二次根式第一课时-史春雷(1)

( a)
a
2
2
读作： 的算术平方根的平方 的算术平方根的平方. 读作：a的算术平方根的平方 读作： 的平方的算术平方根 的平方的算术平方根. 读作：a的平方的算术平方根
（3）取值范围不同 ）
( a)
2
= a（a ≥ 0）中，必必必必a ≥ 0，即a是一个非负数.
a 2 = a 中， a可取一可实数
（4）意义不同，运算顺序也不同 ）意义不同，运算顺序也不同.
2 2
( )
2
（3） 0.3 (5) −
; .
(−π)
=
-π ; (6) 10 =
−2
1 10
2.要画一个面积为 要画一个面积为18cm²的矩形，使它的 的矩形， 要画一个面积为 的矩形 长宽之比为3:2，它的长宽应取多少？ 长宽之比为 ，它的长宽应取多少？ 解：设矩形的长宽分别为3x和2x. 设矩形的长宽分别为 和 由题意得， 由题意得，3x·2x=18， ， 所以
(−3)2 = 3 02 =
0
； .
a =a =
2
a (a > 0) 0 (a = 0) . − a ( a < 0)
Hale Waihona Puke 例3化简1 （）
16；
（2）
2
（ - 5） .
2
解： 1 （）
16 = 4 = 4；
2
（2） - 5） = （
5 =5
2
( a) 与
2
a 的的别与联系
2
的别： ） 的别： 1）写法不同 （ （2）读法不同 ）
a -1 0 b 1 2
解：由数轴可知，a<0,b>0,a-b<0, 由数轴可知， 所以原式=-a-b+|a-b| 所以原式 =-a-b+(b-a)=-2a
6.请你比较2 3与3 2的大小.
Q 解： 2 3
( ) = 2 ×（ 3） = 4 × 3 = 12 (3 2 ) = 3 ×（ 2） = 9 × 2 = 18 ∴ (2 3 ) < (3 2 )
在上面的问题中， 在上面的问题中，结果分别是 13 ， S ， 它们都表示一些正数的算术平方根. 2 ， h ，它们都表示一些正数的算术平方根
5
我们知道， 个平方根； 我们知道，一个正数有 两 个平方根； 0的平方根为 0 ；在实数范围内， 在实数范围内， 的平方根为 平方根.因此 开平方时， 因此， 负数 没有 平方根 因此，开平方时， 被开方数只能是 正数 和 0 . 一般地， （ 一般地，我们把形如 a a ≥ 0) 的式 子叫做二次根式 “ 二次根式， 子叫做二次根式，” ”称为二次根号. 称为二次根号
表示a的算术平方 当a>0时， a 表示 的算术平方 时 表示0 根，因此 a > 0 ；当a=0时， a 表示 时 的算术平方根， 这就是说， 的算术平方根，因此 a = 0 .这就是说， 这就是说
（a ≥ 0）是一个 非负数 . a
a≥0是非负数， a ≥ 0 是非负数， 是非负数 也是一个 非负数，所以， 非负数，所以，算术平方根具有双重 非负性. 非负性
1 （ ） x + 2；
（2） 3 + x；
（3） 5x；
答案：（ ） 答案：（1）x≥-2 ：（ （3）x≥0 ）
（4） − x；
（2）x≥-3 ） （4）x≤0 ）
填空： 填空：
( 4)
2
=
2
4
1 3
； ；
1 = 3
( 2) = ( 0) =
2 2
2 0
；
.
性质1： 性质 ：
若羌县中学
史春雷
一般地，如果一个正数 的平方等 一般地，如果一个正数x的平方等 于a，即x²=a，那那这个正数 叫 ， ，那那这个正数x叫 的算术平方根. 做a的算术平方根 a的算术平方根 的算术平方根 的算术平方根 .0的算术平方根是 的算术平方根是0. 记为 a（a > 0） 的算术平方根是 一般地，如果一个数的平方等于 ， 一般地，如果一个数的平方等于a， 那那这个数叫做a的平方根或二次方 那那这个数叫做 的平方根或二次方 这就是说， 那那x 根.这就是说，如果 x 2 = a ， 那那 这就是说 叫做a的平方根 的平方根. （ 叫做 的平方根 记为x = ± a a ≥ 0） .
( a)
2
= a （ a ≥ 0） 表示a的算术平方根的 表示 的算术平方根的
平方，先计算 的算术平方根 再求平方. 的算术平方根， 平方，先计算a的算术平方根，再求平方
表示的是 的平方的算术平方 a = a 表示的是a的平方的算术平方
2
的平方， 根，先计算a的平方，再求算术平方根 先计算 的平方 再求算术平方根.
