Lingo与线性规划
应用lingo软件实现线性规划和整数规划
一、 实验目的应用lingo 软件实现线性规划和整数规划。
二、 实验内容：1．线性规划方法的lingo 软件实现。
2．整数规划方法的Lingo 软件实现三、 实验环境：1 硬件要求：计算机一台2 操作系统：WindowsXP3 软件要求：lingo10四、实验步骤及程序编写：1．线性规划模型。
某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。
又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
解：设用了x 枚重型炸弹，用了y 枚轻型炸弹，攻击的是第i 个部位，再设一标志变量f 定义如下： ⎩⎨⎧=个部位不攻击第个部位攻击第i i f i 01目标函数为： ()[]∑=⨯⨯+⨯=41max i i li ih f p y px()()480002004/3/2004/2/≤++⨯+++⨯i i i i d d y d d x48≤x ,32≤y141=∑=i if2、整数规划模型。
某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9t ，电力4kw ，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件消耗煤4t ，电力5kw ，使用劳动力10个，获利120元。
有一个生产日，这个厂可动用的煤是360t ，电力是200kw ，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？ 解：模型建立：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<+<++=取整x x x x x x x x x x t s f 2121212121,3001032005436049..12070max五、程序调试及实验总结1．线性规划模型。
Lingo与线性规划
Ling o与线性规划线性规划得标准形式就是(1)其中称为口标函数，自变量称为决策变量，不等式组(1)称为约束条件、满足不等式组(1)得所有得集合称为可行域，在可行域里面使得Z取最小值得称为最优解，最优解对应得函数值称为最优值。
求解优化模型得主要软件有L i ng o、Ma t 1 a b＞ Ex c el等。
其中Lingo 就是一款专业求解优化模型得软件，有其她软件不可替代得方便功能。
本文将简要介绍其在线性规划领域得应用。
—、基本规定1、目标函数输入格式ma x二函数解析式；或者min二函数解析式；2、约束条件输入格式利用：＞、V、〉=、〈二等符号。
但就是＞与＞二没有区别。
L ingo软件默认所以自变量都大于等于0、3、运算加(+),减(-)，乘(*),除(/),乘方(x A a),要注意乘号(*)不能省略。
4、变量名不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。
5、标点符号每个语句以分号“；”结束,感叹号“！”开始得就是说明语句(说明语句也需要以分号"；”结束)o但就是,mo d el, s e t s, data以"：”结尾。
endsets, e n ddata, e n d尾部不加任何符号。
6、命令不考虑先后次序7、MODEL 语句一般程序必须先输入MODEL：表示开始输入模型，以“END”结束。
对简单(1)例1求目标函数得最小值，约束条件为输入Ling o 程序:min = 2*x1 + 3*x2；x I + x2 >= 350?x1 >= 1 0 0;2A *X 1 + x2 <= 600;有两种运行方式：1、点击工具条上得按钮 即可。
2、点击菜单:LINGO —Solve运行结果如下：下面对其各个部分进行说明：Gl o bal o p tima 1 solution f oun d :表示已找到全局最优解。
Ob j e ctive value ：表示最优值得大小。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
用LINGO求解线性规划问题
实验1 用LINGO求解线性规划问题LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包.LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解.LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快.LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法.LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等.一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了.LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据.LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母（A~Z）开头，由字母、数字（0~9）和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句；（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略.实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINGO求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.实验数据与内容问题1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？.问题1.2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.实验指导问题1.1设计划生产两种产品分别为，则建立线性规划问题数学模型B A ,21,x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482.32max 21212121x x x x x x t s x x S 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：model :max =2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message ”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO 的Help ）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO 用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status ”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close 关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report ”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为.