12《充分条件与必要条件》课件.

练习.若A是B的必要而不充分条件，C 是B的充要条件，D是C的充分而不必 充分不必要条件 要条件, 那么D是A的________
例8．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
复 习
1、命题：可以判断真假的陈述句， 可写成：若p则q. 2、四种命题及相互关系：
原命题 若 p则 q 互 否 互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆 逆命题 若 q则 p 互 否
否命题 若p则q
逆否命题 q 若 则p
3、若命题“若p则q”为真,记作p q p). q(或
例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1)" x 0, y 0" 是 " xy 0"的（充分不必要条件） 2） " a N "是 " a Z "的 （充分不必要条件）
3） " x 1 0" 是 " x 1 0"的 （必要不充分条件）
1、判别步骤：
① 认清条件和结论。
② 考察p
q和 q
p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
例3、已知a、b是不同的两个平面，直线a a , 直线b b , 命题p : a与b无公共点；命题q : a // b ,
2
（充要条件） 4）同旁内角互补 " "是 " 两直线平行 "的
5)" x 5" 是 " x 3"的
（必要不充分条件） 6)" a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7）已知ABC不是直角三角形， "A<B" 是 "tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
A. x 1
B. x －6 C.x 1或x －6 D.x 0或x 0
思考：
练习.设U R，集合A x x 2 4ax 4a 3 0, x R ,
C x x

B x x 2 (a 1) x a 2 0, x R ,
1 1 x y 当x 0, y 0时，有： . x y
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
引申
①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件.
则b2 4ac 0 ．
真
2 0 ac 00 （5方程有 ）若ab ax ，则 ； 假 bx (a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 两三角形全等
真
两三角形面积相等
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
2 ∵ x· ∴方程 x q 0 x px q 0 有两个异号实根 1 2
（2）再证必要性 ∵方程 x px q 0 有两个异号实根，设其为 x1，x2
2
∴ x· · 1 x2 0 ∵ x 1 x2 q ∴ q 0 由（1） （2）原命题得证。
例2、已知ab 0, 求 ：a b 1的充要 件是 a3 b3 ab a 2 b2 0.
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
C
P B
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
证法二
A
证明: 假设弦AB、CD被P点平分, 连结 AD、BD、BC、AC,
C
O P B
D
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形 ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边 形必是矩形，则其对角线AB、CD必是 ⊙O的直径，这与已知条件矛盾。
大于
()
是
都是
否定词 语
不等于 不小于 ( ) ()
不大于
( )
不是
不都是
常用正面叙述词及它的否定.
正面词 语 至多有 至少有 至多有
一个
一个
( 1)
( 1)
n个 ( n ) 至少有
任意的 所有的
否定词 语
至少有 一个也
两个
( 2)
没有 ( 1)
n+1个 ( n 1) Nhomakorabea某个
某些
例 2 求证实系数一元二次方程 x2 px q 0 有两个异号根的充要条件是 q 0.
证明： （1）先证充分性 ∵ q 0. ∴方程 x2 px q 0 的 p2 4q 0 ∴方程 x2 px q 0 有两个不相等的实根，设其为 x1，x2 。
练习：
2 1. 若p : x y , q : x y且x y, 则q是p的什么条件. 2 2 2. 若x, y R, p : ( x 3) ( y 4) 0, q : ( x 3)( y 4) 0, 则p是q的什么条件. 2
3.不等式 2 x＋5 7成立的一个必要不充分条件是（）
例6、已知a、b为锐角，若p : sin a sin(a b ), q :a b

2 A.充分不必要条件 C.充要条件
, 则p是q的 （
B ） .
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
例7、若p是r的充分不必要条件，r是q的必要 条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件. 则： 1）s是p的什么条件？ 必要不充分条件 2）r是q的什么条件？ 充要条件
所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b 或 a bab
2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说p与q互为充要条件 .
3.若p q, q p, 则p是q的既不充分不必要条件. q是p的既不必要不充分条件.
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么 条件.
(1) p : a Q; q : a R. (2) p : x 2 0; q : ( x 3)( x 2) 0. (3) p : xy 0; q : x 0. (4) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p : 四边形的对角线平分且相等; q : 四边形是平行四边形. (7) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等.
4、如果命题“若p则q”为假，则记作p q.
判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 x 1 ，则 x 2 1 ； 2 2 x y （2）若 x 1 ，则 x2 x 1 y；
（3）对角线互相垂直的四边形是菱形； 真 假 假
2 ax bx c 0(a 0) 有两个不等的实数解， （4）若方程
2.充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数，且 x y, 求证： x y 的充要条件是 xy 0.
注意：分清p与q. p : xy 0
证明：充分性 ( p q)
1 1 q: x y
x 0 x 0 若xy 0, 则 或 y 0 y 0
2
2ax 2a 0, x R .



若A，B，C中至少有一个不是空集， 求实数a的取值范围.
答案： 3 a 或a 1. 2
引申
②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝ {x | x满足条件p}，B＝ {x | x满足条件q}
1) A B, 则p是q充分条件， q是p必要条件 .
2) A B, 则p是q充分不必要条件， q是p必要不充分条件 .
3) A B, 则p是q的充要条件 .
4) A B且B A，则p是q既不充分也不必要条件 .
x 1 x2 1
x 1是x 2 1的充分条件
两三角形全等
x 2 1是x 1的必要条件
两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。