2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》含答案
2020届初三数学中考复习反比例函数专题训练题含答案
2020届初三数学中考复习 反比例函数 专题训练题D.在公式A =n r 2中，r 与A 成正比例5. 如果点A(-2, y i ) , B(- 1, y 2), C(2, y»都在反比例函数象上，那么y i , y 2, y 3的大小关系是（） 1.F 列函数是反比例函数的是（）A. 1 1 1y = 3X B . y * C . y =x +1 2 D . y =——1 x2. 3 已知两点P i （x i,y i ） ,P 2（X 2,y 2）在反比例函数y =-的图象上，当X i >X 2>0时, XF 列结论正确的是（） A. 在xy =-3中，y 与1成反比例B. 在y = 2x + 1中，y 与x 成正比例C. 1 在y =- 2凶中，y 与x 成正比例y =；(k < 0)的图ZVA. y i V y 2< 0 B . y 2< y i V 0 C . 0v y i V y D . 0v y ?v y iA. y1< y3< y2 B . y3< 屮 < y C.屮 < y < y D . y3< y2< 小k6. 如图，反比例函数y = x （x v 0）的图象经过点P,则k 的值为（）ZV7. 对于反比例函数y = -f 图象对称性的叙述错误的是（）ZV C.关于直线y =-x 对称 D .关于x 轴对称18. 如图，正比例函数y =x 与反比例函数y = -的图象相交于A, B 两点，BC 丄x X轴于点。
，则厶ABC 的面积为（）9. 已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t （单位：小时）关于速度v （单位：千米/小时）的函数表达式是（）20v10At =20v B . t = v C . t = 20 D . t 飞 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ） 是A. — 6 B . — 5 C . 6A.关于原点对称B .关于直线y = x 对称A. 1 C. D.2气体体积V（m i）的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应（）5 3 5 3 4 34 3A.不小于4 m B •小于4 m C •不小于5 m D •小于5 m 11. 已知函数y = （n + 2）xn 2+ n —3（n 是常数），当n = 函数.k12. 若反比例函数y =-的图象经过点（2 , - 1），贝S 该反比例函数的图象在第 X象限.13. 已知y 与x 成反比例，并且当x = 2时，y =— 1,则当y = 3时，x 的值是k14. 函数y = -，当x = 4时，y = 5,则函数的表达式为 ___________ ，当x = — 2 x时，y= _____ .15. 下列函数：①y =— 金;②y = x ;③y =卞;1;④xy = — 3;⑤丫二灵乂一〔其 中是反比例函数的有_______________ .（填序号）16. 一定质量的氧气，它的密度 p kg/m 3是它的体积V m 的反比例函数.当V =10 m 3时，p = 1.43 kg/m 3，贝卩p 与V 的函数表达式是 ____________ .17. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示.若某一沼泽 地地面能承受的压强不超过 300 N /卅，那么此人必须站立在面积至少 ________ m 的.时，此函数是反比例P(kl h a)木板上才不至于下陷.（木板的重量忽略不计）1L/'tN/m5)K604020i ■■一i一L J 1—Ji■- 1 ・»O20 4Q 60旳丫血」3丿18. 随着城镇建设发展，许多购物超市相继建成.经研究，我们可以尝试建立一个简单的数学模拟，初步探讨超市对人们购物的吸引力.用S(单位：次)表示人们每季度到超市的平均购物次数，d(单位：千米)表示人们居住地与购物超市的距离，在超市规模大小一定的情况下(忽略其他因素)，S与d2成反比.(1) 经调查，小明家距离某超市d= 1千米，每季度去购物的平均次数S= 50次，则S关于d的函数表达式为 __________ ;(2) 若小星家距离这个超市5千米，估计他家每季度去购物的平均次数为______ 次.k19. 如图，点P, Q是反比例函数y = x图象上的两点，PA^y轴于点A, QNLx轴于点N,作PM Lx轴于点M QBLy轴于点B,连结PB, QM △ ABP的面积记为S , △ QMN 勺面积记为S ,贝S S S.(填“〉”、“v” 或“ = ”)20. 给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假.(1) 面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；(2) 面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；(3) 面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；(4) 面积一定的直角三角形的两直角边长成反比例.21. 由物理学知识我们知道：物体在力F的方向上发生位移S做的功为W即W=FS,若W 100焦耳，求：(1)F与S的关系式；⑵当F=4牛顿时，求S的值.(1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么?⑵在图象上取一点P,分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q, R,四边形PQOR勺面积为3,求n的值.23. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC勺边AB//x轴，点A在双曲线y=jxkv 0)上，点B在双曲线y = -(x >0)上，边AC的中点D在x轴上，△ ABC的面积x为8,求k的值.22.如图是反比例函数y= 的图象的一支，根据图象回答下列问题:L _____Q o24. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元/件，在营销中发现，该衬衣的日销售量y(件)是日销售单价x元/件的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.(1) 请写出y关于x的函数表达式；(2) 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB, BC分别为线段，CD 为双曲线的一部分)：(1) 开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？(2) —道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？答案：1---10 ACDBB ADABC11. 112.13.14. y 20x-1015.①③④⑤14.316. P=~V~17. 25018. (1) S =疋⑵219. =20.解：(1)(2)(4)是真命题100(2) S = 25 22. 解：（1）图象的另一支位于第四象限，n v — 3 (2)n = — 6 k k 5 23. 解：设B(a , )，丁 AB// x 轴，.••点A 的纵坐标为，在y =-中, a ax k 5a 5a k 将y = a 代入，得xr 」A （R ，a ）， 1 v D 为AC 的中点， • • ^^八ABD — 2^S^ABC ^~ 4 , 解得k — — 3 k 24. 解：（1）设函数表达式为y — x （k 工0） .v 当售价定为100元/件时， ZV k 每日可售出 30件，• 30 —100，二 k — 3000, • y 关于x 的函数表达式为y — 3000件25. 解：（1）设线段AB 所在的直线的表达式为y 1 — k 〔x + 20,把B （10, 40）代入得，k 1 — 2, • y 1 — 2x + 20.设C , D 所在双曲线的表达式为 y 2—~~,把C(25, 40)ZV代入得，k 2 — 1000, • y 2— 1000,当 X 1 — 5 时，y 1 — 2X 5+ 20— 30,当 X 2— 30 时, x 21. 解: (1) F 5a AA a —R ， 1 5a k • 2(a —匸)•(—a —4, y(x — 60) — 1800, 3000 厂(x - 6°) —1800，1000 100y2—莎T, •y1V y2, •••第30分钟注意力更集中T 27.8- 8= 19.8> 19,.••经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下 讲解完这道题目 ⑵令 y i = 36,二 36=2x + 20, /.x i = 8,令 y = 36,二 36= 1000 ••• x 2=障 27.8 36。
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2020-2021 备战中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案一、反比例函数1．平行四边形 ABCD的两个顶点 A、 C 在反比例函数 y= （ k≠0）图象上，点 B、 D 在 x 轴上，且 B 、 D 两点关于原点对称， AD 交 y 轴于 P 点（1）已知点 A 的坐标是（ 2， 3），求 k 的值及 C 点的坐标；（2）在（ 1）的条件下，若△ APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离．【答案】（1）解：∵点 A 的坐标是（ 2， 3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C 在反比例函数 y=（k≠0）图象上，点B、D 在x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，∴3=，点 C与点 A 关于原点 O对称，∴k=6， C（﹣ 2，﹣ 3 ），即 k 的值是 6， C 点的坐标是（﹣2，﹣ 3）；（ 2 ）解：过点A作AN⊥ y轴于点N ，过点D作DM ⊥ AC ，如图，∵点 A（ 2， 3）， k=6，∴A N=2，∵△ APO 的面积为2，∴，即，得 OP=2，∴点 P（ 0， 2），设过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为 y=0.5x+2，当 y=0 时， 0=0.5x+2，得 x=﹣ 4，∴点 D 的坐标为（﹣ 4， 0），设过点 A（ 2， 3）， B（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=mx+b ，则，得，∴过点 A（ 2， 3）， C（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=1.5x，∴点 D 到直线 AC 的直线得距离为：=．