“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“124,2==x x ≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“”的不等式，左边减右边的差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.≥问题1.2设需要饲料分别为 kg ，则建立线性规划数学模型：54321,,,,A A A A A 54321,,,,x x x x x 123451234512345123451234512345min 0.20.70.40.30.50.320.6 1.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≥⎧⎪++++⎪⎪≥++++⎨⎪++++≤⎪≥⎪⎩≥ 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料、、分别为12、30和10kg ，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力.“Reduced Cost ”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低.从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.12A 4A 5A kg kg kg 1A 3A g ；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元.kg 对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定.对于例1.1问题进行灵敏度分析，结果如下：以下是灵敏度分析的结果Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 INFINITY 0.5000000X2 3.000000 1.000000 3.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 8.000000 2.000000 4.0000003 16.00000 16.00000 8.0000004 12.00000 INFINITY 4.000000对于例1.2问题进行灵敏度分析，结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 0.2000000 INFINITY 0.7000000X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667X4 0.3000000 1.400000 1.000000X5 0.5000000 0.1247059 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 60.00000 4.800000 4.8000003 3.000000 4.100000 INFINITY4 8.000000 0.3428571 0.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考题某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目：项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%；项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%，但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%；项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润40%，但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%；项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金，并获利息6%.该公司现有投资金额100万元，请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划，使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大.建立线性规划问题的数学模型，并用LINGO求解.。
lingo解决线性规划问题的程序(经典)
lingo解决线性规划问题的程序(经典)Lingo12软件培训教案Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。
例1 一个简单的线性规划问题0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z!exam_1.lg4 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100;2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets :r1/1..3/:a; r2 : b;r3 : c;link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data :ALPHA = 0.7; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddatarows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量;endsets!-------------------------------------;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!------------------------------------;min = @sum(links: c*x); !目标函数=运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j))<=s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j))=d(j) ); !需求约束;end例3把上述程序进行改进，引进运行子模块和打印运算结果的语句：!exam_3.lg4 源程序model: !6发点8收点运输问题;sets:rows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量;endsets!==================================;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!==================================;submodel transfer:min = cost; ! 目标函数极小化;cost = @sum(links: c*x); !目标函数：运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j)) < s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j)) > d(j) ); !需求约束;endsubmodel!==================================;calc:@solve(transfer); !