直角三角形的性质、判定习题
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定性质：(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
判定：(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(2)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(“斜边、直角边”或“HL”)基础题1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为( )A．35°B．55°C．56°D．65°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．104．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 7．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )A．5，12，13 .B．3，5，27C．6，9，14 . D．4，10，138．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，CD＝12 5.(1)求AD的长；(2)求证：△ABC是直角三角形．9.已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC＝3，则B′C的长为( )A．3 3 B．6 C．3 2 D.2112．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)13．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？。
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题
解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)． 答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
直角三角形的性质、判定练习 10-20
Rt △资料练习第 1 页 共 1 页E A C B D DE一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。
8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 为 。
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， ＥBC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。
二、选择题10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( )A.2aB.3aC.4aD.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有组 (1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3)35,2,22(4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ）A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′=30°, 则折痕DE 的长为（ ） A 、2 B 、32C 、4D 、1三、解答题15、如右图,已知∠BAC=90°,∠C=30°,AD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E,BE=1,求BC ？ .16、如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E,交BC 于点F.求证:BF=2CF.17、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?18、在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=5cm ，AD 是高，AE 是斜边上的中线，且DC=21AC ，求∠B 的度数及AE 的长。
直角三角形的性质和判定（教案练习）
1.2.2直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米3.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米5.如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤156.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米7.一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．A．23米B．15米C．25米D．22米8.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题9.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.10.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.11.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过米。
1.1直角三角形的性质和判定(I)
2，等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2，求该等腰三角 形顶角的度数。（沁彤组 佳琪组 子涵组）
3，如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D， CD＝2，求BC的长．（恩熙组 梓涵组 李佳组）
解：∵AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2， ∴AD＝AC－CD＝10－2＝8. ∴在Rt△ADB中， BD＝ 100 - 64 =6 在Rt△BDC中， BC＝ 36 2 =2 10
第一章 直角三角形
1.1 —1.2直角三角形的性质和判定 （复习）
学习目标：
1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的 三角形是直角三角形”两个定理． 2．能熟练的运用直角三角形斜边上的中线的性质． 3.会运用含30°角的直角三角形的相关性质解决相关问题． 4.掌握勾股定理及自学部分．
解：过P作PD⊥AB，垂足为D. ∵∠PBD＝90°－60°＝30°，且 ∠PBD＝∠PAB＋∠APB， ∠PAB＝90°－75°＝15°. ∴∠PAB＝∠APB. ∴BP＝AB＝15×2＝30(海里)．
∵在Rt△BPD中，∠PBD＝30°， ∴PD＝1/2BP＝15海里＜25海里． ∴该轮船不能一直向东航行．
归纳总结
1．直角三角形的两个锐角 互余
2．有两个角互余的三角形是直角 三角形．
3 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半
．
4 .在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°.
5 .在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边
的一半。
6. 勾股定理的内容：在直角三角形中 两直角边的平
课后作业：
见导学案达标检测部分
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直角三角形习题
一、填空题
1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .
2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .
4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；
5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；
6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________；
7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。
8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，
BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，
使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。
二、选择题
10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a
B.3a
C.4
a D.以上结果都不对
11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组
(1)7,24,25 (2)2
2
2
3,4,5 (3)35,2,22
(4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ）
A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°
C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′
=30°,
则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
C、4
D、1
15. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等
③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等
A．0 B．1 C．2 D．3
16. 在下列定理中假命题是（）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
17 ，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则
AC：BD=（）
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
18 。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中
线，CF是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
(17) (18)
19 。
在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则
∠ADB的度数是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
E A
C B
D 三、解答题 1、如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E,交BC 于点F.求证:BF=2CF.
2、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?
AD 是高，AE 是斜边上的中线，且DC=2
1
AC ，求
3、在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=5cm ，∠B 的度数及AE 的长。
、 4. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？.
，
5、如图，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则∠ACB 为多少？
A
B E B
C
B
D
C
6、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
（1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。
7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。
8.已知，如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
9. 已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.
C B A 第
2 G
E
D
题第7题图 F E O
D
C
B A。