【解析】【分析】（ 1）根据点A的坐标是（ 2， 3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C在反比例函数y=（k≠0）图象上，点B、 D 在 x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，可以求得 k 的值和点 C 的坐标；（ 2）根据△ APO 的面积为2，可以求得OP 的长，从而可以求得点 P 的坐标，进而可以求得直线AP 的解析式，从而可以求得点 D 的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点 D 到直线 AC 的距离．2．如图，已知直线 y=ax+b 与双曲线 y= （ x＞ 0）交于 A（x1， y 1）， B（ x2， y2）两点（ A 与 B 不重合），直线 AB 与 x 轴交于 P（ x0， 0 ），与 y 轴交于点C．（1）若 A， B 两点坐标分别为（ 1， 3），（ 3， y2），求点 P 的坐标．（2）若 b=y1+1，点 P 的坐标为（ 6，0），且 AB=BP，求 A， B 两点的坐标．（3）结合（ 1），（ 2）中的结果，猜想并用等式表示x1， x2， x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线 y=ax+b 与双曲线y=（x＞0）交于A（1，3），∴ k=1×3=3，∴y=，∵B（ 3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（ 3，1），∵直线 y=ax+b 经过 A、B 两点，∴解得，∴直线为 y=﹣x+4，令 y=0，则 x=4，∴P（ 4， O）（2）解：如图，作 AD⊥ y 轴于 D， AE⊥ x 轴于 E，BF⊥ x 轴于 F， BG⊥ y 轴于 G， AE、BG交于 H，则 AD∥ BG∥ x 轴， AE∥ BF∥ y 轴，∴=，==，∵b=y1+1，AB=BP，∴=，== ，∴B（，y1）∵A，B 两点都是反比例函数图象上的点，∴x1?y1=? y1，解得 x1=2，代入=，解得y1=2，∴A（2， 2）， B（ 4，1）（3）解：根据（1），（ 2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1 +x2=x0【解析】【分析】（ 1）先把 A（ 1 ， 3））， B（ 3， y2）代入 y= 求得反比例函数的解析式，进而求得 B 的坐标，然后把 A、B 代入 y=ax+b 利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P 的坐标；（ 2）作 AD⊥ y 轴于 D， AE⊥ x 轴于 E， BF⊥x 轴于 F，BG⊥ y 轴于 G， AE、BG 交于 H，则 AD∥ BG∥ x 轴， AE∥ BF∥ y 轴，得出=，==，根据题意得出=，==，从而求得B（，y1），然后根据k=xy 得出 x1?y1=? y1，求得 x1=2，代入= ，解得 y1=2，即可求得A、B 的坐标；（ 3）合（ 1），（ 2）中的结果，猜想 x1+x2=x0．3．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边 BC 在 x 轴上，点B， D 的坐标分别为B（1， 0），D（ 3， 3）．（1）点 C的坐标 ________；（ 2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过直线m），求 m 的值及反比例函数的解析式；（3）若（ 2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点AC 上的点F，连接E，且点EF，在直线E 的坐标为（AB 上找一点2 ，P，使得 S△PEF=S△CEF，求点 P 的坐标．【答案】（1）（ 3， 0）（2）解：∵ AB=CD=3， OB=1，∴A 的坐标为（ 1， 3），又 C（3， 0），设直线 AC 的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线 AC 的解析式为y=﹣x+．∵点 E（ 2， m）在直线AC 上，∴m= ﹣× 2+=，∴点 E（ 2，）．∵反比例函数y=的图象经过点E，∴k=2 × =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长 FC 至 M ，使 CM=CF，连接 EM，则 S△EFM=△）．S EFC， M（ 3，﹣ 0.5在 y= 中，当 x=3 时， y=1，∴F（3， 1）．过点 M 作直线 MP∥ EF交直线 AB 于 P，则 S△PEF=S△MEF．设直线 EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线 PM 的解析式为y=﹣x+c，代入 M（ 3，﹣ 0.5），得： c=1，∴y=﹣ x+1．当 x=1 时， y=0.5，∴点 P（ 1， 0.5）．同理可得点P（ 1， 3.5）．∴点 P 坐标为（ 1， 0.5）或（ 1， 3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵ D（ 3， 3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（ 3， 0）；【分析】（ 1）由 D 的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出 C 的坐标；（ 2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由 D 的纵坐标确定出CD的长，即为AB 的长，再由 B 的坐标确定出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线AC 的解析式，将 E 坐标代入直线AC 解析式中，求出m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解析式中求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC 至 M ，使CM= CF，连接EM，则 S△EFM= S△EFC， M （ 3，﹣ 0.5）．求出F（ 3，1），过点M 作直线 MP∥ EF交直线AB 于 P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到．此时直线 EF 与直线PM 的斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为直线 PM的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将横坐标代入直线PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 B标．4．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
2020年中考数学试题《反比例函数》试题精编含答案
2020年中考数学试题《反比例函数》试题精编含答案1．（2020•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数y＝（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．2．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．（1）求a，b的值．（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．3．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△CDE的面积．4．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．5．（2020•赤峰）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．6．（2020•河池）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是．（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．7．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．8．（2020•大庆）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB 的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．9．（2020•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．10．（2020•昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．11．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD ⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．12．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．（1）求点A的坐标；（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．13．（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？14．（2020•呼和浩特）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．x…﹣2﹣1012…y1…12111098…（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；（2）设反比例函数y2＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O 为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．15．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．16．（2020•郴州）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？17．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．18．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．19．（2020•黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．20．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．