概率与统计：偶然—必然
唯物辩证法相关范畴——原因与结果、必然与偶然、可能与现实、现象与本质、内容与形式
1、原因和结果的含义
B、因果联系还具有时空上的相互依存性,因果联系是一种相互依存关系。 但不是所有的相互依存关系都是因果联系。如两种现象都由第三种现象引起，这两种现象之间就有着依存 关系，但它们之间并不是决定和被决定的关系，所以不是因果联系。例如，闪电之后必然伴有雷声，但闪 电不是打雷的原因，闪电和打雷都是云层中正电与负电碰撞的结果。
原因和结果又是相互联系的，二者 相互作用并在一定条件下相互转化。
生产的发展，孕 育并推动了科学技术 的发展；而科学技术 的发展反过来又极大 地促进了生产的发展。
因果联系的客观性、 普遍性、 多样性
①因果联系的客观性。因果联系的客观性是指 因果联系为客观事物所固有， 它不以人的意 志为转移。人们的因果观念不过是客观因果关 系的反映。
• 每一时代的历史任务，总要通过一定的代表 人物来实现，这是必然的；至于这些人物是 谁，又带有偶然性。
➢在一定条件下相互转化
在一定条件下，原来是必然的 现象转化为偶然的现象，原来是偶 然的现象转化为必然的现象。
必然性和偶然性的相互转化。在生 物进化过程中表现得十分明显。 生物物种的遗传和变异：
不能割裂必然性和偶然性的关系
因果关系是客观的、普遍的、多样的，其 中有：一因多果、同因异果、一果多因、同果 异因、多果多因、复合因果等。为了把握事物 发展的规律性，在分析复杂因果联系时，一定 要进行具体的、全面的、科学的分析。
掌握原因和结果辩证关系原理的意义
①承认因果联系的存在是我们从事科学研 究、 获得科学认识的前提。科学就是要根 据结果探寻原因， 根据原因预见结果。
原因和结果的辩证关系
原因和结果这两个观念，只有在 应用于个别场合时才有其本来的意 义；可是只要我们把这种个别场合 放在它和世界整体的总联系中来考 察，这两个观念就汇合在一起，融 合在普遍相互作用的观念中，在这 种相互作用中，原因和结果经常交 换位置；在此时或此地是结果，在 彼时或彼地就成了原因，反之亦然。 恩格斯
中考数学研究：偶然事件和必然事件中的概率性问题
中考数学研究：偶然事件和必然事件中的概率性问题偶然事件和必然事件中的概率性问题这个世界上的许多事情发生都是有偶然和必然的，正是因为有这些事件的不确定性才导致偶然事件的产生。
偶然事件就成为了现在人们研究的兴趣排除偶然去发现必然就是不断的发现误差的过程。
偶然的和必然的概率性研究就成了数学领域研究的重点。
既然绝大多数事情都同时包含偶然因素和必然因素，我们自然就想排除偶然去发现背后的必然。
偶然的失败和成功都不必大惊小怪，我根据必然因素去发现判断，这总可以吧？可以，但是必须先理解误差。
历史上最早的科学家曾经不承认实验可以有误差，认为所有的测量必须都是精确的，把任何误差归结为错误。
后来人们才渐渐意识到偶然因素是永远存在的，即使实验条件再精确也无法完全避免随机干扰的影响，所以做科学实验往往要测量多次，用取平均值之类的统计手段得出结果。
多次测量确实是一个排除偶然因素的好办法。
国足输掉比赛以后经常抱怨偶然因素，裁判不公、主力不在、不适应客场气候，草皮太软、草皮太硬，等等。
关键是，如果经常输球，我还是可以得出国足是个弱队的结论。
