2008年河北省高中数学竞赛试题

2008年河北省高中数学竞赛试题一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1．函数(2)y f x =+的图像过点（-1，3），则函数()f x 的图像关于y 轴对称的图形一定过点（ ）．A (1,-3)B (-1,3)C (-3,-3)D (-3,3)2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．A 4B 6C 8D 16 3．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）． A 01a << B 02,1a a <<≠ C 12a << D 2a ≥4．已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）．A 22B 2C 2D 15．已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣D ⎡⎣6．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n =，则(1)f 的值等于（ ）．A 1B 2C 3D 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）7．设集合{}1215S =，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足：123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的子集的个数为 ． 8．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .9．已知坐标平面上三点()())0,3,,A B C，P 是坐标平面上的点，且PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 10． 在三棱锥ABC S -中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则三棱锥ABC S -体积的最大值为 ．11． 从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则（m ，n ）的可能值为 ．12．,,O A B 是平面上不共线三点，向量a OA=，OB b =，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，向量p OP =．若||5a =，||3b =，则)(b a p-⋅的值是 ____ ____．三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）13．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.14．如图，斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a ，侧面⊥CB C B 11底面ABC ，且BC AC ⊥1. （1） 求异面直线1AA 与11C B 间的距离；（2） 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数．ABC1A1B B1C15．设向量j i ,为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单位向量．若向量j y i x a ++=）2(，j y i x b +-=）2(，且a b ||-||=2．（1）求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程；（2）设(1,0),(2,0)A F -，问是否存在常数)0(>λλ，使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立？证明你的结论．16．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-．（1）若152a =，161a =-，求2008a ；（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．17． 设定义在[0，2]上的函数()f x 满足下列条件：①对于[0,2]x ∈，总有(2)()f x f x -=，且()1f x ≥，(1)3f =； ②对于,[1,2]x y ∈，若3x y +≥，则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+． 证明：（1）12()133n nf ≤+（*n N ∈）；（2）[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-．2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准（时间：5月18日上午8：30～11：30）一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1．函数(2)y f x =+的图像过点（-1，3），则函数()f x 的图像关于y 轴对称的图形一定过点（ ）．A (1,-3)B (-1,3)C (-3,-3)D (-3,3) 答案：B.2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．A 4B 6C 8D 16 答案：C.解： 设222008x y -=，即()()2008x y x y +-=．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且()x y +与()x y -只能同为偶数，因此对应的方程组为245021004245021004100450242100450242x y x y +=----⎧⎨-=----⎩故()x y ，共有8组不同的值：(503,501),(503,501),(503,501),(503,501)----；(253,249),(253,249),(253,249),(253,249)----．3．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）． A 01a << B 02,1a a <<≠ C 12a << D 2a ≥ 答案：C ．解：当01a <<时，log a y x =是递减函数，由于21t x ax =-+没有最大值，所以()2log 1a y x ax =-+没有最小值；当1a >时，()2log 1a y x ax =-+有最小值等价于21t x ax =-+有大于0的最小值．这等价于240a ∆=-<，因此12a <<．4．已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）．A 22B 2C 2D 1答案：A.解：记t b a =-，则0>t ，b a b a -+2222222≥+=+=t t t t ，（当且仅当t a b ===即时取等号）．