21．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABOC的面积．23．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使PB﹣P A取得最大值时，求出点P的坐标．24．（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．25．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．26．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y ＝（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．（1）求k、m的值；（2）求直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标；（3）直接写出不等式＞kx+（x＞0）的解集．27．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．28．（2020•临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4Ω时，I＝9A．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；R/Ω……I/A……（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？29．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A （1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．30．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．31．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．32．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组解：解不等式①，得．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．33．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．34．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝，点C的坐标为；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．35．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A （3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．36．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．37．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．38．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．39．（2020•聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△P AB的面积为18，求出点P的坐标．40．（2020•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．1．【解答】解：（1）将点A（1，5）代入y＝（k≠0，x＞0）得：5＝，解得k＝5，故反比例函数的表达式为：y＝，将点B（m，1）代入y＝得：m＝5，故点B（5，1），将点A（1，5），B（5，1）代入y＝ax+b得，解得，故一次函数表达式为：y＝﹣x+6；（2）由一次函数y＝﹣x+6可知，D（0，6），则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝6×5﹣＝12．2．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A 的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，2），B（4，1），则有，解得．（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，由题意得，△＝0，∴4n2﹣32＝0，∴n＝﹣2或2（舍弃），解得，∴P（﹣2，﹣）．3．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴∠CAE＝45°，即△CAE为等腰直角三角形，∴AE＝CE，∵AC＝，即，解得：AE＝CE＝3，在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0），令y＝3，得到x＝2，∴OE＝2，CE＝3，∴C（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函数表达式为：，（2）联立：，解得：x＝2或﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），∴S△CDE＝×3×[2﹣（﹣3）]＝．4．【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵CD⊥OB，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝3﹣2＝1，∴C点的坐标为（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为：；（2）设P（，m），∵CD⊥y轴，CD＝3，由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，∴×3|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝±2，∴m＝3或m＝﹣1，当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．5．【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，∴能构成“和谐三数组”，故答案为：如；（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴+＝＝﹣，∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，∴x3＝﹣，∴＝﹣，∴+＝，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∴①+＝，∴+＝，∴m＝2，②+＝，∴+＝，∴m＝﹣4，③+＝，∴+＝，∴m＝﹣2，即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．6．【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y＝，把B（2，3）代入得：k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣2x．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．7．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k﹣1＜0，∴﹣+＝+＝k+4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．8．【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∵OM∥EB，∴△AMO∽△AEB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．9．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．10．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，故一班学生能安全进入教室．11．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．12．【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，即ax﹣3a＝0，解得x＝3，∴点A的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：显然，CM∥OA，∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，∴△BCM∽△BAO，∴，即：，∴CM＝1，又即：，∴CN＝2，∴C点的坐标为（1，2），故反比例函数的k＝1×2＝2，再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．13．【解答】解：（1）根据题意可得：y＝，∵y≤600，∴x≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：﹣＝0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．14．【解答】解：（1）根据表格中数据发现：y1和x的和为10，∴y1＝10﹣x，且当x＝0时，y1＝10，令y1＝0，x＝10，∴M（10，0），N（0，10）；（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，∵点A和点B都在反比例函数图象上，∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）＝30，化简得：n﹣m＝6，联立，得：x2﹣10x+k＝0，∴m+n＝10，mn＝k，∴n﹣m＝，则，解得：k＝16，∴反比例函数解析式为：，解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，∴A（2，8），B（8，2），∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；当a＝2或8时，y2＝y1．15．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为2，∵点M在y＝的图象上，∴M（6，2）．（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）∴C（9，0），∴OC＝9，OA＝＝5，∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．16．