利用构造法求分式的值
高中数学构造法求解题技巧
高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。
构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。
一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。
通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。
二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。
通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。
2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。
通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。
3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。
通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。
4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。
通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。
5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。
通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。
三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。
通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。
我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。
2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。
解答分式求值问题常用的小妙招
数学篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c 4=b 5=a 6≠0，则b +c a 的值为_____.分析：题中“c 4=b 5=a 6”是一个等比例式，可以设公共比为“t ”，这样可以得到c =4t ，b =5t ，a =6t ，然后将a 、b 、c 的值代入b +c a 即可求出值.解：∵c 4=b 5=a 6≠0，∴设c 4=b 5=a 6=t （t ≠0），∴有a =6t ，b =5t ，c =4t .将a =6t ，b =5t ，c =4t 代入b +c a 有：b +c a =5t +4t 6t =96=32，∴b +c a 的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a 、b 、c都替换成含有t 的参数，然后代入到b +c a 中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a +1b =5a +b ，则b 2a 2+a 2b 2=_____.分析：待求分式“b 2a 2+a 2b 2”中的“b 2a 2”和“a 2b 2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“a b +b a ”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a +1b =5a +b”，需要配凑出“b a ”或“a b ”，我们可以考虑通分并整理得到“a 2+b 2=3ab ”.再将“a 2+b 2=3ab ”两边同除“ab ”，可得到“a b +b a =3”.解：∵1a +1b =5a +b ，通分并整理可得，a 2+b 2=3ab ，两边同除ab 可得，a b +b a =3，两边平方并整理可得，b 2a 2+a 2b 2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王伟解题指南19数学篇评注：此题看起来比较复杂，但是待计算的“b 2a 2+a 2b 2”是非常对称的，可以考虑由“a b +b a ”变形得出.通过通分找出a 、b 的其他数量关系“a 2+b 2=3ab ”，再同除ab 得到需要的“a b +b a ”.所以，本题的解题思路是由两端往中间变换.三、通过整体代换求分式的值整体代入的方法一般用于比较复杂的题目中，这类题目往往有共同的“局部”，解题时将共同的“局部”视为一个整体，然后直接整体代入求值.这种方法可以大大减少计算量，降低解题难度.例3若22y 2+3y +7的值为14，则14y 2+6y -1的值为（）.A.1 B.-1 C.-17 D.15分析：仔细观察条件“22y 2+3y +7=14”和结论“14y 2+6y -1”，发现有公共部分“2y 2+3y ”，可以转化为4y 2+6y =2(2y 2+3y ).