§2.2第1 课时 等差数列的概念及其通项公式
5、数列{an}是等差数列，且 an an2 n ，则实
数 a
a 0。
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
an a1 (n 1)d
{an
}的通项公式。
（1）证明：由
1 1 1有
2an1 2an
11 an1 an 2，
1 1 2,又 1 1
an1 an
a1
数列
1 an
是以1为首项，公差为2的等差数列。
（2）解：由（1）可知
1 an
1 a1
(n 1)d
1 (n 1) 2
等 差南 数宁
市
列上 林 县 城 关 中 学
人教版必修5
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
d=3
(2) 4，7，10，13，16，…
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … （不是）
(4) 1，3，5，7，2，4，6，8（不是）
(5) a, a, a, a, a,
d= 0
等差数列通项公式推导
如果一个数列 a1, a2 , a3 , … an , …
是等差数列，它的公差是d,那么
观察归纳：它们共同的规律是？ d=5
( 1 ) 0，5，10，15，20， …,
d=0
( 2 ) 2，2，2，2，2，…
d=-2
( 3 ) 6，4， 2，0，-2，-4,…
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
练一练
它们是等差数列吗？ 如果是，公差 分别为多少？
d=-5
(1) 63，58，53，48，…
令 a1 =15表示第一排的座位数，公差d =2， 那么第 n 排
的座位数
an 15 (n 1) d 2n 13
所以，第10排座位数 a10 2 10 13 33
答：第10排能坐33个人.
练一练
an a1 (n 1)d
3、 求等差数列 -5，-9，-13，…的第20项； –401 是不是该数列中的项，如果是，是第几项？
等差数列的定义
一般地，如果一个数列
a1, a2 , a3 , , an ,
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数d，即
a2 a1 a3 a2 an an1 d
那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等 差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
2n 1
数列an 的通项公式an
1 2n 1
练一练
（1）已求知证：数an列1{a1n3}aa是nn等1差, a数1 列1(；，n （N2） )求数列{an}的通项公式。
（1）证明：由
an1
an 3an 1
有
1 3an 1 3 1 ，
an1
an
an
例1
an a1 (n 1)d
体育场一角看台的座位是这样排列的：第一排有15 个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位。你能
用 an 表示第 n排的座位数吗？第10排能坐多少个人？
解： 根据题意，体育场第一排有15个座位，从第二排起每一排
都比前一排多2个座位。所以，我们可以建立一个等差数列 {an} 来计算座位数。
am m
练一练
an a1 (n 1)d
2、在等差数列{an中} ， （1） 已知 a1 2, d 3, n 10,求an
解：a10 a1 (10 1)d 29
（2） 已知 a1 12, a6 27,求d 解：Q a6 a1 (6 1)d
即27 12 5d d 3
n=1时亦适合
等差数列的通项公式
结论：若等差数列{an}的首项为 a,1公差为d,则 该等差数列通项公式是：
（ a1, d , n, a知n 三求一） (n N )
注：等差数列的通项变形公式：
an am (n m)d
d
an1
an , d
an a1 n 1
,d
an n
解：由题意可有
a1
a1 a1
5d 3d
7
12
ad1
1 2
a11 a1 10d 21
例3
an1 an d (n 1
数列{an }满足
a1
1,
1 2an1
1 2an
1(，n N *)
（1）求证：数列
1 {
an
}是等差数列；（2）求数列
1．等差数列的定义；
an a1 (n 1)d
2．等差数列的通项公式及其推导方法；
3. 用定义判断数列是否为等差数列的方法。
巩固练习
1、已知等差数列{an}的通项公式为 an 2n 1 ，
求首项 a1 和公差 d 。
a1 1,d 2
2、100是不是等差数列2，9，16，…中的项？
1 1 3,又 1 1
an1 an
a1
数列
1
an
ห้องสมุดไป่ตู้
是以1为首项，公差为3的等差数列。
（2）解：由（1）可知
1 an
1 (n 1)d 1 (n 1) 3 3n 2 a1
数列an 的通项公式an
1 3n
2
课堂小结
an an1 d (n 2)或an1 an d (n 1)
（3）已知 a5 10, a12 31 ，求 a1 与 d 。
解：由题意可知
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a1和 为d 未知数的二元一次方 程组，解这个方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
解：用an表示这5个数所成的等差数列，
由已知得： a1 1, a5 7
7 1 (5 1)d,d 2 所以 a 1,b 3,c 5
an a1 (n 1)d
练一练
4. 在等差数列an 中，已知 a1 a6 12 ，
a4 7,求a11.
