2020年高考理科数学全国各地最新模拟试题分类汇编13 立体几何及答案解析
2020年高考各省市模拟试题分类汇编：立体几何(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编：立体几何1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（ ）A ．若//m α，n αβ=I ，则//m nB ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥C ．若n β⊥，αβ⊥，则//n αD ．若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】对于一个任意长方体，，A 中，如图，取m AB =，α=面11CC D D ，β=面11BB C C ，1CC n αβ==I ，而1AB CC ⊥，即m n ⊥，故A 错；B 中，若//m β，则根据线面平行的性质，平面β内必存在直线//l m ，而m α⊥，则l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，B 对；C 中，如图，取n AB =，α=面11ABB A ，β=面11BB C C ，则n β⊥，αβ⊥，而n ⊂α，故C 错；D中，取α=面11AB C D ，β=面11BB C C ，11B C l αβ==I ，1m AB α=⊂，1n BB β=⊂则m l ⊥，n l ⊥，但,αβ不垂直，故D 错；故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）A ．1612+πB ．3212π+C ．2412π+D ．3220π+【答案】A 【解析】由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：221422222412162S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，故选A ． 3．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为( )A ．536B ．36C ．336D 11【答案】B【解析】取AC 中点M ，则因为E 为BC 中点，因此ME 平行AB ，从而异面直线AB 与DE 所成角等于∠MED ，因为三棱锥A BCD -的各棱长都相等，设为1，则13,2ME DM DE === 222313(()(3222cos 31222MED +-∴∠==⨯⨯AB 与DE 3B 。
2020年高考数学全国Ⅲ卷(理)试卷+解析
附：K2=
P（K2≥k） 0.050
0.010
n ad bc2
，
a bc d)a cb d
0.001
k
3.841
10.828
6.635 ．
19．（12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ． （1）证明：点 C1 在平面 AEF 内； （2）若 AB 2 ， AD 1， AA1 3 ，求二面角 A EF A1
故选：C.
【小结】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.复数 1 的虚部是（ 1 3i
A. 3 10
【答案】D
）
B. 1 10
1
C.
10
3
D.
10
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出 z 即可.
【详解】因为 z 1 1 3i 1 3 i ， 1 3i (1 3i)(1 3i) 10 10
设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的
人次，整理数据得到下表（单位：天）：
1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2020高考数学分类汇编--立体几何
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．1210．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB = .18．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值． 3．C 10．A16．14-18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63PO a AO a AB a ===，2PA PB PC ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，从而PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)22E A C P -.所以31(,,0),(0,2EC EP =--=-.设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2023102y z x y⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取3(,1,2)=-m . 由（1）知2(0,1,)2AP =是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ， 则25cos ,|||5⋅==n m n m n m |. 所以二面角B PC E --的余弦值为25.2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为ME F GHA ．EB ．FC ．GD ．H10. 已知ABC △是面积为439的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为π16，则球O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3B ．23 C ．1 D ．23 16．设有下列四个命题： 1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是________． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝20．（12分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面C C BB 11是矩形，M ，N 分别为BC ，11C B 的中点，P 为AM 上一点，过11C B 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：MN AA ∥1，且平面F C EB AMN A 111平面⊥；（2）设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．8．C15 19．解：设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内． （2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ． 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --．2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．1211．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．212．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π19．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积. 3．C11．B12．A19．解：（1）由题设可知，PA =PB = PC ．由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ． △PAC ≌△PBC ．又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ．由题设可得rl 222l r ==．解得r =1，l从而AB 1）可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P -ABC 的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=．