信号与系统第三章
合集下载
信号与系统-第三章习题讲解
Fn
1 T
T f (t)e jntdt 1
0
T
T E(1 t )e jntdt
0
T
E T e jnt dt 1 T te jnt dt]
T0
T0
E { 1 [t TT
1 e jnt
jn
|T0
T e jnt
0 jn
dt]}
E { 1 [T 1 0]} j E ; n 1, 2,....
E cos( )
2
2E cos( ) 2E cos( )
2
2 2 2
2
[1 ( )2 ]
3 32已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅立叶变换：
FT[u(t)] 1 (); j
FT[cos(0t)] [ ( 0 ) ( 0 )]; FT[sin(0t)] j[ ( 0 ) ( 0 )];
E
n
e
j
2
,
n为奇数
0，
n为偶数
故：f (t ) jE e jt jE e jt jE e j3t jE e j3t ....
3
3
4、求题图3－4所示周期三角信号的傅里叶级 数并画出幅度谱。
解：将该信号表示为三角形式的傅里叶级数，有
1T
2
频谱图如下所示：
3 7利用信号f (t)的对称性，定性判断题图3－7中各 周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
解：(1)图(a)中f (t)为偶函数，同时也是奇谐函数，故其 傅氏级数中只含奇次余弦分量。 (2)图(b)中f (t)为奇函数，同时也是奇谐函数，故其傅 氏级数中只含奇次正弦分量。 (3)图(c)中f (t)为奇谐函数，故其傅氏级数只含奇次谐 波分量。 (4)图(d )中f (t)为奇函数,故其傅氏级数中只含正弦分量。 (5)图(e)中f (t)既为偶函数又为偶谐函数，故其傅氏级数 中仅含直流和偶次谐波的余弦分量。
信号与系统第三章：傅里叶变换
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦 或虚指数函数积分。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
信号与系统教案第3章x
3.1信号分解为正交函数3.2 傅里叶级数3.3 周期信号的频谱3.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换3.5 傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 LTI系统的频域分析3.8 取样定理3.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而y f (t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号e j ωt 为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。
用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
矢量V x = ( v x1, v x2, v x3)与V y = ( v y1, v y2, v y3)正交的定义：由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量v x =（2，0，0）、v y =（0，2，0）、v z =（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。
例如对于一个三维空间的矢量A ，可以用一个三维正交矢量集{v x ，v y ，v z }分量的线性组合表示。
即A=C 1v x + C 2v y + C 3v z 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义在(t 1，t 2)区间的两个函数f 1(t)和f 2(t),若满足⎰=21t t 210t d )t (f )t (f (两函数的内积为0) (3-10)则称f 1(t)和f 2(t) 在区间(t 1，t 2)内正交。
2. 正交函数集：若n 个函数g 1(t)，g 2(t)，…，g n (t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t 1，t 2)内满足⎰⎧≠=2t j i ,0t d )t (g )t (g3. 完备正交函数集：如果在正交函数集{g 1(t)，g 2(t)，…，g n (t)}之外，不存在函数g(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。
信号与系统_第三章连续信号的正交分解_ppt课件
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12
t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r
t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1
f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12
t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r
t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1
f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
yf(t)= – 6e-t + 3e-2t + 3 ，t≥0
将 Cu 'C (t) is (t) iL (t) 代入上式 得
LCi ''L(t) RCi 'L(t) iL(t) is (t)
方程两边同除以 LC 化成标准形式，得
R
1
1
i ''L(t) L i 'L(t) LC iL(t) LC is (t)
2020/6/7
1
例2：下图是一典型的线性系统，电路可列写微分方程。
第三章 连续信号与系统的时域分析
时域分析是在时域研究信号与系统 的方法。这种方法直观、物理概念清楚， 是学习各种分析方法的基础。系统的时 域分析方法包含两方面内容，一方面是 通过解微分方程求解系统的响应；另一 方面是已知系统的冲激响应，用卷积法 求解系统的零状态响应。本章将从这两 方面进行阐述。
2020/6/7
2020/6/7
信号
23
处理教研室
1.由冲激响应和线性系统性质求
根据线性系统的微积分性质
2.直接求系统的零状态响应(用解微分方程求解).
3.利用下面要学习的卷积积分.
