沪科版-数学-七年级上册-1.4 有理数的加减(第二课时) 教案
沪科版数学七年级上册《1.4 有理数的加减》教学设计1
沪科版数学七年级上册《1.4 有理数的加减》教学设计1一. 教材分析《1.4 有理数的加减》是沪科版数学七年级上册的一部分，本节内容主要让学生掌握有理数的加减法运算规则，理解加减法运算的本质，以及能够运用加减法解决实际问题。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的概念和运算法则的基础上进行讲授的，为后续的乘除法运算打下基础。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了整数的加减法运算，但对于有理数的加减法运算，还需要进一步的引导和培养。
学生在学习有理数的加减法时，可能会遇到以下问题：1.不理解有理数加减法运算的实质；2.在进行有理数加减法运算时，容易受到整数加减法运算的影响；3.在解决实际问题时，不能灵活运用有理数加减法运算。
三. 教学目标1.让学生掌握有理数的加减法运算规则；2.让学生理解加减法运算的本质；3.培养学生运用加减法解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.有理数的加减法运算规则；2.加减法运算的本质；3.运用加减法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握有理数的加减法运算规则，理解加减法运算的本质，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题；2.准备多媒体教学设备，如PPT等；3.准备相关的学习资料，如教材、练习册等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行有理数的加减法运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示有理数的加减法运算规则，让学生初步了解并掌握加减法运算的规则。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习和合作交流，完成相关的练习题，巩固所学的内容。
4.巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用所学的加减法运算规则，解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.拓展（5分钟）引导学生思考如何将有理数的加减法运算规则应用到更复杂的问题中，提高学生的思维能力。
沪科版七年级数学上册：1.4有理数的加减-第2课时课件
=８9９９（米） 答：两处高度相差８9９９米。
练一练：Ｐ２１～２２的练习。
灿若寒星
填一填
（1）3－（－3）＝_6__； （2）（－11）－2＝__-_1_3__； （3）0－（－6）＝_6__; （4）（－7）－（＋8）＝_-_1_5__； （5）－12－（－5）＝__-7____； （6）3比5大__-_2____； （7）－8比－2小__6____； （8）－4－（）-1＝4 10； （9）如果 a>0,b<0，则 a-b 的符号是 _+_____； (10)A地的海拔高度是34米,B地的海拔高度是-10 米,A B两地海拔高度相差___4_4___米
初中数学课件
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1.4 有理数的加减（2）
---减 法
灿若寒星
探究
下表记录了某地某年２月１日～２月１０日每天气温情况：
月／日
２／１ ２／２ ２／３ ２／４ ２／５ ２／６ ２／７ ２／８ ２／９ ２／１０
最高气温／℃ １２ １０
５
５
３
５
６
６
８
最低气温／℃ ３
２
－４ －５ －４ －３ －３ －１
灿若寒星
思考:
两正数的和是__正__数____ 两负数的和是__负__数_____ 正数减负数得__正__数____ 负数减正数得__负__数_____ 两正数的差_正__数__、_负__数_或0 两负数的差_正__数__、_负__数_或__0
灿若寒星
作业:
必做:课本习题１．４ P２６ ２ 选做:课本习题１．４ P２７ ７
０
９ －２
怎样求出该地２月３日最高气温与最 低气温的差（温差）呢？
沪科版七年级数学上册1-4-2有理数的减法教案
沪科版七年级数学上册1-4-2有理数的减法教案
第2课时有理数的减法
沪科版七年级数学上册1-4-2有理数的减法教案
1.掌握有理数的减法法则.
2.能运用有理数的减法法则进行运算.
3.通过对有理数减法法则的探究，体验数学的转化思想.
4.通过对有理数减法法则的探讨，培养学生的创新思维.
【重点难点】
重点：有理数的减法法则.
难点：对有理数的减法法则的探究.
沪科版七年级数学上册1-4-2有理数的减法教案
【教学小结】
沪科版七年级数学上册1-4-2有理数的减法教案
第2课时有理数的减法
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
【教学反思】
本节课从生活实例引入新课，提高了学生的学习兴趣.利用减法是加法的逆运算探究得出减法法则，体现了数学的转化思想.在教学中充分发挥学生的积极主动性，体现了学生为主体的教学思想.。
1.4有理数的加减(第2课时 有理数的加法运算律)(课件)七年级数学上册(沪科版2024)
3
1
加，再把所得的和相加．(2)将 2.125 和－0.6 化成分数 2 和－ ，再和(－1 )
8
5
8
2
和(－3 )分别相结合运算．
5
1 1
2
【规范解答】(1)原式＝(14－13)－(7－6)＝1－1＝0；(2)原式＝(2 －1 )－(3
8 8
5
3
＋ )＝1－4＝－3.
