2021考研数学知识点总结
《2021数学》第二章考研讲义
《2021数学》第二章 实数、绝对值、比和比例一、实数1．实数的分类⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2．数的概念与性质 （1）整数与自然数整数Z ：…，-2，-1，0，1，2，… 自然数N ：0，1，2，… （2）奇数与偶数奇数：不能被2整除的整数．偶数：能被2整除的整数，0是属于偶数．如果n ∈Z （Z 代表整数），那么2n 是偶数，2n -1或2n+1是奇数。
显然有：整数{奇数偶数奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数； 奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数； 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数. （3）质数与合数质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数：如果一个大于1的正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数。
互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。
（4）分数与百分数分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用百分号“％”来表示。
3．数的整除数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除或b能整除a.倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数.4．常见整除的特点能被2整除的数：个位0，2，4，6，8.能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除.能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整除.能被5整除的数：个位为0或5.能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件；能被8整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被8整除；能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除.5．重要结论：连续K个整数的乘积能被K！整除.【练习】1.3m+n为奇数，n为奇数，则m是奇数还是偶数？【答案及解析】偶数奇+偶=奇，n是奇数，所以3m是偶数.2.若m是一个大于2的正整数，则必有约数（）A.7B.6C.8D.4E.5【答案及解析】B m3-m=(m-1)m(m+1)，m＞2，m是正整数，所以该式是由三个连续的自然数相乘而得来的，故一定可以被3!=6整除.（连续n个自然数相乘，结果一定可以被n!整除.3.|m−n|=5.（1）m和n都是正整数，m和n的最大公约数为15，且3m+2n=180.（2）质数m和n满足5m+7n=129.A.条件(1)充分，但条件(2)不充分B.条件(2)充分，但条件(1)不充分；C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和(2)联合起来充分D.条件(1)充分，条件(2)也充分E.条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和(2)联合起来也不充分本题选择（）【答案及解析】E条件（1），可设m=15k1，n=15k2，其中k1与k2互质.则3m+2n=45 k1+30k2=180,两边约分15，得3k1+2k2=12所以k1=2，k2=3，则m=30,n=45,|m−n|=15≠5.条件（1）不充分；由条件（2），5m+7n=129,m,n都是质数，则{m=23n=2或{m=2n=17|m−n|≠5，不充分；联合条件（1）和条件（2），是空集（满足条件（1），必须m=30，n=45，此时并不满足条件（2），所以也不充分.）二、绝对值▲考试要求：理解绝对值定义及其几何意义，掌握其性质及其运算法则，会求解含有绝对值的等式或不等式的计算问题.1.定义正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它相反数；零的绝对值还是零.2.数学描述实数a 的绝对值定义为：,0,,0,a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩其几何意义是一个实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离值.几何意义：实数a 的绝对值|a |的几何意义：数轴上a 对应的点A 到原点O 的距离，即|a |=|AO |. 两个实数a,b 差的绝对值|a −b |的几何意义：数轴上a,b 对应的点A 、B 间的距离，即|a −b |=|AB |．如下图所示：3.绝对值的性质：(1)非负性：即，任何实数a 的绝对值非负．(2)对称性：，即互为相反数的两个数的绝对值相等． (3)自比性：，即任一实数都在其绝对值和绝对值的相反数之间.(4) 平方性：，即实数平方与它绝对值的平方相等(可以利用平方去绝对值)(5) 等价性：，即实数平方的算术根等于它的绝对值. (6) 运算性质： 4.基本不等式△适合不等式()0x a a <>的所有实数所对应的就是全部与原点距离小于a 的点，即：()0x a a x a a <⇔-<<>.同理可得， )0(>>-<⇔>a a x a x a x 或【练习】，求x 的取值范围。
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。
8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
4.掌握不定积分的换元积分法。
第六章：定积分的应用1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。
2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。
考研大学的数学知识点总结
考研大学的数学知识点总结
一、数学分析
1. 函数的极限与连续
2. 函数的导数与微分
3. 不定积分与定积分
4. 微分方程
5. 级数
6. 多元函数微分学
二、线性代数
1. 行列式与矩阵
2. 线性方程组