2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学11．已知△ABC O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为AB ．32C ．1D 16．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝20．（12分）如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积． 12．A16．①③④20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ⋂平面EB 1C 1F = PN ， 故AO ∥PN ，又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP = ON =13AM PM =23AM EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内． 9．C16．2π 19．解：（1）如图，连结BD ，11B D ．因为AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，故AC BD ⊥．又因为1BB ⊥平面ABCD ，于是1AC BB ⊥．所以AC ⊥平面11BB D D ． 由于EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）如图，在棱1AA 上取点G ，使得12AG GA =，连结1GD ，1FC ，FG ，因为1123D E DD =，123AG AA =，11DD AA =∥，所以1ED AG =∥，于是四边形1ED GA 为平行四边形，故1AE GD ∥．因为1113B F BB =，1113AG AA =，11BB AA =∥，所以11FG A B =∥，11FG C D =∥，四边形11FGD C 为平行四边形，故11GD FC ∥．于是1AE FC ∥．所以1,,,A E F C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内． 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（3）某三棱柱的底面为正三角形， 其三视图如图所示， 该三棱柱的表面积为（A ）63+（B ）623+（C ）123+（D ）1223+（16）（本小题13分） 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．9．1232π 15．满分14分.证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB . 22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD 5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 5．C17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ． 因此有|||6cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是30sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为306． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 32020年普通高等学校招生全国统一考试新高考4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°D16．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．4．B 1620．解：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD AD⊥．⊥，因此AD⊥底面PDC．又底面ABCD为正方形，所以AD DC∥，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．因为AD BC∥．因此l⊥平面PDC．由已知得l AD（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)D C B P ，(0,1,0)DC =，(1,1,1)PB =-． 由（1）可设(,0,1)Q a ，则(,0,1)DQ a =．设(,,)x y z =n 是平面QCD 的法向量，则0,0,DQ DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.ax z y +=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,)a =-n ． 所以cos ,||||3PB PB PB ⋅〈〉==⋅n nn ． 设PB 与平面QCD 所成角为θ，则sin θ==当且仅当1a =时等号成立，所以PB 与平面QCD 所成角的正． 2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．73B．143C ．3D ．614．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______． 19．（本题满分15分）如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．5．A 14．119．满分15分。
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (1)
高三理科数学模拟试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{0,2,}A a =，{}21,Ba a =-，若A B I 只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-【答案】B 【解析】分析：先利用两集合有公共元素得到a 值，再通过集合元素的互异性和公共元素的唯一性进行验证． 详解：因为A B I 只有一个元素，所以1a =或2a a a =-或22a a -=或20a a -=，解得1a =或0a =或2a =或1a =-，当1a =时，{}{}{}0,2,1,1,0,0,1A B A B ==⋂=（舍）， 当0a =时，集合A 与互异性矛盾（舍）， 当2a =时，集合A 与互异性矛盾（舍），当1a =-时，{}{}{}0,2,1,1,2,2AB A B =-=⋂=（符合题意）， 即1a =-．点睛：本题考查集合的交集运算、集合元素的性质等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、分类讨论能力和基本计算能力． 2.已知复数ii (,,)2ia x y a xy +=+∈+R ，则2x y += A. 1 B.35C. 35-D. 1-【答案】A 【解析】由题得()(2)2(2)21a i x y i i x y x y i x y +=++=-++∴+=，故选A.3.已知p ：2a >，q ：x R ∀∈，210x a x ++≥是假命题，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：通过一元二次不等式恒成立的条件，判别式不大于零，求出参数a 的范围，之后根据其为假命题，求其补集得到命题q 为真命题是对应的参数a 的范围，之后利用集合的包含关系判断即可.详解：如果不等式210x a x ++≥恒成立， 则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤， 因为其是假命题，则有(,2)(2,)a ∈-∞-+∞U ，又因为(2,)+∞是(,2)(2,)-∞-+∞U 的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题所考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要根据一元二次不等式解集的形式，对其判别式的符号进行判断，求得结果，下一步的任务就是需要判断两个命题对应的参数的取值所构成的集合间的包含关系求得结果.