第十讲 线性回归分析(Regression)
线性回归原理
线性回归原理
线性回归是一种基本的回归分析方法，用于探索自变量与因变量之间的线性关系。
其原理是通过拟合一条（或多条）直线（或平面）来预测连续型的因变量。
具体而言，线性回归假设自变量和因变量之间存在一个线性关系，表示为一个线性方程：Y = α + βX + ε。
其中，Y代表因
变量，X代表自变量，α表示截距，β表示自变量的系数，ε表示误差项。
线性回归的目标就是找到合适的截距和系数来最小化误差项，从而使得预测值和观测值之间的差异最小。
通过最小二乘法可以求解出最佳的截距和系数。
最小二乘法的基本思想是通过计算预测值与实际观测值之间的差异的平方和，来评估拟合线性关系的质量，并通过调整截距和系数使得差异平方和最小化。
在进行线性回归之前，需要先满足以下假设条件：1. 自变量和因变量之间存在线性关系；2. 自变量和误差项之间不存在相关性；3. 误差项具有常数方差；4. 误差项服从正态分布。
线性回归可以应用于多个领域，例如经济学中的价格预测、市场需求分析，医学领域中的药物剂量选择等。
通过分析得到的截距和系数，可以解释自变量对于因变量的影响程度和方向。
需要注意的是，线性回归模型对数据集中的异常值和离群点较为敏感，当数据集中存在异常值时，需要进行数据处理或者考虑其他回归方法。
此外，线性回归模型也适用于有限的自变量
和因变量之间的关系。
如果存在非线性关系，可以考虑使用多项式回归或其他非线性回归模型进行建模。
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数是用来衡量模型解释变量变异性的比例，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差是用来衡量模型预测值与观测值之间的平均误差。
标准误差越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量是用来检验模型的显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的显著性越高。
四、模型应用线性回归分析可以用于预测和推断。
通过拟合一条直线，可以根据自变量的取值来预测因变量的值。
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种用来建立和预测变量间线性关系的统计分析方法。
它可以帮助我们了解变量之间的相互影响和趋势，并将这些关系用一条直线来表示。
线性回归分析常被应用于经济学、社会科学、自然科学和工程等领域。
一、概述线性回归分析是一个广泛使用的统计工具，用于建立变量间的线性关系模型。
该模型假设自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间存在线性关系，并通过最小化观测值与模型预测值之间的误差来确定模型的参数。
二、基本原理线性回归分析基于最小二乘法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
三、应用步骤进行线性回归分析时，通常需要以下几个步骤：1. 收集数据：获取自变量和因变量的样本数据。
2. 建立模型：根据数据建立线性回归模型。
3. 评估模型的准确性：通过计算残差、决定系数等指标来评估模型的准确性。
4. 进行预测和推断：利用模型对未知数据进行预测和推断。
四、模型评价指标在线性回归分析中，有几个常用的指标用于评价模型的准确性：1. R平方值：R平方值表示因变量的变异性能够被模型解释的比例，数值范围为0到1。
R平方值越接近1，表示模型对数据的拟合程度越好。
2. 残差分析：进行残差分析可以帮助我们判断模型是否符合线性回归的基本假设。
一般来说，残差应该满足正态分布、独立性和等方差性的假设。
五、优缺点线性回归分析有以下几个优点：1. 简单易懂：线性回归模型的建立和解释相对较为简单，无需复杂的数学知识。
2. 实用性强：线性回归模型适用于很多实际问题，可以解决很多预测和推断的需求。
然而，线性回归分析也存在以下几个缺点：1. 假设限制：线性回归模型对于变量间关系的假设比较严格，不适用于非线性关系的建模。
回归分析线性回归Logistic回归对数线性模型
逻辑回归的模型为 (P(Y=1) = frac{1}{1+e^{-z}})，其中 (z = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ... + beta_nX_n)。
逻辑斯蒂函数
பைடு நூலகம்
定义
逻辑斯蒂函数是逻辑回归模型中用来描述自变量与因变量之 间关系的函数，其形式为 (f(x) = frac{1}{1+e^{-x}})。
。
在样本量较小的情况下， logistic回归的预测精度可能高 于线性回归。
线性回归的系数解释较为直观 ，而logistic回归的系数解释相 对较为复杂。
对数线性模型与其他模型的比较
对数线性模型假设因变量和自变量之间存在对 数关系，而其他模型的假设条件各不相同。
对数线性模型的解释性较强，可以用于探索自变量之 间的交互作用和效应大小。
THANKS
感谢您的观看
预测市场细分中的消费者行为等。
对数线性模型还可以用于探索性数据分析，以发现数 据中的模式和关联。
Part
04
比较与选择
线性回归与logistic回归的比较
线性回归适用于因变量和自变 量之间存在线性关系的场景， 而logistic回归适用于因变量为
二分类或多分类的场景。
线性回归的假设条件较为严格 ，要求因变量和自变量之间存 在严格的线性关系，而logistic 回归的假设条件相对较为宽松