5
【方法归纳】在多个有理数相加时，为了简化计算，可以运用加法的交换
=−9
新课本练习
2.某村共有8块小麦试验田,每块试验田今年的收成与去年相比情况如下(增
产为正,减产为负,单位:kg):55，-40，10，-16，27，-5，-23，38.今年的
小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了?增加或减少了多少?
解：55-40+10-16+27-5-23+38
=(55-10+27+38)-(40+16+5+23)
数，不足200 kg的数记作负数，则这10袋余粮对应的质
量(单位：kg)分别为－1，＋1，－3，＋3，0，－5，－
3，－1，＋2，－4.
(－1)＋(＋1)＋(－3)＋(＋3)＋0＋(－5)＋(－3)＋(－1)＋
(＋2)＋(－4)＝－11(kg).
答：这10袋余粮总计不足11 kg.
6.刘洋连续记录了他家私家车一周中每天行驶的路程(如下表)，以50 km为标
先把后两个数相加，和不变．
=130-84= 46(kg),
答:今年的小麦总产量与去年相比增产46kg
课堂反馈
运用加法运算律进行加法的简化运算．
【例 1】计算：
七年级数学上册1.4有理数的加减(加法2)教案沪科版
1.4有理数的加减七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．把多项式x 2+mx ﹣35分解因式为(x ﹣5)(x+7)，则m 的值是( ) A ．2 B ．﹣2C ．12D ．﹣12【答案】A【解析】分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m 的值即可． 【详解】x 1+mx-35=（x-5）（x+7）=x 1+1x-35， 可得m=1． 故选A ． 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．2．某地突发地震，为了紧急安置30名地震灾民，需要搭建可容纳3人或2人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30灾民，则不同的搭建方案有（ ） A ．4种 B ．6种C ．8种D ．10种【答案】B【解析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可. 【详解】不妨设应该搭建3人和2人帐篷各有,x y 个， 则,x y 应该为非负正数，且10,15x y ≤≤， 故3230x y +=.满足题意的方程的解有如下6个：0,15;2,12;4,9x y x y x y ====== 6,6;8,3;10,0x y x y x y ======.故不同的搭建方案有6种. 故选：B. 【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，属基础题.3．下列调查中，比较适合用全面调查（普查）方式的是（ ）． A ．某灯具厂节能灯的使用寿命 B ．全国居民年人均收入C ．某校今年初中生育体中考的成绩D．全国快递包装产生的垃圾数量【答案】C【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似,逐一进行判断即可．【详解】解：A．调查某灯具厂节能灯的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查；B．调查全国居民年人均收入数据数量大，适合抽样调查；C．调查某校今年初中生育体中考的成绩数据量少，全面调查所得数据更加准确，适合全面调查；D．调查全国快递包装产生的垃圾数量，数据的数量大，适合抽样调查；故选：C．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．下列各数是无理数的是A．0B．C．D．【答案】B【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：根据无理数的定义可知，0，，是有理数，是无理数，故B符合题意，ACD不符合题意；故选择：B.【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.5．下列调查中，最适宜采用全面调查方式（普查）的是（）A．对襄阳市中学生每天课外读书所用时间的调查B．对全国中学生心理健康现状的调查C．对七年级（2）班学生50米跑步成绩的调查D．对市面某品牌中性笔笔芯使用寿命的调查【答案】C【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】A、对襄阳市中学生每天课外读书所用时间的调查，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解全国中学生心理健康现状，调查范围广，适合抽样调查，故B不符合题意；C、调查七年级（2）班学生50米跑步成绩的调查，适合普查，故C符合题意；D、了解某品牌中性笔笔芯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．下列调查中，调查方式选择合理的是( )A．了解灯泡的寿命，选择全面调查B．了解某品牌袋装食品添加剂情况，选择全面调查C．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查D．了解介休绵山旅游风景区全年游客流量，选择抽样调查【答案】D【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】A. 了解灯泡的寿命，有破坏性，易采用抽样调查，故不合理；B. 了解某品牌袋装食品添加剂情况，有破坏性，易采用抽样调查，故不合理；C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，比较重要，应采用普查的方式，故不合理；D. 了解介休绵山旅游风景区全年游客流量，工作量比较大，易采用抽样调查，故合理；故选D.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.7．不等式组43128164xx x+>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是()A ．0B ．－1C ．1D ．2【答案】A【解析】解：解不等式组43128164x x x+>⎧⎨-≤-⎩ 可得142x -<≤， 在这个范围内的最小整数为0，所以不等式组43128164x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是0，故选A8．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是( )A ．1x ≤B ．3x <C ．13x ≤<D ．1x <【答案】A【解析】根据不等式组的解集是小于于小的，可得答案．