运行子模块（解线性规划）;@divert('transfer_out.txt');!向.txt文件按自定格式输出数据;@write('最小运输成本=',cost,@newline(1),'最优运输方案x=');@for(rows(i):@write(@newline(1));@writefor(cols(j): ' ',@format(x(i,j),'3.0f') ) );@divert(); !关闭输出文件;endcalcend打开transfer_out.txt文件，内容为：最小运输成本=664最优运输方案x=0 19 0 0 41 0 0 01 0 0 32 0 0 0 00 11 0 0 0 0 40 00 0 0 0 0 5 0 3834 7 0 0 0 0 0 00 0 22 0 0 27 3 0例4 data段的编写技巧（1）：从txt文件中读取原始数据!exam_3.lg4 源程序中的data也可以写为：data:s = @file('transfer_data.txt');d = @file('transfer_data.txt');c = @file('transfer_data.txt');enddata其中，transfer_data.txt的内容为：!transfer.lg4程序的数据;!产量约束s= ;60,55,51,43,41,52 ~!需求约束d= ;35 37 22 32 41 32 43 38 ~!运输单价c= ;6 2 67 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3 ~!注：字符~是数据分割符,若无此符，视所有数据为一个数据块，只赋给一个变量;例5lingo程序的的3种输入和3种输出方法;!exam_5.lg4的源程序;sets:rows/1..3/: ;cols/1..4/: ;link(rows,cols): a, b, mat1, mat2;endsetsdata:b = 1,2,3,45,6,7,89,10,11,12; !程序内输入;a = @file('a.txt'); !外部txt文件输入;mat1 = @ole('d:\lingo12\data.xls',mat1); !EXcel文件输入; enddatacalc:@text('a_out.txt') = a; !列向量形式输出数据;@for(link: mat2 = 2*mat1);@ole('d:\lingo12\data.xls') = mat2 ;!把mat2输出到xls文件中的同名数据块;!向.txt文件按自定格式输出数据(参照前例);Endcalc例6 程序段中的循环和选择结构举例!exam_6.lg4的源程序;sets:rows/1..5/:;cols/1..3/:;links(rows,cols):d;endsetsdata:d=0 2 34 3 21 3 24 7 22 1 6;enddatacalc:i=1;@while(i#le#5:a = d(i,1);b = d(i,2);c = d(i,3);@ifc(a#eq#0:@write('infeasible!',@newline(1));@elsedelta = b^2-4*a*c;sqrt = @sqrt(@if(delta#ge#0, delta,-delta));@ifc(delta#ge#0:@write('x1=',(-b+sqrt)/2/a,'x2=',(-b-sqrt)/2/a,@newline(1));@else@write('x1=',-b/2/a,'+',sqrt/2/a,'i','x2=',-b/2/a,'-',sqrt/2/a,'i',@newline(1));););i=i+1;);endcalc本程序中的循环结构也可以用@for(rows(i): 程序体);进行计算。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LinDo
输入模型 求解
点击求解按钮 结果
即可
♂返回
!注释内容，可用中文
输
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
max 3 x1+5 x2+4 x3
入
!约束，以subject to开始
模
subject to
型
2 x1+3 x2<=1500
2 x2+4 x3<=800
3*x1+2*x2+5*x3<=2 000; end
注意与LinDo的区别
目标函数中加等号 变量与系数之间用“*” Model:-end可省略
♂返回
LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合
Endsets
Data:
！定义数据
Enddata 调用函数与计算
end
♂返回
model: ！开始
数
@sum(set(set_index_list)|condition:expressi
on)
@min(max)(set(set_index_list)|condition:ex pression)
♂返回
Global optimal solution found at
iteration:
3
结
Objective value: 2675.000
果
Variable Value
Reduced Cost
C( 1) 3.000000
0.000000
C( 2) 5.000000
0.000000
C( 3) 4.000000
0.000000
用LINGO求解线性规划的例子
附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2目标函数：设每天获利为z元。
x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4*x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：原料供应：生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即x1+x2≤50劳动时间：生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3x1≤100非负约束：x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0综上所述可得max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0，x2≥0显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP），求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。
LINGO求解线性规划用LINGO求解线性规划时，首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。
LINGO 线性规划问题的求解
实验报告课程名称：运筹学项目名称：线性规划问题的求解姓名：专业：班级：1班学号：同组成员：一、实验准备：1.线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；(1)根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；(2)由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；(3)由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