故选A ． 5．已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣D ⎡⎣ 答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得 t ≤≤．6．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n =，则(1)f 的值等于（ ）．A 1B 2C 3D 4 答案：B解：（用排除法）令1n =，则得[(1)]3f f =． 若(1)1f =，则[(1)](1)3f f f ==，与(1)1f =矛盾；若(1)3f =，则[(1)](3)3f f f ==，与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾； 若(1)4f =，则[(1)](4)3f f f ==，也与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾． 故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）7．设集合{}1215S =，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足：123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的子集的个数为 ． 答案：371．解：当229a ≤≤时，()12,a a 有29C 种选择方法， 3a 有6种选择方法，所以()123,,a a a 共有296216C ⨯=种选择方法；当21014a ≤≤时，一旦2a 取定，1a 有21a -种选择方法，3a 有215a -种选择方法，所以选择()123,,a a a 的方法有()()214221011595104113122131155a aa =--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑种．综上，满足条件的子集共有371个．8．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 答案：12-=n a n ．解：由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ． 所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以1+n a =n ，即有12-=n a n .9．已知坐标平面上三点()())0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ．答案：()()04122≤=-+y y x .解：如图，作正三角形PCD ，由于ABC ∆也是正三角形，所以可证得 ACP ∆≌BCD ∆，所以BD AP =．又因为BD PB PC PB PD =+=+，所以点D P B ,,共线．CBP PAC ∠=∠，所以P 点在ABC ∆的外接圆上，又因为,PA PB PA PC >>，所以所求的轨迹方程为()()04122≤=-+y y x ．10． 在三棱锥ABC S -中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则三棱锥ABC S -体积的最大值为 ．答案：解：设SAB α∠=，根据余弦定理有2222224571cos 22455SA AB SB SA AB α+-+-=≤≤-⨯⨯⨯⨯，故sin α=≤，1sin 2SAB S SA AB α∆=⨯⨯≤．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以13C SAB SAB V S BC -∆≤⨯≤.事实上，取7=SB ，6=BC 且CB SAB ⊥平面时，可以验证满足已知条件，此时68=SABC V ，棱锥的体积可以达到最大．11． 从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则（m ，n ）的可能值为 ． 答案:（10，6）.解：()()221122,m n m n m n m nC C C C P A P B C C +++==，由于()()P A P B =，所以2211m n m n C C C C +=，整理得()2m n m n -=+．即m n +是完全平方数，且919m n ≤+≤，因此93m n m n +=⎧⎨-=⎩，164m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得 63m n =⎧⎨=⎩（不合条件），106m n =⎧⎨=⎩. 所以()(),10,6m n =．12．,,O A B 是平面上不共线三点，向量a OA=，OB b =，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，向量p OP =．若||5a =，||3b =，则)(b a p-⋅的值是 ____ ____． 答案:8．解：如图,QP 是线段AB 的垂直平分线，OP OQ QP =+，()12OQ a b =+，QP BA ⊥， ()()p a b OQ QP BA OQ BA QP BA ⋅-=+⋅=⋅+⋅()11()()822a b a b a b 22=+⋅-=||-||=． 三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）13．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.解：由2233b a b a -=-得b a b ab a +=++22,所以0)()(2>+-+=b a b a ab , 由此得到1>+b a .BOPQ又因为)()()(4122b a b a ab b a +-+=>+,故341<+<b a .………………………4分又因为)()(2b a b a ab +-+=, 令 )34,1(∈+=b a t 则t t ab -=2.……………6分当1t ≥时，2t t -关于t 单调递增，所以409ab <<，094ab <<.因此 c 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分14．如图，斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a ，侧面⊥CB C B 11底面ABC ，且BC AC ⊥1. （1） 求异面直线1AA 与11C B 间的距离；（2） 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数． 解：（1）如图，取BC 中点D ，连1,AD C D .BC D C ADC BC BC AC BC AD ⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥111平面. ABC CB C B 底面平面⊥11 ,∴ABC D C 平面⊥1.由C C BB AD BC AD 11平面知⊥⊥.