【详解】一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图， 则该不等式组的解集是1x ≤. 故选：A 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，难度不大9．已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ）A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°【答案】B【解析】过点C 作l ∥a ，则l ∥b ∥a ，再根据平行线的性质即可求解.【详解】过点C作l∥a，则l∥b∥a，∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，故∠4=90°-∠3=30°，∴∠5=∠4=30°，则∠2=∠5+∠A=30°+45°=75°.故选B.【点睛】此题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.10．下列各式中，自左向右变形属于分解因式的是()A．x2+2x+1＝x(x+2)+1 B．﹣m2+n2＝(m﹣n)(m+n)C．﹣(2a﹣3b)2＝﹣4a2+12ab﹣9b2D．p4﹣1＝(p2+1)(p+1)(p﹣1)【答案】D【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．二、填空题题'''的位置，11．如图，三角形ABC的周长为22cm，现将三角形ABC沿AB方向平移2cm至三角形A B C''的周长是_____cm.连接CC'，则四边形AB C C【答案】26【解析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可．【详解】根据题意，得A 的对应点为A′，B 的对应点为B′，C 的对应点为C′， 所以BC=B′C′，BB′=CC′，∴四边形AB′C′C 的周长=CA+AB+BB′+B′C′+C′C=△ABC 的周长+2BB′=22+4=26cm ． 故答案为：26. 【点睛】本题考查平移的性质，关键是根据经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等解答． 12．当x ＝_________时，分式33x x -+的值为零． 【答案】1【解析】分式的值为零时：分子等于零，但是分母不等于零． 【详解】依题意得：x-1=0且x+1≠0， 解得x=1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 13．36的算术平方根是 ． 【答案】1．【解析】试题分析：根据算术平方根的定义，31的算术平方根是1．故答案为1． 考点：算术平方根．14．在平面直角坐标系中，有点(4,2)A 、点(1,0)B ，若在坐标轴上有一点C ，使AOC AOB S S ∆∆=，则点C 的坐标可以是_________________________________. 【答案】（1，0）或（-1，0）或（0，12）或（0，- 12） 【解析】根据三角形面积和坐标特点解答即可． 【详解】如图所示，∵点A （4，2）、点B （1，0），∴S △AOB =12×1×2=1， ∵S △AOC =S △AOB ，当点C 在x 轴上时，则C （1，0）或（-1，0），当点C 在y 轴上时，则C （0，12）或（0，-12） 故答案为：（1，0）或（-1，0）或（0，12）或（0，- 12） 【点睛】此题考查了坐标与图形性质以及三角形面积，关键是根据面积相等和坐标特点解答．15．如图，将三角板ABC 沿BC 方向平移，得到三角形''A CC ．已知30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，则'BAA ∠的度数为_____．【答案】150°【解析】根据平移的性质，可得AA′与BC 是平行的，根据平行线的性质，可得答案．【详解】解：由将三角尺ABC 沿BC 方向平移，得到三角形A′CC′，得AA′∥BC ．由AA′∥BC ，得∠BAA′+∠B=180°．由∠B=30°，得∠BAA′=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了平移的性质，利用了平移的性质：对应点所连的线段平行或在同一条直线上．16．如图，己知B DEF ∠=∠，AB DE =，请添加一个条件使ABC DEF ∆≅∆，则需添加的条件是________．（不再添加字母和辅助线）【答案】BE CF【解析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，∠B=∠DEF，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【详解】解：要使△ABC≌△DEF，已知∠B=∠DEF，AB=DE，则可以添加BC=EF，运用SAS来判定其全等；也可添加一组角运用AAS来判定其全等，如∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE．故答案为BC=EF，或∠A=∠D，或∠ACB=∠DFE．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．17．“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的第三个内角之间的关系：_______. 【答案】三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式，再根据三角形的内角和定理整理即可得解.【详解】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，根据三角形内角和定理，得∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°，∴三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°.故答案为：三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°..【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键是解题的关键，作出图形更形急直观.三、解答题18．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行调查，已知抽取的样本中，男生和女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm ） 组别 身高A155x < B 155160x ≤<C 160165x ≤<D 165170x ≤<E170x ≥ 男生身高情况直方图女生身高情况扇形统计图根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）求样本中男生的人数.