如果是，是第几项？
是第15项
3、在等差数列{an}中,已知 a2 5, a6 a4 6 ， 求首项 a1 与公差 d ，并写出通项公式an 。
a1 8,d 3, an 3n 11
4、在数列{an}中，a1 1, an an1 4, 求a10 。 a10 35
高度(km) 1 2 3 4 5
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
8844.43米
减少6.5
6 … 9-24
-4.5 …
观察归纳：它们共同的规律是？
( 1 ) 0，5，10，15，20， … ( 2 ) 2，2，2，2，2，… ( 3 ) 6，4， 2，0，-2，-4,…
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
解：由题意可知，
a1 15, d 9 (5) 4 an 5 (n 1) (4) 4n 1 a20 81 令 401 4n 1 n 100
所以， –401是该数列中的第100项.
例2
在 1 与 7中间插入三个数 a, b, c ， 使得这 5个数成等差数列，求 a, b, c 。
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数 ⇔{an}是等差 通项法： 为常数)⇔ 通项法 ＋ 、 为常数 是等差 数列． 数列． 警示： ＋ 为常数， ∈ 对任意n∈ 警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意 ∈N 为常数 对任意 都要恒成立，不能几项成立便说{a 为等差数 ＋都要恒成立，不能几项成立便说 n}为等差数 列．
3.等差中项 等差中项 在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做 在由三个数 ， ， 组成的等差数列中， 叫做a 组成的等差数列中 叫做 的等差中项． 与b的等差中项．这三个数满足关系式 ＋b＝ 的等差中项 这三个数满足关系式a＋ ＝ ____ 2A.
思考感悟 2．任何两个实数都有等差中项吗？ ．任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：都有等差中项． 提示：都有等差中项．
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 名师点评】 方法有以下几种： 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 定义法： ＋ 为常数， ∈ 定义法 为常数 ⇔ 为等差数列． 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 等差中项法： ＋ 等差中项法 是等差数 ＋ 列．
2．2 等差数列 ． 2． 2．2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， ．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， 深化认识并能运用． 深化认识并能运用．
2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
例2
之间顺次插入三个数a， ， 使这 在－1与7之间顺次插入三个数 ，b，c使这 与 之间顺次插入三个数
高考数学必修五 第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式
§2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一 等差数列的概念 思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理 如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三 等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ， 所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用解 由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用答案 110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的通项公式 题点 求通项公式解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习：第二章 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式 课下检
一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于( ) A ．668 B ．669 C ．670D ．671解析：∵a n ＝a 1＋(n －1)·d ， ∴2 011＝1＋(n －1)×3，n ＝671. 答案：D2．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a2·a4＝12，a2＋a4＝8，d<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝6，a4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)(－2)． 即a n ＝－2n ＋10. 答案：D3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 的关系是( ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2，x 2＝a2－b22， ∴a2－b22＝(a ＋b 2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b . 答案：C4．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( ) A ．52 B ．51 C ．50D ．49解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1， ∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12.∴{a n }是以12为公差的等差数列．a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52. 答案：A二、填空题5．等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的第20项是________． 解析：数列中a 2＝－3，a 1＝1，∴d ＝a 2－a 1＝－4. 通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×(－4) ＝－4n ＋5， a 20＝－80＋5＝－75. 答案：a n ＝－4n ＋5 －756．已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________. 解析：∵由a 4＝8，a 8＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝8，a1＋7d ＝4. ∴d ＝－1，a 1＝8－3d ＝11. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－(n －1)＝12－n . 答案：12－n7．等差数列{a n }中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为____________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a7＝a1＋6d ＞0，a8＝a1＋7d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧33＋6d ＞0，33＋7d ＜0，得：－336＜d ＜－337，又∵d ∈Z ，∴d ＝－5.∴a n ＝33＋(n －1)×(－5)＝38－5n . 答案：a n ＝38－5n (n ∈N *) 8．下表给出一个“等差矩阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数，那么a 45＝________. 解析：该等差数列第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)． 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)．……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列． 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j .故a 45＝49. 答案：49 三、解答题9．已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解：法一：设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d ＜0. 故取a 1＝11，d ＝－5，∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的项，且为第10项． 法二：设等差数列{a n }的前三项依次为： a －d ，a ，a ＋d ， 则错误!解得错误!又∵{a n }是递减等差数列，即d ＜0. ∴取a ＝6，d ＝－5.∴{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5. ∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)， 即a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，解得n ＝10.即－34是数列{a n }的项，且为第10项．10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)， 且a 1＝1.所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。
2-2第1课时 等差数列的定义及通项公式
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第二章 数列
栏目导引
2．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和 n的等差中项是( )
A．2
B．3
C．6
D．9
解析： 依题意m＋2n＝8,2m＋n＝10.
