自考高等数学(一)考试重点

《高等数学(一)》考试重点第一章 函数及其图形（选择题1、填空题1）1.函数的定义域2.函数的有界性3.函数的奇偶性奇偶性：奇函数x y egx f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-点对称奇函数的定义域关于原为奇函数)()(偶函数2)()(x y egy x f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-轴对称偶函数的定义域关于为偶函数4.函数的反函数5.求函数表达式第二章 极限和连续（选择题、填空题、计算题）6.记住重要结论：等比级数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=∑-1111q q q aaqn 发散，调和级数n 1∑发散；21n∑收敛。

（注意级数的敛散性） 7.无穷小量及其性质，无穷大量 8.两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，e n nn =+∞→)11(lim 9.无穷小量的比较 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞≠≠→的低阶无穷小量是的等价无穷小量是同阶无穷小量是的高阶无穷小量是)()()()(1)()()1()()(00)()()(lim ()x p x a x p x a x p x a c c x p x a x x p x a x ρ 10.函数的连续性和函数的运算（1）了解函数极限定义以及有极限函数基本性质（唯一性、有界性、保号性）；（2）分段函数分段点处极限的求法11.函数的间断点12.闭区间上连续函数的性质（零点存在定理）第三章 一元函数的导数和微分（选择题、填空题、计算题）13.导数的定义及其几何意义，记住求导数的常用公式00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→，这个式子再求分段函数，含有绝对值的函数的导数的应用。

14.函数可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。

15.函数的各种求导法则，四则运算，复合函数求导⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧'+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'='-'±'='±2)(v v u v u v u v u v u v u v u v u ）（16.基本初等函数的导数（1）0='C (C 是常数) （2）1)(-='k kkxx （k 为实数）（3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）)10(ln 1)(log ,1)(ln ≠>='='a a ax x x xa 且 （6）)1,0(ln )(,)(≠>='='a a a a a e e xxxx（7）x x 2sec )(tan =' （8）x x 2csc )(cot -=' （9）x x x tan sec )(sec =' （10）x x x cot csc )(csc -=' （11）211)(arcsin xx -='（12）211)(arccos xx --='（13）211)(arctan x x +=' （14）211)cot (xx arc +-=' 17.高阶导数（主要是二阶导数）18.微分的定义和微分的基本公式、运算法则以及以阶微分形式的不变形 dx x f dy )('=第四章 微分中值定理和导数的应用19.微分中式定理（罗尔定理和拉格朗日中值定理） 罗尔定理：设函数)(x f 满足(1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 可导； (3))()(b f a f =；则存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ； 拉格朗日中值定理：设函数)(x f 满足(1)闭区间],[b a 上连续；(2)在开区间),(b a 可导；则存在一点),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ20.洛必达法则以及等价无穷小量代换求极限 如果)(x f 和)(x g 满足(1))()(lim)(x g x f x →为“οο”或“∞∞”型极限； (2))(x f 、)(x g 在与“)(→x ”相对应的区域可导，且0)(≠'x g ； (3))()(lim)(x g x f x ''→存在（或为∞） 则)()(lim )()(lim)()(x g x f x g x f x x ''=→→ 1~ln ~arctan ~arcsin ~tan ~sin 0)1(--+x x e x x x x x ～221~cos 1x x - x x 21~)1(2-+ 21.函数单调性判定 ),(b a x ∈∀⎪⎩⎪⎨⎧↓<'↑>')(,0)()(,0)(x f x f x f x f22.函数极值及其求法 23.函数的最值及其应用 24.函数的凹凸性和拐点25.曲线的水平渐近线、竖直渐近线(1)水平渐近线：假设函数)(x f 的定义域是无穷区间，曲线C 是是它所表示的几何图形，如果有)(C ,)(lim )(lim x f y b y b x f b x f x x ====-∞→+∞→：就是曲线则或的水平渐近线。

