勾股定理2

课题：勾股定理（第二课时）

主备：审核：

导学目标： 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

导学过程：【复习导入】

求出下列直角三角形中未知的边．

【自主学习】

如图3，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出S 1、S 2、S 3之间有的关系式．

变式：教材第71页第11题，如图4．

【合作探究】

1．已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，求AB 长？

2．已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，

求线段AB 的长。

6 10

B 2

45°

30°

S 1

S 2

S 3

图4

S 1

S 2

S 3B

C 图3

【精讲点拨】

1.已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，求a ，b 的值。

3.在数轴上画出表示－52,5 的点。

【自主评价】

1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。 2．△ABC 中，若∠A=3∠C ，∠B=2∠C, AC=32cm ，则∠A= 度， ∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S △ABC = 。 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = 。 4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC 。

5．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC 。

勾股定理的应用 (2)

勾股定理的应用一、知识框架 1、勾股定理的猜想 2、勾股定理的验证 3、勾股定理的应用二、目标点击 1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。 2、能够利用定理解决一些简单的实际问题 3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程三、重难点预见学习重点：经历探索勾股定理的过程。学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。四、学法指导 1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。 2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。五、自主探究情境导入： 2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。学法指导：通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。（一）猜一猜测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺直角边a 直角边b 斜边 c 关系 1 2 根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。（二）想一想 1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？解后感悟：通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。 2、观察图 3、并填下表：正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。（三）议一议三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。（四）记一记

勾股定理2 (2)

17．1 勾股定理（二）一、教学目的 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。六、课堂练习 1．填空题

苏教版§勾股定理的应用

洪翔中学八年级数学（上）导学案姓名班级教者课题§2.7勾股定理的应用（1）课型新授备课时间学习目标能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．教学重点在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．教学难点同上教学程序学习中的困惑一．前置性学习一、课前预习与导学 1．（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=2，则AC=_________．（2）一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，?则第三边的长是_________． 3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．?问至少需要多长的梯子？二．例题解析：【例1】南京玄武湖东西隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形，从C处到B 处,如果直接走湖底隧道CB，比绕道CA (约1.36km)和AB (约2.95km)减少多少行程? A B C

【例2】一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流．问题一在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 问题二有人说,在滑动过程中，梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大，你赞同吗? 三．随堂演练： 1．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km． 2．有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（） A.7m B.8m C.9m D.10m 3．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）．（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定 4.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m， ?CD=?12m，AD=13m．求这块草坪的面积．四．学后反思： C B A D A C B

勾股定理的应用(人教版)(含答案)

勾股定理的应用（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，Rt△ABC的直角边长分别为12和16，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形周长之和为( ) A.28 B.48 C.36 D.56 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形的平移 2.暑假中，小明到某海岛探宝．如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离是( )km．

A. B. C.10 D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的对应的值为( ) A.2 B. C. D.

答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 4.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离为( )m． A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.6 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉

开7米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为( )米． A.8 B.12 C.24 D.25 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 6.路旁有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )米． A.8 B.10 C.12 D.14 答案：B 解题思路：

1.3勾股定理的应用

八年级数学第一学期导学案 1.3 勾股定理的应用班级：姓名：【学习目标】 1．运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展应用意识. 学习重点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 学习难点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．【复习引入】 1．如果梯子的底端离建筑物5米,那么13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ). A．12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 2．如果直角三角形的两直角边长为7，24，那么斜边长为. 3．如图，有一个圆柱,它的高等于12cm，底面上的圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？) 【自主学习】 1．如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路程是什么？你画对了吗? ? 2．蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

【探究学习】 1．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米， BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ 2．认真阅读课本P13-14的例题，理解其解题思路，完成P14 的“随堂练习”. 【巩固练习】 1. 完成课本P14习题1.4第1，2题. 2．如图所示，90 B OAF ∠=∠=?，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积． O 3．(选做题)课本P15习题1.4第5题.

勾股定理的应用(2)

本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！勾股定理的应用(二) 班级姓名学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。发展学生的分析问题能力和表达能力。 3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。重难点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数. 3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1； .图1中的x 等于多少? 图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? 图1 x 11 z y 11x 图2

（四）实践探索，揭示新知2；例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。（五）尝试应用，反馈矫正2 如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？（七）尝试应用，反馈矫正1 如图9，在△ABC 中， AB=15， AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高（九）布置作业 D C B A 图6 图9 D C B A

11勾股定理

勾股定理一、勾股定理在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2＋b2=c2．如：已知Rt△ABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=__________．答案：. 二、直角三角形的性质（1）两锐角互余；（2）Rt△ABC中，c为斜边，则a2＋b2=c2．（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，，2a．（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，．例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，，∠BCD=30°，求AC的长．解：设BD=x，∵CD⊥AB，∠BCD=30°. ∴BC=2BD=2x. 在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD2＋CD2=BC2. 即. 解得x=2. ∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3.

