坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐标轴的平移
坐标平移与旋转
坐标平移与旋转坐标平移和旋转是二维坐标系统中常用的操作，无论是在数学、几何还是计算机图形学领域，它们都占据着重要地位。
本文将详细介绍坐标平移和旋转的概念、原理以及实际应用。
一、坐标平移坐标平移是指在二维坐标系中将所有点的坐标向某个方向移动固定的距离，以达到整体平移的效果。
这个过程可以简单地理解为，将整个坐标系沿着某个方向平行移动。
1.1 平移的概念平移可以用向量表示。
设有平面上一点P(x,y)，平移向量为V(a,b)，则平移后的点P'的坐标为P'(x', y')。
平移操作的计算公式如下：x' = x + ay' = y + b其中，x和y是原来点P的坐标，a和b是平移向量的分量。
1.2 平移的原理平移的原理很简单，即将每个点的坐标分别加上平移向量的分量，即可得到平移后的坐标。
通过改变平移向量的数值，可以实现不同方向和距离的平移效果。
1.3 平移的应用平移在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在计算机图形学中，平移可以用于实现对象的移动效果，比如将一个图形从一个位置平移到另一个位置；在地图导航系统中，平移可以用于地图的拖动功能，使得用户可以自由地浏览地图。
二、坐标旋转坐标旋转是指围绕某个固定点将二维坐标系中的点按照一定角度进行旋转，以改变它们的位置和方向。
旋转是一种常见的几何变换，有着重要的理论和实际应用。
2.1 旋转的概念旋转可以用矩阵运算来表示。
设有平面上一点P(x,y)，以原点为中心进行旋转，旋转角度为θ，则旋转后的点P'的坐标为P'(x', y')。
旋转操作的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x和y是原来点P的坐标，θ是旋转的角度。
2.2 旋转的原理旋转的原理是利用三角函数的性质，通过改变旋转角度θ的数值，可以实现不同角度和方向的旋转效果。
平移与旋转的坐标变换
平移与旋转的坐标变换在平面几何中，平移和旋转是常见的坐标变换操作。
它们可以通过对坐标系中的点进行一系列运算来实现。
本文将介绍平移和旋转的概念与原理，并详细讨论它们在坐标变换中的应用。
一、平移的概念与原理平移是指在平面上将对象沿着指定的方向移动一定的距离。
在坐标系中，平移可以通过对点的坐标进行简单的加减运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其沿着(x轴方向移动a个单位，y轴方向移动b个单位)，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
二、平移在坐标变换中的应用平移在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在图形学中，平移可以用来实现物体的移动和动画效果。
在计算机视觉中，平移可以用于图像配准和目标跟踪等任务。
三、旋转的概念与原理旋转是指围绕某一点或某一轴线，将对象按一定角度进行转动。
在坐标系中，旋转可以通过对点的坐标进行复杂的数学运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其按顺时针方向旋转θ角度，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x * cosθ - y * si nθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦值和正弦值。
四、旋转在坐标变换中的应用旋转在计算机图形学和机器人导航等领域有广泛的应用。
在图形学中，旋转可以用来实现物体的旋转、变形和特效。
在机器人导航中，旋转可以用于定位和路径规划等任务。
五、平移与旋转的联合应用在坐标变换中，平移和旋转通常是同时应用的。
为了实现平移和旋转的组合变换，可以先对点进行旋转变换，然后再进行平移变换。
假设有一个点P(x, y)，首先对其进行旋转变换，得到新的坐标P'(x', y')：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ然后，再对新的坐标P'进行平移变换，得到最终的坐标P''(x'', y'')：x'' = x' + ay'' = y' + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离，θ表示旋转的角度。
参数方程与极坐标
第十九章 坐标平移（选）、参数方程与极坐标（理）一、坐标平移代数平移法1. 平移公式：如果将原点移到（h,k ），则平面上任意一点M 的新坐标),(''y x 与原坐标（x,y ）之间的关系式：⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+=+=k y y h x x k y y h x x ''''或 注：此方法关键在于先确定k h ,，分清求新还是原坐标。
几何平移法2．平移口诀：当方程0),(=--k y h x f ，经平移后变为0),(''=y x f 。
平移图像：坐标轴不动，左加右减，上加下减（对于二次曲线多数用上减下加）。
平移坐标轴：图像不动，左减右加，上减下加（对于二次曲线多数用上加下减）。
