③一个角的两个邻补角是对顶角，故③正确；④等角的补角相等，故④正确；⑤直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm，故⑤正确；故选D．9．C解析：利用垂线的定义结合两直线的位置关系分别分析得出即可．详解：A、过直线外一点可以画一条直线与这条直线垂直，故此选项错误；B、过直线外一定点可以画一条直线的垂线，故此选项错误；C、过直线外一点可以画这条直线的一条垂线，故此选项正确；D、如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相平行，故此选项错误；故选：C．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及两直线的位置关系，正确把握相关定义是解题关键．二、填空题1．1解析：分析：根据点到直线的距离的定义回答即可.详解：点A到直线BC的距离是线段AH的长度，是1.1cm.故答案为:1.1.点睛：考查了点到直线的距离.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.根据定义回答即可.2．垂线段的长度解析：点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度,故答案为垂线段的长度.3．大于解析：试题跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长.∵垂线段最短，小明的跳远成绩是4.8米，∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.8米.故答案为大于.4．垂直解析：利用邻补角的定义以及角平分线的性质得出即可．详解：邻补角的两条平分线互相垂直．故答案为垂直．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及邻补角的定义，正确把握邻补角定义是解题关键．5．垂直详解：解:∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为：∴OE⊥AB．三、解答题1．PN，PM，PN，0分析：先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．详解：如图所示：线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离；线段ON 的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，故答案为PN，PM，PN，0．点睛：本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．2．（1）∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）45°．分析：（1）根据余角的定义和余角的性质解答即可；（2）根据余角的性质和对顶角相等即可找出三对相等角；（3）根据∠AOF＝3∠COE以及∠AOC＝∠EOF，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，进一步即可求出结果．详解：解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOC=∠DOB，∴∠COE+∠AOC=90°，∠COE+∠EOF=90°，∠COE+∠BOD=90°；∴图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD；故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）根据同角的余角相等可得：∠AOC＝∠EOF；∠EOF＝∠BOD；根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD．∴相等的3对角是：①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．故答案为：∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度数是45°．点睛：本题考查了垂直的定义、对顶角相等、角度的计算和余角的定义及性质等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．3．（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°分析：（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON 互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．详解：解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，∴∠BOM+∠FOM=90°，又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，又∵∠DOM=∠CON，∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，∵OM平分∠FOD，∴∠MOD=∠FOM=x°，∴∠FOD=2x°，∠AOC=52∠FOM=5x2°，又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，∴∠FOD+∠AOC=90°，即2x+5x2=90，解得：x=20．即∠MOD=20°，由（1）可知∠MOD 与∠AON 互余，∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．故∠MOD 的度数为20°，∠AON 的度数为70°．点睛：本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．4．∠AOC＝115°, ∠EOD＝25°.分析：根据垂线的性质和余角及补角的定义可求出∠ AOC，由垂线的性质和余角的定义可求出∠EOD 详解：解：∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠BOC＝90°－∠BOF＝65°，∴∠AOC＝180°－65°＝115°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠EOF＝90°－25°＝65°，∵OF⊥CD∴∠DOF=90°∴∠EOD＝∠DOF −∠EOF ＝90°－65°＝25°.点睛：垂线的性质及补角和余角的定义都是本题的考点，正确找出角之间的关系是解题的关键.5．（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析解析：（1）利用垂直的定义，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代换得∠COP=∠BOE，利用角平分线的性质，得∠POM=12∠POB=12(90°-∠POC)，∠COF=90°-∠COP，得出结论；（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得∠COP＝∠AOF，可推出∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF，由对顶角相等得∠AOF＝∠BOE＝∠COP，利用角平分线的性质，得∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，即∠POM＝12∠BOP，等量代换得出结论．详解：解：(1)∠POM＝12∠CO F.证明：∵CD⊥AB，∴∠COP+∠BOP=90°，∵OP⊥OE，∴∠BOE+∠BOP=90°，∴∠COP=∠BOE，∵OM 平分∠COE，∴∠POM=∠MOB=12∠POB=12 (90°−∠POC)，∵∠COF=90°−∠COP ，∴∠POM=12∠COF；(2)不发生变化．理由：∵CD⊥AB 于点O ，∴∠AOP＋∠COP＝90°.∵PO⊥OE 于点O ，∴∠AOP＋∠AOF＝90°，∴∠COP＝∠AOF.又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF.∵∠AOF＝∠BOE，∴∠COP＝∠BOE.∵OM 平分∠COE，∴∠COM＝∠MOE，∴∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，∴∠POM＝12∠BOP，∴∠POM＝12∠COF.故答案为：（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析. 点睛：本题考查垂线， 角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质.。