（2）求样本中女生身高在E 组的人数.（3）已知该校共有男生380人，女生320人，请估计全校身高在160170x ≤<之间的学生总人数.【答案】（1）40人；（2）2人；（3）全校身高在160170x ≤<之间的学生有299人【解析】（1）根据直方图直接将每组的人数相加即可；（2）由（1）可得样本女生人数，求得E组所占百分比，然后即可求得E组人数；（3）分别求得男生与女生D，E组所占百分比，然后用总人数求得答案即可.【详解】解：（1）412108640++++=（人）∴样本中男生的人数是40人；（2）40(17.5%37.5%25%15%)405%2⨯---=⨯=（人），∴样本中女生身高在E组的有2人；（3）108380(25%15%)32017112829940+⨯++⨯=+=（人），∴全校身高在160170x≤<之间的学生有299人.【点睛】本题主要考查直方图与扇形统计图，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，准确理解图形所表达的信息. 19．完成下面（1）（2）的画图，回答问题（3）（4），如图，P是∠AOB的边OA上一点.（1）过点P画OB的垂线，垂足为H；（2）过点P画OA的垂线，交OB于点C；（3）点O到直线PC的距离是线段_______的长度；（4）把线段OP、PH和OC按从小到大用“<”连接：_________；理由是_____________.【答案】(1)见解析；(2)见解析；（3）OP；（4）PH<OP<OC，垂线段最短.【解析】（1）（2）根据要求画垂线即可；（3）根据点到直线的距离的定义解答；（4）根据连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得PH＜OP，OP＜OC，问题得解．【详解】解：（1）如图所示，PH即为所求；（2）如图所示，CP即为所求；（3）点O到直线PC的距离是线段OP的长度，故答案为：OP；（4）∵连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，∴PH＜OP，OP＜OC，∴PH＜OP＜OC．理由是：垂线段最短，故答案为：PH＜OP＜OC，垂线段最短.【点睛】本题考查了垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．也考查了基本作图．20．观察下列算式：①1×3－22=4=1；②2×4－32=－9=1；③3×5－42=5－16=1；……(1)请你按以上规律写出第4个表达式；(2)根据以上规律写出第n个表达式；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？请说明理由．【答案】(1) 4×6－52＝24－25＝－1 ；(2) n(n＋2)－(n＋1)2＝－1 ；(3) 成立，理由见解析【解析】分析：（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．详解：（1）第4个算式为：4×6-52=24-25=-1；（2）答案不唯一．如n（n+2）-（n+1）2=-1；（3）一定成立．理由：n（n+2）-（n+1）2=n2+2n-（n2+2n+1）=n2+2n-n2-2n-1=-1．故n（n+2）-（n+1）2=-1成立．故答案为：4×6-52=24-25=-1．点睛：本题是规律型题，考查了整式的混合运算的运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．21．已知，点B、D分别在∠MAN的两边AM、AN上，点C是射线AP上的一点，连接BC、DC，∠MAN=α，∠BCD=β，(0°＜α＜180°，0°＜β＜180°)；BE平分∠MBC，DF平分∠NDC．(1)如图1，若α=β=80°，①求∠MBC+∠NDC的度数；②判断BE、DF的位置关系，并说明理由.(2)如图2，当点C在射线AP上运动时，若直线BE、DF相交于点G，请用含有α、β的代数式表示∠BGD．(直接写结果)【答案】(1) ① 160°，② 平行；(2)①12α-12β，②12β-12α，③180°-12α-12β.【解析】分析:(1) ①利用三角形外角即可求出; ②在①的基础上,再利用角平分线的性质即可求出;(2)分情况,四边形BCDG是凸四边形,凹四边形来讨论.详解:(1) ①α=β=80°,∵∠MBC是△ABC的外角,∴∠MBC=∠BAC+∠BCA,同理, ∠NDC=∠DAC+∠ACD,∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠DAC+∠ACD=∠MAN+∠BCD=α+β=160°②BE∥DF∵BE平分∠MBC, DF平分∠NDC,∴∠EBC=12∠MBC, ∠CDF=12∠NDC,∴∠EBC+∠CDF=12(∠MBC+∠NDC)=12×160°=80°,在△BCD 中,∵∠BCD=80°∴∠CBD+∠CDB=100°∴∠EBC+∠CBD+∠CDB=180°,即∠EBD+∠FDB=180°, ∴BE ∥DF(同旁内角互补,两直线平行)(2)①12α- 12β，②12β-12α，③180°-12α- 12β. 点睛: 此题考查了平行线的性质与判定,角平分线的定义, 本题利用角平分线性质，并利用已知条件来求得, 全面思考问题，意识到有三种情形是正确解答的关键.22．（1）计算：23-（2）已知29(1)4x +=，求x 的值.【答案】 (1)2;(2)13x =-或53x =-.【解析】分析：（1）分别根据二次根式的性质、算术平方根的定义、立方根的性质进行运算，然后合并；（2）先开平方，然后求解x 的值．详解：（1）原式=55422-+-=（2）开方得：x+1=±23，解得：13x =-或53x =-． 点睛：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的性质、算术平方根、平方根、立方根的性质等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．23．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来.（1）211+23x x +>； （2）112,2275 2.x x x x ⎧+<+⎪⎨⎪+≥-⎩【答案】（1）x ＜4.（2）-2＜x≤3.【解析】（1）先去分母，再去括号，再根据不等式的性质即可求解；（2）根据不等式的性质依次求出不等式的解集，再求出其公共解集即可.【详解】（1）211+23x x +> 6+3x ＞2（2x+1）6+3x ＞4x+2-x ＞-4x ＜4.在数轴上表示为：（2）11222752x x x x ⎧+<+⎪⎨⎪+≥-⎩①②解不等式①得x ＞-2；解不等式②得x ≤3在数轴上表示为所以不等式组的解集为-2＜x≤3.