在Rt△ACD中，由勾股定理有例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y. 在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得例3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN．解：连接AM， ∵AB=AC，M为BC的中点． ∴AM⊥BC．BM=MC=BC=3.

在Rt△AMB中，由勾股定理得．设CN=x，则AN=5－x 在Rt△ANM中，MN2=AM2－AN2=42－（5－x）2．在Rt△CNM中，MN2=MC2－CN2=32－x2． ∴32－x2=42－（5－x）2，解得．．方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC. 例4、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中 PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2． ∴BP2－BD2=PC2－DC2． ∴BP2－PC2=BD2－DC2=36－9=27．在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2. ∵AP=PC． ∴AB2=BP2－PC2=27. ．

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

14.2勾股定理的应用2

三、勾股定理第五课时 14.2勾股定理的应用2 学习目标： 1.准确运用勾股定理及逆定理 2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。 3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。重点：掌握勾股定理及逆定理难点：正确运用勾股定理及逆定理预习过程：一、导入（创设问题情境）在一棵树的10m 高的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图，其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ，另一只猴子从D →C →A 也共走了30m ，且树身垂直与地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决。二、例题讲解例1：如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A 出发一条线段AB 使它的另一端点B 在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22 画出所有的以（1）中的AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数 \

例2：已知CD=６m ， AD=８m ，∠ADC=90°， BC=24m ，AB=26m 。求图中阴影部分的面积．练习：已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积? 三、拓展练习：已知如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,D 为BC 上任意一点。求证：2222CD BD AD += D C B A

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用教学目标：知识与技能：（1) 能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。（2) 学会选择适当的数学模型解决实际问题。过程与方法：通过问题情境的设立，使学生明白数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。情感、态度和价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。教学重点：应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点; 教学难点.：把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的难点。教学关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找可应用的RT △，然后有针对性解决。教学媒体：电子白板教学过程：一、导入 1、由犍为岷江大桥图片引入（一是拉近和学生的关系，激发学生对家乡的热爱之情，同时由斜拉桥上的直角三角形引入勾股定理的应用）另出具复习引入题如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m ，如何求梯子的顶端与地面的距离h? 先让学生复习勾股定理的简单应用。 2、复习勾股定理内容 3、板书课题二、新课探究 1、例小明想知道学校旗杆的高度，但又不能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高度吗？首先让学生审题并画出几何图形，再引导其完成。题中隐含了什么条件？解：设旗杆高AB=x 米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC 中，由勾股定理得：答：旗杆的高度为12米。 12 ,)1(52 22222==+=++x x x AC BC AB 解方程，得即

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课勾股定理及其应用本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。重点知识勾股定理的验证

（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理重点知识确定几何体上的最短路线描述示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F

2.7勾股定理的应用(2)

课题：§2.7 勾股定理的应用（2）教学目标：1．能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，学会数学建模，学会将斜三角形问题转化为直角三角形的问题，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值. 教学重点：实际问题转化成数学问题再转化为直角三角形中 . 教学难点：“转化”思想的应用. 教学过程：【预习导航】 1.阅读课本第82页到83页，完成讨论P 82 中的问题: （1）如何求出图中的x、y、x？⑵如何画出5、6、7的线段吗？ 2.在数轴上画出表示-5的点. 【新知探索】 3. 如图，正方形网格中有一个△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是三角形. 【交流展示】【活动一】4.已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm． (1)求高AD的长；（精确到0.01） (2)求S △ABC （保留4位有效数字）. A B C

B A C 【活动二】5.已知：如图，在△ABC 中，AC=26，AB=20，边A B 上的中线CD=24. 求①B C 的长；②△ABC 的面积. 【随堂训练】 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为______________. 7. 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 . 板书设计教学反思【达标反馈】 8.已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（） A.2 B.3 C.4 D.5 9.在上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为（） A.1.50 B.1.75 C.1.95 D.以上都不对 10.如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积. B 图② A C B D E 图①