即便科学实验也是如此，科学家哪怕是测量一个定义明确的物理参数，也不能给出最后的“真实答案”，他们总在测量结果上加一个误差范围比如最近发现的希格斯粒子质量为125.3±0.4(stat)±0.5(sys)GeV意思是质量125.3，但其中有0.4的统计误差，还有0.5的系统误差。
真实的质量其实只有一个，但这个数字是多少，我不知道，它可以是这个误差范围内的任何一个数字。
事实上，甚至可能是误差范围外的一个数字。
这是因为误差范围是一个概率计算的结果，这个范围的意思是说物理学家相信真实值落在这个范围以外的可能性非常非常小。
所以真实值非常不易得。
而且，别忘了科学实验是非常理想化的，大多数事情根本没有机会多次测量。
若只能测一次，那么对这一次测量的结果该怎么解读？只能根据以往经验和类似案例，来估计一个大致的范围。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
材料作文“偶然和必然”及范文
材料作文“偶然和必然”及范文材料作文“偶然和必然”及范文太子头上的材料作文“偶然和必然”及范文作文材料——天下没有偶然，偶然不过是化了妆的、戴了面具的必然。
——钱钟书执偶然之果，寻必然之因穆彤偶然，是麦子抽穗前倏然而至的细雨，淅淅沥沥滋养大地；偶然，是果实成熟前云层乍现的阳光，洋洋洒洒温暖生命。
然而，麦粒的饱满或干瘪，果实的香甜或青涩，看似是阳光雨露偶然恩赐的结果，而实际上，农人的精耕细作，大地的日日供养才是其一朝成熟的必然原因。
自然万物如此，我们，作为诗意地栖居在大地上，一棵会思考的芦苇亦然。
正如钱钟书所言：“天下就没有偶然，那不过是化了妆的，戴了面具的必然。
”就好比钱老《围城》的横空出世，备受赞扬，即便当初是偶然试笔之作，其实也还是他反复读书，反复笔记造就的必然。
大多时候，人生在世目睹的一切成败荣辱，表面上仿佛都是偶然之机遇促成的，却都有其必然的铺垫。
我们倘若可以执偶然之果，找寻必然之因，人生之路就会愈加清晰，不复迷失。
或许，绝大多数人都会认为，是安史之乱的偶然造就了杜甫诗风的沉郁顿挫，是盛唐繁华的偶然促成了李白诗意的浪漫翩跹。
是的，环境，机遇，时事，这些都是偶然不假，可杜甫性情中的贫而不改其志，是他铸就诗史的必然，李白个性中的落拓而不改其狂，是他被誉为诗仙的必然。
杜甫心中牢不可破的“道”，使他对那个社会永不会失望，那希望支撑着他不妥协不苟且，当然也就不富贵不安逸；李白心中不可动摇的骄傲和不羁，使他始终被稳稳托于云端，使他始终拥有最酒意的诗和最恣意纵横的美。
今天，我们执着偶然的结果，沿着历史长河溯流而上，去探索，去寻找那些影影绰绰的必然因子。
不要只看到“会天大雨，道不通”，就以为陈胜、吴广起义只是偶然，而忘却了那田埂间“燕雀安知鸿鹄之志哉”的豪言壮语以及秦皇的暴戾恣睢而失却的民心；不要只看到楚霸王受围四面楚歌，就认定兵败垓下只是兵家常事，只是偶然，而忽略了曾经他的刚愎自用——正中了爱因斯坦那句箴言：“没有侥幸这回事，最偶然的意外，似乎也都是有必然性的。
话说安全事故的偶然与必然
话说安全事故的偶然与必然在日常生活中，我们时常会听到各种各样的安全事故，例如交通事故、火灾、爆炸等等。
对于这些突如其来的安全事故，我们常常会问自己：它们是偶然发生的还是必然发生的呢？对于这个问题，不同人有不同的看法。
本文探讨话说安全事故的偶然与必然。
1. 偶然性偶然指的是一种无法预计、无法预防的事件。