【点睛】此题主要考查不等式及不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质.24．如图，AB 垂直平分线段CD （AB CD >），点E 是线段CD 延长线上的一点，且BE AB =，连接AC ，过点D 作DG AC ⊥ 于点G ，交AE 的延长线与点F .（1）若CAB α∠= ，则AFG ∠=______（用α的代数式表示）；（2）线段AC 与线段DF 相等吗？为什么？（3）若6CD =，求EF 的长.【答案】（1）45°-α；（2）相等，理由见解析；（3）2【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠AEB=45°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，求得∠ADC=∠ACB=α，于是得到AC=DF；（3）根据已知条件得到BD=CB=3，过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH=HE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）∵AB⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=BE，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠CAB=α，∠CDG=90°-（90°-α）=α=∠EDF．∴∠AFG=∠AED-∠EDF=45°-α；故答案为：45°-α；（2）相等，证明：连接AD，∵AB垂直平分线段CD，∴AC=AD，∴∠ADC=∠ACB=90°-α，∴∠DAE=∠ADC-45°=45°-α，∴∠DAE=∠AFD，∴AD=DF，∴AC=DF；（3）∵CD=6，∴BD=CB=3，过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，则△EHF 是等腰直角三角形，∴FH=HE ，∵∠H=∠ABC=90°，∠CAB=∠CDG=∠FDH ，AC=AD=DF ，∴△ACB ≌△DFH （AAS ），∴FH=CB=3，∴22【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．学校组织270名同学和7名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为45人/辆，小客车载客量为30人/辆（1）学校准备租用7辆客车，有几种租车方案?（2）在（1）的条件下，若大客车租金为400元/辆，小客车租金为300元/辆，哪种租车方案最省钱? （3）学校临时增加10名学生和4名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有1名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有20人，请你帮助设计租车方案【答案】（1）有3种租车方案；（2）租5辆大客车，2辆小客车最省钱；（3）租用大客车2辆，小客车7辆；或租10辆小客车.【解析】（1）设租大客车x 辆，根据题意可列出关于x 的不等式，求得不等式的解集后，再根据x 为整数即可确定租车方案；（2）依次计算（1）题中的租车方案，比较结果即可得出答案；（3）设租大客车x 辆，小客车y 辆，根据客车的座位数满足的条件可确定x 、y 满足的不等式组，进一步可确定x 、y 满足的方程，再由带队的老师数可确定x 、y 满足的不等式，二者结合即可确定租车方案.【详解】解：（1）由题意知：本次乘车共270+7=277（人）.设租大客车x 辆，则小客车（7－x ）辆，根据题意，得4530(7)277x x +-≥，解得：7415x≥，因为x为整数，且x≤7，所以x=5，6，7，即有3种租车方案.（2）方案一：当x=7，所租7辆皆为大客车时，租车费用为：7×400=2800（元），方案二：当x=6，所租6辆为大客车，1辆为小客车时，租车费用为：6×400+300=2700（元），方案三：当x=5,所租5辆为大客车，2辆为小客车时，租车费用为：5×400+300×2=2600（元），所以，租5辆大客车，2辆小客车最省钱.（3）乘车总人数为270+7+10+4=291（人），因为最后一辆小客车最少20人，则客车空位不能大于10个，所以客车的总座位数应满足：291≤座位数≤301.设租大客车x辆，小客车y辆，则291≤45x+30y≤301，即21 193220515x y≤+≤，∵x、y均为整数，∴3x+2y=20，即3102y x =-.∵每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有1名教师带队，∴2x+y≤11.把3102y x=-代入上式，得3210112x x+-≤，解得2x≤.又∵x为整数且是2的倍数，∴x=2，y=7或x=0，y=10.故租车方案为：租大客车2辆，小客车7辆；或租10辆小客车.【点睛】本题考查了不等式和不等式组的实际应用、二元一次方程的整数解等知识，正确理解题意，列出不等式和不等式组是解题的关键.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．使代数式23x x --有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3 【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠1．考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件2．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A 【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 3．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝57°，则∠2的度数是（）A．43°B．33°C．53°D．123°【答案】B【解析】利用平行线性质和平角是180度解题即可【详解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝33°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝33°．故选：B．【点睛】本题考查平角性质、平行线性质，掌握基础知识是解题关键44=（）A．2B．2-C．2±D．2±【答案】A【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案4=2故选A.【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．