大学物理磁学

体积元V的动能为
1 x 1 2 2 2 2 W k ( m )v (V ) A sin ( t ) 2 u 2
1 x 2 2 2 可以证明： W p Wk (V ) A sin ( t ) 2 u
o
体积元 V 的总能量
2 2 2
x
V
X
x W Wk W p VA sin ( t ) u
) ]
P
Y L 0
例3. 若是下图情况，波动方程如何？
u
X
x L y A cos[ ( t u
) ]
注意：
2
根据
10 波动方程还有其它形式
x y A Leabharlann os[( t ) ] ut x y A cos[2( ) ] T
2 y A cos[ ( ut x ) ]
注意 ：10 T波 T振 , 波 振 20
u波 u振
四 波的几何描述 (波线 波面 波前)
(1) 波阵面（波面）：
振动位相相同的 点组成的面 。 球面波的波面是球面。 平面波的波面是平面。 点波源产生球面波。 球面波在远处可看成平面波。
波阵面
(2) 波前：最前头的波面叫波前。 (3) 波线：与波面垂直，指向波的传播方向的线。
y0 A cos t
写出波动方程。 解：
y
u
o
x
y0 A cos t

x y A cos[ (t )] u
例 2. 已知 P 点的振动方程 u Y
o
P
y p A cos(t )
L
x
X
试写以 o 为原点的波动方程
解： 波动方程为：
y A cos[( t
xL u
o
20 将波动方程 确定 t
= t0
（波动图像）
x
振动图象
波动图象
λ
ｙ
Ｔ Ａ Ｔ
ｙ
ｔ
图象
Ａ
Ｘ
表示一个质点在各个时刻对平 物理意义 衡位置的位移
横坐标 纵坐标 表示时间 振动质点对平衡位置的位移
表示某一时刻各个质点对平 衡位置的位移
表示各个质点的平衡位置 各个质点对平衡位置的位移 整个波形沿传播方向随时间 平移 同一介质中，波形作匀速直 线运动，各质点作简谐运动
y
O
在最大位移处:
x
W p Wk 0
在平衡位置处: 注意：
W p Wk 等于最大值 谐振子 Wk max W p min 系统能量守恒
波
Wk max W p max
V内的能量不守恒！
3. 能量密度
W x 2 2 2 w A sin ( t ) V u
4. 平均能量密度
P I wu S
波的强度
50根据波形曲线 可写出波动方程。
60 由旋转矢量知 0、1、2、3、4等各点的初位相。
y( m )
01 0
0


1

2
3
u =12(m.s-1)
t=0
1

4
x( m ) t=T/4
2
2 0
、u
3 2
4
70 根据 A、 、0 坐标原点振动方程：
L y A cos[ (t t0 ) ] A cos[ (t ) ] u
Y L u
O
P
X
如果P点位于o点左侧，则P点要比o点多振动t0=L/u。
L y A cos[ (t t0 ) ] A cos[ (t ) ] u
L
P O Y u X
λ λ
ｏ
x
λ
(2)周期T：波传播一个波长所用的时间。
ｙ
ｏ
ｘ
λ
振源振动一个周期，波向前传递一个波长
7
(3)频率υ：单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波 长的数目。 (4)波速u： 振动状态（位相）传波的速度。 （大小由媒质的性质决定, 与波源的振动速度无关)
1 T
u T
振动从o点传播到P点需时t0=x/u
P点只振动了t-t0=t-x/u 即当o点的相位为ωt+时, P点的相位则是ω(t-x/u)+. 于 是点P在时刻t的振动方程为
x y A cos[( t ) ] —平面简谐波波函数 u
如果P点位于o点右侧，则P点要比o点少振动t0=L/u。
21
⑵波函数：
y
t t=0
22
10-3 波的能量
一 波动能量的传播 1. 质点振动的速度
x y A cos[( t )] u
x x y v A sin[( t )] A cos[( t ) ] u 2 u t
2. 波的能量 设一平面余弦波在密度为 的理想媒质中沿x方向传播
波前 球面波——
波
面
波线
平面波——
波 面
波 前 波线
10-2 平面简谐波的波函数 波源的各点都作简谐振动，产生的波是简谐波，前进 y 中的波称为行波。 u P(x,0) x o 一 平面简谐波的波函数 以横波为例，y 方向振动，以速度u向x方向传播： （无限大均匀媒质无吸收的情况）设原点处质点作谐振动 的振动方程为 yo A cos( t )
第10章 波动
波动：振动在空间的传播过程称为波动。
波
1. 2. 3. 4.
机械波 电磁波 物质波