若能计算出“2y 2+3y ”，则整个题目就能迎刃而解.解：∵22y 2+3y +7的值为14，∴22y 2+3y +7=14，∴2y 2+3y =1，∴4y 2+6y =2(2y 2+3y )=2×1=2，∴14y 2+6y -1=12-1=1，即14y 2+6y -1=1.∴此题选择A 项.2四、巧取倒数求分式的值倒数法往往出现在分数式的化简求值问题中.当分母相对分子而言比较复杂时，我们可以采用取倒数的方法将分式简单化，通过变形整理后得到“倒数”的具体值，再次通过“倒数法”还原待求值.例4若x +1x =3，则x 2x 4+x 2+1的值为（）.A.10 B.8 C.110 D.18分析：该题“x 2x 4+x 2+1”中分母比较复杂，若分子、分母调换一下位置，求解将会变得容易些.所以采用“巧取倒数法”解此题.设t =x 2x 4+x 2+1，则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1.而题目条件中“x +1x =3”通过平方可以轻松求出x 2+1x 2的值为7，从而求得1t =8，进而求解出t =18.解：设t =x 2x 4+x 2+1,则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1，∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2-2x ⋅1x =7，∴1t =x 2+1x 2+1=8，∴t =18，即x 2x 4+x 2+1=18.故D 项正确.评注：“取倒数法”可以简化解题过程，但是一定要记住在解题结束前再次采用“倒数法”将数值倒回来.分式的求值问题是一种常见问题.它涉及面广，技巧性强，也是中考中出现频率较高的问题.解答这类问题要认真分析条件式和解题指南。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
巧用构造法解答数学难题
巧用构造法解答数学难题马沁芳(福建省龙岩初级中学ꎬ福建龙岩３６４０００)摘㊀要:解题教学是初中数学教学中的重要环节ꎬ主要检测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题ꎬ对学生的解题水平要求较高.从本质来看ꎬ解题过程即为条件向结论转化的过程ꎬ只不过面对难度较大的数学问题时ꎬ学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性ꎬ建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ从而顺利解答数学难题.关键词:初中数学ꎻ构造法ꎻ转化ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００６５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:马沁芳(１９７９.２－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法指的是当采用常规方法㊁按照定向思维无法处理某些数学问题时ꎬ可基于已知条件与所求结论的特殊性ꎬ从新角度出发ꎬ运用新观点去观察㊁分析与理解问题ꎬ把握已知条件和所求结论之间的内在联系ꎬ运用问题的数据㊁外形㊁坐标等特征ꎬ构造新数学对象ꎬ由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中ꎬ针对一些难题ꎬ学生运用常规方法和定向思维很难解决ꎬ教师可指引学生巧用构造法ꎬ结合题设条件和结论构造新对象ꎬ最终解答数学难题[１].１巧妙构造方程ꎬ解答数学难题方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识ꎬ步入初中阶段以后ꎬ学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外ꎬ还涉及一元二次方程㊁方程组㊁分式方程等知识ꎬ属于初中数学教学的一项重要内容ꎬ在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中ꎬ有的题目难度较大ꎬ教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程ꎬ获得全新的解题思路ꎬ让学生结合方程知识转化问题ꎬ难题就迎刃而解[２].例１㊀已知ｘꎬｙꎬｚ是三个互不相等的实数ꎬ且ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ那么ｘ＋ｙ的范围是什么?分析㊀题目中给出的方程关系较为特殊ꎬ是三元一次方程与三元二次方程形式ꎬ学生采用常规方法很难进行解题.此时ꎬ教师可指导学生运用构造方程的方法ꎬ将已知条件与所求结论联系到一起ꎬ利用方程知识求得结果.解㊀根据ｘ＋ｙ＋ｚ＝１可得ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ两边同时平方ꎬ得ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝１－２ｚ＋ｚ２.又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ所以ｘｙ＝ｚ２－ｚ.