已知x+y＝3，xy＝2，则下列结论中①（x﹣y）2＝1，②x2+y2＝5，③x2﹣y2＝3，④1123x y+=，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】根据x+y=9两边同时平方得：x2+y2=5，分别计算各式可作判断. 【详解】∵x+y＝3，∴（x+y）2＝9，即x2+y2＝9﹣2xy＝5，②正确；∴①（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝5﹣2×2＝1，①正确；③∵（x﹣y）2＝1，∴x﹣y＝±1，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝±3，③不正确；④1x+1y＝x yxy+＝32，④不正确；所以本题正确的有：①②，2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式的加减法和完全平方公式，将式子变形后可得两个数的平方和，熟练掌握完全平方公式是关键.6．下列调查中，适合用普查方法的是（）A．了解中央电视台《中国诗词大会》的收视率B．了解太和县某学校初一（1）班学生的身高情况C．了解太和县出产的樱桃的含糖量D．调查某品牌笔芯的使用寿命【答案】B【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，逐项判断即可．【详解】解：A、了解中央电视台《中国诗词大会》的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故A错误；B、了解太和县某学校初一（1）班学生的身高情况，调查范围小，适合普查，故B正确；C、了解太和县出产的樱桃的含糖量，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；D、调查某品牌笔芯的使用寿命，具有破坏性且调查范围广，适合抽样调查，故D错误；故选：B ．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．7．一个不等式组中两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）A ．01x ≤<B ．01x <<C ．01x ≤≤D ．01x <≤ 【答案】A【解析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就组成的不等式组就满足条件．【详解】由数轴得出10x x <⎧⎨≥⎩， 这个不等式组的解集为01x ≤＜． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 8．已知三角形的两边3a =，5b =，第三边是c ，则c 的取值范围是( )A ．35c <<B ．28c <<C ．25c <<D ．38c << 【答案】B【解析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知5353c -<<+，即28c <<，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三边关系的相关计算方法是解决本题的关键.9．不等式x-1＜0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】首先解不等式求得x 的范围，然后在数轴上表示即可．【详解】解：解x-1＜0得x ＜1．则在数轴上表示为：．故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.10．如图，已知直线//m n ，136∠=︒，290∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．126︒B ．136︒C ．140︒D ．144︒【答案】A 【解析】过3∠的顶点作一条直线l m ，由平行于同一条直线的两直线平行可得l m n ，再由平行线的性质即可得到 31+2∠=∠∠，求值即可.【详解】解：过3∠的顶点作一条直线l m ，如图所示，l m4290︒∴∠=∠=又m nl n ∴5136︒∴∠=∠=3459036126︒︒︒∴∠=∠+∠=+=故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.二、填空题题11．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=_____°.【答案】15°【解析】试题解析：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，∴∠ABF=∠EAD-∠BFD=15°.考点：三角形的外角性质．12．下面是一个运算程序图，若需要经过两次运算才能输出结果y，则输入的x的取值范围是_____．【答案】4≤x＜11．【解析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】根据题意得：31323(31)132 xx＜-⎧⎨--≥⎩解得4≤x＜11．【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式组的应用. 13．十二边形的内角和度数为_________.【答案】1800°【解析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【详解】解：十二边形的内角和为：（n﹣2）•180°=（12﹣2）×180°=1800°．。
沪科版-数学-七年级上册-1.4.1 有理数的加法 教案
1.4.1 有理数的加法一、教学目标知识与技能：使学生理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算．过程与方法：通过有理数的加法运算，培养学生的运算能力.情感与态度：激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点重点：熟练应用有理数的加法法则进行加法运算．难点：有理数的加法法则的理解．三、教学过程(一)引入新课在小学算术中学过了加、减、乘、除四则运算，这些运算是在正有理数和零的范围内的运算.引入负数之后，这些运算法则将是怎样的呢？我们先来学有理数的加法运算．(二)进行新课，有理数的加法例1 如图所示，某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？两次行走后距原点0为8米，应该用加法．为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：1.同号两数相加(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？这是求两次行走的路程的和．5+3＝8从数轴上表明，两次行走后在原点0的东边.离开原点的距离是8米.因此两次一共向东走了8米．可见，正数加正数，其和仍是正数，和的绝对值等于这两个加数的绝对值的和．