勾股定理11

【学习目标】 1. 通过数格子或割、补等方法探索勾股定理，能正确说出勾股定理。 2. 能运用勾股定理进行简单的计算，解决求直角三角形三边之间的数量关系的问题。【学习重点】勾股定理的探索。【学习难点】运用勾股定理，进行简单的计算。【自学指导】自学课本2-3页，完成做一做。完成下列问题： 1. 请你任意画一个直角三角形，分别测量它的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与小组同学交流。图中每个小方格代表一个单位面积（1）观察图1，正方形A中含有个小方格，即它的面积是个单位面积。正方形B的面积是个单位面积。正方形C的面积是个单位面积。（2）在图2中，正方形A、B、C中各含几个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现两图中三个正方形 A、B、C的面积之间有什么关系吗？（4）图3，正方形A的面积是个单位面积，正方形B的面积是个单位面积，正方形C的面积是个单位面积。问题：如何求正方形C的面积？有哪些方法？正方形 A、B、C的面积之间有什么关系吗？ 3. 勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

【自学检测】 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积。 2. 4,5，则第三边长的平方为 3. 求下列图中表示边的未知数x 、【达标检测】 1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。 2. 求斜边长为17cm 、一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积。 3. 如图，求等腰三角形ABC 的面积。 4. 判断正误并说明理由：若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长一定为10cm. 5. 直角三角形的两边长为4,5，则第三边长的平方为【课时小结】通过本节课学习，你学会了哪些知识?你心中还存在什么疑惑？【作业】课本P5习题1.1 【反思】 5 3 z 6 8 5 y A B

勾股定理应用(含解答)

勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4× 2 1 ab = 2ab ．（图1）（ 2 （3

由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ?为面积，于是有： 222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，1 2442 ab ab S ?=?=，所以22()4a b c S ?+=+.即221 [()]4 S a b c ?=+-. 也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ?中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．

勾股定理的应用2

2.7勾股定理的应用（2）【自学目标】能用勾股定理及逆定理解决一些问题，能规范的书写和表达过程。【知识探究】一．讨论 1．图中的,,x y z 分别等于多少？ 2．的线段。 3．如图，一连串直角三角形演化而成的图形，其中18732211=====A A A A A A OA ，如果把图中的直角三角形继续作下去，那么2521,,OA OA OA 这些线段中有哪几条线段的长度为正整数，分别是多少？二．探索问题一：在如图1所示的直角三角形中，可求得x =_____，并可知两个锐角都是_______，面积是_______，周长是__________，斜边上的高是______,中线是_______. 问题二：在如图2所示的直角三角形中，可求得y =_____，并可知两个锐角分别是_______，面积是______，周长是__________，斜边上的高是______,中线是_______. 图1 图2 图3 拓展：对于如图3所示的等边三角形，（1）若边长AB 等于4cm ，则高AD=_____，面积等于_______，（2）若中线BE 等于4cm,则边长AB=_______，面积等于__________. 【成果检测】 1．一个三角形的三个角之比为1：1：2，则它的三边之比为 2．若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高为 3．在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求△ABC 的面积．(两解) 【我的疑问】 123A A 81 1 z y x 11 C B

2.7勾股定理的应用（2）【自学交流】【例题分析】 1.已知：如图，在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5。求△ABC 的周长和面积。 2.某农民开垦出一块三边长分别为7m ，8m ，9m 三角形地块准备种植花生，聪明的同学你能帮他算一算这块地的面积吗？【检测反馈】 1、小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m 。 2、已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为。 3、旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m. 4、如下左图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90o，AC=12，BC=5，AM=AC ，BN=BC ，则MN=________。 5.如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米 6.笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角。笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。同学们你能帮他算出竿的长度吗？【小结提升】 D C B A N M C B A

勾股定理的应用1(折叠)

勾股定理的应用1——图形的翻折的导学案一、直角三角形的折叠问题展示直角三角形纸片 1.已知△ABC中，∠B=90°， AB=4，BC=3,则AC= 斜边AC边上的高AD= 折叠1：将△ABC折叠，使点A与B重合（如图1），则图中有哪些相等的线段？求BD 折叠2：将△ABC折叠，使点A与C重合（如图2），（1）则图中有哪些相等的线段？（2）△BDC的周长= （3）求BD的长度（4）思考求DE长度的方法

折叠3：将△ABC折叠，使点A落在BC的中点F处（如图3），同样，求BD 设BD=x 直接列方程二、长方形的折叠问题展示长方形纸片已知长方形ABCD中，AD=10，AB=6 折叠1、沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，（1）找出图形中所有相等的线段（2）BF= ，CF= （3）求EC （拓展:已知EF=5，CE=4，求剩下所有线段的长度）折叠2：若沿直线AC把△AD C折叠，使点D落在点F处，AF与BC交于点E。（1）找出图形中所有相等的线段（2）求BE（只列方程）