2.所建立的数学模型具有以下特点：(1)每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
(2)目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或实际中，为保证完成100套工架，所使用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。
设按方案A,B,C,D,E下料的原材料数分别为x1,x2,x3,x4,x5根据表可以得到下面的线性规划模型：解：虽然连续投资问题属于动态优化问题，但可以用静态优化的方法解决，用决策变量xi1,xi2,xi3,xi4(i=12…,5)分别表示第i年年初为项目A,B,C,D,的投资额，根据问题的要求各变量的对应关系如表，表中空白处表示当年不能为该项目投资，也可认为投资额为0.实验报告成绩（百分制）__________ 实验指导教师签字：__________。
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Lingo 与线性规划线性规划的标准形式是Minz c 1 x 1 c n x na 11x1a 1n xnb 1 s..ta m1 x1a mnxn(1)b mx i 0, i 1,2,, n其中 z c 1 x 1 c n x n 称为目标函数， 自变量 x i 称为决策变量 ,不等式组 (1)称为约束条件 .满足不等式组 (1)的所有 ( x 1, , x n ) 的集合称为可行域，在可行域里面使得z取最小值的 ( x 1* , , x n * ) 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。
求解优化模型的主要软件有 Lingo 、Matlab 、Excel 等。
其中 Lingo 是一款专业求解优化模型的软件， 有其他软件不可替代的方便功能。
本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。
一、基本规定1、目标函数输入格式max=函数解析式； 或者 min=函数解析式；2、约束条件输入格式利用： >、<、>=、<=等符号。
但是 >与 >=没有区别。
Lingo 软件默认所以自变量都大于等于 0.3、运算 加 (+), 减(-), 乘(*), 除(/), 乘方 (x^a) ，要注意乘号 (*) 不能省略。
4、变量名不区分大小写字母，不超过 32 个字符，必须以字母开头。
5、标点符号每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“ ; ”结束）。
但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。
endsets ，enddata ， end 尾部不加任何符号。
6、命令不考虑先后次序7、MODEL 语句一般程序必须先输入 MODEL ：表示开始输入模型，以“ END ”结束。
对简单的模型，这两个语句也可以省略。
8、改变变量的取值范围 @bin(变量名 ) ；@bnd(a, 变量名 ,b ) ；@free( 变量名 ) ； @gin(变量名 ) ；例 1 求目标函数 z 2x 1限制该变量为 0 或 1.限制该变量介于 a,b 之间 .允许该变量为负数 .限制该变量为整数 .3x 2 的最小值，约束条件为s..t x1x2350x11002x12x2600x1 , x20输入 Lingo 程序：min = 2*x1 + 3*x2;x1 + x2 >= 350;x1 >= 100;2*x1 + x2 <= 600;有两种运行方式：1、点击工具条上的按钮即可。
2、点击菜单： LINGO→Solve运行结果如下：下面对其各个部分进行说明：Global optimal solution found ：表示已找到全局最优解。
Objective value：表示最优值的大小。
可见本题函数最小值z min800。
Infeasibilities：矛盾约束的数目。
Total solver iterations:迭代次数。
Variable：变量。
本题有两个变量。
Value：变量对应的最优解，即x1250,x2100 。
Reduced Cost：变量 x i在最优解的基础上增加一个单位，目标函数值的改变量。
例如，一个变量的 Reduced Cost值为 8，那么当该变量增加一个单位，在最大化（最小化）问题中目标函数值将减少（增大） 8 个单位。
Slack or Surplus：表示接近等于的程度，即约束离相等还差多少。
在约束条件是 <=中，表示松弛程度，在约束条件是 >=中，不是过剩程度。
如果约束条件是=，则 Slack or Surplus为 0，该约束是个紧约束 (或有效约束 )。
如果一个约束是矛盾的，即模型无可行解则 Slack or surplus的值是负数。
知道 Slack or Surplus 的值，可以帮助我们发现优化模型中错误的约束条件。
在上例中第 2 和第 4 行松弛变量均为 0,说明对于最优解来讲 ,两个约束 (第 2 和 4 行 )均取等号 ,即都是紧约束，第 3 行为 150，即最优解使得第 3 行过剩 150.Dual Price ：对偶价格的值，它表示约束条件中的常数，每增加一个单位，目标函数值改变的数量（在最大化问题中目标函数值是增加，在最小化问题中目标函数值是减少）。
比如，在上一个 Min 模型中第四行的 1，表示 2*x1 + x2 <= 600 增加一个单位到 2*x1 + x2 <= 601，可以使目标值增加 -1(因为第一行是目标函数的Dual Price 是-1)，即 Objective value = 799; 如果增加 -1 个单位到 599 会使目标值增加到 801。
例2 求目标函数 z 4x12 x22 2x32 12的最小值，约束条件为st.. 3x1 2 x2x39x1x2x31x1, x2 , x3R输入 Lingo 程序：min = 4*x1^2-x2^2+2*x3^2+12;3*x1+2*x2+x3=9;x1+x2+x3=-1;@free(x1); @free(x2); @free(x3);运行结果：即当 x11,x28, x310时， z min152 。
二、灵敏度分析灵敏度分析是指：找出模型变量系数的一个变化范围，使得最优基( 即最优解) 保持不变。
一般只对线性规划模型做灵敏度分析。
1、灵敏度分析操作步骤第一步：菜单 lingo-->options-->general solver-->dualcomputations:prices & ranges-->ok.第二步：菜单 lingo-->range2、灵敏度报告中常见的词汇Current coefficient Allowable increase Allowable decrease：当前目标函数系数：允许增加量：允许减少量Current RHS ：当前右边常数项INFINITY ：表示正无穷。
例 1 求解下列模型：max = 72*x1+64*x2;x1+x2 <= 50;12*x1+8*x2 <= 480;3*x1 <= 100;并做灵敏度分析。
求解报告：灵敏度分析报告：灵敏度分析报告的解读：x1 的系数变化范围是（ 72-8 ，72+24 ）=（64 ，96 ）； x2 的系数变化范围是（64-16 ，64+8 ）=（48，72）。
注意：x1 系数的允许范围需要 x2 系数 64 不变，反之亦然。
由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。