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＝y2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2∴水池底面一边的长x应控制在≤x≤2的范围内．解法二：利用图象法，直接得出结论．17．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6．18．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．19．【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，（1）在Rt△BOM中，OB＝，tan∠DOB＝．∵BM＝1，OM＝2，∴点B（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）∵S△ACO＝S△OCD，∴OD＝2AN，又∵△ANC∽△DOC，∴＝＝＝，设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，∵S△OAN＝|k|＝1＝ON•AN＝×3b×a，∴ab＝①，由△BMD∽△CNA得，∴＝，即＝，也就是a＝②，由①②可求得b＝1，b＝﹣（舍去），∴OC＝2b＝2，∴点C（0，2）．20．【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．21．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，∴反比例函数的关系式为y＝；把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1∴点A（﹣3，﹣1）；把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，＝+×（1+3）×2，＝．23．【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣，把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x ＜8；（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的关系式为y＝cx+d，则有，解得，，∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），即点P的坐标为（0，）．24．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞6时，直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方，即y1＞y2，所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．25．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y＝﹣；（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，∴x+5﹣b＝﹣，∴x2+（5﹣b）x+4＝0，∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值为9或1．26．【解答】解：（1）∵C′的坐标为（1，3），代入y＝（x＞0）中，得：m＝1×3＝3，∵C和C′关于直线y＝x对称，∴点C的坐标为（3，1），∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入y＝kx+，∴解得：k＝；∴k和m的值分别为：3，；（2）联立：，得：x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），∴直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标为（2，）；（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，∴不等式（x＞0）的解集为：0＜x＜2．27．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，∴B（8，4）．设过B点的反比例函数解析式为，把B点坐标代入得，k＝32，∴反比例函数解析式为；（2）∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF+∠DBF＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF～△BDF，∴，∴，解得，DF＝2，∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，∴D（10，0）．设BD所在直线解析式为y＝kx+b，把B（8，4），D（10，0）分别代入，得：，解得，，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．28．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵R＝4Ω时，I＝9A∴9＝，解得k＝4×9＝36，∴I＝（R＞0）；（2）列表如下：R/Ω…3456891012…I/A…1297.26 4.54 3.63…（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．29．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．30．【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．31．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，∴y＝，当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得，∴y＝x+1；∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），则PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP＝•PC•y A＝4，∴×|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．32．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．33．【解答】解：（1）如图，∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，∴6a＝12，∴a＝2，∴A（2，6），把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，∴b＝3，∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）由得：，，∴B（﹣4，﹣3），当x＝0时，y＝3，即OC＝3，∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．34．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，），∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．35．【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积＝×CD•x A＝×12×3＝18．36．【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，故反比例函数表达式为：y＝﹣②；（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），设y＝x+5交x轴于点C，令y＝0，则x+5＝0，∴x＝﹣10，∴C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AM OC•BN＝．37．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．38．【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围为x＞0，故答案为：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），故此时a的值为1．39．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）连接AP、BP，设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△P AB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．40．【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，即，将B（1，a）代入，得a＝4，即B（1，4），设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+2；（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），∴，∵，∴．。
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》含答案
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。
2020人教版中考数学《反比例函数》专题及答案详解
4 x （a＞ 0）中，得 a＝2，
把（ 4＋ b， b）代入函数解析式得 b＝ 4 b ，解得 b＝ 2 2 ﹣ 2，
∴y2 ＝2 2 ﹣2，
∴A2 的坐标是（ 4 2 ，0），
设 C3 的纵坐标是 c（c＞0），则 C3 横坐标为 4 2 ＋c，把（ 4 2 ＋ c， c）代入函数解析式得 c 4
（3）直接写出当 y1＞ y2 时， x 的取值范围 .
【思路分析】
（1）将 A 点坐标代入反比例函数解析式求出 m，即可得到反比例函数解析式；把 y=-3 代入反
比例函数解析式求出 a 的值，得到 B 点坐标，再将 A， B 坐标代入一次函数解析式求出 k， b，
即可求出一次函数解析式；
（2）利用 A 、B 坐标求出直线 AB 解析式，由解析式求出 C、D 两点坐标；分别对 B、 C、 P 三
1
A. y
1 B．
x1
【答案】 C．
1
1
1
y
1 C． y
1 D． y
1
x1
x1
x1
【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．
∵将 y
1 的图象向右平移 1 个单位长度后所得函数关系式为
y
1，
x
x1
∴将 y
1 的图象向右平移
1 个单位长度，再向上平移
x
1 个单位长度所得图象的解析式为
＝ 4 2 c，
解得 c＝ 2 3 ﹣ 2 2 ，
∴y3 ＝2 3 ﹣ 2 2 .
