数学建模

问题一：举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模的目的，需要大体什么样的模型以及怎样应用这种模型等。

数学建模的必要性

伴着科学技术的日新月异及计算机的迅速发展，数学模型这个词汇在人们的生产、工作和社会活动中经常遇到。如城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据。气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型。在日常活动如旅游、购物当中，人们也会谈论优化出行的路线的问题，其实就是找一个数学模型。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。

在现实生活中，我们总希望事情能达到最好的结果，解决最优化问题便是数学的一些最为常见的应用,比如下面的这个实际问题：

配件厂为装配生产若干种部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关),同一部件的产量大于需求时因积压资金,占用仓库要储存费。已知某一种部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存储费每件1元，如果生产能力远大于需求，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最少？

存储量定义的是否合适，将是一个至关重要的问题。存储量过大，存储的费用就会过高，存储量太小，会导致一次性定购费用增加，或不能及时满足需求。

假设用户不允许缺货的情况出现，此时我们只需要考虑两种费用：生产准备费和产品的存储费。考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量，根据问题性质作出一些必要的假设，其中产品每天的需求量为常数r，每次生产准备费1c，每天每件产品储存费2c,根据经济学中的经济订货批量公式（EOO公式）可得：

生产周期T：

产量Q

:

每天的最小平均费用c：

无论我们进行何种工作，我们总是希望达到最好的结果，而使不好的方面或消耗等降到最低。如：计算机系统管理员要使计算机的处理能力达到最大，而使作业的延迟最少；农民会尽量调整种植空间从而使收获最大等，这些以及许多其他的应用都有一个共同的数学模式：有一个或多个可以控制的变量，他

们通常要受一些实际中的限制，通过对这些变量的控制，从而使某个目标达到最优。最优化模型正是要给问题的约束条件，确定受约束的可控变量的取值，以达到最优结果。

许多有趣的实际问题包含着随时间发展的过程，动态模型被用于表现这些过程的演变。比如以下的高校餐厅学生就餐问题：

在一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%的回头率，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率。按照上述规律，随着时间的推移，在这两类餐厅就餐的学生的比例随之变化，我们要解决的是当时间充分长时学生在每类餐厅长期就餐的百分比。

假设我们是定期统计就餐数据，比如可以是一天，一个月或更长的时间段，那么若t 时刻学生在公办餐厅和承包餐厅的百分比分别为()a t 与()b t ，则在t+1时刻学生在两类餐厅就餐的百分比分别为()a t+1与()b t+1，根据就餐规律可得

()()()()

()()a t+1=0.6a t +0.5b t b t+1=0.4a t +0.5b t ????? 利用了数学建模的方法，我们将原本很抽象的复杂关系用简洁的式子表现出来。原问题就转化为纯粹的数学极限求解问题，从而得到最终的动态变化结果。

许多现实生活问题包含有不确定性的元素。而把概率这个常见和直观的概念引入模型当中有时会带来简便，有时却是必须的。

我们生活中有如下实例：某人给他的N 个朋友写信，写好后，分别将这些信封装入N 个信封中，并在信封上随机、不断重复地写上N 个收信人的地址。问他一个都没写正确和恰有r 个写正确的概率各是多少？

这个问题背景就是将N 封写好的信放到写着正确地址的信封。而建模目的是计算所有的信都没有正确放到该放的信封的事件的概率，以及计算恰有r 封信正确放到该放的信封的概率。根据建立数学模型的目的和问题的背景，用A 和i B 表示没有正确放到该放的信封的事件以及恰有r 封信正确放到该放的信封的事件；再利用概率论中的乘法原理和古典概率的计算公式，列出数学式子

0(1)()!k

N k P A k =-=∑，01(1)()!!k N r r k P B r k -=-=∑，其中0,1,2,...,k N =

这个问题是直接应用概率知识建的一个概率统计模型。实际上，概率统计模型的可以解决很多有规律性的随机现象问题。比如：赌博问题，巴拿赫火柴盒问题，施肥效果分析问题还有典型的排队服务问题等等。

绝大多数数学模型可以归为三大类型：优化模型、动态模型和概率模型。在实际应用中模型的类型可能由所遇到的问题决定，但更多的是与使用者对模型的选择有关。

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介。数学建模首先是数学科学技术转化的主要途径，数学作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了近代数学最重要的成果之一—微积分，并以微积分为工具推导了著名的力学定律——万有引力定律。这一成就是科学史上成功地建立数学模型的范例。然后数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视。数学建模的特点不仅在于它的概念的抽象性、逻辑的严密性和结论的确定性，而且在于它应用的广泛性。进入20世纪以来，数学建模的应用不仅在它的传统领域——所谓物理领域（诸如力学、电学等学科及机电、土木、冶金等工程技术）继续取得许多重要进展，而且迅速进入了一些新领域——所谓非物理领域（诸如经济、交通、人口、生态、医学、社会等领域）。最终数学建模成为现代理工科大学生必备的重要能力之一。通过学习了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力；提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索、努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神，形成一个生动活泼的环境和气氛。

问题二：从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，要考虑哪些重要影响变量及因素.

(1)一家商场要建一个新的停车场如何规划照明设施；

（2）制造商要确定某产品的产量及定价；

（3）卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效。

第一题:

研究问题:在满足停车场照明需求和环保节能要求的条件下，给出停车场照明设施的规划方案。

影响变量及因素:

1.规划停车场照明设施的布局和方式。在整个停车场的亮度都达到要求的前提下，以车道照明为主，车位照明为辅的原则，解决出入口亮度差问题，减少黑洞白洞效应，减少光照重叠面积。

2.选择合适物理参数的照明设施。照明设施应具有高效节能，长寿命等特点，从而符合环保节能的要求。

第二题:

研究问题:根据上个周期该产品的产量和定价,给出制造商下个周期的生产计划和定价预测的研究报告。

影响变量和因素:上个周期产品的产量()x k 和定价()y k

()(())(1)(())y k f x k x k g y k =??+=?需求函数供应函数

第三题：

研究问题:调查出此种新药对于该种疾病患者治疗疗效的结果,并讨论出与同类型药疗效的对比分析报告。

模型假设:已知同类型其他药物的作用疗效。

影响变量及因素：

1.治疗疗程；

2.药物的剂量；

3.给药时间与次数。