2020/6/7
24
信号 处理教研室
3.3 卷积积分及其性质
3.3.1．任意信号的分解
• 观察下边图形
p(t)
1
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
直观看出
A
f1(t) A p(t)
0
2
2
(a)
2020/6/7
t
0处理教研室
为将 uC (t) 用电流 iL (t) 、 is (t) 表示出来，需把 uC (t) 转化为电流形式 cu'C (t)
R
iL (t)
is (t)
C uC (t)
L
2020/6/7
1
对方程两边求导得 Li ''L (t) Ri 'L (t) u 'C (t)
方程两边同乘以 C 得 LCi ''L (t) RCi 'L (t) Cu 'C (t)
代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得
y (t) 2020/6/7 x = 4e –t – 2e –2t
,t > 0 16
信号 处理教研室
（2）零状态响应yzs(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6u(t) 并有 yf(0-) = yf’(0-) = 0
• 因为
t
u(t) δ(t) d t
• 所以 g(t) t h( ) d , h(t) d g(t)
dt
• 因此阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
• 2020－/6/7
，而对于因果系统为 t 22 0
信号 处理教研室
冲激函数与阶跃函数的关系:
t
( )d u(t) du(t) (t) dt
如下面例题：
2020/6/7
信号
5
处理教研室
例 1 对下图所示电路，以 is (t) 为输入，（1）以 iL (t) 为输出，列出系统的微分方程； （2）以 uC (t) 为输出，列出系统的微分方程。
解:（1）对于 C 、R 、L 所在的回路，根据 KVL 有
Li 'L (t) RiL (t) uC (t)
• 根据LTI连续时间系统的线性时不变性，移位冲激信
号 δ(t t0)的响应为 δ(t t0 ) h(t t0 )
信号
2020/6/7
19
处理教研室
• 根据冲激响应的定义，当描述系统的微分方程为 一般方程如式（3.1-7）所示，而激励 f (t) δ(t)时， 此系统冲激响应的数学模型（假设 an 1时）为
3.1.3 LTI连续系统的零输入响应与零状态响应
根据LTI系统的分解性，系统全响应 yt 还可分解为零输入响应yx t 和零状态响应 yf t 之和。
y(t) yx (t) y f (t)
1.零输入响应
即对如下方程求解
an
dn yx (t) dt n
an1
dn1 yx (t) dt n1
L
征根都是单根的情况下，冲激响应的形式可表达
为：
2020/6/7
h(t
)
i
n 1
Ci
eit
u(t
)
20
信号 处理教研室
• 其中，冲激响应 ht与n，m 相对大小有关：
当n m时，ht 不含δt 及其各阶导数； 当n m时，ht 中应包含δt ； 当n m时，ht 应包含δt 及其各阶导数。
2020/6/7
信号
21
处理教研室
3.2.2阶跃响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为u(t) 时，
系统的零状态响应称为此系统的单位阶跃响应，简 称阶跃响应。一般用 g(t) 表示。
• 根据LTI系统的性质，当对激励进行数乘、延迟、微 分以及积分运算时，其响应也应进行相同的运算。
• 阶跃响应与冲激响应具有如下关系：
)
2
d 2u(t) dt 2
2
du(t) dt
1 2
us
(t)
8
3.1 LTI连续系统的响应
当激励信号 f (t)作用于响应 y(t)系统时，则该系统的数
学模型可表示为：
a3
d3 y(t) dt 3
a2
d2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
b1
df (t) dt
b0
f
(t )
2020/6/7
信号
17
处理教研室
根据不同观点，可将系统的完全响应分解为不同形式的 响应分量。
完全响应 y(t) 零输入响应 yx (t) 零状态响应y f (t)
齐次解
特解
（自由响应）yh (t) （强迫响应）y p (t)
稳态响应ys (t) 暂态响应 yt (t)
2020/6/7
18
的特点，齐次解有不同的形式。无重根时，对应的齐次
解为
n
yc (t ) Cieit , i 为单根时
i 1
n
yc (t)=(Cr-1t r-1+Cr-2t r-2 +L +C1t+C0 )eit Cieit , 1 为r重根时 ir 1
2020/6/7
式中 Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1， – 2，故
yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t
3.2冲激响应和阶跃响应
• 3.2.1 冲激响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为δ(t) 时，系统的
零状态响应称为此系统的单位冲激响应，简称冲激响应。 • 冲激响应一般用 h(t)表示，系统如下图所示：
•
LTI连续时间系统的冲激响应
• LTI连续时间系统的冲激响应也可以表示为
δ(t) h(t)
k 0
dk y f (t) dt k
m
bk
k 0
dk f (t) dt k
• 求解方法等同于经典解法中普通方程的求解，只是此时方
程所有的初始条件为零。
2020/6/7
信号
13
处理教研室
零输入响应和零状态响应举例
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 6f(t)
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
yf(t)= – 6e-t + 3e-2t + 3 ，t≥0
将 Cu 'C (t) is (t) iL (t) 代入上式 得
LCi ''L(t) RCi 'L(t) iL(t) is (t)
方程两边同除以 LC 化成标准形式，得
R
1
1
i ''L(t) L i 'L(t) LC iL(t) LC is (t)
2020/6/7
1
例2：下图是一典型的线性系统，电路可列写微分方程。
第三章 连续信号与系统的时域分析
时域分析是在时域研究信号与系统 的方法。这种方法直观、物理概念清楚， 是学习各种分析方法的基础。系统的时 域分析方法包含两方面内容，一方面是 通过解微分方程求解系统的响应；另一 方面是已知系统的冲激响应，用卷积法 求解系统的零状态响应。本章将从这两 方面进行阐述。
2020/6/7
2020/6/7
信号
23
处理教研室
1.由冲激响应和线性系统性质求
根据线性系统的微积分性质
2.直接求系统的零状态响应(用解微分方程求解).