故3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
答案： B
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第二章 数列
栏目导引
3．已知等差数列{an}，a1＝23，公差d∈Z，如果a7是该数 列各项中第一个负数项，则d＝________.
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第二章 数列
栏目导引
2.已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2， (1)数列a1n是否为等差数列？说明理由． (2)求 an.
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第二章 数列
栏目导引
解析： (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， ∴an1＋1－a1n＝12， 即a1n是首项为a11＝12，公差为 d＝12的等差数列． (2)由上述可知a1n＝a11＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)等价于{an} 是等差数列．
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第二章 数列
栏目导引
3．等差数列与一次函数的关系
等差数列
一次函数
解析式
an＝kn＋b(n∈N*)
f(x)＝kx＋b(k≠0)
定义域为N*，图象是一系列均匀 定义域为R，图象 不同点
分布在同一直线上的孤立的点 为一条直线
栏目导引
3.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差 数列，求此数列．
解析： 方法一：设a1＝－1，a5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d ∴d＝2 ∴所求数列为－1,1,3,5,7.
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念与通项公式教材分析新人教A版必修5
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等差数列的观点及通项公式教材剖析
本节课主要研究等差数列的观点、通项公式及其应用，是本章的要点内容之一。
而所处章节《数列》又是高中数学的重要内容，而且在实质生活中有着宽泛的应用，它起着承上启下的
作用。
一方面 , 数列与前方学习的函数等知识有亲密的联系 ; 另一方面 , 学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。
同时也是培育学生数学能力的优秀题材。
学习数列要常常察看、剖析、概括、猜想，还要综合运用前方的知识解决数列中的一些问题。
等差数列是学生研究特别数列的开始，它对后续内容的学习，不论在知识上，仍是在方法上都拥有踊跃的意义。
课后反省
1.从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，加强学生学习数列的兴趣．在研
究的过程中，学生经过剖析、察看，概括出等差数列定义，而后由定义导出通项公式，加强了由
详细到抽象，由特别到一般的思想过程，有助于提升学生剖析问题和解决问题的能力．
2.环环相扣、简短了然、要点突出，指引剖析仔细、到位、适量．如：判断某数列能否成等
差数列，这是促使观点理解的好素材；别的，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等．学生在经历过程中，加深了对观点的理解和稳固．。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
§2.2.1等差数列(一)
a n a 1 ( n 1) d
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…
用一下
§2.2.1等差数列(一) a n a1 ( n 1 )d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
Q 解： a1 = 8 , d = 5 - 8 = - 3 , n = 20 , a 20 8 ( 20 1) ( 3 ) 49 (2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项
公式为：
an＝a1＋(n－1)d.
推导出公式：an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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§2.2.1等差数列(一)
有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
d
d
an a1 n1
an am nm
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§2.2.1等差数列(一)
例3. 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列. 计算中间各级的宽.
解：设 a 表示梯子自上而下各级宽度 所成的等差数列，由知己条件，可知
课堂小结
1. 等差数列定义：即an－an－1 ＝d (n≥2). 2.等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式： an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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2.2.1等差数列的概念和通项公式
课题 2.2等差数列教案编号 课型 新授 授课班级 课时授课时间2010-12授课人郝永军教材分析 本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项n a 可看作项数n 的一次型（0≠d ）函数，这与其图像的形状相对应．有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式d n a a n )1(1-+=是数列第n 项n a 与项数n 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是n ，即其末项未必是该数列的第n 项，在教学中一定要强调这一点．学情分析学法指导 类比等差数列与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学目标知识与技能掌握等差数列的概念、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及推导方法，会用定义判断数列{n a }是否为等差数列，能熟练运用用通项公式求有关的量:,,,,1n a n d a过程与方法1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；情感态度与价值观3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{n a }是否为等差数列，并能用通项公式解决有关问题.教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划教学过程教学环节所需时间教学内容设计意图教学反馈教师活动学生活动探究任务一：等差数列的概念问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示.⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差探究任务二：等差数列的通项公式从定义的数学表达式：1n na a d--=（n=2,3,4……）得：1n na a d-=+表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.213211,2, (1)na a d a a d a d a a n d=+=+=+=+-以上体现了归纳的过程，能否由递推式得出其通项呢？2132431.......n na a da a da a da a d--=-=-=-=1(1)na a n d⇒=+-由于有了第一节递推公式的基础，这种做法学生能很快接受，甚至能主动提出这种想法.1）第一通项公式：dnaan)1(1-+=n∈N*例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==dan=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项注：通项公式d n a a n )1(1-+=反映了项n a 与项数n 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知n d a ,,1求n a ）.找学生试举一例如：“已知等差数列{}n a 中，首项11=a ，公差2-=d ，求200a .”这是通项公式的简单应用。