（2）竖直渐近线：设函数)(x f 在a 的一个空心邻域（或左邻域，或右邻域）中有定义，如果)(C ,)(lim )(lim x f y a y x f x f ax a x ==∞=∞=+-→→：就是曲线则或的竖直渐近线。

第五章 一元函数积分学26.原函数和不定积分的概念 27.基本积分公式(1)⎰+=c x dx(2)⎰++=+c k x dx x k k11)1(-≠k (3)⎰+=c x dx xln 1(4)⎰+=c aa dx a xxln (5)⎰+=c e dx e x x(6)⎰+-=c x xdx cos sin (7)⎰+=c xdx sin cos(8)⎰⎰+==c x dx x xdx tan cos 1sec 22(9)⎰⎰+-==c x dx x xdx cot sin 1csc 22(10)⎰+=c x xdx x sec tan sec(11)⎰+-=c x xdx x csc cot csc(12)⎰'+-=+=c x c x dx xarccos arcsin -112(13)⎰'+-=+=+c x arc c x dx x cot arctan 112(14)⎰+-=c x xdx cos ln tan (15)⎰+=c x xdx sin ln cot (16)⎰++=c x x xdx tan sec ln sec (17)⎰+=c x x xdx cot -csc ln csc (18)⎰+=+c axa dx a x arctan 1122(19)⎰++-=-c ax ax a dx a x ln 21122 (20)⎰+=-c axx a dx arcsin22 (21)⎰+++=+c a x x a x dx )ln(2222(22)⎰+-+=-c a x x a x dx 2222ln28.不定积分的换元积分法和分部积分法换元积分法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=='=+=='==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=C x G C t G dt t g dt t t f dx x f C x F x d x f dx x x f dx x g dx x g t x ))(()()()())(()())(()())(()())(()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ第二换元积分法：分法）第一换元积分法（凑微分部积分法：⎰⎰'-='dx u v uv dx v u29.微分方程初步（1）可分离变量微分方程的求解步骤 （2）非齐次线性微分方程的通解公式])([)()(C dx e x Q e y dx x p dxx p +=⎰⎰⎰-30.定积分的概念31.变上限积分和牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式ababx F b F a F dx x f )()()()(=-=⎰，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数；变上限积分求导公式)())(())()((x g x g f dt t f ax g '⋅='⎰32.定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分：dt t t f dx x f a b)())(()('ϕϕβα⎰⎰=定积分的分部积分：⎰⎰-=bavdu a b uv udv a b 33.无穷限反常积分敛散性的判定 34.定积分的几何应用求面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰⎰dy y y c d A dx x f x g a b A )]()([)]()([ϕϕ左右边界：上下边界：求体积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⎰⎰⎰⎰⎰⎰dy y c d dy x c d dv c d Vy y dx x f a b dx y a b dv a b Vx x 2222)]([)]([ϕππππ轴旋转绕轴旋转绕第六章 多元函数积分学35.偏导数和全微分偏导公式：),(00y x f x '，),(00y x f y '主要为二阶偏导。

全微分：dy y x y f dx y x x f dz ),(),('+'=多元函数全微分：dy v z u z dx v z u z ydy z xdx z dz y v y u x v x u)()('+'+'+'='+'= 36.复合函数求导x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 37.隐函数及其求导法则 0),(=y x F ，则),(),(y x y F y x x F dx dy ''-=，dx y x y F y x x F dy ),(),(''-= 38.二元函数的极值及其求法 39.二阶偏导数40.二重积分的概念和计算三种情况：1）{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,,⎰⎰⎰⎰==Ddx dy y x f cda b d y x f V ]),([6),(2）{}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=),()(,21ϕϕ⎰⎰⎰⎰==Ddy y x f x x x a bd y x f V ),()()(),(12ϕϕσ3）{}d y c y x y y x D ≤≤≤≤=),()(,21ϕϕ）（⎰⎰⎰⎰==Ddx y x f y y d a bd y x f V ),()()(6),(12ϕϕσ。