(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？显然，两次一共向西走了8米(-5)+(-3)＝-8从数轴上表明，两次行走后在原点0的西边，离开原点的距离是8米.因此两次一共向东走了-8米．可见，负数加负数，其和仍是负数，和的绝对值也是等于两个加数的绝对值的和．总之，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．例如，(-4)+(-5)，……同号两数相加(-4)+(-5)＝-( )，…取相同的符号4+5＝9……把绝对值相加∴ (-4)+(-5)＝-9．2.异号两数相加(1)某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？由数轴上表明，两次行走后，又回到了原点，两次一共向东走了0米．5+(-5)＝0可知，互为相反数的两个数相加，和为零．(2)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？由数轴上表明，两次行走后在原点0的东边，离开原点的距离是2米.因此，两次一共向东走了2米．就是 5+(-3)＝2．(3)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？由数轴上表明，两次行走后在原点0的西边，离开原点的距离是2米.因此，两次一共向东走了-2米．就是 3+(-5)＝-2．请同学们想一想，异号两数相加的法则是怎么规定的？强调和的符号是如何确定的？和的绝对值如何确定？最后归纳绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0．例如(-8)+5……绝对值不相等的异号两数相加8＞5(-8)+5＝-( )……取绝对值较大的加数符号8-5＝3 ……用较大的绝对值减去较小的绝对值∴(-8)+5＝-3．练习：用算式表示：温度由-4℃上升7℃，达到什么温度．【答案】(-4)+7＝3(℃)3．一个数和零相加(1)某人向东走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？显然，5+0＝5.结果向东走了5米．(2)某人向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？容易得出：(-5)+0＝-5.结果向东走了-5米，即向西走了5米．由(1)，(2)得出：一个数同0相加，仍得这个数．每种运算的法则强调：(1)确定和的符号；(2)确定和的绝对值的方法．(三)例题分析例1 计算(-3)+(-9)．【解析】这是两个负数相加，属于同号两数相加，和的符号与加数相同(应为负)，和的绝对值就是把绝对值相加(应为3+9＝12)(强调相同、相加的特征)．解：(-3)+(-9)＝-12．例2 计算：（-1.25）+3.85+（+3.875）+（-314）+（-12）+1.15+（-378）．【解析】简便运算时，应根据题目特点，把相加得0的数结合在一起：把同分母的分数结合在一起；把相加得整数的数结合在一起；把同号的数结合在一起．解：原式＝+（3.85+1.15）+＝-5+5+0＝0．异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同(应为负)，和的绝对值等于较大绝对值减去较小绝对值..(强调“两个较大”“一个较小”)解题时，先确定和的符号，后计算和的绝对值．(四)巩固练习1.计算(1)4+9； (2) 4+(-9)； (3)-4+9； (4)(-4)+(-9)；(5)4+(-4)； (6)9+(-2)； (7)(-9)+2； (8)-9+0；2.计算(1)5+(-22)； (2)(-1.3)+(-8)(3)(-0.9)+1.5； (4)2.7+(-3.5)【答案】1.(1)13； (2) -5； (3)5； (4)-13；(5)0； (6)7)； (7)-7； (8)-9；2.(1)-17； (2)-9.3(3)0.6； (4)-0. 8。
沪科版七年级上册 数学 教案 1.4 有理数的加减
2.两个有理数相减时必须同时改变几个符号？
3.计算：（1）（-3）-（-9）；（2）2-7（3）0 -（-2.5）
（2）（-2.8）-（+1.7）；
四、合作探究：(10min)
问题：北京冬季里的一天，白天的最高气温是10℃，夜晚的最低气温是-5℃。这一天的最高气温比最低气温高多少？
1.有理数的减法法则
归纳:减去一个数等于加上这个数的相反数。
式子a－b＝a＋(－b)
强调2个变化要素：减变加，减数变为相反数
五、理解应用：(10min)
1.计算：（1）（-3）-（-9）；（2）2-7;（3）0-（-2.5）；
（4）（-2.8）-（+1.7）；
注:进行有理数减法必须同时改变两个符号：
重难点
重点：有理数减法法则。
难点：探索有理数减法法则，正确完成有理数减法到加法的转化。
教
学
过
程
教
学
过
程
一、创设情境：（3min）
在前面的学习中，我们知道，由于引人了负有理数，打破了小学所学的算术加法的运算秩序，我们在实例的基础上归纳出了有理数加法的法则。同样地，引人了负有理数以后，怎样进行有理数的减法运算呢？我们还是从实例出发来研究这个问题。
时间
地点
召集人
课题
1.4有理数的加减（2）
课时
1课时
（总第8课时）
科任
教师
教学
目标
知识与能力：掌握有理数的减法的运算法则，并会应用法则说明问题。
过程与方法：经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、划归的数学思想。
1.4有理数的加减第2课时PPT课件(沪科版)
计算下列各式：
•50 - 20 = 30
50 +（-20）=？
•50 - 10 = 40
50 +（-10）=？
•50 – 0 = 50
50 + 0 = ？
•50 -（-10）= 60 50 + 10 = ？
•50 -（-20）= 70 50 + 20 = ？
计算下列各式：
•50 - 20 = 30
2.（1）较小的数减去较大的数，所得的数一定
是（C ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 0或负数 （2）下列说法中，正确的是（A）
A A 减去一个负数，差一定大于被减数
B 减去一个正数，差不一定小于被减数 C 0 减去任何数，差都是负数 D 两个数之差一定小于被减数
（3）下列说法正确的是（ B） A 减去一个数，等于加上这个数； B 有理数的减法中，被减数不一定比减 数大； C 0 减去一个数 ，仍得 这个数； D 两个相反数相减得 0 ；
1.4有理数的加减（第2课时）
一些城市某天的天气预报
城市 天气 最高温 最低温
西安
多云
15
7
兰州
小雨
9
5
哈尔滨 小雪
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-3
银川
小雪
0
-1
沈阳
小雪
5
-2
…………. ……….. ………. ………..