……………4分1AA ∥ 1CC 1AA ⇒∥平面C C BB 11.所以异面直线1AA 与11C B 间的距离等于=AD a 23.……………6分 （2）如图，111,,.B B O BC BC O B O ABC ⊥⊥过作交于则底面1,,.O OE AB AB E B E ⊥过作交于连1B EO ∠则与所求二面角的平面角互补 (8)分1111,,.tan 2.2B O a B O C D OB OE B EO OE ====∠===1arctan 2.arctan 2B EO π∠=-所以二面角的度数为.……………………12分ABC1A1B B1C AB C 1A1B 1C ED O15．设向量j i ,为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单位向量．若向量j y i x a ++=）2(，j y i x b +-=）2(，且a b ||-||=2． （1）求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程；（2）设(1,0),(2,0)A F -，问是否存在常数)0(>λλ，使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立？证明你的结论．解：（1）由条件a b ||-||=2可知：2)2()2(2222=+--++y x y x .由双曲线定义，得点P 的轨迹方程：)0(1322>=-x y x .…………………4分（2）在第一象限内作(2,3)PF x P ⊥轴，点坐标为，此时90,PFA ∠=45.PAF ∠= 2=λ．…………………………………….………………….……6分以下证明当PF 与x 轴不垂直且P 在第一象限时，PAF PFA ∠=∠2恒成立．1111222111122(1),tan 2.121()(1)PA PF PA PA y y k x y k k PAF x x k x y +==∠==+--+-,则 由1322=-y x ，得)1)(1(3)1(3112121-+=-=x x x y .代入上式并化简得1111tan 2,tan .22PF y yPAF PFA k x x ∠=-∠=-=---……10分 tan 2tan 2.PAF PFA PFA PAF ∠=∠∠=∠即，所以由对称性知，当P 在第四象限时，同样成立．故存在常数2=λ，使得PAF PFA ∠=∠2恒成立．………………….………12分16．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ；（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．解：（1）∵152a =，161a =-，173a =，184a =，191a =，203a =，212a =，221a =，231a =，240a =，251a =，261a =，270a =，……∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2008a =1．……4分（2）首先证明数列{}n a 必在有限项后出现零项．假设{}n a 中没有零项， 由于21n n n a a a ++=-，所以.3n ≥时，都有1n a ≥．……………………6分 当1n n a a +>时，2111n n n n a a a a +++=-≤-（3n ≥）； 当1n n a a +<时，211n n n n a a a a ++=-≤-（3n ≥），即2n a +的值要么比1n a +至少小1，要么比n a 至少小1．…………………8分令2121222+22122 () ()n n n n n n n a a a b a a a +++++>⎧=⎨<⎩，1,2,...n =，则101n n b b +<≤-．由于1b 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项0k b <，这与0k b >矛盾，从而{}n a 中必有零项．……………………………………………………….……10分若第一次出现的零项为n a ，记1 (0)n a M M -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值0,,M M ，即331320n k n k n k a a M aM+++++=⎧⎪=⎨⎪=⎩，0,1,2...k =所以数列{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分 17． 设定义在[0，2]上的函数()f x 满足下列条件：①对于[0,2]x ∈，总有(2)()f x f x -=，且()1f x ≥，(1)3f =； ②对于,[1,2]x y ∈，若3x y +≥，则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+． 证明：（1）12()133n nf ≤+（*n N ∈）；（2）[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-． 证明：由(2)()f x f x -=知，函数()f x 图像关于直线1x =对称，则根据②可知：对于,[0,1]x y ∈，若1x y +≤，则()()()1f x y f x f y +≥+-．……………2分设12,[0,1]x x ∈，且12x x <，则21[0,1]x x -∈．∵2112111211()()[()]()()()1()f x f x f x x x f x f x f x x f x -=+--≥+---21()10f x x =--≥,∴()f x 在[0，1]上是不减函数．………………………………………………4分（1）∵111111111()()()()13()233333333n n n n n n n nf f f f f -=++≥++-≥-, ∴1222111211221122()()()...()...333333333333n n n n n n n f f f f ---≤+≤++≤≤+++ 111211333n n n -=+-=+．…………………………………………………………8分 （2）对于任意(0,1]x ∈，则必存在正整数n ，使得11133n n x -≤≤. 因为()f x 在（0，1）上是不减函数，所以111()()()33n n f f x f -≤≤， 由（1）知11121()16161333n n n f x --≤+=+≤+. 由①可得(2)1f ≥，在②中，令2x y ==，得(2)1f ≤，∴(2)1f =． 而(2)(0)f f =，∴(0)1f =，又1()(0)3n f f ≥，∴1()13nf ≥， ∴[0,1]x ∈时，1()61f x x ≤≤+．.………………………………………12分 ∵[1,2]x ∈时，2[0,1]x -∈，且()(2)f x f x =-，∴1(2)6(2)1136f x x x ≤-≤-+=-，因此，[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-．…………………….………….14分。