2 2 2 2 2 2 2 2
∴2 3 < 3 2
是整数， 7. （1） 18 - n 是整数， 求自然数n的值； 求自然数n的值； 是整数， （2） 24n 是整数， 求正整数n的最小值. 求正整数n的最小值.
是完全平方数， 解：（1）由题意知，18-n是完全平方数， ：（ ）由题意知， 是完全平方数 所以18-n=1或4或9或16. 所以 或 或 或 所以n的值为 的值为17或 或 或 所以 的值为 或14或9或2. 是完全平方数， （2）由题意知，24n是完全平方数， ）由题意知， 是完全平方数 24的倍数中最小的完全平方数是 的倍数中最小的完全平方数是144， 的倍数中最小的完全平方数是 ， 所以24n=144，所以 的最小值为 的最小值为6. 所以 ，所以n的最小值为
3 a≥ 2
3 a≥ - . 2
时， 2a + 3在实
数范围内有意义. 数范围内有意义
练习 1.判断下列哪些式子是二次根式 判断下列哪些式子是二次根式. 判断下列哪些式子是二次根式
3 1） a 2 ；（2） m；（3） a；（4） x + 1； 2 （
（5） 5；（6） a - b a ≥ b）；（ 7） - x - 1. （
2
）（4）（ ）（6）是二次根式. 解：（1）（ ）（ ）（ ）是二次根式 ：（ ）（ ）（5）（ 注意：判断一个式子是否是二次根式， 注意：判断一个式子是否是二次根式，不 仅要看形式，还要看是否具备a≥0的条件. a≥0的条件 仅要看形式，还要看是否具备a≥0的条件.
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数 当 是怎样的实数时 是怎样的实数时， 范围内有意义？ 范围内有意义？
学习目标
1.理解二次根式的概念. 2.学习并掌握二次根式的性质.
1.一个三角形两直角边的长分别 一个三角形两直角边的长分别 是2cm和3cm，斜边长应为 13 cm. 和 ， 2.面积为 的正方形的边长为 面积为s的正方形的边长为 面积为
S
.
3.要修建一个面积为 要修建一个面积为6.28m²的圆形喷 要修建一个面积为 的圆形喷 水池， 水池，它的半径为 2 m（π取3.14） （ 取 ） 4.一个物体从高处自由落下，落到地面 一个物体从高处自由落下， 一个物体从高处自由落下 所用的时间t（单位： ） 所用的时间 （单位：s）与开始落下时 的高度h（单位： ）必必关系h=5t².如 的高度 （单位：m）必必关系 如 h . 果用含有h的式子表示 的式子表示t， 果用含有 的式子表示 ，则t= 5
2 1
B(5,3)
o
1
2
3
4
5
6
7
x
AB 2 + AC 2
2 2
= 3 +2 = 13
2009 4.已知 a + 2 + b - 1 = 0，那那（ a + b） 的值为 -1 .
解：由题意知，a+2=0且b-1=0，所以 由题意知， 且 ， 2009 2009 a=-2，b=1， ， ， 所以（ a + b） = - 1） = -1 （ 5.实数 、b在数轴上的位置如图所示， 实数a、 在数轴上的位置如图所示 在数轴上的位置如图所示， 实数 2 化简： 化简： a 2 - b 2 + （ a - b） .
感谢大家的参与！再见！
x= 3
所以它的长宽分别为 3 3和2 3.
y
3.如右图，在平面直角 坐标系中，A（2,3）， B（5,3），C（2,5）是 三角形的三个顶点， 求BC的长. 由题意知， 解：由题意知， AB=5-2=3， AB=5-2=3， AC=5-3=2， ，
所以 BC =
7 6
C(2,5)
5 4 3
A(2,3)
联系： 联系： 1.它们都是二次根式 它们都是二次根式 2.它们都是非负数 它们都是非负数 3.当a≥0时， 当 时
( a)
2
= a = a.
2
练习 1.说出下列各式的值： 说出下列各式的值： 说出下列各式的值
（1 ）
( 3)
2
=
2
3 ； （2） 3 2 = 18 ；
1 1 = 0.3 ； （4） − = 7 7
( a)
2
= a (a ≥ 0) .
例2
计算
1 （）
解：1) (
( 1. 5 ) ；
2
（2） 2 5 .
( 1 .5 )
2
( )
2
2
= 1.5;
2
（2） 2 5
( )
=2 ×
( 5)
2
= 4 × 5 = 20.
填空： 填空：
22 = 2 = 3
性质2： 性质 ：
2
2
2 3
； ；
是怎样的实数时， 例1 当a是怎样的实数时，下列各 是怎样的实数时 式在实数范围内有意义？ 式在实数范围内有意义？