温差
一些城市某天的天气预报
城市 天气 最高温 最低温
西安
多云
15
7
兰州 小雨
9
5
哈尔滨 小雪
3
-3
银川 小雪
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，
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第二课时 有理数的减法
教学目标
1．理解掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算．
2．通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想，通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力．
3．通过揭示有理数的减法法则，渗透事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想． 教学重难点
1．理解有理数的减法法则．
2．掌握把减法运算转化为加法运算的转化思想．
3．运用有理数的减法法则熟练进行减法运算．
教学过程
导入新课
在前面的学习中，我们知道，由于引入了负有理数，打破了小学所学的算术加法的运算秩序，我们在实例的基础上归纳出了有理数加法的法则．同样地，引入了负有理数以后，怎样进行有理数的减法运算呢？我们还是从实例出发来研究这个问题．(板书课题：有理数的减法)
推进新课
1．有理数的减法法则
问题：北京冬季里的一天，白天的最高气温是10 ℃，夜晚的最低气温是－5 ℃.这一天的最高气温比最低气温高多少？
教师引导学生观察：
生：10 ℃比－5 ℃高15 ℃.
师：能不能列出算式计算呢？
生：10－(－5)．
师：如何计算呢？计算：10＋(＋5)得多少呢？
生：10＋(＋5)＝15.
师：让学生观察两式结果，由此得到10－(－5)＝10＋(＋5)．
师：通过上述题目，同学们观察减法是否可以转化为加法计算呢？
生：可以．
师：是如何转化的呢？
生：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
教法说明：教师发挥主导作用，注重学生的参与意识，充分发展学生的思维能力，让学生通过尝试，自己认识减法可以转化为加法计算．
2．例题分析
【例1】 计算：
(1)(－3)－(－5)；(2)0－7；
(3)7.2－(－4.8)；(4)⎝⎛⎭⎫－312－514
. 教学策略：(1)(2)由学生口述解题过程，教师板书，强调解题的规范性，然后师生共同总结解题步骤：①转化；②进行加法运算．
(3)(4)两题由两个学生板演，其他学生做在练习本上，然后教师讲评．
解：(1)(－3)－(－5)＝－3＋5＝2；
(2)0－7＝0＋(－7)＝－7；
(3)7.2－(－4.8)＝7.2＋(＋4.8)＝12；
(4)⎝⎛⎭⎫－312－514＝⎝⎛⎭⎫－312＋⎝⎛⎭⎫－514＝－834
. 教法说明：学生口述解题过程，教师板书做示范，从中培养学生严谨的学风和良好的学
习习惯．(2)题是0减去一个数，学生在开始学时很容易出错，这里作为例题是为引起学生的重视．(3)(4)两题是简单的变式题目，意在说明有理数减法法则不但适用于整数，也适用于分数、小数，即有理数．
【例2】某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，答对一题与答错一题得分相差多少？
分析：答对一题与答错一题得分相差的分数，即用答对一题的得分减去答错一题所扣的分．假设答对一题所得的分数是正数，那么答错一题所得的分数应是负数．解：20－(－10)＝20＋10＝30(分)，
即答对一题与答错一题得分相差30分．
教法说明：此题是实际问题，把实际问题转化为有理数减法，说明数学来源于实际，又用于实际．
3．巩固训练
课本练习．
本课小结
这节课学习了有理数减法：
(1)运算法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
(2)在做减法时，先把它转化为加法，再运用加法法则进行计算．
(3)在有理数范围内，是不存在“不够减”的问题的，被减数可以比减数小，差也可能大于被减数．。