在一些安全事故中，偶然性起到了重要作用。
例如，我们穿过斑马线时，如果车速不快、司机不疲劳、天气不恶劣，那么我们的横穿道路的行为基本上是安全的。
但是，如果这些条件都不满足，那么发生交通事故的概率就会大大增加。
这就是偶然性的体现。
同样的，火灾、爆炸也常常是偶然发生的。
例如，火灾可能由于电气设备故障、烟雾过大、火源难以控制等原因而发生。
这些都是无法预料的事件，难以进行有效的防范。
同样的，爆炸也可能由于偶然因素而发生，例如瓶子的质量不符合标准、使用者没有正确使用等。
2. 必然性必然性指的是产生安全事故的必然性。
虽然看似矛盾，但是，在某些情况下，安全事故的发生是有必然性的。
这通常是由于人为因素导致的。
例如，过度劳累、酒后驾驶、无意忽视安全标识等都是导致安全事故发生的必然因素。
在这些情况下，事故的发生是可以预测的、可控制的。
必然性还体现在安全规程的不合理性上。
安全规程的不合理性可能会导致安全事故的发生。
例如，在某些工作场所，工人不得不长时间进行繁重的体力劳动，或是站着工作、坐着工作导致的身体不适。
如果这些问题没有得到及时解决，那么这些工人的身体负荷将会超过安全标准，安全事故的发生也就变得必然了。
3. 判断安全事故的偶然与必然的依据判断安全事故的偶然与必然，需要从多个方面进行考虑：(1) 是否可预测：如果是可以预测的，那么安全事故的发生基本上是必然的。
(2) 是否可控制：如果是可以控制的，那么安全事故的发生基本上是必然的。
(3) 是否能够改变：如果可以改变，那么这种情况下，做好预防措施是非常有效的。
总的来说，判断安全事故的偶然与必然，需要综合考虑多种因素。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
1.概率论的基本概念
问题： 问题： 下面的现象哪些是随机现象？ 下面的现象哪些是随机现象？
太阳从东方升起； A. 太阳从东方升起； 上抛物体一定下落； C. 上抛物体一定下落； 明天的最高温度； B. 明天的最高温度；
掷一颗骰子， D.掷一颗骰子，观察其向上点
数. 随机现象
{
大量性随机现象: 在完全相同的条件下 大量性随机现象: 可重复出现的随机现象 个别随机现象
i=1 ∞
A1 , A2 , …同时发生. 同时发生.
4°A 与 B 的差
A− B
不发生. 事A发生但事 B 不发生.
5°A 的逆事件 A
不发生. 事A 不发生.
对此有 A A = φ , A U A = Ω, A = Ω − A. 6°如果 A B = φ , 即 A 与 B 不同时发生, 不同时发生, 互不相容(或互斥). 则称A与 B 互不相容(或互斥). 要熟知一些常见的关系与运算, 要熟知一些常见的关系与运算,
测试其
可认为任一大于0的数都是一个可能结果， 可认为任一大于0的数都是一个可能结果，
**随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下， **随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下，试验中 随机事件 可能发生也可能不发生的事件称为 可能发生也可能不发生的事件称为 随机事件. 随机事件. 等表示事件. 一般以大写字母 A, B, C 等表示事件.
