16.2坐标轴旋转
《旋转作图与坐标系中的旋转变换》PPT课件 人教版九年级数学上册
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的
图形全等，所以∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'=DE，则
△ABE'为旋转后的图形.
A
D
A
D
E
E
B
C
E′ B
C
E点的对应点E′，还可以用其他方法确定吗？
方法一：由∠EAE′=90°，
知识点一 用旋转的知识作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是 点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
旋转180° 后的图形 如图所示.
A'
A
B
4. 如图，△ABC中，∠C=90°. （1）将△ABC绕点B逆时针旋转 B
90°，画出旋转后的三角形；
（2）若BC=3，AC=4，点A旋转后
的对应点为A，求A'A的长.
C
A
【教材P63习题23.1 第9题】
解：(1)△A'BC'即为所求.
(2)∵△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.
R·九年级上册
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图与 坐标系中的旋转变换
复习回顾
定义
在一个平面图形绕平面内某一点O转动 一个角度，叫做图形的旋转.
坐标旋转变换
Q (x ,0, N (0, y , z )P (x , y , z )OM (x , y ,0)坐标旋转变换如图 1，直角坐标系 XYZ ，P 点的坐标为 (x , y , z ) ，其相应的在 XY 平面，XZ 平面， Y Z 平面分别为 M (x , y ,0) ， Q (x ,0, z ) 和 N (0, y , z ) 。
zz )xy图 1 直角坐标系 XYZ设ϑ表示第 j 轴的旋转角度， R j (ϑ ) 表示绕第 j 轴的旋转，其正方向是沿坐标 轴向原点看去的逆时针方向。
很明显当 j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的 j 分量是不变的。
由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕 z 轴旋转为例推导其旋转 变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。
设图 1 的坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度，新坐标为 X 'Y ' Z '，如图 2 所示：θZ (Z ')N (0, y , z ) | (0, y ', z ') Q (x ,0, z ) | (x ',0, z ')P (x , y , z ) | (x ', y ', z ')X 'OXθM (x , y ,0) | (x ', y ',0)YY '图 2 坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度由于坐标中的 z 分量不变，我们可以简化地在 XY 平面进行分分析，如图 3 所示：YY 'M (x , y ,0) | (x ', y ',0)θ ϕXOθX M X 'X '图 3 坐标绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度的 XY 平面示意图点 M X 和点 M X ' 分别是 M 点在 X 轴和 X ' 轴的投影。
如图 3♣x = OM X ♦♥ y = MM X = OM cos ∠MOM X = OM sin ∠MOM X = OM cos(ϕ - θ )= OM sin(ϕ - θ )♣x ' = OM X ' = OM cos ∠MOM X ' = OM cos ϕ ♦♥ y = MM X ' = OM sin ∠MOM X ' = OM sin ϕ把(1)式按照三角函数展开得：♣x = OM cos ϕ cos θ + OM sin ϕ sin θ ♦♥ y = OM sin ϕ cos θ - OM cos ϕ sin θ把(2)式代入(3)式得：M♠♣x = x 'cos θ + y 'sin θ ♦♥ y = -x 'sin θ + y 'cos θ坐标中的 z 分量不变，即 z = z ' 这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表 示就坐标）：♣x = x 'cos θ + y 'sin θ ♠♦ y = -x 'sin θ + y 'cos θ ♥z = z ' 把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵 R Z (θ) 表示可以写成：ϒ x / ϒx '/ ' ∞ ' ∞' y ∞ = R Z (θ)' y '∞ '≤ z ∞ƒ '≤z '∞ƒ ϒcos θ 'sin θ 0/ ∞ R Z (θ) = '- sin θcos θ 0∞ ≤' 01∞ƒ坐标系 X 'Y ' Z ' 是坐标系 XYZ 绕 Z 轴逆时针旋转θ 角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系 XYZ 是坐标系 X 'Y ' Z ' 绕 Z ' 轴逆时针旋转 - θ 角度而来，所以 根据(6)式有（上标 "-1" 表示矩阵的逆）：ϒ x '/ ϒ x / ' ∞ ' ∞ -1' y '∞ = R Z (- θ)' y ∞ ⇒ R Z (θ) = R Z (- θ) '≤ z ' ∞ƒ '≤ z ∞ƒ用同样的分析办法，当绕 X 轴逆时针旋转θ 角度其 Y Z 平面分析如图 4 所示：ZZ 'N (x ,0, z ) | (x ',0, z ')θ ϕYOθYN Y 'Y '图 4 坐标绕 X 轴逆时针旋转θ 角度的 Y Z 平面示意图 其坐标转换关系为：N♠X 'X ♠ Y ∞ ♣ y = y 'cos θ + z 'sin θ ♠♦z = - y 'sin θ + z 'cos θ ♥x = x '(9)ϒ1R (θ) = '0 0 cos θ 0/ sin θ ∞(10)'≤0- sin θcos θ ∞ƒR -1 (θ)= R (- θ) (11)当绕 Y 轴逆时针旋转θ 角度得其 XZ 平面分析如图 5 所示（注意和前面两个角度方向不一样）：Z 'ZQ (0, y , z ) | (0, y ', z ')θϕ θOQ XX 'Q X 'X图 5 坐标绕 Y 轴逆时针旋转θ 角度的 XZ 平面示意图 ♣x = x 'cos θ - z 'sin θ♠♦z = x 'sin θ + z 'cos θ ♥y = y '(12)ϒcos θ '0 - s in θ /∞ R Y (θ) = '01 0 ∞ (13)'≤sin θcos θ ∞ƒR -1(θ)= R (- θ) (14)X Y。
坐标系旋转指令的应用
对指令，在
G68后面指定 旋转中心
；
坐标系旋转建立指令
坐标系旋转方式的程序段
坐标系旋转取消指令
G17
Y
X
旋转后的坐标系统
旋转的角度
+X
旋转的角度
G18 Z
旋转后的坐标系统
+Z
旋转的角度
G19 旋转后的坐标系统 +Y
指令使用注意事项
4.坐标系旋转取消指令G69以后第一个移动 指令必须用绝对值指定。
G90---正确执行
G91---不正确执行， 以当前位置为中心旋转
指令使用注意事项
5.在同时使用镜像、缩放及旋转时应注意：CNC的数据处理顺序是从程序镜 像到比例缩放和坐标旋转，再到刀具半径补偿，应按该顺序指定指令；取消 时，按相反顺序。
O0440
G54G90G94G17G40G21G49
M03S1000
G00X0Y0 M98P0441
段号1 凹槽轨迹加工程序
N10 O0441
GM6988XP00Y4401R120；NN23002
G00X28.147Y-16.251 G00G43Z50H01；
G69；
N40 G00Z5
GM6988XP00Y4401R240；NN56003
镜像
比例缩放 坐标旋转
刀具补 偿
6.如果在镜像指令中有坐标旋转指令，则坐标系旋转方向相反，即顺 时针变成逆时针，逆时针变成顺时针。
7.如果在坐标旋转指令前有比例缩放指令，则坐标系旋转中心也被缩 放，但旋转角度不被比例缩放。
指令应用案例
段号 坐标系旋转主程序
N10 N20 N30 N40 N50 N60 N70 N80 N90 N100 N110 N120
坐标轴旋转公式
坐标轴旋转公式
坐标轴旋转是指把原坐标系的坐标轴旋转到新的坐标系的过程。
它包括两个步骤：一是把坐标轴旋转到新的坐标系，二是把原坐标系中的点经过坐标轴旋转后在旋转后坐标系中的坐标。
旋转坐标轴的公式是：
原坐标点(x,y)旋转θ弧度后的坐标为：
新坐标点(x′,y′)＝(x cosθ±y sinθ, x sinθ±y cosθ)。
其中，把坐标轴旋转θ后，新坐标点(x′,y′)表示旋转后坐标系中的点坐标，而原坐标点(x,y)表示旋转后坐标系中的点坐标。
公式的正负号表示旋转的方向，当正号时，表示顺时针旋转；当负号时，表示逆时针旋转。
这个公式可以应用于二维的坐标轴旋转，学习者也可以利用公式，结合线程旋转的公式，来旋转三维坐标系的坐标轴。
旋转轴和旋转角计算公式
旋转轴和旋转角计算公式一、引言在几何学和物理学中，旋转是一种常见的运动方式。
对于一个物体绕某个轴旋转的情况，我们可以通过旋转轴和旋转角来描述和计算这个旋转过程。
本文将介绍旋转轴和旋转角的概念，并给出相应的计算公式。
二、旋转轴的概念旋转轴是指物体在旋转过程中围绕的一条直线。
这条直线可以是物体的任意一条直线，如物体的对称轴、几何中心轴等。
旋转轴的选取通常取决于具体问题的要求。
三、旋转角的概念旋转角是指物体在旋转过程中所转过的角度。
旋转角可以用弧度或角度来表示，其中弧度是更常用的单位。
旋转角的大小决定了旋转的程度，可以是正数、负数或零。