折叠3、若沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合。（1）找出图形中所有相等的线段（2）求△BEF的面积（3）求折痕EF的长度：（惠安县2013—2014学年度上学期八年级教学质量检测第26题）

如图，已知一长方形纸片ABCD ，AB ∥CD ，AD =BC =1，AB =CD =5．在长方形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ．（1）请你动手操作，判断△MNK 的形状一定．．是；（2）问△MNK 的面积能否小于 1 2 ？试说明理由；（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值． 1 D N B' C' K M D C A B D C A B D C A B A C B

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用教案 This manuscript was revised on November 28, 2020

121教学模式科目_________________________ 年级_________________________ 教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿课前1分钟交通安全教育 “121”教学模式导学案（______科） 2013 年 9 数学八年级潘明明数学

检测预习交代目标检测预习： 1、一个三角形的两边长分别是1 2、15，则第三边长为＿＿时，这个三角形是直角三角形。（三角形的三边长都是正整数） 2、底边长为10cm，底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为＿＿＿＿＿。交代目标： 1、能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单实际问题 2、将立体图形问题转化成平面图形问题合作探究交流共享第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：

11勾股定理(1).讲义学生版

内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。板块一勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。 C A B c b a （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. ABCD S a b c ab a b c =+=+?∴+=正方形 D C B A （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. S c a b ab a b c =-+?∴+=正方形EFGH G F E H （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2()()11 2222 ABCD a b a b S ab c +-= =?+梯形 222.a b c ∴+= 中考要求勾股定理

c b a c b a E D C B A 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。板块一、勾股定理【例1】下列说法正确的是（） A. 若a b c ，，是ABC ?的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ?的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ?的三边，90A ∠=?，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ?的三边，90C ∠=?，则222a b c += 【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【巩固】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．【例3】已知直角三角形两边x ，y 的长满足224560x y y --+，则第三边长为______________．【巩固】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 【例4】如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定 C B A 【巩固】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）例题精讲

《勾股定理的应用》教案2.doc

《勾股定理的应用》教案教学目标过程与方法目标： ( 1) 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力. ( 2) 在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与态度目标： ( 1) 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. ( 2) 在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性. 教学重点探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学准备教具：教材、电脑、多媒体课件．学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．教学过程第一环节：情境引入情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？第二环节：合作探究学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线. 让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短

问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算. 效果：学生汇总了四种方案： A A A 学生很容易看出：情形( 1) 中A→B的路线比情形( 2) 中A→B的路线短. 学生在情形( 3) 和( 4) 的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA′’剪开圆柱得到矩形. 前三种情形A→B都是折线，而情形( 4) 是线段，故根据两点之间线段最短可判断( 4) 最短. 如图，可以分别写出情形( 1) 、情形( 2) 、情形( 3) 、情形( 4) 的长度. 得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题. 在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察. 第三环节：做一做李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. ( 1) 你能替他想办法完成任务吗？ ( 2) 李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，边BD长是50cm，AD边垂直于AB边吗？为什么？ ( 3) 小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB 吗？边BC与边AB呢？解答：( 2) AD 2AB 2 2 30 2 40 2500

勾股定理(11)

课题：勾股定理一、教学目标： 1、知识与技能目标：培养正确地观察、分析事物的能力，理解并掌握勾股定理及其证明。 2、过程与方法目标：在学生经历“观察一一猜想一一归纳一一验证” 勾股定理的过程中，发展学生的合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。 3、情感态度与价值观目标：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，培养学生的合作交流意识和探索精神。二、教学重点：探索和证明勾股定理。三、教学难点：用拼图方法证明勾股定理。四、教具：多媒体课件。五、学具：网格图纸、相同规格的直角三角形片若干。六、教学过程：（一）情境引入：1、老师给出图片，学生观察。 2、老师给出勾股定理的历史发展，学生阅读。（二）探究新知： 1、看-看，填一填: 正方形P中含有个小方格，即P的面积是个单位面积; 正方形Q中含有个小方格，即Q的面积是个单位面积; 正方形R中含有个小方格，即R的面积是个单位面积。

正方形P, Q, R的面积之间有什么关系吗? 2、议一议，答一答：（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 3、做一做: 做一做（课本P101）分别以5厘米、12厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度问：前面得到的规律对这个三角形还成立吗？ 4、归纳总结：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理就是我们今天学习的勾股定理。注：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系（三）知识应用： 1、教一招：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机?小明量