概率论与数理统计有广泛应用
(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； 金融 (2).流水线上产品质量检验与质量控制 流水线上产品质量检验与质量控制； (2).流水线上产品质量检验与质量控制； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置 服务性行业中服务设施及服务员配置； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置； (4).生物医学中病理试验与药理试验 生物医学中病理试验与药理试验； (4).生物医学中病理试验与药理试验； (5).食品保质期 弹药贮存分析， 食品保质期、 (5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电 子产品寿命分析； 子产品寿命分析； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；
概率的故事
德摩根 布丰 Ｋ ·皮尔逊 Ｋ ·皮尔逊
２０４８ ４０４０ １２０００ ２４００
出现正面朝 上的次数 ｍ
１０６１ ２０４８ ６０１９ １２０１２
频率 m n
０．５１８ ０．５０６９ ０．５０１６ ０．５００５
容易看出，投掷次数越多，频率越接近于 ０．５。如果投掷两枚均匀的硬 币，这两枚硬币落下后，出现四种结果的可能性是相等的，如图：
长为πｄ 的铁丝扔下 ｎ 次时，与平行线相交的交点总数应大致为 ２ｎ。
现在再来讨论铁丝长为 ｌ 的情形。当投掷次数 ｎ 增大的时候，这种铁丝
跟平行线相交的交点总数 ｍ 应当与长度 ｌ 成正比，因而有：
ｍ＝ｋｌ
式中 Ｋ 是比例系数。
为了求出 Ｋ 来，只需注意到，对于 ｌ＝πｄ 的特殊情形，有 ｍ＝２ｎ。于
众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与 圆半点也不沾边的呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用 的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的 更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作 了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
与设想频率相差 －０．００１ ＋ ０．００２ ＋０．０１０ ＋ ０．０１２ ＋０．００５ －０．００８ ＋０．００２ －０．０２８ －０．００５ ＋０．０１０
法格逊觉得：向克斯计算的π，数码出现的次数不基本相同，可能是计 算有错。于是，他下定决心，用当时最先进的计算工具，从 １９４４ 年 ５ 月到 １９４５ 年 ５ 月，整整算了一年，终于发现：向克斯π的 ７０７ 位小数中，只有前 ５２７ 位是正确的，由于从当初向克斯没有发现，使他白白浪费了许多年的光 阴，这真是色。终生的憾事。法格逊的成就，基于他的一个猜想，即在π值 的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正
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但您在来信的最后一个例子中说，如果我在赌博时（以
掷八次为一局）要的是六点，而连掷三次都没有得到这个点 数。对手建议我不掷第四次，那我就该得到全部赌金的 125/1296作为补偿。
1 分，形成 2 ：2 的局面，这种情况下终止赌博，则甲、乙各 得赌金 32 。
我认为，在“甲得 2 分，乙得 1 分”的情况下终止赌博，
甲应该说：无论上述两种情况哪一种发生，我首先应得一半赌
金，至于剩下一半，我们获胜机会均等，应该再平分，所以我 应该得赌金（32 + 16）= 48 。
2、若甲得 2 分，乙得 0 分： 如果甲再得 1 分，则可得赌金 64；如果甲输掉，而乙再得 1分，形成 2 ：1 的局面，即1、的情形。 我认为，在“甲得 2 分，乙得 0 分”的情况下终止赌博， 甲应该说：我首先应得 3/4 赌金，至于剩下 1/4 ，我们获胜机 会均等，应再平分，所以我应得赌金（48 + 8）= 56 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ掷骰子问题给出科学的方法和精确的结果，但是他们的努力却 为概率论的创立作了有益的积累。
二、理论概括 文艺复兴以后，在欧洲促使概率论产生的强大动力来自
