给定区间函数最值问题
(专题一)求函数最值问题常用的种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 都有___________ f（ x ） ≥ M ； f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 _____________. f（x0）=M _______________. f（x ）=M
解析 ∵x2＋3x＋4>0 对一切 x∈R 均成立． ∴函数的定义域为 R. ∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0. 当 y＝1 时，x＝0； 当 y≠1 时，由 x∈R，上面的一元二次方程必须有实根， ∴Δ ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0， 1 1 解得 ≤y≤7(y≠1)．综上得 ymax＝7，ymin＝ . 7 7
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
三角函数求最值五种题型
三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。
1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。
这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。
2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。
3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。
4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。
可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。
5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。
同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。
二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。
解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。
解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。
然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。
高中数学最值问题
高中数学最值问题高中数学最值问题最值问题是高中数学中非常重要的一个知识点。
它涉及到了函数的最大值和最小值，以及在特定条件下取得最大值和最小值的方法。
在解决最值问题时，我们需要运用一些数学方法和技巧，同时也需要一些数学思维和逻辑推理的能力。
首先，我们来回顾一下函数的最值。
对于一个实数函数f(x)，我们称f(x)的最大值为f(x)的最大值，记作f(x)的最小值为f(x)的最小值，记作。
在数学中，我们通常将最值问题转化为求解函数的最值问题。
对于一个给定的函数f(x)，我们需要找到它的最大值或最小值所对应的自变量的取值。
解决最值问题的方法有很多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
一、导数法导数法是解决最值问题的一种常用方法。
通过求解函数的导数，我们可以得到函数的极值点。
具体的步骤如下：1.求解函数的导数f'(x)。
2.求解导数f'(x)的零点，即求解方程f'(x)=0。
3.将解得的零点代入原函数f(x)，求解函数的值f(x)。
4.比较函数f(x)在零点和区间的端点处的值，找出最大值或最小值。
通过导数法，我们可以比较方便地求解函数的最值问题。
但是需要注意的是，导数法只能得到函数的极值点，而不能得到函数的最值。
有时候，函数的最值可能出现在极值点之外。
二、直接比较法直接比较法是一种简单直观的方法，适用于一些简单的最值问题。
具体的步骤如下：1.将函数的表达式进行变形，使得函数的取值范围更明确。
2.对于函数的自变量的取值范围，通过逐个比较函数的值，找出最大值或最小值。
直接比较法的优点是简单易懂，但是它只适用于一些简单的最值问题。
对于复杂的最值问题，我们需要运用其他的方法。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是解决约束条件下的最值问题的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, , xn)，我们假设函数存在一个约束条件g(x1, x2, , xn)=0。
我们需要求解函数f(x1, x2, , xn)在满足约束条件的情况下的最大值或最小值。
二次函数动轴定区间最值问题
二次函数动轴定区间最值问题对于二次函数动轴定区间最值问题，我们可以通过以下步骤解决：
1. 首先，要确定二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于零，则抛物线向上开口，最值为最小值；如果二次函数的二次项系数小于零，则抛物线向下开口，最值为最大值。
2. 接下来，找到二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过使用公式 h = -b / (2a) 来计算，其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数。
3. 根据找到的顶点坐标，可以确定二次函数的动轴位置。
动轴是与抛物线对称的直线，通过顶点的中垂线。
4. 根据确定的动轴位置，可以划定出二次函数的区间。
5. 最后，根据开口方向和区间的限制条件，确定二次函数在该区间内的最值。
需要注意的是，如果给定的区间超出了二次函数的定义域，则该区间内没有最值。
通过以上步骤，可以解决二次函数动轴定区间最值问题，并找到相应的最值点。
(专题一)求函数最值问题常用的10种方法
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得 ymax＝7，ymin＝7.
第15页，共15页。
用配方法．
【例 5】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，
a≠0)，求函数 y 的最小值．
配方法
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令 t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2 的定
则f ( x)的 值 域 是( ) D
A.[ 9 ,0] (1, ) 4
B.[0, )
C.[ 9 , ) 4
D.[ 9 ,0] (2, ) 4
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八、线性规划法 【例 8】已知点 P(x，y)的坐标同时满足以下不等式： x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点 O 为坐标原点，那么
x2 y2 的最小值等于________，最大值等于________．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
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一、定义法
前提 条件 结论
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）__≤_M___； 有_f（___x_）__≥_M____；
②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f（___x_0）__=_M___.
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．