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出ꎬｘꎬｙ是方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不相等的实数根ꎬ再结合Δ>０可以得到－１３<ｚ<１ꎬ即为－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ则ｘ＋ｙ的范围是４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知实数ｘꎬｙꎬｚ满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｚ２＝ｘｙ＋ｙ－４ꎬ求ｘ＋３ｙ＋２ｚ的值.分析㊀这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形ꎬ把５６原式转变成两个式子的求解问题ꎬ再观察两个已知式子的形式ꎬ通过变形以后构造新方程ꎬ然后让学生结合方程的相关知识求解.解析㊀根据题意可得(ｘ＋１)＋ｙ＝４ꎬ(ｘ＋１)ｙ＝ｚ２＋４ꎬ通过观察易发现ꎬｘ＋１ꎬｙ是一元二次方程ｔ２－４ｔ＋ｚ２＋４＝０的两个实数根ꎬ然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题ꎬ求解过程从略.２巧构造不等式ꎬ解答数学难题不等式是用 >ꎬ<ꎬȡꎬɤꎬʂ 等符号表示大小关系的式子ꎬ学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中ꎬ学生学习的不等式知识难度更大ꎬ深度也有所提升ꎬ涉及一元一次不等式㊁一元一次不等式组等内容ꎬ不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中ꎬ当遇到部分难题时ꎬ教师需提示学生注意题目中 最大 最小 不低于 不高于 等关键词ꎬ引导其尝试构造不等式模型ꎬ然后利用不等式知识解答难题[３].例３㊀已知某工厂存储有甲㊁乙两种原料ꎬ质量分别为３６０ｋｇ和２９０ｋｇꎬ现在准备利用这两种原料生产Ａ㊁Ｂ两种商品共计５０件ꎬ其中生产一件Ａ商品需要甲㊁乙两种原料分别为９ｋｇ㊁３ｋｇꎬ利润是７００元ꎬ生产一件Ｂ商品需要甲㊁乙两种原料分别为４ｋｇ㊁１０ｋｇꎬ利润是１２００元.(１)根据条件和要求生产Ａ㊁Ｂ两种商品一共有多少种方案?(２)设生产Ａ㊁Ｂ两种商品获得的总利润是ｙ(元)ꎬ生产Ａ商品ｘ件ꎬ请写出ｙ与ｘ之间的函数关系式ꎬ且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?分析㊀先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言ꎬ根据已知条件利用构造法建立一个不等式组ꎬ再结合不等式知识处理函数问题ꎬ然后根据实际生产情况确定方案.解㊀(１)设生产Ａ商品ｘ件ꎬ则Ｂ商品的数量为(５０－ｘ)件ꎬ根据题意可得不等式组９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０ꎬ３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０.{解之得３０ɤｘɤ３２ꎬ由于ｘ的值只能是正数ꎬ故ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ也就是Ａ商品的件数ꎬ那么根据(５０－ｘ)可以求得Ｂ商品的件数分别是２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ则一共有３种生产方案ꎬ即Ａ商品３０件ꎬＢ商品２０件ꎻＡ商品３１件ꎬＢ商品１９件ꎻＡ商品３２件ꎬＢ商品１８件.(２)根据题意可得ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００ꎬ根据一次函数的性质可知ꎬ该函数中ｙ随ｘ的增大而减小ꎬ所以当ｘ＝３０时有最大利润ꎬ即生产Ａ商品３０件㊁Ｂ商品２０件获得的利润最大ꎬ此时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ最大利润为４５０００元.ｙ与ｘ之间的函数关系式ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ由此可知ꎬ(１)中的方案１获得的利润最大ꎬ最大利润是４５０００元.３巧妙构造函数ꎬ解答数学难题函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位ꎬ学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决ꎬ即使无法直接求解ꎬ也能够打开解题思路[４].例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员进行投篮练习ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ然后顺利命中篮筐ꎬ其中篮筐的高度是３.０５ｍ.图１㊀篮球的运行路线图(１)篮球在空中运行的最大高度是多少?(２)假如该篮球运动员在跳投时ꎬ篮球出手距离地面的高度是２.