社会实践。随着生产的发展、社会的进步，尤其是商业、航 海业日益发达，保险业兴起。保险的对象都带有明显的随机 性色彩，这就需要对大量随机现象的规律性进行分析、研究， 从而为保险业提供一般理论。因此，概率论产生的时机来到 了。
3、若甲得 1 分，乙得 0 分： 如果甲再得 1 分，形成 2 ：0 的局面，即 2、的情形；如 果甲输掉，而乙再得 1分，形成 1 ：1 的局面，此时终止赌博， 则甲、乙各得赌金一半 32。 我认为，无论如何甲首先应得 1/2 赌金，乙应得 1/8 赌金。 至于剩下的，他们机会均等，应平分。所以，在“甲得 1 分， 乙得 0 分”的情况下终止赌博，甲应得赌金（32 + 12）= 44， 乙应得赌金（8 + 12）= 20。
概率与统计：偶然——必然
• 概率论的源流 • 统计无处不在
• 概率论的源流
概率论的产生、发展，大致可以分为四个阶段：方法积 累、理论概括、系统理论、公理体系。
一、方法积累 始于对随机性游戏胜负的分析，甚至对赌博输赢的估计
及其赌金分配的确定。 Pacioli Luca（1445 ~ 1514） 《算术、几何、比与比例集成》（1494）中提出问题：
在一次赌博中规定，先胜 6 次者获全部赌金。两个赌徒分别 胜 5 次、2次时终止赌博，赌金如何分配？
Pacioli 认为按 5 ：2 分配。 试看先胜16次者获全部赌金，两个赌徒分别胜1 5 次、12 次时终止赌博，赌金如何分配？
Cardan，Jerome （1501 ~ 1576）
分析、估计剩下的次数，提出按（1 + 2 + 3 + 4）：1 的比 例分配赌金。思路正确，算法不对。
做了奠基性的工作。
1654年7月到10月间， Pascal 与 Fermat 讨论了从“赌金
问题”中提出的问题，他们之间频繁的通信，被认为是数学 史上最早的概率论文献，开始了概率论和组合论的研究。
1654年，Mere，Cheradierde（1610 ~ 1685）向 Pascal 提
出一个类似于“Pacioli 赌金问题”的问题： 两个赌徒各出相等的赌金，规定先胜 S 次者赢得全部赌
例1、1654年7月 Fermat 给 Pascal 的信
先生， 如果两人赌博时以掷八次骰子为一局，而在下赌注之后我
与对方商定，我放弃掷第一次的机会，那么根据我的理论应该 得到全部赌金的1/6作为补偿。
如果我继续放弃掷第二次的机会，就应该得到所剩赌金的 1/6，即全部赌金的5/36作为补偿。
如果在第三次轮到我掷的时候，我仍然弃权，应该得到上 次所剩赌金的1/6即全部赌金的25/216作为补偿。
我急于知道您是否同意我的理论，请来信赐教。我相信 我们会取得一致意见的，或者仅仅在它的应用方面有些异议。
致以衷心的祝福。 费马
例2、1654年7月29日Pascal 给 Fermat 的信（摘要） 下面给出两个赌徒之间分配赌金的方法：例如每人投放32
枚金币为赌金，并以先得3分为赢。 1、若甲得 2 分，乙得 1 分： 如果甲再得 1 分，则可得赌金 64；如果甲输掉，而乙再得
金，当他们分别胜 S - 1 次、 S - 2 次时终止赌局， 赌金如何 分配。
Pascal为这个问题考虑了好久，不得其解。于是，他将 这个问题提交给 Fermat 共同讨论，并取得以下共同认识：
1、不仅考虑过去的结果，更应该分析未来的情况； 2、利用组合论来解决概率问题； 3、注意不同类型的概率问题，尤其要区分独立概率、条 件概率。
最初，概率论还是产生于简单的模型，诸如“赌金分配
问题”。因为，从这些简单的问题中更容易呈现出“自然的 随机状态”，更有利于得出典型的规律，譬如“多次试验中 的频率稳定性”，再经过加工、提炼更能有效地形成一般理 论。
在这方面，Pascal，Blaise（1623 ~ 1662）、Fermat， Pierre de（1601 ~ 1665）、Huygens，Christian（1629 ~ 1695）
去世多年后，1663年《赌博之书》中探讨掷 2 颗、3 颗骰 子时，在全部可能的情况中，有多少种情况能得到某一点数。
Tartaglia，Niccolo（1506 ~ 1557）
从数学的角度，计算掷骰子时如何得到某个指定的和数。 运用的方法与排列、组合相关。
尽管 Pacioli 、 Cardan 、 Tartaglia 都没有对赌金问题、
按照我的理论，并非如此。因为在这种情况下，先掷的
三次什么也没得到，赌金总数未变，持有骰子而放弃掷第四 次的人应得的全部赌金的1/6作为补偿。
如果他已掷四次而没有发现期望的点数，双方商定他不 再掷第五次，他依然应得全部赌金的1/6，因为赌金的总数 依然如故。不管是从理论上说还是从常识上说，掷每一次的 价值应该是相等的。