人教版七年级数学下册《5.1.2第2课时垂线段》同步练习(含答案)
第2课时垂线段最短关键问答①将直线外一点与直线上各点连接，所得线段中最短的线段一定是什么线段？②点到直线的距离是一个几何图形，还是一个正数？它与垂线段有什么区别？1．①如图5－1－29，P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是()图5－1－29A．P A B．PBC．PC D．PD2．②如图5－1－30，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是()图5－1－30A．线段OA B．线段OA的长度C．线段OB的长度D．线段AB的长度命题点1垂线段最短[热度：92%]3．如图5－1－31，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是()图5－1－31A．两点之间线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．垂线段最短4.③如图5－1－32，在铁路旁有一村庄，现要建一火车站，为了使村庄里的人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在()图5－1－32A．A点B．B点C．C点D．D点解题突破③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足.5．2018·秦皇岛月考如图5－1－33，已知A，B，C，D是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D＝90°，∠BAC＝90°，若AC＝100米，则下列判断中不正确的是()图5－1－33A．甬道AD可能为100米B．甬道CD可能为60米C．甬道AD可能为80米D．甬道BC可能为140米6.④如图5－1－34，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E.若DE＝9，AB＝12，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的长度的取值范围是____________．图5－1－34解题突破④BD的长既是点B到AC的距离，又是点D到直线BC上一点B的距离．7．⑤如图5－1－35，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．图5－1－35(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．方法点拨⑤最短路线问题往往转化为点与点的距离或点到直线的距离问题.命题点2点到直线的距离[热度：90%]8．⑥如图5－1－36，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()图5－1－36A．2条B．3条C．4条D．5条方法点拨⑥直角三角形的直角边长能表示点到直线的距离．9.⑦P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，P A＝5 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离()A．等于4 cm B．等于3 cmC．小于3 cm D．不大于3 cm模型建立⑦点到直线的距离小于或等于点与直线上各点所连线段的长.10．到直线l的距离等于2 cm的点有()A．0个B．1个C．无数个D．无法确定11．下列说法正确的是()A．在同一平面内，过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条B．连接直线外一点和直线上任一点，使这条线段垂直于已知直线C．作出点P到直线的距离D．连接直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离12．⑧如图5－1－37是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，M，P为双脚留下的痕迹，甲、乙、丙三名同学分别测得P A＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么他的跳远成绩应该为________米．图5－1－37解题突破⑧跳远成绩指的是两个脚印中，离踏板较近的脚的后脚跟到踏板所在直线的距离记录．13.⑨如图5－1－38，关于如何量出点C到线段AB所在直线的距离，三名同学有不同的做法．图5－1－38甲同学：只要量出线段BC的长度即可；乙同学：过点C无法向直线AB作垂线，所以无法量出点C到直线AB的距离；丙同学：过点C作直线AB的垂线，垂线和直线AB不相交，所以不能量出点C到直线AB的距离．你同意以上三名同学的做法吗？若不同意，请你写出正确的做法．解题突破⑨过点C作AB的垂线，垂足落在线段AB的延长线上.14.⑩如图5－1－39，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．图5－1－39(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？画图并说明理由．模型建立⑩到四个点A，B，C，D的距离之和最小的点，是分别连接AD和BC所得的交点，可以用两点之间线段最短来解释.15．一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，点M，N分别是位于公路AB两侧的学校，如图5－1－40所示．(1)汽车在公路上行驶时，会对两个学校的教学造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校的影响最大？并在图上标出来；(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段路上对两个学校的影响都逐渐增大？在哪一段路上对M学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大？图5－1－40典题讲评与答案详析1．B 2.B3．D[解析] 利用垂线段最短，可知AB是点A与直线CD上各点连接得到的线段中，长度最短的线段．4．A5．A6．9＜BD＜12[解析]B是直线AC外一点，BA，BD是点B与直线AC上两点连接得到的线段，根据垂线段最短，可得BD＜AB.D是直线BC外一点，DE，DB是点D与直线BC上两点连接得到的线段，根据垂线段最短，可得DE＜BD，所以9＜BD＜12.7．解：如图所示．(1)沿线段BA走，两点之间线段最短．(2)沿线段AC走，垂线段最短．(3)沿线段BD走，垂线段最短．8．D[解析]AB的长表示点B到直线AC的距离，AC的长表示点C到直线AB的距离，AD的长表示点A到直线BC的距离，BD的长表示点B到直线AD的距离，CD的长表示点C到直线AD的距离．9．D[解析] 由于P为直线l外一点，A，B，C为直线上三点，由垂线段最短，可得点P到直线l的距离应该小于或等于3 cm，即不大于3 cm.10．C11.A12．5.3713．解：三名同学的做法都是错误的，所以不同意他们的做法．正确做法：延长线段AB，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则线段CD的长就是点C到直线AB的距离．14．解：(1)如图，因为两点之间线段最短，所以连接AD，BC，它们相交于点H，则点H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小．(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿GH开渠最短．理由：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．15．解：(1)如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点N作ND⊥AB于点D.根据垂线段最短，知汽车在点C 处对M学校的影响最大，在点D处对N学校的影响最大．(2)汽车由A向C行驶时，对两个学校的影响都逐渐增大；汽车由C向D行驶时，对M 学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大．【关键问答】①垂线段．②是一个正数．区别：“垂线段”是一条线段，它是一个图形；“点到直线的距离”是指垂线段的长度，它是一个数量．。