２５ｍꎬ那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?分析㊀对于问题(１)ꎬ应该把整个函数图象构造出来ꎬ求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点ꎻ对于问题(２)ꎬ要构造平面直角坐标系ꎬ结合二次函数知识与图象的性质等求解问题ꎬ从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.６６解㊀(１)根据已知条件可知ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ该抛物线的顶点坐标是(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示大致画出篮球的运行路线ꎬ即为该抛物线的一部分ꎬ验证后可知最高点在函数的定义域内ꎬ由此可知篮球运行的最大高度是３.５ｍ. (２)建立如图１所示的平面直角坐标系ꎬ审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案ꎬ篮筐处的高度是ｙ＝３.０５ｍꎬ由此可知ｘ＝１.５ｍꎻ再根据该篮球运动员的出手高度ｙ＝２.２５ｍꎬ此时ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ则运动员距篮筐中心的水平距离是４ｍ.例５㊀已知分式ｘ－３ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ无论ｘ取何值ꎬ该分式都有意义ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?分析㊀因为本题中的分式恒有意义ꎬ这说明分母ｘ２－６ｘ＋ｍ的值永远不会是０.可据此构建一个二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究ꎬ结合二次函数的性质来解题ꎬ找出ｙʂ０的情况ꎬ以此确定ｍ的取值范围.解㊀令ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ根据题意可知ꎬｙ的值永远都不等于０ꎬ由于该抛物线的开口方向是向上的ꎬ所以该二次函数的图像不会与ｘ轴相交ꎬ则Δ＝３６－４ｍ<０ꎬ解之得ｍ<９ꎬ即为ｍ的取值范围是ｍ<９.４巧妙构造图形ꎬ解答数学难题初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时ꎬ不仅可以根据题意构造代数方面的式子ꎬ还能够构造出相应的几何图形ꎬ利用数形结合思想解题.在初中解题教学中ꎬ将 数 和 形 结合起来ꎬ不少难题就易于解答.例６㊀如图２所示ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ而且ＡＣ与ＢＤ的长度相等ꎬ点ＥꎬＦ分别为对角线ＡＢ与ＣＤ的中点ꎬＥＦ分别同ＢＤꎬＡＣ相交于点ＧꎬＨ.求证:ＯＧ＝ＯＨ.分析㊀在几何图形中出现多个中点ꎬ大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题ꎬ所以本题可以先取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦꎬ因为ＥꎬＦꎬＭ分别是ＡＢꎬＣＤꎬＢＣ的中点ꎬ由此可构造中位线ＥＭꎬ图２㊀例６题图ＭＦꎬ然后结合三角形中位线定理解题.先证明әＥＭＦ是等腰三角形ꎬ根据 等边对等角 ꎬ即可证明øＭＥＦ＝øＭＦＥꎬ利用平行线的性质证明øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ最后根据 等角对等边 即可解决问题.解㊀如图２所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦ.因为ＭꎬＦ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ则ＭＦʊＢＤꎬＭＦ＝ＢＤ.同理可得ＭＥʊＡＣꎬＭＥ＝ＡＣ.因为ＡＣ＝ＢＤꎬ所以ＭＥ＝ＭＦꎬøＭＥＦ＝øＭＦＥ.又因为ＭＦʊＢＤꎬ所以øＭＦＥ＝øＯＧＨ.同理可得øＭＥＦ＝øＯＨＧꎬ所以øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ所以ＯＧ＝ＯＨ.５结束语在初中数学解题教学中ꎬ有的题目难度比较大ꎬ采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题ꎬ教师可引导学生巧妙运用构造法ꎬ重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来ꎬ通过构造方程㊁不等式㊁函数㊁几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来ꎬ架构起结论和条件之间的桥梁ꎬ让学生从中寻求解题问题的切入点ꎬ确定合适的解题方案ꎬ继而准确解答数学难题.参考文献:[１]连继莹.例说初中数学的解题方法:以 构造法 为例[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０２１(９):１１４.[２]吴月红.巧用构造法解初中数学题[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(８):２８－２９.[３]张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(４):８０－８１. [４]张文贺.初中数学解题技巧的有效运用[Ｊ].数学大世界(下旬)ꎬ２０２０(１):７７.[责任编辑:李㊀璟]７６。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