二、曲线的参数方程1、 参数方程定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标y x ,都是某个实数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x )(D t ∈ 并且对于t 的每一个允许值，由方程所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。
变量t 叫做参变量或参变数，简称参数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标y x ,间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。
例、参数方程)2,0[sin 2cos 2πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 与)2,0(sin 2cos 2πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 是否表示同一曲线？为什么？2、 参数方程中参数的选取不同，曲线便不同。
例：参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 若：t 为参数，α是常量且α∈[0,π)时，该方程表示过点(x 0,y 0),倾角为α的直线。
若：α为参数，t 是常量且t>0时，该方程表示以点(x0,y0)为圆心，t 为半径的圆。
3、 参数方程与普通方程的互化参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它是可以互相转化的。
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧高中数学学习过程中，我们经常会遇到坐标系的平移与旋转问题。
坐标系的平移和旋转是几何变换中的重要内容，掌握了平移和旋转的技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与坐标系相关的数学问题。
下面，我将从平移和旋转的基本概念开始，介绍高中数学学习中的坐标系平移与旋转技巧。
首先，我们来了解一下坐标系的平移。
平移是指将坐标系内所有的点按照某个规律进行移动，使得原来的点到达新的位置，而形状保持不变。
平移的基本思想是通过向量的加法来表示移动的规律，其中向量的大小和方向表示了点的移动距离和方向。
在高中数学学习中，我们一般使用平移向量来描述平移的规律。
在解决平移问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用平移向量确定新的坐标点位置：对于给定的平移向量，我们可以通过计算原坐标点与平移向量的加法来确定新的坐标点位置。
例如，若平移向量为(a, b)，原坐标点为(x, y)，则新的坐标点位置为(x+a, y+b)。
2. 利用平移不变形质：平移后的图形与原图形之间具有一种特殊的关系，即形状保持不变。
这意味着平移后的图形与原图形拥有相等的边长、角度和面积。
我们可以利用这一性质来解决与图形的对称性、相似性等相关的问题。
3. 应用平移解决方程组问题：对于包含两个变量的方程组，我们可以利用平移将方程组进行转化，从而更容易求解。
例如，若方程组为{x+y=3, x-y=1}，我们可以通过平移操作将第二个方程转化为{x=-2}，然后代入第一个方程求解。
另外一个重要的技巧是旋转。
旋转是指将坐标系内的所有点按照某个规律进行转动，使得原来的点到达新的位置，同时保持形状不变。
旋转的基本思想是通过角度和旋转中心来确定旋转的规律。
在解决旋转问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用旋转角度确定新的坐标点位置：对于给定的旋转角度和旋转中心，我们可以通过计算原坐标点相对于旋转中心的位置以及旋转角度来确定新的坐标点位置。
例如，若旋转角度为θ，原坐标点为(x, y)，旋转中心为(a, b)，则新的坐标点位置为((x-a)*cosθ-(y-b)*sinθ+(x-a), (x-a)*sinθ+(y-b)*cosθ+(y-b))。
坐标变换和坐标系的平移
坐标变换和坐标系的平移坐标变换和坐标系的平移是数学中常见且重要的概念，它们在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和坐标系的平移的基本概念、原理和用途，以及如何进行坐标变换和坐标系的平移。
一、坐标变换的概念和原理坐标变换是一种将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中的点的坐标的过程。
在二维平面中，我们通常用x、y表示一个点在直角坐标系中的坐标。
当我们需要将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要知道两个坐标系之间的关系。
坐标变换的原理基于线性变换的基本原理。
在二维平面中，我们可以使用矩阵乘法来表示坐标变换。
假设有一个点P=(x, y)在坐标系A中的坐标，我们希望将其转换到坐标系B中。
那么我们可以使用一个2x2的矩阵M，表示从坐标系A到坐标系B的变换。
坐标变换的过程可以表示为：[P'] = [M] [P]其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
矩阵M的每个元素表示了坐标系的缩放、旋转和错切等变换。
