高三文科数学复习——椭圆
高三椭圆相关知识点总结
高三椭圆相关知识点总结在高三数学学习中，椭圆是一个十分重要且常见的几何图形。
它具有许多独特的性质和特点，对于理解和解决相关题目至关重要。
本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解椭圆的性质和应用。
1. 椭圆的定义及公式椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
定点F₁和F₂称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为2c，且c²=a²-b²。
椭圆的离心率e=c/a。
椭圆的标准方程为，(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
2. 椭圆的性质- 长轴和短轴：椭圆的两焦点距离为2c，且c²=a²-b²，所以椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
- 离心率：椭圆的离心率e=c/a，离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆；离心率越接近1，椭圆的形状越扁平。
- 对称性：椭圆关于x轴和y轴都具有对称性，中心对称。
3. 椭圆的方程变形椭圆的方程在数学上经常需要进行变形和化简。
以下是几种常见的椭圆方程变形形式：- 标准方程变形：将标准方程进行代数变形和化简，可以得到不同形式的椭圆方程，如正方形椭圆、长轴平行于y轴的椭圆等。
- 参数方程：将椭圆的方程用参数表示，例如x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。
- 三角方程：利用三角函数的性质，将椭圆的方程变形为三角函数的方程，如x²/a²+ y²/b² = 1可以变形为sin²θ/a² + cos²θ/b² = 1。
4. 椭圆的性质与应用- 焦点定理：椭圆上任意一点P到两焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。
- 弦焦定理：椭圆上任意一条弦的两个焦点到弦的距离之和等于常数2a。
- 切线性质：椭圆上的点P处的切线斜率为y/x=-b²x/a²y。
高考椭圆专题知识点
高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。
掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。
本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。
其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。
椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。
椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。
2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。
3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。
4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。
5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。
6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。
7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。
2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。
3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。
5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。
2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。
文科椭圆的知识点总结
文科椭圆的知识点总结一、定义椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和为常数的所有点的轨迹。
设点F1（x1，y1）和F2（x2，y2）是平面上给定的两点，离心率为e（0<e<1），则椭圆E是满足下面条件的点P（x，y）的轨迹：PF1+PF2=2a其中PF1和PF2分别表示点P到点F1和点F2的距离，a为常数，称为椭圆的半长轴。
在离心率e已知的情况下，椭圆的半短轴b可以表示为：b=a√(1-e^2)根据椭圆的定义，椭圆是两个焦点之间距离的轨迹，通常可以通过图形来直观地理解椭圆的定义。
二、性质1. 对称性：椭圆相对于长轴和短轴都具有对称性。
关于长轴、短轴、焦点、中心对称均为椭圆的性质。
2. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦点之间的距离除以长轴的长度，即e=c/a。
离心率描述了椭圆的扁平程度，如果离心率接近于1，椭圆趋向于是一条直线；如果离心率接近于0，椭圆趋向于是一个圆。
3. 参数方程：椭圆也可以通过参数方程进行描述。
设椭圆的参数方程为x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
θ为参数在0到2π之间变化。
4. 直径：椭圆有两个特殊的直径，即长轴和短轴。
长轴的两个端点称为椭圆的顶点，短轴的两个端点称为椭圆的辅顶点。
5. 焦点：椭圆上与长轴两端的两点叫做椭圆的焦点。
椭圆的焦点与长轴的关系可以通过数学公式x^2/a^2+y^2/b^2=1推导得出。
6. 相交角：椭圆上两条相交弦的夹角的两个端点在同侧。
设椭圆的两条相交弦的直线方程为ax+by+c=0，ax+by+d=0，其中a、b不同时为0，亦即两条线的斜率不相等。
两条直线分别和椭圆相交于四点，设在第一个方程上交于P1、P2，第二个方程上交于P3、P4。
那么P1P2P3P4是一个凸四边形，<P1P2P3=P，<P1P3P4=Q。
请问P和Q是多少。
7. 圆环面积公式：椭圆上两点P、Q，有两条相交弦OP、OQ，设切线OP´、OQ´。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳一、椭圆的定义1. 椭圆的数学定义- 椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
- 椭圆的标准方程。
2. 椭圆的基本要素- 焦点（F1, F2）- 长轴（2a）- 短轴（2b）- 焦距（2c）- 离心率（e）二、椭圆的性质1. 焦点性质- 焦点位于主轴上。
- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，等于长轴的长度。
2. 离心率- 离心率是衡量椭圆形状的一个参数。
- 离心率的计算公式：e = c/a。
3. 椭圆的对称性- 椭圆关于长轴和短轴具有对称性。
三、椭圆的几何关系1. 长轴和短轴的关系- b^2 = a^2 - c^2。
2. 焦点与椭圆的关系- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。
四、椭圆的方程1. 标准方程- 椭圆的标准方程形式为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 椭圆的参数方程- 参数方程的形式：x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中t为参数。
五、椭圆的应用1. 天文学- 行星轨道的描述。
2. 工程学- 轮轴和凸轮设计。