∵y1 ＝2 1 ﹣ 2 0 ，y2 ＝2 2 ﹣2 1 ，y3 ＝2 3 ﹣ 2 2 ，…
∴y100＝ 2 100 ﹣ 2 99 ，
2020年中考数学压轴题专项训练：反比例函数的综合(含答案)
精选文档6662020 年数学中考压轴题专项训练：反比率函数的综合1．已知一次函数y＝ kx﹣（2k+1）的图象与x 轴和 y 轴分别交于A、 B两点，与反比率函数y＝﹣的图象分别交于C、 D两点．（1）如图 1，当k＝ 1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为 M、 N．当矩形 OMPN的面积为2时，求出点 P 的地点；（ 2）如图 2，当k＝ 1 时，在x轴上能否存在点E，使得以 A、B、E 为极点的三角形与△BOC相像？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明原因；（3）若某个等腰三角形的一条边长为 5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，求k 的值．解：（ 1）当k＝ 1，则一次函数分析式为：y＝x﹣ 3，反比率函数分析式为：y＝﹣，∵点 P在线段 AB上∴设点 P（ a， a﹣3）， a＞0， a﹣3＜0，∴PN＝a， PM＝3﹣ a，∵矩形 OMPN的面积为2，∴a×（3﹣ a）＝2，∴a＝1或2，∴点 P（1，﹣2）或（2，﹣1）（2）∵一次函数y＝x﹣3 与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴点 A（3，0），点 B（0，﹣3）∴ OA＝3＝ OB，∴∠ OAB＝∠ OBA＝45°， AB＝3，∵ x﹣3＝﹣∴ x＝1或2，∴点 C（1，﹣2），点 D（2，﹣1）∴BC＝＝，设点 E（ x，0），∵以 A、 B、 E 为极点的三角形与△BOC相像，且∠ CBO＝∠ BAE＝45°，∴，或，∴，或＝，∴ x＝1，或 x＝﹣6，∴点 E（1，0）或（﹣6，0）（ 3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），∴ x＝1， x ＝，∴两个函数图象的交点横坐标分别为 1，，∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，∴1＝，或5＝∴k＝2．如图，已知直线y＝ kx+b 与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与 x 轴交于 C点．（1）求一次函数与反比率函数的分析式；（2）依据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比率函数值？（ 3）点P 是y＝（＞ 0）图象上的一个动点，作⊥轴于Q点，连结，当x PQ x PCS△CPQ＝S△CAO时，求点 P 的坐标．解：（ 1）把A（ 1， 4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比率函数为y＝；把（1， 4）和（ 4， 1）代入y ＝+b得，A B kx解得：，∴一次函数为y＝﹣ x+5．（2）依据图象得：当 1＜x＜ 4 时，一次函数值大于反比率函数值；（3）设P（m，），由一次函数y＝﹣ x+5可知 C（5，0），∴S＝＝10，△CAO∵S△CPQ＝ S△CAO，∴S△CPQ＝5，∴|5 ﹣m| ? ＝ 5，解得 m＝或m＝﹣（舍去），∴P（，）．3．如图，直线y ＝+ （＞0）与抛物线y＝2订交于点（，y1），（，y2）两点，kx b b x A x1 B x2与x 轴正半轴订交于点，于y轴订交于点，设△的面积为，且+8＝ 0．D C OCD S kS（1）求b的值．（2）求证：点（y1，y2）在反比率函数y＝的图象上．（1）解：∵直线y＝kx +b（b＞ 0）与x轴正半轴订交于点D，于y轴订交于点C，∴ D（0， b）， C（﹣，0）∴由题意得 OD＝b， OC＝﹣，∴ S＝∴k（?）+8＝0，∴b＝4（ b＞0）；（ 2）证明：∵，∴，∴ x1?x2＝﹣16∴，∴点（ y1， y2）在反比率函数y＝的图象上．AB⊥x 轴于点B，连结4．如图，双曲线y＝上的一点A（ m，n），此中n＞ m＞0，过点A作OA．（1）已知△AOB的面积是 3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转 90°获得△ACD，且点O的对应点C恰巧落在该双曲线上，求的值．解：（ 1）∵双曲线y＝上的一点A（ m， n），过点 A作 AB⊥ x 轴于点 B，∴AB＝n， OB＝ m，又∵△ AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点 A在双曲线 y＝上，∴k＝ mn＝6；（2）如图，延伸DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴ AD＝AB＝ n， CD＝ OB＝ m，∠ADC＝90°，∵ AB⊥x 轴，∴∠ ABE＝90°，∴四边形 ABED是矩形，∴∠ DEB＝90°，∴ DE＝AB＝ n， CE＝ n﹣ m，OE＝ m+n，∴ C（ m+n， n﹣ m），∵点 A， C都在双曲线上，∴ mn＝（ m+n）（n﹣ m），2 2即 m+mn﹣ n ＝0，方程两边同时除以 n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵ n＞ m＞0，∴＝．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点（，）和实数k（＞ 0），给出以下定义：当+ P a b k ka b＞ 0 时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P 的 k 倍有关圆．比如，在如图 1 中，点P（ 1， 1）的 1 倍有关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（ 1）在点P1（2，1）， P2（1，﹣3）中，存在1倍有关圆的点是P1，该点的 1 倍有关圆半径为3．（ 2）如图 2，若是x 轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且知足∠＝30°，判M MON断直线与点的倍有关圆的地点关系，并证明．ON M（ 3）如图 3，已知点 A 的（0，3）， B（1，m），反比率函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB对于y 轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3 倍有关圆的半径为3．②点D在直线AB上，点D的倍有关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心， hR为半径的圆与反比率函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值．