3. 矩阵的特征值与特征向量
4. 空间解析几何
5. 线性空间
三、概率统计
1. 随机变量与概率分布
2. 多个随机变量的概率分布
3. 统计推断
4. 假设检验
5. 相关与回归分析
四、离散数学
1. 集合与逻辑
2. 图论
3. 树与树的应用
4. 排列组合
5. 代数系统
五、常微分方程
1. 一阶常微分方程的基础理论
2. 高阶常微分方程与常系数齐次线性微分方程
3. 变系数线性微分方程
4. 高阶线性常系数齐次线性微分方程
5. 常微分方程的应用
六、数学建模
1. 数学建模的基本概念
2. 数学建模的基本方法
3. 实际问题的数学建模
4. 建立模型的思路与方法
5. 数学建模的应用
七、复变函数
1. 复数的基本概念
2. 复变函数的基本概念
3. 复变函数的解析性
4. 几何意义与应用
5. 复变函数的应用
以上是考研大学数学知识点的总结。
希望能对大家的学习有所帮助。
考研数一归纳知识点
考研数一归纳知识点考研数学一（高等数学）是考研数学中难度较大的科目，它涵盖了高等数学的多个重要领域。
以下是考研数学一的归纳知识点：1. 函数、极限与连续性：- 函数的概念、性质和分类。
- 极限的定义、性质和求法。
- 函数的连续性及其判断方法。
2. 导数与微分：- 导数的定义、几何意义和物理意义。
- 基本导数公式和导数的运算法则。
- 高阶导数的概念和求法。
- 微分的概念和微分中值定理。
3. 积分学：- 不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
- 换元积分法和分部积分法。
- 定积分的应用，如面积、体积和物理量的计算。
4. 级数：- 级数的概念、收敛性判断。
- 正项级数的收敛性判断方法，如比较判别法和比值判别法。
- 幂级数和泰勒级数。
5. 多元函数微分学：- 多元函数的概念、偏导数和全微分。
- 多元函数的极值问题和条件极值问题。
6. 重积分与曲线积分：- 二重积分和三重积分的概念和计算方法。
- 对坐标的曲线积分和曲面积分。
7. 常微分方程：- 一阶微分方程的解法，如可分离变量方程、线性微分方程等。
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性微分方程。
8. 解析几何：- 空间直线和平面的方程。
- 空间曲线和曲面的方程。
9. 线性代数：- 矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量。
- 线性空间和线性变换的概念。
- 线性方程组的解法。
10. 概率论与数理统计：- 随机事件的概率、条件概率和独立性。
- 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。
- 数理统计中的参数估计和假设检验。
结束语：考研数学一的知识点广泛且深入，要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
因此，考生在复习过程中需要注重理解、练习和总结，以提高解题能力和应试技巧。
希望以上的归纳能够帮助考生更好地准备考研数学一的考试。
2021考研高等数学重点公式详解-定积分及其应用
f 此时也称反常积分J:J(x灿收敛，否则称反常积分 J(x讪发散
J: 3）设函数 f(x） 在［a，小 （c,b］ 上连续，出 f(x) =oo，如果反常积分 J(x'ylx 和
I: J: f(x灿都收敛，则称f:J＜抽＋ f（树为函数／（x）刮风b］ 上的反常积分，即
＝ (3）曲线方程为极坐标方程r =r（θ），α豆θ β，则
J:2 S倒 ＝ 矿（O)sin o.Jr2 （的＋r'2
4.平丽曲线的弧长 〈数学－，二〉
r: F+λ (1）曲线方程 y = f(x) , aSxSb ，则S=
ι°？ d
(2）曲线方程 x=x(y), c 豆 y!::d ，则s= L
dx.
r 2）类似地，设函数f(x） 定义在（咽，b］上连续，取 t<b ，如果但 f(x讪存在，则
称此极限为函数f(x） 在（-oo,b］上的反常积分，即
f （！（抽 . ＝ 坐立 1c抽1
（ （ 此时也称反常积分 f(x灿收敛，否则称反常积分 f(x)dx发散
i- （ 叫函数／（机义在（-oo,+oo）上连续，如果反常积分 f（树和 f(x)dx都收敛，
豆豆？一一一 称为函数 f(x） 在区间 ［a,b］上的平均值． a
性服6如果 f(x） 为奇函数时，汇／（柏＝0;
如果f（均为奇函数时，巳 f（对此＝ 2J:f(x）耐
性质7如果f(x） 是以T为周期的周期函数，则有
J: T
r /(X）命＝ f(x)dx.
nT
r f(x）由＝nJ: /(x)
三、积分上限函数 (1）积分上限函数定义
I 则有 J:1＜抽 ＝
2021研究生考试 高等数学重点知识点归纳总结汇总
3. 基本初等函数：
（1）幂函数 y
xa （ a 为常数）
特别的，a 3, a 2, a 1, a 12 ,
a
1 3
,
a
0,
a
1 3
,a
1 2
,a
1,a
2,a
3.
（2）指数函数 y ax （ a 0 且 a 1），特别的，当 a e 时， y ex .
总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，数集 D 叫做这个函数的定 义域， x 叫做自变量， y 叫做因变量． y 的取值范围叫函数的值域．
2. 反函数定义：设 y f (x) 的定义域为 Df ，值域为Vf ．对 y Vf ，在 Df 上可以确定
6
>>3
sin 2
x
1
cos 2
2x
，
cos2
x
1
cos 2
2x
；
sin
x
2
tan
x 2
1
tan2
x 2
，cos
x
1 1
tan 2 tan 2
x 2 x 2
，
tan
x
b 2a
上是增函数，在
b 2a
,
上是减函数.
3.一元二次方程（ ax2 bx c 0, a 0 ）
（1）判别式 b2 4ac ：
若 0 ，则方程有两个不相等的实数根； 若 0 ，则方程有两个相等的实数根； 若 0 ，则方程无实数根.
2021考研数学知识点梳理(高数篇)
2021考研数学知识点梳理(高数篇)同学们，计划备考2021考研的考生，现在开始就应该开始复习考研数学了，考研数学对于很多考生来说都比较难，所以更应该提早进行复习。
文都考研为同学们梳理出2021考研数学复习的基础知识点的内容，计划参加2021考研的小伙伴们可以划重点啦~第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)希望以上梳理出的关于2021考研数学复习的基础知识点的内容可以为同学们的复习提供帮助，会不断更新2021考研数学备考知识，欢迎广大考生持续关注！。