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，用于最小化预测值与实际观测值之间的平方误差总和。
通过最小二乘法，可以估计回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差距最小化。
最小二乘法的数学公式为：最小化 Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ...))^2，其中Yi是实际观 测值，X1i, X2i, ...是自变量的观测值。
regression analysis 公式
regression analysis 公式
回归分析（Regression Analysis）是一种统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它的主要目标是通过建立一个数学模型，根据自变量的变化来预测因变量的值。
回归分析中最常用的公式是简单线性回归模型的形式：
Y = α + βX + ε
其中，Y代表因变量，X代表自变量，α和β分别是截距和斜率，ε是随机误差项。
回归分析的目标是找到最佳拟合线（最小化误差项），使得模型能够最准确地预测因变量的值。
除了简单线性回归，还存在多元线性回归模型，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型的公式可以表示为：
Y = α + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε
其中，X₁，X₂，...，Xₚ代表不同的自变量，β₁，β₂，...，βₚ代表各自变量的斜率。
通过回归分析，我们可以得到一些关键的统计指标，如回归系数的估计值、回归方程的显著性等。
这些指标可以帮助我们判断自变量对因变量的影响程度，评估模型的拟合优度。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、社会科学、市场研究等。
它能够揭示变量之间的关联性，为决策提供可靠的预测结果。
总之，回归分析是一种重要的统计方法，通过建立数学模型来研究变量之间的关系。
通过分析回归方程和统计指标，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
高中数学知识点：线性回归方程
高中数学知识点：线性回归方程
线性回归方程是高中数学中的一个重要知识点。
其中，回归直线是指通过散点图中心的一条直线，表示两个变量之间的线性相关关系。
回归直线方程可以通过最小二乘法求得。
具体地，可以设与n个观测点（xi，yi）最接近的直线方程为
y=bx+a，其中a、b是待定系数。
然后，通过计算n个偏差的平方和来求出使Q为最小值时的a、b的值。
最终得到的直线方程即为回归直线方程。
需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义。
因此，在进行线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性。
另外，求回归直线方程时，需要仔细谨慎地进行计算，避免因计算产生失误。
回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用。
这种方程可以将非确定性问题转化为确定性问题，从而使“无序”变得“有序”，并对情况进行估测和补充。
因此，研究回归直线方程后，学生应更加重视其在解决相关实际问题中的应用。
注：原文已经没有格式错误和明显有问题的段落。
线性回归分析
SS总：即Y的离均差平方和，说明未考虑X与Y的回 2 归关系时Y的变异。 ∑ (Y − Y )
SS 总 = lYY = ∑ Y 2 − (∑ Y )2 n
SS回：反映在Y的总变异中由于X与Y的直线关系而 使Y变异减小的部分，即总平方和中可以用X (Y − Y ) 2 解释的部分。 ∑ ˆ
2 SS回 = bl XY = l XY / l XX
“回归”名称的由来
英国统计学家 F·Galton(1822-1911 年 ) 和他的学生、 现代统计学的奠基者之一K·Pearson(1856-1936年)在 研究父母身高与其子女身高的遗传问题时，观察了 1078对夫妇，以每对夫妇中父亲的身高作为自变量 X，而取他们的一个成年儿子的身高作为应变量Y， 将结果在平面直角坐标系上绘成散点图，发现趋势 近乎一条直线，并计算得到下列方程 ：
b＞0
a＞0
b>0
0 b ＜ 0 aa = 0 b＜0 ＞ a ＜0
x a：intercept
17
b>0
原则：各实测点至直线的纵向距离的平方和
求解回归直线
X
直线回归方程的计算
∑ ( X − X )(Y − Y ) = l b= l ∑(X − X )
2
XY XX
a = Y −bX
MS回、MS剩分别称为回归均方与剩余均方
例12-3：用方差分析法对表12-1数据求得的回 归系数进行假设检验 b=0.0648 1.建立假设并确定检验水准。
H0: β＝0(体重的增加量与进食量之间无直线关系) H1: β≠0(体重的增加量与进食量之间有直线关系) 2.计算检验统计量F值，列方差分析表。 SS总 =lYY =193.3 SS回 =blXY =l2XY/lXX =173.7 SS剩= SS总- SS回= lYY – l2XY/lXY =19.6
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
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l 一步一步建立方程，初始模型方程中无输入字段。 l 加入能显著增强模型的预测效果的字段；剔除从方程中除去而不显
著减损方程效果的字段。