四、旋转轴和旋转角的计算公式1. 绕坐标轴旋转的公式当物体绕坐标轴旋转时，可以使用以下公式进行计算：- 绕x轴旋转：x' = x, y' = y*cos(θ) - z*sin(θ), z' = y*sin(θ) + z*cos(θ)- 绕y轴旋转：x' = x*cos(θ) + z*sin(θ), y' = y, z' = -x*sin(θ) +z*cos(θ)- 绕z轴旋转：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ), y' = x*sin(θ) + y*cos(θ), z' = z2. 绕任意轴旋转的公式当物体绕任意轴旋转时，可以使用四元数表示旋转，并通过以下公式进行计算：- 旋转后的位置：P' = Q * P * Q^-1- 其中，P为原始位置向量，P'为旋转后的位置向量，Q为旋转四元数，Q^-1为Q的逆四元数。
五、旋转轴和旋转角的应用旋转轴和旋转角的概念和计算公式在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：1. 三维计算机图形学中，旋转轴和旋转角用于描述物体的旋转变换，从而实现物体的旋转效果。
2. 机器人学中，旋转轴和旋转角用于描述机械臂的旋转关节，以实现机械臂的运动和灵活性。
九年级数学上册教学课件《旋转作图与坐标系中的旋转变换》
旋转中心 旋转方向 旋转角
顺时针 逆时针
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
01
找
找出旋转中心、旋转方向、旋转角以 及表示图形的关键点(如顶点)
02 连 连接图形的每一个关键点与旋转中心
03
转
把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相 同的角度(旋转角的度数)
举例： 画出旋 转后的 三角形.
04
截
在旋转后所得的射线上截取与关键点到旋转中 心距离相等的线段，得到各关键点的对应点
05
作
按原图顺次连接各关键点的对应点，并标上 相应字母，写出结论
知识点一 用旋转的知识作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是 点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
逆时针旋转，画出旋转后的图形.【教材P62习题23.1 第3题】
A
A
P'
BP
C
BP
C
解：如图所示，△ACP'即为所求作的图形.
3. 分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和
180°后的图形. 【教材P62习题23.1 第4题】
B'' A''
解： 旋转90° 后的图形 如图所示.
C' C''
OC
B'
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
旋转坐标转换公式
旋转坐标转换公式在数学和计算机图形学领域，旋转是一种常见的变换操作。
通过旋转，我们可以改变对象在平面或空间中的位置和方向。
在进行旋转操作时，需要使用旋转矩阵来进行坐标转换。
本文将介绍旋转坐标转换的公式及其应用。
二维空间的旋转坐标转换在二维空间中，我们通常使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。
假设一个点P在二维直角坐标系中的坐标为(x,y)，我们希望将这个点绕原点O逆时针旋转θ角度，得到新的坐标P’(x’,y’)。
点P经过旋转之后，新的坐标可以通过以下公式计算得出：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。
三维空间的旋转坐标转换在三维空间中，我们同样使用逆时针旋转为正方向的方式进行坐标转换。
假设一个点P在三维直角坐标系中的坐标为(x,y,z)，我们希望将这个点绕坐标轴进行旋转，得到新的坐标P’(x’,y’,z’)。
点P经过旋转之后，新的坐标可以通过旋转矩阵的运算得到：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)z' = z其中，θ为旋转角度，cos(θ)和sin(θ)分别代表旋转角度的余弦和正弦值。
旋转坐标转换的应用旋转坐标转换在计算机图形学、游戏开发等领域有着广泛的应用。
通过旋转坐标转换，我们可以实现物体的旋转、变换和动画效果。
在3D建模软件中，旋转坐标转换可以用来控制物体的姿态和方向，使得模型呈现出真实的效果。
此外，旋转坐标转换也可以用于机器人运动学中。
通过旋转坐标转换，我们可以计算机器人的末端执行器在运动时相对于基准坐标系的位置和姿态，从而实现精确的运动控制和轨迹规划。
总的来说，旋转坐标转换是一种重要的数学变换，它不仅可以帮助我们理解物体在空间中的位置和方向变化，还可以应用于各种领域，拓展了数学和计算机科学的应用范围。
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不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的
动
坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
脑
由此得到坐标轴的旋转的坐标变换公式
思
y
M
x1
y1
x1 y1
x cos y cos
y x
sin， sin .