解：（ 1）由题意知，k＝1，针对于 P1（2，1）， a＝2， b＝1，∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点 P1（2，1）的1倍有关圆为以点P 为圆心，3为半径的圆，针对于 P2（1，﹣3），a＝1， b＝﹣3，∴ ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点 P2（1，﹣3）不存在1倍有关圆故答案为： P1；3；（ 2）如图 2 中，结论：直线ON与点 M的倍有关圆的地点关系是相切．原因：设点M的坐标为（ n，0），过 M点作 MP⊥ ON于点 P，∴点 M的倍有关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠ OPM＝90°，∵∠ MON＝30°，∴ MP＝ OM＝ n，∴点 M的倍有关圆的半径为 MP，∴直线 ON与点 M的倍有关圆相切；（ 3）①如图 3 中，记直线AB与 x 轴的交点为E，直线 l 与 x 轴的交点为 F，∵ B（1， m）在反比率函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵ A（0，3），∴直线 AB的分析式为 y＝3x+3，令 y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线 l 是直线 AB对于 y 轴对称，∴点 F 与点 E 对于 y 轴对称，∴ F（1，0），∴直线 l 的分析式为y＝﹣3x+3，∵点 C在直线 l 上，∴设 C（ c，﹣3c+3），由题意知， k＝3，∴3c+（﹣ 3c+3）＝ 3，∴点 C的3倍有关圆的半径是3，故答案为： 3；②∵点 D在直线 AB上，设 D（ d，3d+3），由题意知， k＝，∴ R＝ d+（3d +3）＝d+3＞0，∴ d＞﹣．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与 x 轴、 y 轴分别交于A，B 两点，与反比率函数 y＝（ 1）求反比率函数的图象交于点y＝M，且 B为的表达式；AM的中点．（ 2）过 B 做x 轴的平行线，交反比率函数 y＝图象于点C，连结MC， AC．求△ AMC的面积．解：（ 1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H．∵AB＝MB，∠ MHB＝∠ AOB，∠ MBH＝∠ABO，∴△ ABO≌△ MBH（ AAS），∴BH＝BO， MH＝AO，∵直线 y＝2x+2与 x 轴， y 轴分别交于A， B两点，∴当 y＝0时， x＝﹣1．当 x＝0时， y＝2．∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴BH＝BO＝2， MH＝ AO＝1．∴M（1，4）．把 M（1，4）代入中，得k＝4．∴反比率函数的分析式为．（ 2）∵AB＝BM，∴S△ABC＝ S△BCM．∵点 C在反比率函数图象上，且BC∥ x 轴，∴点 C纵坐标为2．把 y＝2代入，得x＝2．∴点 C坐标为（2，2），∴，∴S△AMC＝4．7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点（0， 2），正方形的极点B在函数yA OABC＝（ k≠0，x＜0）的图象上，直线 l：y＝﹣ x+b 与函数 y＝（ k≠0，x＜0）的图象交于点 D，与 x 轴交于点 E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y ＝﹣ + b 的图象经过点 A 时，直接写出△ 内的整点的坐标；xDCE②若△内的整点个数恰有6 个，联合图象，求b 的取值范围．DCE解：（ 1）依题意知： B （﹣ 2， 2），∴反比率函数分析式为y ＝﹣ ．∴ k 的值为﹣ 4；（ 2）①∵一次函数 y ＝﹣ x +b 的图象经过点 A ， ∴b ＝ 2，∴一次函数的分析式为y ＝﹣ x +2，解得，， ，∴D （1﹣ ，1+ ），E （ 2， 0），∴△ DCE 内的整点的坐标为（﹣ 1， 1），（﹣ 1， 2），（ 0，1）；②当 ＝2 时，△内有 3 个整点，当 ＝3 时，△ 内有 6 个整点，bDCEbDCE∴b 的取值范围是 2＜ ≤3．b8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y ＝ （ ＜0）的图象经过点 （﹣ 1， 6）．xA（ 1）求 k 的值；（ 2）已知点 （ ，﹣ 2 ）（ ＜ 0），过点P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y ＝﹣ 2 ﹣ 2 于P a a a x点 M ，交函数 y ＝ （ x ＜0）的图象于点 N ．①当 a ＝﹣ 1 时，求线段 PM 和 PN 的长；②若 PN ≥ 2PM ，联合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．解：（ 1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．∴ k＝﹣1×6＝﹣6．（ 2）①当a＝﹣ 1 时，点P的坐标为（﹣1， 2）．∵直线 y＝﹣2x﹣2，反比率函数的分析式为y＝﹣，PN∥ x轴，∴把 y＝2代入 y＝﹣2x﹣2，求得 x＝﹣2，代入 y＝﹣求得x＝﹣3，∴ M（﹣2，2），N（﹣3，2），∴ PM＝1， PN＝2．②∵当 a＝﹣1或 a＝﹣3时， PN＝2PM，∴依据图象PN≥2PM， a 的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．9．如图，已知点D在反比率函数 y＝的图象上，过点D作 DB⊥ y 轴，垂足为B（0，3），直线 y＝ kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C，且 BD＝ OC，OC： OA＝2：5．（ 1）求反比率函数y＝和一次函数y＝ kx+b 的表达式；（ 2）连结AD，求∠DAC的正弦值．解：（ 1）∵BD＝OC，OC：OA＝ 2： 5，点A（5， 0），点B（ 0， 3），∴OA＝5， OC＝ BD＝2， OB＝3，又∵点 C在 y 轴负半轴，点 D在第二象限，∴点 C的坐标为（0，﹣2），点 D的坐标为（﹣2， 3）．∵点 D（﹣2，3）在反比率函数的图象上，∴ a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比率函数的表达式为．将 A（5，0）、 C（0，﹣2）代入 y＝ kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）∵OA＝BC＝ 5，OC＝BD＝ 2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△ BDC≌△ OCA（ SAS），∴∠ DCB＝∠ OAC， DC＝ CA，∴∠ DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠ DAC＝45°，∴．10．如图，A为反比率函数y＝（此中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，OB＝4．连结 OA、 AB，且 OA＝ AB＝2．（ 1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比率函数y＝（x＞ 0）的图象于点C．