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()n nS a n =-∈N ，则2018a =（ ） A. 20162 B. 20172 C. 20182 D. 20192【答案】B 【解析】21,2n n Sa n Nn Q （），+=-∈∴≥时，112121n n n n n a S S a a --=-=---（）， 化为：12n n a a -=． 1n =时，1121a a =-，解得12a =． ∴数列{}n a 是等比数列，首项为1，,公比为2．12018120172018222.n n a a ．--∴=∴== 故选B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，解题时应注意11 n =1 n 2nn n S a S S -⎧∴=⎨-≥⎩. 5.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB C D =时，双曲线的离心率为（ ） A. 2【答案】C 【解析】∵双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F∴(2,0)F ，2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点 ∴令2x =，则216y =，即4y =±. ∴8AB =∵2AB C D = ∴4CD =将2x =代入到双曲线的方程可得241y ba =±-，则24214b a-=. ∵2224a b c +== ∴51a =-∴双曲线的离心率为5151ce a +===- 故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．6.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587C. 0.1586D. 0.1585【答案】B 【解析】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B ．考点：正态分布7.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.424π++ B. 2422π++ C. 2424π++ D. 2224π++ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．详解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 其直观图如下所示：其表面积S=2×12π•12+2×12×2×1+1212π⨯⨯ +()2+222⨯﹣2+4，故选C ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d c a f x x ⎰B.()d caf x x⎰C. ()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D. ()d ()d cbbaf x x f x x -⎰⎰【答案】D 【解析】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx ，然后根据定积分的意义进行选择即可． 详解：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X 轴的面积代数和． 即∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx 选项D 正确． 故选D ．点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.9.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,5]-∞⋃B. (,1)(1,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D 【解析】分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或 所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或， 因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.将函数sin ()3y x π=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移3π个单位，得到函数()y f x=的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]π上的对称中心为（ ） A. (,0)π，(2,0)π B. (,0)πC. (0,0)，(,0)πD. (0,0)，(,0)π，(2,0)π 【答案】D 【解析】 函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得1s in ()23y x π=-，再向右平移3π个单位，得到函数1()s i n ()22f x x π=-的图象，由111()s i n ()'()c o s ().22222f x x fx x ππ=-⇒=-故()12t a n ()'()22f x x f x π=-，令122x π- =(1)(),2k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为1,0,1-，故所求对称中心为()()()0,0,,0,2,0ππ，故选D.11.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PFF ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120P F F <∠<o o，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. 1)2C. 1(,1)2D. 1(0,)2【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣2c ．设∠PF 1F 2 =θ，则1260120P F F <∠<o o ，故﹣12＜cosθ＜12，再由余弦定理，求得e 的范围． 详解：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣PF 1=2a ﹣2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1260120P F F <∠<o o，∴﹣12＜cosθ＜12．△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cosθ=222c 22a acc -+ ，由﹣12＜cosθ＜12 可得e 的范围12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为：B.点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a=-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a ⎡⎤=⎣⎦恰有两个根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,-+∞ B. ()1,2l n 22--C. (],2l n 22-∞-D. (],22l n 2-∞-【答案】C 【解析】试题分析：根据f （x ）的图象判断a 的范围，用a 表示出x 1，x 2，得出x 1+x 2关于a 的函数，从而可得出x 1+x 2的取值范围． 详解：作出f （x ）的函数图象如图所示：由[f （x ）]2=a 可得f （x ）=a ， ∴a ＞1，即a ＞1．不妨设x 1＜x 2，则x 12=eaa （t ＞1），则x 1=t ，x 2=lnt ，∴x 1+x 2=lnt t ，令g （t ）=lnt t ，则g′（t ）=12t2-t ，∴当1＜t ＜4时，g′（t ）＞0，当t ＞4时，g′（t ）＜0， ∴当t=4时，g （t ）取得最大值g （4）=ln4﹣2=2ln2﹣2． ∴x 1+x 2≤2ln2﹣2． 故选C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,)a λ=r ，(3,1)b =r ，(1,2)c =r ，若向量2a b -r r 与c r 共线，则向量a r在向量c r 方向上的投影为______． 