想一（想2.3） 公式(2.3)和
考 探
o
将新坐标系看作原坐标系，公则式旋(转2.角4)度的为区
第16章 坐标变换与参数方程
16.2 坐标轴旋转
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的
动
坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
脑
设点M在原坐标系 xOy 中的坐标为(x,y)，对应向量 OM 的模
思
为r，辐角为 ．将坐标轴绕坐标原点，按照逆时针方向旋转角
y
M
x1
形成新坐标系 x1Oy1，点M在新坐标系x1Oy1
y1
1 2
y
3 x. 2
典
型 将各点的原坐标分别代入公式，
得到各点的新坐标分别为
例
题 A(1 3 ，1 3)，B( 1 3，1 3 )，C(5 3 ，5)．
22
2
2
22
例4 设点M在原坐标系xOy中的坐标为(x,y)，首先平移坐标轴，
将坐标原点移至 O1(x0, y0 )，构成坐标系x1O1y1，然后再将坐标轴绕点
x1 cos y1 cos
y1 x1
sin， sin .
典 型 例
因此得
x2 y2
(x (y
x0 ) cos y0 ) cos
(y (x
y0 )sin， x0 )sin.
题
1.
将坐标轴旋转
π 4
，求点
A(
2，2 )，B(
2，2
2)，C(0，2) 的
运
新坐标.
用
A(2，0)，B(1，3)，C( 2，2)．
巩
O1旋转 角构成新坐标系x2O1y2 .求点M在新坐标系x2O1y2中的坐标．
固
解 设点M在坐标系x1O1 y1 中的坐标为 (x1, y1)，点M在新坐标系
x2O1 y2中的坐标为 (x2, y2 )，则由公式（2.2）得
知 识
x1 y1
x y
x0， y0 .
由公式（2.3）得Biblioteka x2 y2检测
读书部分：阅读教材相关章节
继 续
书面作业：教材习题
探
索
学习与训练
活
动
探
究
作业
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
知
2.平移坐标轴，把坐标原点移至
π
O（1 －1，1），然后再将坐
标轴旋转 4，求原坐标系中点（1，2）的新坐标（精确到0.01）.
识
强 化
(2.12， 0.71)．
练
习
坐标轴旋转的坐标变换公式
自
我
x1 y1
x cos y cos
y x
sin， sin .
（2.3）
反 思
目
x y
x1 cos y1 cos
x
，代入公式（2.3）得
别在哪里？使用
x y
x1 y1
cos cos
y1 x1
sin ， sin .
公式要注意些什 么问（题2？.4）
索 新 知
例3
将坐标轴旋转
π 3
，求点A(2,1)，B(－1,2)，C
(0,5)的新
巩
坐标（如图）.
解 由公式（2.3）得
固
x1
1 2
x
3 y， 2
知 识
y1 x1
sin ， sin .
（2.4）
标 检
测
学习方法
学习行为
学习效果
自
我
反
思
目 标 检 测
将坐标轴旋转5º，求点A(0.2，1.5) ，B(－2.3，2) ，
自
我
C (0，3.2)的新坐标（精确到0.01）.
反
思
目
标
A(0.33，1.48)，B(1.71，3.36)，C(0.28，3.19)．
考
y1
中的坐标为 (x1 , y1（) 如图），则
探
o
x
x r cos, y r sin
索
x1 r cos( )，y1 r sin( )，
新
于是 x1 r cos cos r sin sin x cos y sin ,
知
y1 r sin cos r cos sin y cos xsin.