人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线 同步练习
人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线 5.1.2 垂线同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.若线段AM，AN分别是ΔABC边上的高线和中线，则（）A. AM>ANB. AM≥ANC. AM<AND. AM≤AN2.如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1,A2,A3,⋯，其中PO⊥l，这些线段PO，PA1，PA2，PA3，⋯中，最短的线段是（）A. POB. PA1C. PA2D. PA33.如图，AC⊥BC，AC=4.5，若点P在直线BC上，则AP的长可能是( ).A. 5B. 4C. 3D. 24.如图，把河AB中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（）A. CMB. CNC. CPD. CQ5.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O.若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 140°7.在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）A. 20°B. 55°C. 20°或125°D. 20°或55°8.如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD. 如果∠1=35°，那么∠2的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°9.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥AD+BD>AB．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、填空题（共7题；共7分）11.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________．12.如图，在Rt △ABC. ∠B=90°，在边AB、AC上分别截取AD，AE，使AD=AE，分别DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M，作射线AM交BC边于以D、E为圆心，以大于12点F．若FB=2，则点F到AC的距离为________．13.如图，线段AB=15cm，线段AD=12cm，线段AC=9cm，则点A到BC的距离为________ cm．14.如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE长的范围是________．15.已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A=________ °16.如图，已知OC⊥OA,OD⊥OB.若∠AOB=148°，则∠COD=________．17.如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O 按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第________秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．三、解答题（共4题；共20分）18.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数.19.如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°.求∠COF的度数．20.如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）说明理由21.如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．四、综合题（共1题；共10分）22.如图，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知ΔABC同一条边上的高线不可能比中线长，只有当中线和高线重合时，AM=AN，因此AM≤AN，故答案为：D.【分析】根据垂线段最短即可判断.2.【答案】A【解析】【解答】解：∵PO⊥l，∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是PO.故答案为：A.【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答即可.3.【答案】A【解析】【解答】解：已知，在△ABC中，AC⊥BC，AC=4.5，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4.5，当P和C重合时，AP=4.5，故答案为：A.【分析】利用垂线段最短，可得AP的取值范围是AP≥4.5，根据各选项可得答案。
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5.1.2 垂线
(检测时间50分钟满分100分)
班级___________________ 姓名_______________ 得分____
一、选择题:(每小题4分,共24分)
1.如图1所示,下列说法不正确的是( )
A.点B到AC的垂线段是线段AB;
B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;
D.线段BD是点B到AD的垂线段
D C
B
A
D
C
B
A
O D
C
A
(1) (2) (3)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )
A.大于acm
B.小于bcm
C.大于acm或小于bcm
D.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有( )
A.0个
B.1个;
C.无数个
D.无法确定
6.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直
线m 的距离为( )
A.4cm
B.2cm;
C.小于2cm
D.不大于2cm 二、填空题:(每小题5分,共20分)
6.如图3所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AO D=∠
_______=∠_______=∠_______=90°. 7.过一点有且只有________直线与已知直线垂直. 8.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线. 9.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离. 三、解答题(共56分)
10.（12分）如图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•
求∠DOG 的度数.
G
O
F
E D C
B
A
11.（14分）如图所示,村庄A 要从河流L 引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
12.（16分）如图6所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=
1
3
∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线. (1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.
l
A
D
C
B
A
13.（14分）如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N•分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,•离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
N B
A。