应用构造法巧求分式值
得 ｃ ＋ ＋ 南＋ 南＋ 南 ｃ ＋ 南 ＋ ＋
＝
（ ４
，
４ ） 、
８
ｉ
８
８
． —
．
１ ６ １ １一 １ ６— １一 ’
． ．
＋１ ９ ，假 设 当 ｓ ＝ Ⅱ时 ，Ｙ＝ ０ ，则 ：
即１ ６（ １ 一 ） ＝１一
：
１ ９ ａ ２＋ ９ ９ ａ＋ｌ＝ ０ ．当 ｔ ＝１ ９ ａ时 ，ｙ １ ＝ （ １ ９ ａ ） ＋
‘ ｘ ＃０ ． ・ ． Ｓ０ ，故将待 求式 的分子 分母 同时除
＋ ４ （一２ ） ＝６ ４ ． Ａ—Ｂ ＝ 一２ ａ ＋Ｚ ＋４ 卢一４ ａ＝ 一 ２
（ 。 ＋ ２ ）＋ ２（ 卢 ２ ＋ ２ 卢 ） ＝一 ２（ ７ ）＋ ２（ ７ ）＝ ０ ．
故 由 Ａ— Ｂ＝ ０和 Ａ＋Ｂ＝ ４ 可 求得 Ａ＝３ ６ ２ ，
＋ ） （ １ ＋ ） （ １ ＋ ） （ １ ＋ 。 ） ＝ 年 绵 阳市 中考 题 ）
— —
ｉ ｆ ！ ｌ ９ 已知 。 、６ 、ｃ 为实数，且 ａ ｂ＝ 了 １
，
：
（ ２ ０ １ ２
÷， ４ ’ 一 旦 ： 一 ５ １ ， ÷ 譬 ＿ ｌ 一 的 值 ． ２ ０ １ ２ 年 兰 州 市 中 ｃ＋口一 ’ 求 口 ６＋６ ｃ＋ｃ ０ Ｌ Ｅ Ｌ ’ （ 。一 ”’ Ｉ Ｊ 。
解
・
首先 因为 ａ、卢是一元二次方程 ＋ ２ 一 ７＝ ０
的两 个 实 数 根 ，
＋ ２ ａ ＝ 卢 ２ ＋ ＝ ７ Ａ ＝ Ｏ Ｌ ２ ＋ ３ 卢 ２ ＋ ４ 芦 ， Ｂ ： 卢 ２ ＋ ３ Ｏ Ｌ ２ ＋ ４ ａ ，
． ．
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造一些特殊的对象或者关系，来解决问题。
在高中数学中，构造法经常用于代数问题、几何问题、组合问题等各个领域的解题过程中。
下面我们将重点介绍构造法在高中数学解题中的应用方法。
1. 构造等式：当遇到代数式中有未知数的时候，可以通过构造等式的方式来求解。
已知一个三位数的百位数字等于个位数字的平方，十位数字加个位数字等于百位数字的平方，则可以设这个三位数为abc（其中abc分别表示百位、十位、个位数字），则可以得到以下两个方程：a=b^2，b+c=a^2。
通过解方程组，可以得到a=1，b=1，c=1，故该三位数为111。
2. 构造函数关系：当遇到函数的性质需要求证时，可以通过构造函数关系的方式来解决。
证明对于任意实数x，都有f(x)=f(x+1)，可以构造一个以1为周期的函数
f(x)=sin(2πx)，通过对任意实数x和x+1代入，可以证明f(x)和f(x+1)相等。
1. 构造特殊图形：当遇到几何问题需要求证时，可以通过构造一些特殊的图形来解决。
证明一个四边形是平行四边形，可以先构造一个与该四边形相似的平行四边形，再证明它们是全等的。
1. 构造排列组合关系：当遇到排列组合问题需要求解时，可以通过构造排列组合关系的方式来解决。
求从10个球中选出3个球的方案数，可以通过构造一个由10个球组成的数列，并在数列中标记出选中的球，再计算方案数。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII分式求值的常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-. 2、倒数法例2 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少 例3解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例4 已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 例5解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例6 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c+-+-的值.解：设235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例7 已知,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，∴31,1k k ==∴a b c ==∴原式= 1.a b c a b c+-=-+ 5、整体代换法例8 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法例9 已知1,abc =则111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab =∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab=++++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法例10 若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b ++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0.8、配方法例11若11a b b c -=+-=求2221a b c ab ac bc++---的值.解：由11a b b c -=-=-得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 11202=⨯= ∴原式=16.联系电话：。