后退法(Backwards) ：最初模型包括所有的输入字段，
然后逐个剔除对模型几乎没有贡献的字段，直至剩下的每一个字段 都显著影响模型预测效果
线性回归节点单步选项
选择两个准则中的一个作为前进的准则，然后确 定使用者需要的临界值。
注意：两个准则之间具有反向关系。
大。
字段对模型越重要，p值越小，F值越
使用F的概率：P<Entry，添加 字段元；P>Removal，剔除字
段元
使用F值：F>Entry，添加 字段元；F<Removal，剔
除字段元
The End
线性回归节点模型选项
模型名称：指定要产生的模型 的名称
方法（Method）：指定建立 回归模型的方法（Enter， Stepwise，Backwards，
Forwards）
方程中包括常数(Include constant in equation）
方法（Method）
进入法（Enter）：将所有的字段直接选进方程
模型总结（Model summary）
显示了模型适合度的各种总结。如果R-Square Change选项 在线性回归节点输出项中被选中，则在逐步回归，前进法 或后退法的模型调整中的每步的每个改变都会被显示。
方差分析表（ANOVA）
Coefficients:显示模型的系数和这些系数的检验统计量 Confidenceinterval:95%置信区间 Part and partial correlations:偏相关系数和部分相
线性回归节点输出选项
模型拟合优度 (R2)
R2该变量
选择标准
描述统计量 部分相关系数 和偏向关系数 多重共线性诊
断
回归系数
置信区间 （95%） 协方差矩阵 被排除字段
DW统计量
实例演练
利用信用卡数据中，年龄、个人平均月收入、个 人平均月开销、家庭平均月收入à预测”平均月 刷卡金额”
年龄 个人平均月收入 自变量 个人平均月开销
前进法（Forwards) :最初模型没有任何输入字段，检验
尚未进入模型的输入字段对模型的改进程度，对模型改进最大的字 段进入模型。在没有字段可添加到模型或者最好的备选字段对模型 没有多大改进时，生成最终模型。
线性回归节点高级选项(Expert)
遗漏值(Missing values)：默 认只使用模型中所有字段元均
关系数
Collinearity Statistics:关于输入字段的共线性统计
量
相关性系数（Coefficient correlations）
展示估计的系数间的相关性
共线性诊断（Collinearity diagnostics）
展示用于分辨输入字段是否来自一个线性相关的集
残差统计表（Residuals statistics ）
回归分析
简单线性回归(Simple Linear Regression) 仅有一个自变量与一个因变量，且其关系大 致上可用一条直线表示。
复回归(Multiple Regression) 两个以上自变量的回归。
多变量回归(Multi-Variable Regression) 用多个自变量预测多个因变量，建立的回归 关系。
家庭平均月收入
因变量 平均月刷卡金额
描述型统计量(Descriptive statistics )
相关系数（Correlations ）
显示输入和输出字段的相关系数矩阵。单尾的显著系数和 每个相关记录数均将显示。
输入/删除的变量(Variables entered/removed)
显示在逐步(stepwise)回归，前进法回归或后退法 回归时模型中加入或删除的变量。对于前进法， 只有一行显示了加入的所有字段。
只有数值型字段可用于回归模型 必须只有一个“Out”字段和一个以上的“In” 字段 字段方向为“Both”或“None”以及非数值型 的字段将被忽略
Linear Regression Node-优点
回归模型相对简单，并为生成的预测给出易于 解释的数学方程 由于回归建模是一个比较成熟的统计方法，回 归模型的特点容易理解 回归模型训练起来非常快
回归分析
回归分析
回归分析的方法是将所要研究的变量区分为因变量与 自变量，并根据有关理论建立因变量对自变量的函数 （模型），然后利用所获得的样本资料去估计模型中 的参数
自变量(Independent variable)
由数学方程式预测的变量。
因变量(Dependent variable)
据以预测因变量的值的变量。有有值的记录异常值容忍度(Singularity tolerance):这一选项允许用 户指定某一字段元独立于模 型中其他字段元的最小方差
比率
单步方式 (Stepping): 这些选项允 许控制逐步 回归法、前 进法、后退 法中字段进 入和剔除的
准则
注：如果选了Enter法， 则该选项不可用
输出（Output）： 这些选项允许要求 在该节点生成的模 型的高级输出中所 出现的附加统计量
回归分析步骤
建立回归方程
利用所得数据 估计回归方程
N
诊断 回归方程
Y
解释回归方程
用回归方程作预测
Linear Regression Node
线性回归节点生成线性回归模型 该模型根据输入字段估计预测输出字段 的最佳线性方程 回归方程代表一条直线或者平面，其预 测值与真实输出值的离差最小
Linear Regression Node-要求
Clementine 12.0 Regression Node
回归方法概论
回归使用一系列的现有数值来预测一个连续数 值的可能值 当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量 时，叫做一元回归分析 当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以 上自变量时，叫做多元回归分析 预测工作中常用的是一元线性回归和多元线性 回归模型