①连结 AC，求△ ABC的面积；②在图上连结OC交 AB于点 D，求的值．解：（ 1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H， AH交 OC于点 M，以下图．∵OA＝AB， AH⊥OB，∴ OH＝BH＝ OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点 A的坐标为（2，6）．∵A 为反比率函数 y＝图象上的一点，∴ k＝2×6＝12；（ 2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴ AH∥BC，∴点 A到 BC的距离＝ BH＝2，∴S＝×3×2＝3；△ABC②∵ BC⊥ x 轴， OB＝4，点 C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC， OH＝BH，∴ MH＝ BC＝，∴AM＝AH﹣ MH＝．∵AM∥BC，∴△ ADM∽△ BDC，∴＝．11．如图，反比率函数y ＝的图象与一次函数y＝+1 的图象订交于点（2， 3）和点．x A B（1）求反比率函数的分析式和点B 的坐标；（2）连结OA，OB，求△AOB的面积．（ 3）联合图象，请直接写出使反比率函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围．解：（ 1）把A（ 2， 3）代入得，∴ k＝6．∴反比率函数的分析式为．联立解得或，∴点 B的坐标为（﹣3，﹣2）．（2）设直线AB与y轴交于点C．可知 C点的坐标为（0，1），∴ OC＝1．∴．（ 3）当﹣ 3＜x＜ 0 或x＞2 时，反比率函数值小于一次函数值．12．如图1，直线y＝ x 与双曲线y＝交于A，B 两点，依据中心对称性能够得悉OA＝ OB．（ 1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试证明：AC＝ BD；（ 2）如图3，直线y＝ ax+b 与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试问： AC＝ BD还建立吗？（ 3）假如直线y＝x+3与双曲线y＝交于 A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤ 5，求出k 的取值范围．解：（ 1）如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵AE∥y 轴，∴S＝S＝，△AOE△ AEF∵BF∥x 轴，∴S＝S＝，△BEF△ OBF∴S＝S，△AEF△ BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图 1 中，如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵ AE∥y 轴，∴S△＝S△＝，AOE AEF∵BF∥x 轴，∴S△＝S△＝，BEF OBF∴S△＝S△，AEF BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（ 3）如图 2 中，∵直线 y ＝ x +3 与坐标轴交于C ，D ，∴ C （ 0， 3）， D （ 3， 0），∴ OC ＝OD ＝ 3， CD ＝ 3 ， ∵ CD +BD ≤ 5 ，∴ BD ≤2 ，当 BD ＝2 时，∵∠ CDO ＝ 45°， ∴ B （ 1， 2），此时 k ＝ 2，察看图象可知，当 k ≤ 2 时， CD +BD ≤ 5 ，13．综合与研究如图 1，平面直角坐标系中，直线l ： y＝ 2 +4 分别与 x 轴、 y 轴交于点 ， ．双曲线yxA B＝ （ x ＞ 0）与直线l 交于点（ ，6）．E n（ 1）求 k 的值；（ 2）在图 1 中以线段为边作矩形，使极点在第一象限、极点 D 在 y 轴负半轴ABABCDC上．线段交 x 轴于点 ．直接写出点， ， 的坐标；CDGA D G（ 3）如图 2，在（ 2）题的条件下，已知点 P 是双曲线 y ＝（ x ＞ 0）上的一个动点，过点P 作 x 轴的平行线分别交线段 ，于点，．AB CD M N请从以下 A ， B 两组题中任选一组题作答．我选择 ① 组题．A ．①当四边形 AGNM 的面积为 5 时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB ， PD ．坐标平面内能否存在点 Q （不与点 P 重合），使以 B ， D ，Q 为极点的三角形与△ PBD 全等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明原因．B ．①当四边形 AGNM 成为菱形时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB， PD．坐标平面内能否存在点Q（不与点 P 重合），使以 B， D，Q为极点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因．解：（ 1）由已知可得A（﹣2，0）， B（0，4）， E（1，6），∴ k＝6；（ 2）∵AB⊥BC，∴ BC的分析式为 y＝﹣x+4，联立，∴ C（2，3），∵CD＝AB＝2，∴ D（0，﹣1），∴ CD的分析式为 y＝2x﹣1，∴G（，0）；（3）A①设P（m，），∵ MN∥x 轴，∴M（﹣2，），N（+，），∴MN＝，∵四边形 AGNM的面积为5，∴×＝5，∴m＝3，∴P（3，2）；② Q（3，1）、 Q（﹣3，1）、 Q（﹣3，2）时 B， D， Q为极点的三角形与△PBD全等．B①∵四边形AGNM成为菱形，MN＝ AM，∴＝∴ m＝∴ P（，，）；② Q（﹣，）、Q（， 3﹣）、Q（﹣， 3﹣）时B， D， Q 为极点的三角形与△PBD全等．14．如图，直线AB与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4）， B（0，﹣ 2），点C是反比率函数y＝（ x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x 轴的垂线，交直线 AB于点 D．（1）求反比率函数的分析式；（2），求△ ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，能否存在点C，使BC＝AC？若存在，恳求出点C的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴k＝ xy＝3×4＝12，∴反比率函数的分析式为： y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，则 BE∥CD，∴＝＝，∵点 A的坐标为（3，4），∴EF＝1， FA＝2，∴点 F 的横坐标为1，∴点 C的坐标为（1，12），设直线 AB的分析式为： y＝ kx+b，则，解得，，∴直线 AB的分析式为： y＝2x﹣2，则点 D的坐标为：（1，0），即 CD＝12，∴△ ABC的面积＝× 12× 1+× 12× 2＝18；（ 3）不存在，原因以下：设点C的坐标为（ m，），∵BC＝AC，222+（2，∴ m+（+2）＝（ 3﹣m）﹣ 4）2整理得， 6m﹣ 21m+144＝ 0，△＝ 212﹣ 4× 6× 144＜0，则此方程无解，∴点 C不存在．