【答案】0.【解析】【详解】试题分析：根据向量共线求出λ，计算a c r rg ，代入投影公式即可．详解：向量a r =（1，λ），b r=（3，1）， 向量2a r ﹣b r=（﹣1，2λ﹣1）， ∵向量2a r ﹣b r 与c r=（1，2）共线， ∴2λ﹣1=﹣2，即λ=1-2．∴向量=（1，1-2）， ∴向量a r 在向量c r 方向上的投影为|a r |•cos ＜a r ，c r ＞=112·203a c c-⨯==r r r 故答案为0．点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．14.若不等式组002600x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,3][0,6)-∞-⋃.【解析】先画部分可行域00260x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，设直线0x y m -+=与x 轴的交点为(,0)m -，另外(3,0),(0,6)A B ， 由图形可知：当(,3][0,6)m ∈-∞-⋃时，可行域为三角形，故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．点睛：本题考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，以及简单的线性规划的应用问题，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.15.在三棱锥A B C D -中，A B C ∆与B C D ∆都是正三角形，平面A B C ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2，则A B C ∆的边长为__________． 【答案】6. 【解析】试题分析：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，求出EF ，判断三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接OA ，OC ，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的体积． 详解：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，由题意知AF ⊥DF ，设三角形的边长为2a,，该三棱锥的外接球的体积为2,∴EF=12，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上， 连接OA ，OC ，有R 2=AE 2+OE 2，R 2=CF 2+OF 2，∴R 2=）2+OE 2，R 2=a 2+﹣OE ）2，∴3a =∴三棱锥的边长为6． 故答案为6．点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 16.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且ME ，则AB =__________． 【答案】6. 【解析】分析：解决该题需要将点,F E 的坐标求出，之后设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元，写出M 的坐标，应用两点间距离公式求得2k 的值，应用焦点弦长公式求得结果.详解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是(1,0)F ，设直线:(1)l y kx =-，将直线与抛物线方程联立24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元可得2222(24)0k x k x k -++=，从而可得212224k x x k ++=，从而求得2222(,)k M k k+，求得(1,0)E -，根据M E ，可得222224(1)11k k k+++=，求得22k =，而1224226A Bx x p k =++=++=，所以答案是6.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长问题，解决问题的关键是需要设出直线的方程，联立求得弦中点坐标，之后应用两点间距离公式建立等量关系式，最后应用焦点弦长公式求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足112a =，*1112()n nn N a a +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)12n a n=. (2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =；（2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，裂项求和即可. 详解：（1）由条件可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =. （2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，所以2222123na a a a +++⋅⋅⋅+ 1111111142231n n ⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭ 1124n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.（山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟考试）如图，在四棱锥P A B C D -中， 222P A P D A D C D B C =====，且90==︒∠∠A D C B C D ．（1）当2P B =时，证明：平面P A D ⊥平面A B C D ； （2）当四棱锥P A B C D -的体积为34，且二面角PA DB --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）313【解析】试题分析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,P O B O ，由正三角形的性质可得O P A D⊥，由勾股定理可得P O O B ⊥，根据线面垂直的判定定理可得P O ⊥平面A B C D ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面P A D ⊥平面AB C D ；（Ⅱ）根据四棱锥P A B C D -的体积为34，可得3P O =，∴2293342O E P O P E =-=-=，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴．在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -，算出直线PA 的方向向量与平面PCD 的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,PO B O ， ∵P A D ∆为正三角形，∴OP A D ⊥，∵90A D C B C D ∠=∠=︒，∴//B C A D ， ∵112B C A D ==，∴B C O D=， ∴四边形B C D O 为矩形，∴1O BC D ==， 在P O B ∆中，P O ，1O B =，2P B =，∴90P O B ∠=︒，∴P O O B ⊥， ∵A D O BO ⋂=，∴P O ⊥平面A B C D ， ∵P O ⊂平面PAD ，∴平面P A D ⊥平面A B C D ． （Ⅱ）∵A D P O ⊥，A D O B ⊥，P O B O O⋂=， ,P O B O ⊂平面POB ，∴A D ⊥平面POB ，∵A D ⊂平面AB C D ，∴平面P O B ⊥平面A B C D ， ∴过点P 作P E ⊥平面A B C D ，垂足E 一定落在平面POB 与平面A B C D 的交线B O 上． ∵四棱锥P A B C D-的体积为34， ∴()111323P A B C DV P E A D B C C D -=⨯⨯⨯+⨯= ()113211224P E P E ⨯⨯⨯+⨯==，∴32P E =，∵P O，∴2O=．