通过选择不同的矩阵M，我们可以实现不同的坐标变换效果。
二、坐标系的平移坐标系的平移是指在原有坐标系的基础上，将整个坐标系沿着某个方向平移一定的距离。
在二维平面中，我们可以将一个坐标系中的点的坐标表示为(x, y)，将坐标系的平移表示为向量(t_x, t_y)。
那么在将点P从坐标系A平移到坐标系B时，我们可以使用以下公式进行计算：[P'] = [P] + (t_x, t_y)其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
在这个过程中，不仅点的坐标发生了变化，整个坐标系也随之平移。
三、坐标变换和坐标系平移的应用坐标变换和坐标系的平移在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
它们可以用于处理图像的旋转、缩放和平移，实现图像的变换和变形。
在物理学中，坐标变换可以用于描述和计算粒子在不同坐标系中的运动和相互作用。
在工程学中，坐标变换可以用于处理三维模型的变换和显示。
坐标轴平移及参数方程知识点
坐标轴平移及参数方程知识点一、坐标轴平移的概念坐标轴平移是指将整个坐标系在平面上进行平移操作，使得所有的点都按照同样的方式移动，保持相互之间的相对位置不变。
平移可以沿着水平方向或者垂直方向进行，也可以同时进行。
平移操作可以通过向所有的点添加或者减去一个常数来实现，这个常数就是平移的大小和方向的表示。
二、坐标轴平移的方法1.水平平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，若a>0，则为向右平移；若a<0，则为向左平移。
2.垂直平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中b为平移的垂直位移量，若b>0，则为向上平移；若b<0，则为向下平移。
3.综合平移：若(x,y)为原坐标系中的任意一点，(x-a,y-b)就是新坐标系中的对应点。
其中a为平移的水平位移量，b为平移的垂直位移量。
三、参数方程的概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常，一个函数y=f(x)可以写成两个参数x=g(t)和y=h(t)的关系，其中t为参数。
这种关系可以用来表示一条曲线在平面上的轨迹。
四、参数方程的性质1.参数方程表示的曲线可以同时考虑x和y的变化情况，可以更全面地描述曲线的特征。
2.参数方程中的参数可以是任意的，常常根据实际需要来选择。
参数的选择不同，可能得到不同的曲线。
五、参数方程的绘制方法1.把参数t的取值范围确定下来。
2.根据参数方程，依次求出对应于不同t值的x和y的坐标。
可以用表格的方式列出，或者直接用计算器求值。
3.连接所有的点，得到曲线的大致形状。
六、常见的参数方程1.直线的参数方程：x = at + b, y = ct + d，其中a、b、c、d为常数。
2.圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)，其中r为半径，t为参数。
七、坐标轴平移与参数方程的关系x'=x+ay'=y+b将参数方程中的x和y分别替换为x'和y'，可以得到平移后的参数方程。
坐标轴的平移
江苏省新沂中等专业学校教案
一、教师：展示情景图（PPT演示）
提问1：这是两幅意大利比萨斜塔的照片，大家知道为什
么第二幅照片中的斜塔不斜了呢？
提问2：两个同学相对而坐，桌面上写有一个数字，是6？是9？两人答案不一。
由于两人所处的位置不同，对同一事物的描述就不同。
二、探索：
展示PPT：（图示）
只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向和单位长
度的坐标系变换，叫做坐标轴平移。
坐标系x'O'y'是原坐标系xOy平移后得到的一个新坐标
系。
新坐标系原点O'在坐标系xOy中的坐标是(-2,-1)。
1.在坐标系xOy中，A、B、C、D各点的坐标是什么？
点A B C D
坐标（1,0）（-2,1）（0，-1）（-1，-1）
2.在坐标系x'O'y'中，A、B、C、D各点的坐标是什么？点A B C D
坐标（3,1）（0,2）（2，0）（1，0）
分析：以上两个坐标系中的坐标有何关系？
结论：点在xOy中的坐标减去在坐标系x'O'y'的坐标的差都是(-2,-1)，就是新坐标系原点O'在坐标系xOy中的坐标。
三、新授：学生思考交流
学生回答
学生回答。
坐标轴平移及参数方程知识点(背诵版)
坐标变换与参数方程（背诵版）
1、坐标轴平移的坐标变换公式
若坐标系xoy 平移后得到新坐标系'''y o x ，'O 在原坐标系xoy 中的坐标是
)(00y x ，，设点P 在原坐标系xoy 中的坐标为)(y x ，，在新坐标系'''y o x 中的
坐标为)(''y x ，则有： ⎩
⎨⎧+=+=0'0'y y y x x x 。
2、已知倾斜角及过定点的直线的参数方程
过点),(00y x P ，倾斜角为θ的直线的参数方程为： )(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩
⎨⎧+=+=θθ 。
3、圆2
22r y x =+的参数方程： )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 。