3. 物理学- 电场和磁场中的某些路径。
六、椭圆的图形绘制1. 绘制方法- 使用绘图工具（如圆规）绘制椭圆。
2. 椭圆的变换- 平移和旋转椭圆。
七、椭圆与圆的关系1. 特殊情形- 当离心率为0时，椭圆变为圆。
- 当两个焦点重合时，椭圆退化为抛物线。
八、练习题1. 椭圆方程的求解。
2. 焦点性质的应用。
3. 椭圆的几何关系计算。
以上是关于高中椭圆知识点的归纳文档的大纲和示例内容。
在实际编写文档时，每个部分都应包含详细的解释、公式推导、图示和实例。
此外，文档应使用专业的排版和格式，确保清晰易读，并且方便编辑和打印。
高中数学-椭圆知识点
高中数学-椭圆知识点椭圆是一种常见的几何图形，在高中数学中经常被讨论和应用。
下面是椭圆的一些重要知识点：1. 椭圆的定义和性质- 椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和称为焦距。
- 椭圆的形状是一个长轴和短轴决定的闭合曲线。
长轴的两个端点是焦点，短轴是长轴垂直的线段。
- 椭圆有对称轴和中心，对称轴是长轴和短轴的中垂线，中心是椭圆的中点。
2. 椭圆的方程- 椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的半长。
- 标准方程中的参数a和b决定了椭圆的大小和形状。
- 当椭圆的中心在坐标原点时，方程简化为x²/a² + y²/b² = 1。
- 椭圆的离心率e是焦距与长轴长度之比。
3. 椭圆的性质和推论- 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。
- 椭圆的焦点到直径的垂直距离是常数，称为椭圆的算术平均数定理。
- 椭圆的面积为πab，周长近似为2π√((a²+b²)/2)。
- 椭圆关于长轴和短轴有对称性，即对称轴垂直于长轴和短轴。
4. 椭圆的应用- 椭圆在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛应用，例如描述行星轨道、弹道等。
- 椭圆可以用来模拟和预测某些运动和变化的特性。
- 椭圆的数学性质可以用于解决一些几何和物理问题。
以上是关于高中数学中椭圆的一些重要知识点。
了解和掌握这些知识有助于更好地理解椭圆的性质和应用。
（注：此处提供的是简要的椭圆知识点概述，具体内容请参考相关高中数学教材或资料。
）。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上的一个点集，它的定义是：给定一个点 F1 和一个实数 e（e＜1），平面上到 F1 的距离与到另一定点 F2 的距离的和是一个常数 2a ，即：PF1 + PF2 = 2a（a＞0）。
这样的点集就构成了一个椭圆。
2. 椭圆的性质（1）椭圆的对称性椭圆具有两条互相垂直的对称轴，称为长轴和短轴。
椭圆的中心既是长轴的中点，也是短轴的中点。
椭圆具有中心对称性，即椭圆上的任意点关于中心对称。
（2）焦点和直径在椭圆上存在两个特殊的点 F1 和 F2，它们被称为焦点。
椭圆上的所有点到焦点的距离和为定值 2a。
椭圆的长轴称为椭圆的主轴，短轴称为椭圆的次轴。
椭圆的主轴的两端点被称为端点，也被称为椭圆的顶点。
（3）椭圆的离心率椭圆的离心率 e 定义为焦点 F1 到椭圆中心 O 的距离与椭圆的底边长 b 的比值，即 e = OF1 / b。
离心率的取值范围为 0＜e＜1，当 e＝0 时，椭圆退化为一个圆；当e→1 时，椭圆逐渐趋近于一个狭长的形状。
（4）椭圆的方程椭圆的标准方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的方程也可以表示为其它形式，如标准方程的极坐标形式、参数方程、直角坐标系下的一般形式等。
3. 椭圆的相关定理（1）椭圆的焦点定理椭圆上任意一点 P 到椭圆的两个焦点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a，即 PF1 + PF2 = 2a。
（2）椭圆的切线定理椭圆的切线与椭圆的两个焦点之间的距离之和等于椭圆的两条焦轴的长度，即 PT1 + PT2= 2a；PT1 和 PT2 分别为切线的两个切点到椭圆两焦点的距离。
（3）椭圆的两条辅助圆定理椭圆与其两个辅助圆相交于同一条直线上，椭圆的两个焦点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆被称为椭圆的第一辅助圆，椭圆的两个顶点为圆心，椭圆的短轴为直径的圆被称为椭圆的第二辅助圆。
高中椭圆的知识点总结
高中椭圆的知识点总结关键信息：1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的性质4、椭圆的焦点、焦距5、椭圆的离心率6、椭圆中的弦长公式7、椭圆与直线的位置关系11 椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
111 数学表达式若点$M$到两定点$F_1$，＄F_2$的距离之和为$2a$，两定点之间的距离为$2c$（＄2a ＞ 2c$），则椭圆的定义可以表示为$｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a$。
12 椭圆的标准方程焦点在$x$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上的椭圆标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
121 推导过程以焦点在$x$轴上为例，设椭圆的两个焦点分别为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄，点$M(x, y)＄为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可得：＄＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a$，经过一系列的化简可得椭圆的标准方程。
13 椭圆的性质131 对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
132 顶点焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
133 范围焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
高中椭圆相关知识点复习(生)
第一部分 椭圆相关知识点讲解二．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 三．椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
三．直线与椭圆的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 四．椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系 6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆(1)
【考点及要求】理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程。
掌握椭圆的几何性质，运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 【基础知识】
1. 椭圆13
42
2=+y x 的长轴位于_____轴，长轴长等于_____；短轴位于_____轴，短轴长等于_____；焦点在_____轴上，焦点坐标分别是________和________；离心率e =_____；左
顶点坐标是________；下顶点坐标是________；椭圆上点),(00y x P 的横坐标的范围是___________，纵坐标的范围是___________；00y x +的取值范围是______________.