如图，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴． 在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -， 由题意可知()1,0,0A，30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0D -，()1,1,0C -，31,2D P u u u v ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0D C =uu u v ， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩uuu v v uuu v v ，得3020x y z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 令1x =，则23z =-，∴21,0,3n v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32P A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ， 则s i n c o s ,P A n u u u v v θ=·3P An P A n=⨯u u u v v u u u v v则直线PA 与平面PCD所成角的正弦值为31313．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度x ︒C21 23 24 27 29 32产卵数y 个 6 11 20 27 5777经计算得： 611266i i x x ===∑， 611336i i y y ===∑， ()61()557i i i x x y y =--=∑， ()62184i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621()236.ˆ64i i i y y =-=∑，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy =ˆb x +ˆa （精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为ˆy =0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522. （i ）试与（1）中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好；（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.参考公式：^221112222111()()()ˆˆˆ,1()()=，======----==-=----∑∑∑∑∑∑nnni i i i i ii i i n n ni i i i i i x xy y x y n x y y y b a yb x R x x x n x y y【答案】(Ⅰ)ˆy =6.6x −138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190. 【解析】分析：（1）由题中所给数据求出ˆˆ,b a 后可得线性回归方程．（2）①由（1）中的方程可求得相关指数R 2=0.9398，与所给的数据比较可得结论．②根据所选模型中的方程进行估计即可．详解：（1）由题意得，()()()616215576.8ˆ6,4i i i ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑ ∴ ˆa=33−6.6⨯26=−138.6， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6．（2） ① 由所给数据求得的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6，相关指数为R 2=()()621621236.641110.06020.9398.3930ˆii i ii y y y y ==--=-≈-=-∑∑ 因为0.9398＜0.9522，所以回归方程ˆy =0.060.2303x e 比线性回归方程ˆy 6.6138.6x =-拟合效果更好．② 由①得当温度035x C =时，ˆy 0.2303358.06050.060.06e e ⨯==， 又 8.06053167e ≈， ∴ ˆy 0.063167190≈⨯≈， 即当温度为35 0C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.点睛：相关指数R 2是用来判断回归方程拟合程度的量，当R 2大时说明方程的拟合程度较好，当R 2小时说明方程的拟合程度较差．20.已知抛物线C ：22(0)y p x p =>的焦点F 与椭圆T ：2212x y +=的一个焦点重合，点0(,2)M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求抛物线C 的标准方程以及M F 的值.（2）记抛物线的准线'l 与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得A F F Bλ=u u u v u u u v，且22854H A H B +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x =；2MF =. (2) 存在λ满足条件，且λ的值为2或12. 【解析】试题分析：（1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标()0,1F ，则可得12p=，即可求得p 的值，求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得MF 的值； （2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得2142t λλ=+-，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数入的值.试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆T ：2212x y +=中，222,1a b ==，故2221c a b =-=，故()0,1F ，故12p =，则24p =，故抛物线C 方程为24y x =，将()0,2M x 代入24y x =，记得01x =，故122pMF =+=. （Ⅱ）依题意，()0,1F ，设:1l x t y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y t y --=.∴121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩① 且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又A F F B λ=u u u v u u u v则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入① 得()222144y t y λλ⎧-=⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -， 则()()222222112211H A H B x yx y +=+++++ ()222212121222x x x x yy =++++++ ()()()222212121211222t y t y t y t y y y =+++++++++ ()()()2221212148t yy t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+ 42164016t t =++.由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12.21.已知函数()l n f x x x =，2()(3)xg x x a x e=-+-（a 为实数）. （1）当5a =时，求函数()g x 的图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[,2](0)tt t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,[,e]x x e∈，使方程()2()xg x ef x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)4e 3e y x =-.