右边常数项中，第 2 行原来为 50 ，当它在 [50-6.67 ，50+10] = [43.33 ， 60]范围变化时，最优基保持不变。
第 3 行可以类似解释。
对第 4 行，原来为 100 ，当它在 [100-40 ，100+∞] = [60， +∞]范围变化时，最优基保持不变。
不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。
三、数据输入对于大型的优化问题，即自变量比较多的时候，还像上两节那样输入目标函数和约束条件就比较麻烦了。
一般输入数据的方法有两种：一、建立向量、矩阵输入；二、调用外部数据。
这里仅介绍第一种方法。
1、建立向量命令格式：集合名称 / 集合维数 / ：向量名称例如：sets ：set1/1..9/:x;set2/1..5/:a,b;endsets表示建立了两类集合。
第一类集合set1 ，维数为 9， x 和 y 是向量名。
向量x=（x(1), , , x(9) ）, 其中 x(i) 是 x 的元素。
第二类集合 set2 ，维数为 5，a 和 b 都是向量名。
向量 a=（ a(1), , , a (5) ）,其中 a(i) 是 a 的元素。
向量 b=（b(1), , , b(5) ） , 其中 b (i) 是 b 的元素。
2、建立矩阵命令格式：集合名称（集合 1，集合 2） / ：矩阵名称例如：sets ：set1/1..3/:x;set2/1..4/:a;link(set1, set2):A;endsets表示建立了一个矩阵类link ，其矩阵的阶数为34，A是具体的矩阵名。
有两个命令是比较常见的：求和语句 :@sum(集合名 (i):含集合名(i)的语句);循环语句 :@for( 集合名 (i):循环的语句);例 3：求目标函数 z 11x115x2的最小值，约束条件为s..t 20 x130x236030x125x2200030 x135x2300x1 , x20输入 Lingo 程序：model:sets :set1/1..2/:c,x;set2/1..3/:b;link(set2,set1):A;endsetsmax=@sum(set1(i):c(i)*x(i));@for(set2(i): @sum(link(i,j):A(i,j)*x(j))<=b(i));data :c=11 15;A=20 3030 2530 25;b=360 2000 300;enddataend运行结果报告：例 4、某地区有三个蔬菜生产基地，估计每年可供应本地区的蔬菜量表为：生产基地A B C蔬菜生产量 (吨)783有四个地市需要该类蔬菜，需求表为：地区甲乙丙蔬菜生产量 (吨)663如果从各蔬菜生产基地到各地市的每吨蔬菜的运价表地市甲乙丙丁3( 单位：万元丁/吨)为:生产基地A5879B49107C8429为了降低运输费，需要合理调拨资源.(1)根据以上资料表制订一个使总的运费为最少的蔬菜调拨方案．(2)如果有机会增加生产基地的产量 1 吨，问应当优先增加那个基地的产量？(3)如果将 A 到乙市的运价减少为 5 万元 / 吨，问这会影响最优的调拨方案吗？设 A：第i个蔬菜生产基地，i 1,2,3 ，分别对应生产基地，，；i A B CB i：第 i个蔬菜需求地， i1,2,3,4 ，分别对应蔬菜需求地市甲、乙、丙、丁；Q：总运输费用；x ij：表示的是从第i 个生产基地向第j 个地市运输的蔬菜数量；c ij：表示的是从第i 个生产基地向第j 个地市运输蔬菜的运价；b i：第 i 个蔬菜生产基地的蔬菜产量；q i：第 j 个地市的蔬菜需求量；那么有优化模型：34 min Q c ij xiji 1j 1x11x12x13x14b1x21x22x23x24b2x31x32x33x34b3x 11x21x31q1st..x22x32q2x12 x13x23x33q3x14x24x34q4x ij0,i 1,2,3; j 1,2,3,4输入 Lingo 程序求解模型：model:sets :set1/1..3/:b;set2/1..4/:q;link(set1,set2):c,x;endsetsmin=@sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(set1(i): @sum(link(i,j): x(i,j))<=b(i));@for(set2(j): @sum(link(i,j): x(i,j))=q(j));data :c=5,8,7,94,9,10,78,4,2,9;b=7,8,3;q=6,6,3,3;enddataend运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value:100.0000Infeasibilities:0.000000Total solver iterations:6Variable Value Reduced CostB( 1)7.0000000.000000B( 2)8.0000000.000000B( 3) 3.0000000.000000Q( 1) 6.0000000.000000Q( 2) 6.0000000.000000Q( 3) 3.0000000.000000Q( 4) 3.0000000.000000C( 1, 1) 5.0000000.000000C( 1, 2)8.0000000.000000C( 1, 3)7.0000000.000000C( 1, 4)9.0000000.000000C( 2, 1) 4.0000000.000000C( 2, 2)9.0000000.000000C( 2, 3)10.000000.000000C( 2, 4)7.0000000.000000C( 3, 1)8.0000000.000000C( 3, 2) 4.0000000.000000C( 3, 3) 2.0000000.000000C( 3, 4)9.0000000.000000X( 1, 1) 1.0000000.000000X( 1, 2) 6.0000000.000000X( 1, 3)0.000000 1.000000X( 1, 4)0.000000 1.000000X( 2, 1) 5.0000000.000000X( 2, 2)0.000000 2.000000X( 2, 3)0.000000 5.000000X( 2, 4) 3.0000000.000000X( 3, 1)0.0000007.000000X( 3, 2)0.0000000.000000X( 3, 3) 3.0000000.000000X( 3, 4)0.000000 5.000000Row Slack or Surplus Dual Price1100.0000-1.00000020.0000000.00000030.000000 1.00000040.000000 4.00000050.000000-5.00000060.000000-8.00000070.000000-6.00000080.000000-8.000000从该报告可以得到：1、最优的调拨方案为：地市甲乙丙丁生产基地A1600B5003C00302 、从Dual Price来看生产基地 A 的供应量增加 1 个单位，费用不变；生产基地 B 的供应量增加 1 个单位，费用减少1；生产基地 C的供应量增加 1 个单位，费用减少4；城市甲的需求量增加 1 个单位，费用减少 -5 ，即增加 5；城市乙的需求量增加 1 个单位，费用减少 -8 ，即增加 8；城市丙的需求量增加 1 个单位，费用减少 -6 ，即增加 6；城市丁的需求量增加 1 个单位，费用减少 -8 ，即增加 8；3、从Slack or Surplus来看，所有的约束都是紧约束。