15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点 A 坐标为（1，0），点 D坐标为（1， 3），点G 坐标为（ 1，1），动点E从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D方向运G动，与此同时， x 轴上动点 B 从点 A出发，以同样的速度向右运动，两动点运动时间为t（ 0＜t＜ 2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点 E 作双曲线交线段BC于点 F，作 CD中点 M，连结 BE、 EF、 EM、 FM．（1）当t＝ 1 时，求点F的坐标．（2）若BE均分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？解：（ 1）当t＝ 1 时，EG＝1×1＝1＝ AB∴点 E（1，2）设双曲线分析式：y＝∴ k＝1×2＝2∴双曲线分析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点 F（2，1）（ 2）∵EG＝AB＝t，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）设双曲线分析式： y＝∴ m＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵BE均分∠ AEF∴∠ AEB＝∠ BEF，∵AD∥BC∴∠ AEB＝∠ EBF＝∠ BEF∴EF＝BF＝1∴＝t ＝1∴t ＝（ 3）延伸EM，BC交于点N，∵EG＝AB＝ t ，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）∴DE＝AD﹣ AE＝3﹣（1+t ）＝2﹣ t ，设双曲线分析式： y＝∴n＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵AD∥BC，∴∠ ADC＝∠ NCD，∠ DEM＝∠ MNC，且 DM＝ CM，∴△ DEM≌△ CNM（ AAS）∴EM＝MN， DE＝CN＝2﹣ t ，∵ CF＝BC﹣ BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣ t +2＝4﹣ t ，∵∠ EMF为直角，∴∠ EMF＝∠ NMF＝90°，且 EM＝ MN， MF＝ MF，∴△ EMF≌△ NMF（ SAS），∴EF＝NF，∴t ＝4﹣ t∴ t ＝4﹣4。
2020-2021学年九年级数学中考数学《反比例函数》专题训练【含答案】
k (2)不等式2x＋6－x＞0的解集为x＞1；
8
n－6
(3)由题意，点M，N的坐标为M(n，n)，N∵0＜n＜6，∴ 2 ＜0，∴n－ 2 ＞0，
1
1 8 n－6
1
25
∴S△BMN＝2|MN|×|yM|＝2×(n－ 2 )×n＝－4(n－3)2＋ 4 ，
25 ∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为 4 .
18.
如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线，与反比例 4
函数y＝x的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为________．
三、解答题
19.
3
k
如图，直线y1＝－x＋4，y2＝4x＋b都与双曲线y＝x交于点A(1，m)．这两条直线
分别与x轴交于B，C两点． (1)求y与x之间的函数关系式；
3k
(2)直接写出当x>0时，不等式4x＋b>x的解集；
(3)若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的 坐标．
20.
k 如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝x 的图象上，一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点 为B. (1)求k和b的值； (2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围．
2020-2021学年九年级数学中考数学《反比例函数》专题训练
一、选择题 1. 反比例函数y= 的图象位于( )
A.第一、三象限 C.第一、二象限
B.第二、三象限 D.第二、四象限
2.
已知反比例函数y=- ，下列结论:①图象必经过(-
2，4);②图象在二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>1时，y>8.其中错误的结论有 ( )
中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及详细答案
的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是 y=﹣ x2+ ； f、当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（3，4）时，另一个顶点 D
3．已知点 A，B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C，D 是某个函数图象上的点，当四边形 ABCD（A，B，C，D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣 正方形”． 例如：在图 1 中，正方形 ABCD 是一次函数 y=x+1 图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）如图 1，若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；
∵ 反比例函数 ∴ k=1×2=2，
的图象过点 A（1，2）．
∴ 反比例函数关系式是：y=
（2）解：反比例函数 y= ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减少， 而当 x=1 时，y=2，当
x=6 时，y= ，
∴ 当 1≤x≤6 时，反比例函数 y 的值： ≤y≤2 【解析】【分析】（1）根据题意首先把点 B（﹣1，0）代入一次函数 y=x+b 求出一次函数 解析式，又点 A（1，n）在一次函数 y=x+b 的图象上，再利用一次函数解析式求出点 A 的 坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出 当 x=1，x=6 时的 y 值，即可得到答案．
（3）解：∠ PAQ=∠ PBQ． 理由如下：
过点 Q 作 QT⊥x 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D，QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3． 可设点 Q 为（c， ），直线 AQ 的解析式为 y=px+q，则有
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2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。