本质不同，但具有共同特征：
都是由物质间的相互影响引起的。 以有限的速度传播，伴随着能量的传递。 都有干涉、衍射现象，横波有偏振。 服从共同的数学规律。
水波
10-1 机械波的几个概念
一 机械波的形成 条件: 波源（激发波动的振动系统。） 连续的弹性媒质。 1．机械波产生的过程： 例如：绳子的抖动（绳子一端的质点作竖直方向的谐 振动就是波源）
二 波函数的物理含义：
10 将波动方程 确定 x=x0 （振动图像）
x y A cos[( t ) ] y f ( x , t ) u
y f (t )
x0 y A cos[( t ) ] u
表示x0处质点的振动方程
x y A cos[( t 0 ) ] y f ( x ) u 表示t0时刻, 波线上各质点的位移分布波形图 y
0
y( m )
01
u =12(m.s-1)
1 2 4
x( m )

3
=2/T=6 rad/s
t=0
t=T/4
20 曲线上各点反映了各质点在 t 时刻的实际位置（对 横波）。 30各质点在 t0 时刻（或下时刻）的运动方向。(画出下一 时刻的波形图即可) 40各质点的初位相（找出 t=0 时刻的波形图即可）。
第10章 波动
教学基本要求
一 关系； 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的
二 理解机械波产生的条件. 掌握由已知质 点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方 法. 理解波函数的物理意义. 了解波的能量传播特 征及能流、能流密度概念.
第10章 波动
教学基本要求
三 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解 波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确 定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件； 四 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的 区别； 五 了解机械波的多普勒效应及其产生的原 因. 在波源或观察者沿二者连线运动的情况下， 能计算多普勒频移.
图象变化 随时间延伸，原有部分不变
运动特点 质点作简谐运动
30 当 t、x均为变量时, 波动方程表示所有质点位移随时间 变化的整体情况. y t时刻的波形 t+Δt时刻的波形 波的传播方向 o x
总之，波的传播过程是整个波形不变形的以波速u沿传播 方向推进, 所以这种波称为行波。
例1. 已知坐标原点的振动方程，波速为u，写出波动方程。
可写出 波动方程。
x 波动方程： y 0 1 cos[6( t ) ]( m ) 12
y0 0 1cos(6 t )
例5：一平面简谐波，波源在x=0的平面上，以波速u=100m/s 沿X轴正向传播，波源振幅A=24mm，波的频率=50Hz，当t=0 时，波源质点的位移是"-12mm"，且向坐标负向运动，求 ⑴波源的振动方程： ⑵波函数; ⑶波线上相距为25cm两点的位相差; ⑷当波源从“-12mm”，处第一次回到平衡位置时所用时间 。
波源
二 横波与纵波
横波：振动方向垂直于传播方向 （固体）
纵波：振动方向平行于传播方向（固、液、气体）
注意： 10 波的传播是振动状态的传播，质点本身不随波运动， 是位相的传播，能量的传播。 20 波是指媒质整体表现的运动状态，其特点是：沿传播 方向各质点的振动位相依次落后。 三 波长 波的周期和频率 波速 (1)波长： 同一波线上，两相邻的位相差为2 的质点 间 的距离 （一个完整的波的长度 ）。 y
w
1 T A2 2 sin 2 ( t x )dt u T0
1 2 2 A 是常数 2
二 能流和能流密度 5. 平均能流: 单位时间通过垂直于波传播方向某面积的平 均能量。
u
P w uS
s
u
1 A 2 2 us 2
瓦
6. 能流密度: 单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的 平均能流。
20
T uT
有以下形式：
x y A cos[2(t ) ]
2 y A cos[ ( x ut ) ]
A r cos ( t ) 球面波波动方程： y r u