2.1坐标轴的平移与旋转(2)
一平移旋转和轴对称旋转课件
2023一平移旋转和轴对称旋转课件pptCATALOGUE 目录•引言•平移旋转的概念及性质•轴对称旋转的概念及性质•平移旋转与轴对称旋转的联系与区别•平移旋转和轴对称旋转在几何中的应用•平移旋转和轴对称旋转在现实生活中的应用•总结与展望01引言平移、旋转和轴对称是平面几何的基本变换，是研究图形性质的重要工具。
平面几何的基本概念传统教学往往只注重理论知识的传授，缺乏对实际应用的讲解，学生难以理解和掌握这些变换。
传统教学的不足课程背景1课程目标23掌握平移、旋转和轴对称变换的基本概念和性质。
理解这些变换在平面几何中的应用，包括对称性、相似性、全等等。
培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
03培养空间想象能力和逻辑推理能力，为未来的学习和工作提供帮助。
学习收益01掌握平面几何的基本变换，为进一步学习平面几何打下坚实的基础。
02了解这些变换在解决实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
02平移旋转的概念及性质平移在平面直角坐标系中，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做平移。
旋转在平面直角坐标系中，将一个图形绕着某个点旋转一定的角度，这样的运动叫做旋转。
平移旋转的定义平移旋转的性质•平移的性质•移动前后图形的形状和大小不变。
•移动前后图形的对应点之间的距离相等。
•移动前后图形的对应点之间的连线平行（或在同一条直线上）且长度相等。
•旋转的性质•旋转前后图形的形状和大小不变。
•旋转前后图形的对应点之间的距离相等。
•旋转前后图形的对应点之间的连线相等且平行（或在同一条直线上）平移的例子将一个三角形沿着x轴移动2个单位。
旋转的例子将一个正方形绕着中心点旋转90度平移旋转的例子03轴对称旋转的概念及性质轴对称旋转是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称旋转的特性包括旋转前后的图形全等、对应线段相等、对应角相等，同时旋转角为0°或360°。
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐标轴的平移
3二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
坐标系转换矩阵
坐标系转换矩阵1. 介绍坐标系转换矩阵是数学中一种常用的工具，用于将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
在二维和三维空间中，坐标系转换矩阵可以表示为一个矩阵，通过乘法运算将原始坐标转换为目标坐标。
坐标系转换矩阵在计算机图形学、机器人学、物体定位以及航空航天等领域具有广泛的应用。
2. 二维坐标系转换矩阵2.1 平移矩阵平移矩阵用于将一个点在二维平面上沿 x 轴和 y 轴方向移动一定的距离。
平移矩阵可以表示为：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1 ]其中 dx 和 dy 分别表示在 x 轴和 y 轴上的平移距离。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为移动后的坐标 (x+dx, y+dy)。
2.2 缩放矩阵缩放矩阵用于将一个点在二维平面上沿 x 轴和 y 轴方向进行放大或缩小。
缩放矩阵可以表示为：[sx 0 0][0 sy 0][0 0 1]其中 sx 和 sy 分别表示在 x 轴和 y 轴上的缩放比例。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为缩放后的坐标 (sx x, sy y)。
2.3 旋转矩阵旋转矩阵用于将一个点在二维平面上绕原点进行旋转。
旋转矩阵可以表示为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]其中θ 表示旋转角度。
通过乘法运算，可以将原始点的坐标 (x, y) 转换为绕原点旋转后的坐标 (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。
2.4 总体转换矩阵总体转换矩阵可以通过平移、缩放和旋转矩阵的乘法运算得到。
假设需要将一个点从坐标系 A 转换到坐标系 B，首先可以将点的坐标通过平移矩阵从坐标系 A 转换到原点所在的坐标系，然后通过旋转矩阵将点的坐标围绕原点进行旋转，最后通过缩放矩阵将点的坐标进行放大或缩小，得到在坐标系 B 中的新坐标。
3. 三维坐标系转换矩阵三维坐标系转换矩阵与二维类似，只是需要增加一维。
人教版九年级上册数学活动：用坐标表示旋转-2课件(共31张PPT)
旋转180°，则旋转后的抛物线表达式为
_________________.
应用新知
y y = 2x + 4
O
x
应用新知
y y = 2x + 4
N（0，4）
M（-2，0）
O
x
应用新知
y y = 2x + 4
N（0，4）
M（ꞌ 0，2）
M（-2，0）
待定系数法： 设直线表达式为y kx （b k 0） （实际应用时注意数形结合）
对应点的坐标是
.
把点 Q（0，4）绕原点分别顺时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是___________________________________.
在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），
___________________________________.
探索新知
y
（0，5）
老师的答案是否 和你一样呢？
（-5，0） O
P（5，0） x
（0，-5）
探索新知
把点 P（5，0）绕原点分别顺时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是
_（_0_，__-5_）__，_（__-_5_，_0_）__，__（_0_，__5_）_，__（__5_，__0）___.
y = 2x + 4
90°，180
老师的答案是否和你一样呢？
270°，360°后的对应点的 数学活动：用坐标表示旋转
仿照上述过程探索把点P(x，y)绕原点分别逆时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的坐标依次是_____________________________.