4、圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程： )(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 。
5、椭圆12222=+b y a x 的参数方程： )(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨⎧==b y a x 。
6、辅助角公式
x b x a y cos sin +=可化为： )sin(22ϕ++=x b a y 。
7、已知),(y x P 是圆222)()(r
b y a x =-+-或椭圆12222=+b
y a x 上的任意一点，求ny mx +的最大值或最小值。
解题方法： 先把圆或椭圆方程设成参数方程，再利用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 。
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3二题，如果不移动图像，移动坐 标轴，该如何平移？
正好与上面图像平移方向相反
导学
圆心在O1(2，1)，半径为1的圆的方程为
(x2)2(y1)21．
对应图形如图所示．如果不改变坐标轴的方
向和单位长度，将坐标原点移至点O 1 处，那
么，对于新坐标系x1 O 1 y 1，该圆的方程就是
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，
使得新坐标原点在点O（1 －2，1），
由公式2.1，得
x y
x1 y1
2, 1.
将上式代入圆的方程，得 x12 y12 9．
这就是新坐标 x 1 O 1 y 1 中圆的方程． 新坐标系和圆的图形如图所示．
练习与评价
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O （1 －1，－3），求下列 各点的新坐标：
x12 y12 1．
导学
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的 坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之 间的关系．反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
所以方程简化为 x12 y12 11， 新坐标系的原点为 ( 3，2 )．
课堂总结
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题2.1.1（必做题） 习题集2.1.1（选做题） 学习与训练2.1（选做题）
2、实践作业： 实践指导2.1
谢谢！
导学
如图所示，把原坐标系x O y 平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标 系中的坐标为(x0，y0 )．设原坐标系 x O y 两个坐标轴的单位向量分别 为i和j，则新坐标系x1 O 1 y 1 的单位向量也分别为i和j，
于是得到坐标轴平移的坐标变换公式
x y
x0 y0
x1, y1.
或
坐标变换与参数方程1坐标轴的平移与旋转1坐 标轴的平移
导入
在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运 动），而刀具与工件作相对运动（进给运动）．为了保证切削加 工的顺利进行，经常需要变换坐标系．
预读
1、圆心在点（2,1），半径为1的圆的标准方程是
（
）。如果圆心在
坐标原点呢？
2、 函数 y sin x的图像经过怎样的平移 变换成 y sin( x 2) 1的图像 ?
A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3）．
答案： A ( 4 ， 5 ) ， B ( 4 ， 7 ) ， C ( 2 ， 0 ) ， D ( 4 ， 2 ) ．
2．利用平移坐标轴，化简方程 x2y26x4y20，并 指出新坐标系原点的坐标：
答案： 将方程左边配方，得(x3)2(y2)211，
x1 y1
x y
x0 , y0.
（2.1） （2.2）
探究
公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使 用公式要注意些什么问题？
实训
例1 平移坐标轴，将坐标原点移至O 1（2，－1），求下列各点的 新坐标：
O(0，0)，A(2，1)，B(－1，2)，C(2，－4)，D(－3，－1)，E(0，5) ．
设点P在原坐标系中的坐标为(x, y) ，在新 坐标系中的坐标为(x1, y1)，于是有
O P xi+y j，O1P x1i+y1 j，OO1 x0i+yo j， 因为 O PO O 1O 1P ， 所以 x i y j x 0 i y 0j x 1 i y 1j， 即 x i y j （ x 0 x 1 ) i ( y 0 y 1 )j.
解
由公式(2.2)，得
x1 y1
x y
2, 1.
将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为
O（－2，1），A（0，2），B（－3，3），C（0，－3）， D（－5，0），E（－2，6）．
实训
例2 利用坐标轴的平移化简圆 x2y24x2y40的方程，并 画出新坐标系和圆.
解 将方程的左边配方，得(x2)2(y1)29．