高二年级第一学期开学考数学试题(必修1245)带答案

宣城二中2019届高二年级第一学期开学考

数学试题

命题人：侯必胜

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.集合，集合则P与Q的关系是( )

A.P=Q

B.P?Q

C.P?Q

D.P∩Q=?

2.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f （）的x取值范围是（）

A.（，）

B.[，）

C.（，）

D.[，）

3.若cos （-α）=，则sin2α=（）

A. B. C.- D.-

4.若将函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）

A. B. C. D.

5.设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

B.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C.m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β

D.m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β

6.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三

角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是

（）

A.cm2

B.cm2

C.8cm2

D.14cm2

7.过点P（2，4）作圆C：（x-1）2+（y-2）2=5的切线，则切线方程为（）

A.x-y=0

B.2x-y=0

C.x+2y-10=0

D.x-2y-8=0

8.过点P(0，-2)的直线L与以A(1，1)、B(-2，3)为端点的线段有公共点，

则直线L的斜率k的取值范围是( )

A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=（）

A.140

B.70

C.154

D.77

10.若f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取值范围为（）

A.[1，2）

B.[1，2]

C.[1，+∞）

D.[2，+∞）

11.等差数列{a n}的前n项之和为S n，已知a1＞0，S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，S4，…，S11，S12中最大的是（）

A.S12

B.S7

C.S6

D.S1

12.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）

A.[2，+∞）

B.（-∞，-6]

C.[-6，2]

D.（-∞，-6]∪[2，+∞）

第II卷（非选择题）

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0

)

(

<

x

x

f

的解集为 ______ ．

14.若实数x，y满足

?

?

?

?

?

≥

≤

-

-

≤

-

+

1

1

4

2

x

y

x

y

x

，则x+y的取值范围是 ______ ．

15.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，

OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为 ______ ．

16.已知向量a=（3，-2），b=（x，y-1），且a∥b，若x，y均为正数，则

y

x

2

3

+

的最小值是 ______ ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；

（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

18.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin B=3bcos C，a2-c2=2b2（Ⅰ）求C的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积为213，求b的值．

19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD

（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC

（Ⅱ）设AP=1，AD=3，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距离．

20.已知圆C和x轴相切，圆心在第三象限并在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长为7

2（1）求圆C的方程．

（2）已知直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，求a的取值范围．21.已知函数f（x）=

2

1

)

12

2

cos(

)

12

2

sin(

3

)

12

2

(

sin2-

+

+

+

+

π

π

πx

x

x

（Ⅰ）求f（x）的值域；

（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y =交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．

22.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）

（1）求证：数列{a n-1}是等比数列；

（2）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N*，都有2

4

1

t

t

b

n

≤

+，求实数t的取值范围．

宣城二中2019届高二年级第一学期开学考

数学试题答案和解析

1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.C

7.C

8.B

9.D 10.A 11.C 12.D

13.（-1，0）∪（0，1） 14.[1，3] 15. 16.8

17. （本小题满分10分）解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．

由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，

即a2x+ab+b=4x-3，所以，，解得：或，

因为a＞0，所以a=2，b=-1．所以f（x）=2x-1；

（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．

不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，

即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，

因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．

所以m＞3．所以，实数m的取值范围（3，+∞）．

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，

∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC =absin C=b2=21，

∴b2=28，可得：b =2．…（12分）

19. （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，

∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，

∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．

解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°，

∴AC=，，

∵PC=PB=，∴=，

设A到平面PBC的距离为h，∵V A-PBC=V P-ABC，∴，解得h =．∴A到平面PBC 的距离为．

20. （本小题满分12分）解：（1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，

则b=3a，r=-3a，

圆心到直线的距离d ==-，

∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2，

∴（-）2+（）2=（-3a）2，即a2=1，解得a=-1，

则圆心为（-1，-3），半径为3，则圆C的标准方程（x+1）2+（y+3）2=9．

（2）∵直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，

∴圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，

即d =＞3，由-．∴a的取值范围是（-，0）．

21. （本小题满分12分）解：

（Ⅰ）

==sinx

所以f（x）的值域为[-1，1]

（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知

，，

∴x1+x2+…+x2n-1+x2n=π+5π+…（4n-3）π =（2n2-n）π

22. （本小题满分12分）解：（I）由题可知：a1+a2+a3++a n-1+a n=n-a n①a1+a2+a3++a n+a n+1=n+1-a n+1②

②-①可得2a n+1-a n=1..（5分）

即：，又..（7分）

所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）

（II）由（I ）可得，（9分）

（7分）

由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11

分）

所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞b n＞

故{b n}有最大值

所以，对任意n∈N*，有（10分）

如果对任意n∈N*，都有，即成立，

则，故有：，（11分）

解得或

所以，实数t的取值范围是（12分）