坐标变换与参数方程教案全
§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转创设情境兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O1(2,1),半径为1的圆的方程为．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点处，那么，对于新坐标系，该圆的方程就是．图2-1动脑思考探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系平移至新坐标系，在原坐标系中的坐标为．设原坐标系两个坐标轴的单位向量分别为i和j，则新坐标系的单位向量也分别为i和j，设点P在原坐标系中的坐标为，在新坐标系中的坐标为，于是有xi+y j，x1i+y1 j，x0i+yo j，因为，所以，即．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算；能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式（2.1）或（2.2）【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至（2，－1），求下列各点的新坐标：O(0,0)，A(2,1)，B(－1,2)，C(2,－4)，D(－3,－1)，E(0,5)．解由公式(2.2)，得将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3），D（－5，0），E（－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆的方程，并画出新坐标系和圆.解将方程的左边配方，得．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点（－2，1），由公式（2.1）得将上式代入圆的方程，得．这就是新坐标系中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至（－1，－3），求下列各点的新坐标：A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3），E（－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程，并指出新坐标系原点的坐标．继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60o角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60o的直线（x轴上方的部分）．容易求得其方程为【想一想】为什么要附加条件？动脑思考探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M的坐标与时间t的关系，得即时间t确定后，点M的位置也就随之确定.【想一想】为什么要附加条件？由此看到，曲线上动点M(x，y)的坐标 x和y，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组（2.5）来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f(x，y)＝0叫做普通方程．（转下节）§16.3参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1 写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角为参变量，则为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x与y的对应值，以每一数对（x，y）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程的图形．解由于所以．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：t …－2.5 －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 2.5 …x …－15.63 －8 －3.38 －1 0 1 3.38 8 15.63 …y … 6.25 4 2.25 1 0 1 2.25 4 6.25 …以表中的每对（x，y）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t换为，那么，曲线的范围会不会发生变化？继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4(3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量或的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．。
九年级数学中考知识点归纳复习 第24讲 平移、对称、旋转与位似 视图和投影
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
视图与投影
二、知识清单梳理
知识点一：三视图内容
关键点拨
1.三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .
4.图形的中心对称
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
2.三视图的对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似视图和投影
一、知识清单梳理
知ห้องสมุดไป่ตู้点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
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运 用 知 识 强 化 练 习
坐标轴旋转的坐标变换公式
x1 x cos y sin ， y1 y cos x sin .
x x1 cos y1 sin ， y y1 cos x1 sin .
（2.3）
（2.4）
自 我 反 思 目 标 检 测
将各点的原坐标分别代入公式， 得到各点的新坐标分别为
A(1 3 1 1 3 5 3 5 ， 3)，B( 31 ， )，C ( ， )． 2 2 2 2 2 2
巩 固 知 识 典 型 例 题
例4 设点M在原坐标系xOy 中的坐标为(x,y)，首先平移坐标轴， 将坐标原点移至 O1 ( x0, y0 )，构成坐标系 x1O1 y1，然后再将坐标轴绕点
巩 固 知 识 典 型 例 题
π 2 2)，C (0， 2) 的 1. 将坐标轴旋转 ，求点 A( 2，2)，B( 2， 4
新坐标.
A(2，， 0) B(1，， 3) C ( 2，2)．
π 标轴旋转 ，求原坐标系中点（1，2）的新坐标（精确到0.01）. 4
(2.12， 0.71)．
2.平移坐标轴，把坐标原点移至 O（－ 1，1），然后再将坐 1
1
1
o
x
x r cos , y r sin x1 r cos( )，y1 r sin( )，
于是 x1 r cos cos r sin sin x cos y sin ,
y1 r sin cos r cos sin y cos x sin .
第2章 坐标变换与参数方程
2.1 坐标轴的平移与旋转
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的 坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转． 设点M在原坐标系 xOy 中的坐标为(x,y)，对应向量 OM 的模
为r，辐角为 ．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角 y 形成新坐标系 x1Oy1，点M在新坐标系x1Oy1 M x y ) 中的坐标为 ( x1 , y1（如图），则
O1 旋转 角构成新坐标系x2O1 y2 .求点M在新坐标系x2O1 y2中的坐标．
解 设点M在坐标系 x1O1 y1 中的坐标为 ( x1, y1 )，点M在新坐标系
x2O1 y2中的坐标为 ( x2 , y2 )，则由公式（2.2）得
x1 x x0， y1 y y0 .
1 1
x1 x cos y sin ， y1 知
例3
π 将坐标轴旋转 ，求点A(2,1)，B(－1,2)，C (0,5)的新 3
坐标（如图）.
解 由公式（2.3）得
1 x1 x 2 y 1 y 1 2 3 y， 2 3 x. 2
学习效果 学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
将坐标轴旋转5º ，求点A(0.2，1.5) ，B(－2.3，2) ， C (0，3.2)的新坐标（精确到0.01）.
A(0.331.48) ， ，B(1.71 ， 3.36)，C (0.28， 3.19)．
自 我 反 思 目 标 检 测
动 脑 思 考 探 索 新 知
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的 坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式
y M x1
y1
o
（2.3） 想一想 公式(2.3)和 公式(2.4)的区 将新坐标系看作原坐标系，则旋转角度为 x 别在哪里？使用 ，代入公式（2.3）得 x x1 cos y1 sin ， 公式要注意些什 （2.4） 么问题？ y y cos x sin .
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题2.1（必做） 学习与训练2.1（选做）
继 续 探 索 活 动 探 究
作 业
x2 x1 cos y1 sin ， y2 y1 cos x1 sin .
由公式（2.3）得
因此得
x2 ( x x0 ) cos ( y y0 )sin ， y2 ( y y0 ) cos ( x x0 )sin .