2. 已知1F 、2F 是椭圆
19
162
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则B AF 2∆的周长为______________.
【基本训练】
1. ABC ∆中，若B 、C 的坐标分别为)0,3(-、)0,3(，且ABC ∆的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程为___________________.
2. 若椭圆的长轴是短轴的3倍，且经过点)0,3(A ，则椭圆标准方程为___________________.
3. 如果方程k ky x =+22表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是_____________
4. 椭圆14
22
=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P 的横坐标∈0x __________________. 【典型例题】
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 与椭圆1592
2=+y x 有相同焦点且过点)1,6(- (2) 与椭圆13
42
2=+y x 有相同离心率且过点)3,2(-.；
练习 已知三点)0,6(),0,6(),2,5(21F F P -.(1)求以1F 、2F 为焦点且过点的椭圆的标准方程； (2)设点21,,F F P 关于直线x y =的对称点分别为',','21F F P ，求以','21F F 为焦点且过点'P 的双曲线的标准方程.
例1 一动圆与已知圆1O ：1)3(22=++y x 外切，与圆2O ：81)3(22=+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
练习 已知动圆M 过定点)0,3(-A ，并且在定圆B ：64)3(22=+-y x 的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.
【课堂小结】 【课堂检测】
1求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3 (2) 经过点)1,32(-P ，)2,3(-Q .
2. 平面内有两定点A 、B 及动点P .命题p ：PB PA +为定值，命题q ：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，那么p 是q 的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3设椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的焦点为1F 、2F ，长轴两端点为1A 、2A .(1)P 为椭圆上一
点，且 6021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积；(2)若椭圆上存在一点Q ，使 12021=∠QA A 求椭圆离心率e 的取值范围.
§78 椭圆(2)
例3
13610022
=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,那么P 点到它的左焦点的距离是_____.
练习 点P 在椭圆19
252
2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.
例2 若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，(1)求a
b
；(2)若OB OA ⊥，求椭圆的方程.
变式 直线l 过点)1,1(M ，与椭圆13
42
2=+y x 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.
【课堂小结】
【课堂检测】
1.椭圆1222=+y x 的离心率是______________，准线方程是______________________
2.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1,则m =______________. 3.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为____________. 4.在,10,6,=+=∆AC AB BC ABC 中 则ABC ∆面积的最大值为____________________. 5.已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点,则该椭圆的半长轴长的取值范围是______________.
6.若直线1+=kx y 和椭圆
1252
2=+m y x 恒有公共点，则实数∈m _____________________. 7.1F ，2F 是椭圆14
8:2
2=+y x C 的焦点,在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为_______个. 8.椭圆⎩
⎨⎧=+=ϕϕ
sin 3cos 54y x （ϕ为参数）焦点坐标是_______________________.
【课后作业】
1.已知n m n m +,,成等差数列,mn n m ,,成等比数列,则椭圆12
2=+n
y m x 的离心率为_______. 2.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的半焦距为c ，直线x y 2=与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,
则该椭圆的离心率为_______________.
3.椭圆13
122
2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是___________
4.椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为1F ，2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于_________________
5 .已知椭圆
19
252
2=+y x ，直线l ：04054=+-y x ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？若存在，求出最小距离.
6. 已知)3,2(-A ，F 是椭圆
112
162
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，当MF MA 2+取最小值时，求点M 的坐标.。