3.利用下面要学习的卷积积分.
2020/6/7
24
信号 处理教研室
3.3 卷积积分及其性质
3.3.1．任意信号的分解
• 观察下边图形
p(t)
1
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
直观看出
A
f1(t) A p(t)
0
2
2
(a)
2020/6/7
t
0处理教研室
为将 uC (t) 用电流 iL (t) 、 is (t) 表示出来，需把 uC (t) 转化为电流形式 cu'C (t)
R
iL (t)
is (t)
C uC (t)
L
2020/6/7
1
对方程两边求导得 Li ''L (t) Ri 'L (t) u 'C (t)
方程两边同乘以 C 得 LCi ''L (t) RCi 'L (t) Cu 'C (t)
代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得
y (t) 2020/6/7 x = 4e –t – 2e –2t
,t > 0 16
信号 处理教研室
（2）零状态响应yzs(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6u(t) 并有 yf(0-) = yf’(0-) = 0
• 因为
t
u(t) δ(t) d t
• 所以 g(t) t h( ) d , h(t) d g(t)
dt
• 因此阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
• 2020－/6/7
，而对于因果系统为 t 22 0
信号 处理教研室
冲激函数与阶跃函数的关系:
t
( )d u(t) du(t) (t) dt
如下面例题：
2020/6/7
信号
5
处理教研室
例 1 对下图所示电路，以 is (t) 为输入，（1）以 iL (t) 为输出，列出系统的微分方程； （2）以 uC (t) 为输出，列出系统的微分方程。
解:（1）对于 C 、R 、L 所在的回路，根据 KVL 有
Li 'L (t) RiL (t) uC (t)
• 根据LTI连续时间系统的线性时不变性，移位冲激信
号 δ(t t0)的响应为 δ(t t0 ) h(t t0 )
信号
2020/6/7
19
处理教研室
• 根据冲激响应的定义，当描述系统的微分方程为 一般方程如式（3.1-7）所示，而激励 f (t) δ(t)时， 此系统冲激响应的数学模型（假设 an 1时）为
3.1.3 LTI连续系统的零输入响应与零状态响应
根据LTI系统的分解性，系统全响应 yt 还可分解为零输入响应yx t 和零状态响应 yf t 之和。
y(t) yx (t) y f (t)
1.零输入响应
即对如下方程求解
an
dn yx (t) dt n
an1
dn1 yx (t) dt n1
L
征根都是单根的情况下，冲激响应的形式可表达
为：
2020/6/7
h(t
)
i
n 1
Ci
eit
u(t
)
20
信号 处理教研室
• 其中，冲激响应 ht与n，m 相对大小有关：
当n m时，ht 不含δt 及其各阶导数； 当n m时，ht 中应包含δt ； 当n m时，ht 应包含δt 及其各阶导数。
2020/6/7
信号
21
处理教研室
3.2.2阶跃响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为u(t) 时，
系统的零状态响应称为此系统的单位阶跃响应，简 称阶跃响应。一般用 g(t) 表示。
• 根据LTI系统的性质，当对激励进行数乘、延迟、微 分以及积分运算时，其响应也应进行相同的运算。
• 阶跃响应与冲激响应具有如下关系：
)
2
d 2u(t) dt 2
2
du(t) dt
1 2
us
(t)
8
3.1 LTI连续系统的响应
当激励信号 f (t)作用于响应 y(t)系统时，则该系统的数
学模型可表示为：
a3
d3 y(t) dt 3
a2
d2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
b1
df (t) dt
b0
f
(t )
2020/6/7
信号
17
处理教研室
根据不同观点，可将系统的完全响应分解为不同形式的 响应分量。
完全响应 y(t) 零输入响应 yx (t) 零状态响应y f (t)
齐次解
特解
（自由响应）yh (t) （强迫响应）y p (t)
稳态响应ys (t) 暂态响应 yt (t)
2020/6/7
18
的特点，齐次解有不同的形式。无重根时，对应的齐次
解为
n
yc (t ) Cieit , i 为单根时
i 1
n
yc (t)=(Cr-1t r-1+Cr-2t r-2 +L +C1t+C0 )eit Cieit , 1 为r重根时 ir 1
2020/6/7
式中 Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足 yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1， – 2，故
yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t
3.2冲激响应和阶跃响应
• 3.2.1 冲激响应
• 对于一个LTI连续时间系统，当系统的激励为δ(t) 时，系统的
零状态响应称为此系统的单位冲激响应，简称冲激响应。 • 冲激响应一般用 h(t)表示，系统如下图所示：
•
LTI连续时间系统的冲激响应
• LTI连续时间系统的冲激响应也可以表示为
δ(t) h(t)
k 0
dk y f (t) dt k
m
bk
k 0
dk f (t) dt k
• 求解方法等同于经典解法中普通方程的求解，只是此时方
程所有的初始条件为零。
2020/6/7
信号
13
处理教研室
零输入响应和零状态响应举例
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 6f(t)