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利用构造法求分式的值
在给定条件下求分式的值，是一种综合性较强的题型，一般不能直接带入求值，解决这类问题不仅要掌握熟练的基础知识，而且还要根据题目特点，把已知条件或所求分式适当加以变形和转化，沟通两者之间的联系，然后利用构造法找到解题捷径．
一、构造方程组
例1 （银川中考）已知4a －3b －6c ＝0，a ＋2b －7c ＝0，求222
222
23657a b c a b c ++++的值． 分析 由题设构造三元一次不定方程组，选定其中任一未知数作为已知值，再求出a 、b 、c 三者之间的关系，最后代入待求分式，通过约分求值．
二、构造比例常数
例2（德州中考）已知0234
x y z ==≠，求232x y z x y z -++-的值． 分析 由已知x 、y 、z 之间的比例关系，可以设一个比例常数k 来表示x 、y 、z 解决问题．
设0234x y z k ===≠， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ．
三、构造特殊值 例3（安顺中考）已知20,10a b b c ==，则a b b c
+=+（ ）
(A)1121 (B)2111 (C) 11021 (D) 21011
分析 对于分式求值一类的填空题和选择题，只要在题目允许的取值范围之内，用特殊值法去解，就显得非常方便与简捷．
解 由条件，可令a ＝200，b ＝10，c ＝1， 则2001021010111
a b b c ++==++． 故选D ．
四、构造一元二次方程
例4（天水）已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=，则b a a b
+=_______． 分析 由条件，可运用韦达定理构造一元二次方程求解，但要注意分类讨论．
解 分两种情况讨论：
五、构造二次函数
例5 （西宁中考）设实数s ，t 分别满足
19s 2＋99s ＋1＝0，t 2＋99t ＋19＝0，并且st ≠1，求41st s t
++的值． 分析 此题求代数式的值，代数式本身不能化简，如分别解题设的两个一元二次方程求出s 、t 的值再代入分式求值，将非常繁琐，故不可取，然而通过构造二次函数求值，则不仅方法新颖，富有创意，而且简捷明快．
六、构造1x x
+ 例6（玉林中考）已知2310x x -+=，求2
421
x x x ++的值．
分析 由已知一元＝次方程求出x 题设知x ≠0，故在已知方程两边同时除以x ，构造出等式x ＋1x
＝3，然后变形待求分式，使之可以利用上述等式，问题便迎刃而解，代入求值就会简便许多．
七、构造公式
例7 （绵阳中考）已知
248124801111x x x x +++=++++，则()()(
)()2481111x x x x ++++＝_______． 分析 在已知条件中，再补上一项
11x -，则可使等式左边凑成能使用平方差公式的形
式．
八、构造对偶式
例8 （吉林中考）α、β是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个实数根，不解方程，求
222234a a αββ
+++的值． 分析 大多数学生解本题时，一般都会想到应用韦达定理，然而所求分式的分母代数
式是非对称式，因而无法使用韦达定理为此构造α2＋3β２＋4β的对偶式β２＋3α2＋4α，可
以辅助求解．
九、构造倒数
例9（兰州中考）已知a、b、c为实数，且
1
3
ab
a b
=
+
，
1
4
bc
b c
=
+
，
1
5
ca
c a
=
+
，求
abc
ab bc ca
++
的值．
分析由题设三个分式求出a、b、c的值比较困难，但将题设三个分式和待求分式分别取倒数，再结合倒数拆分，就可以快捷求解了．
解由已知三个方程左右两边取倒数，得
十、构造方差
例10（锦州中考）已知a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝12，求
23
a b c
a b c
++
++
的值．
分析已知条件中出现a＋b＋c＝6，因此可直接考察a、b、c三数的方差．
综上所述，构造法求分式值的关键在于，要从题设和待求式的实际出发，根据问题的结构特征构造适当的辅助表达式，这种构造性解题思想符合新课程的理念，它能使抽象或隐含的条件，清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时能化繁为简，变难为易，故笔者认为，加强这类专题的研究是很有必要的．。