(2) 当1t e ≥时, m i n ()()l n fx ft t t ==；当10t e <<时,m i n11()()f x f e e==- (3)1(4,32)e e+-. 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到()'14g e =，()1g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-；（2）当1t e ≥时，()f x 为增函数可得到函数最值，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，进而得到最值；（3）原式子等价于32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++，研究函数的单调性得到函数的图像进而得到零点情况. 详解：（1）当5a =时，()()253xg x x x e =-+-，()1g e =，()()2'32xgx x x e =-++，故切线的斜率为()'14g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-. （2）∵()'l n 1f x x =+，当1t e ≥时，在区间[],2t t +上，()f x 为增函数，所以()()m i nl n f x f t t t ==，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，所以()m i n 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（3）由()()2xgx ef x =，可得22l n 3x x x a x =-+-，则32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++， 则()()()223123'1x x hx x x x+-=+-=.因为1132h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，()14h =，所以()12420he h e e e⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴()1h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围为14,32e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xO y 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2s i n ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.【答案】(1) 2240x y x +-=；(0)y x >(2) 112CP QS ∆-． 【解析】分析：第一问利用三种方程的转化方法，求出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程，第二问设出点,P Q 的坐标，代入相应的方程，求得对应的ρ，利用极坐标中ρ的几何意义，求得底边P Q 的长，再结合图形的特征，求得对应的高，之后求得三角形的面积.详解：(1)曲线1C 的普通方程()2224x y -+=，即2240x y x +-= 所以1C 的极坐标方程为24c o s 0ρρθ-=，即4c o s ρθ=. 曲线3C 的直角坐标方程：(0)y x x > （2）依题意，设点,P Q 的坐标分别为1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入4c o s ρθ=，得1ρ=将6πθ=代入2s i n ρθ=，得21ρ= 所以121P Q ρρ=-，依题意得，点1C 到曲线6πθ=的距离为1s i n 16d O C π== 所以)111322C P Q S P Q d ∆=⋅=-. 点睛：该题属于选修内容，在解题的过程中，第一问比较常规，按照公式就能求得结果，第二问在解题的过程中，用极坐标中ρ的几何意义来求得三角形的底边长，是比较新颖 的，在求高的时候紧抓图形的特征，解法好.23.已知()1f x x xm =++-. （1）若()2f x ≥，求m 的取值范围.（2）已知1m >，若()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立，求m 的取值范围. 【答案】(1) m 1≥或3m ≤-. (2)31(1)2x ≤<． 【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式，可得()1f x m ≥+，求解12m +≥即可得出m 的取值范围；（2）()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立等价于()23f x x m x ≥++即()212m x x -≥+成立，再构造()221x g x x+=-，然后利用基本不等式即可求m 的取值范围. 详解：（1）∵()11fx x x m m =++-≥+ ∴只需要12m +≥ ∴12m +≥或12m +≤- ∴m 的取值范围为是1m ≥或3m ≤-. （2）∵1m >∴当()1,1x ∈-时，()1f x m=+ ∴不等式()23f x x m x ≥++即22m x m x ≥++ ∴()212m x x -≥+，221x m x+≥-， 令()()()()2212132312111x x x g x x x x x---++===-+----.∵012x <-<∴()311x x-+≥-（当1x =时取“=”）∴()m i n2gx∴2m ≥. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活使用.。
2020年高考试题分类汇编(立体几何)
2020年高考试题分类汇编（立体几何）考法1空间中的点、线、面的位置关系1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状科视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的边长的比值为 A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+2.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥, 30CAE ∠=，则cos FCB ∠= .3.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 2p ：过空间任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则l m ⊥.则下列命题中所以真命题的序号是 .①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23()p p ⌝∨ ④34()()p p ⌝∨⌝ 4.（2020·浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，ABCD (P )E (P )F (P )l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考法2三视图1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）右图是一个多面体的三视图，这个多面体某天棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H2.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+3.（2020·浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几 何体的体积（单位：3cm ）是A ．73B ．143C ．3D ．64.（2020·北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱M N EF GH222的表面积为A ．63+B ．623+C ．123+D ．1223+考法3与球的组合体1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）已知A ，B ，C 为球O 的球面上三点，1O 为ABC ∆的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π2.（2020·山东卷）日冕是中国古代用来测定时间的仪器，利用与冕面垂直的冕针投射到冕面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成的角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日冕，若冕面与赤道所在的平面平行，点A 的纬度为北纬40，则冕针与点A 处的水平面所成的角为A ．20B ．40C ．50D ．903.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的面积112正（主）视图 侧（左）视图俯视图AB ．32C ．1 D．24.（2020·全国卷Ⅲ·文理科）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .5.（2020·山东卷）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=．以1D11BCC B 的交线长为 ．6.（2020·天津卷）若棱长为则该球的表面积为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π考法4解答题1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC ∆是底面的内角正三角形，P 为DO上一点，6PO DO =. （Ⅰ）证明：PA ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角B PC E --的余弦值.2.（2020·全国卷Ⅰ·文科）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内角正三角形，P 为DO 上一点，90ABC ∠=. （Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积.P ABO E CDP ABO C D3.（2020·全国卷Ⅱ·理科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（Ⅱ）设O 为111A B C ∆的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.4.（2020·全国卷Ⅱ·文科）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BCC B 是矩形，M ，N 分别为的BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（Ⅰ）证明：1AA MN ∥，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（Ⅱ）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，AO ∥平面11EB C F ，且3MPN π∠=,求四棱锥11B EB C F -的体积.5.（2020·全国卷Ⅲ·理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =. （Ⅰ）证明：点1C 在平面AEF 内；ABC E F O MNA 1B 1C 1PABC E FO MNA 1B 1C 1P（Ⅱ）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =.（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；7.（2020·山东卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． （Ⅰ）证明：l ⊥平面PDC ；（Ⅱ）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．A BCDEF A 1B 1C 1D 1ABCDEFA 1B 1C 1D 1PABCD8.（2020·天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．9.（2020·浙江卷）如图，三棱台DEF ABC -中，面ADFC ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=，DC =2BC ．（Ⅰ）证明：EF DB ⊥；（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．A BCDEMB 1A 1C 1ABCDEF10.（2020·北京卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1BC ∥平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．ABCDE A 1B 1C 1D 1。
2020年高考数学 立体几何试题分类汇编 理
2020年高考数学 立体几何试题分类汇编 理（安徽）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80（北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．62C．10D ．82（湖南）设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B3 正视图侧视图解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
（广东）如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63B.93C.123D.183（江西）已知321,,ααα是三个相互平行的平面,平面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的距离为2d .直线l 与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”“21d d =的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案：C解析：平面321,,ααα平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P = 如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =（辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角（辽宁）已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1（全国2）已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)2 (B)3 (C)6 (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE ，根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面β，进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E ，则DE 就是要求的距离。
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第 1 页 共 28 页 2020年高考理科数学全国各地最新模拟试题
分类汇编
13 立体几何
1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )
A
．(7π+ B
．(10π+ C
．(10π+ D
．(11π+
2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率
355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )
A
B
C
D
3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．23
B ．163
C ．6
D ．与点O 的位置有关。