大物力学第九章 波动

ρS v = 常量 定常流动时的连续性方程 定常流动时的连续性方程
不可压缩流体, 为常量 不可压缩流体, ρ为常量
Sv 单位时间内通过任一 截面S的流体体积 截面 的流体体积
体积流量
体积流量守恒定律
S v=常量
定常流动的连续性方程
ρ s v = 常数
流体密度， 截面面积， 其中ρ - 流体密度，s - 截面面积， v - 流速。 流速。 流体的连续性方程是质量守恒定律在定 常流动流体中的一个推论， 常流动流体中的一个推论，它与流体是 否存在粘性无关。 否存在粘性无关。
P1 S1 v1 h1 x v2 P2 F S2 2 P1 F S1 1 h1 v1 x X v2 y h2 P2 S2 y h2
外力： 其它流管中流体的压力对它不做功 外力： 其它流管中流体的压力对它不做功 流管中段外流体的压力F 对它作功 流管中段外流体的压力 1 F2对它作功 F1作正功，F2作负功。 作正功， 作负功。 x截面的位移是 v1∆t，y截面的位移是 v2∆t 截面的位移是 ， 截面的位移是 总功： 总功： = Fv1∆t - F v2∆t W 1 2
m1 = ρ1(v1∆t) S1
通过截面S 流出的流体质量： 通过截面 2 流出的流体质量：
m2 = ρ2 (v2∆t) S2
质量守恒原则 定常流动 ρ1 S1 v1 =ρ2 S2 v2
m1=m 2 ρ1 S1 v1∆t =ρ2 S2 v2∆t ρS v 单位时间内通过任一 截面S的 截面 的流体质量
流动中， 在一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面 一般管道流动中 上的变化也可近似成立 近似成立， 上的变化也可近似成立，式中各量为管道截面上所 取的平均值 平均值。 取的平均值。 如果流体在水平管子中流动（ 例：如果流体在水平管子中流动（h1=h2）， 则流体的势能在流动过程中不变， 则流体的势能在流动过程中不变， P + 1/2ρv 2 = 常量 流速小的地方压强较大， ∴ 流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小
v2 y P2 F S2 2
= P S1 v1∆t - P S2v2∆t 1 2 = P ∆ -P ∆ 1 V 2 V
机械能增量
PF
1 1
v1 x X
h2 v2 y h2
S1 h
1
P2 S2
1 2 ∆E = ( mv2 + mgh2 ) 2 1 2 mv1 + mgh ) -( 1 2
P
1 1
理想流体的伯努利方程 取一细流管
定常流动 截取一段流体 xy
设流体在x处 压强 速度v 高度h 截面积S 设流体在 处：压强P1，速度 1，高度 1，截面积 1 在y处：压强 2，速度 2，高度 2，截面积 2 处 压强P 速度v 高度h 截面积S 经过时间∆t后 经过时间 后，此段流 体的位置由 xy移到了 移到了 x´y´ 考察Δt时间内这段 考察Δt时间内这段 Δt 流体机械能变化 流体机械能变化
2)常用单位： 1) 1巴（bar)＝105帕（pa) 2) 毫米汞柱（mmHg) 1毫米汞柱≈133.3帕 3) 大气压（atm） 1atm～760mmhg=1.013bar
阿基米德原理： 阿基米德原理： 物体在流体中所受的浮力等于这物体所排开的流 体的重量。 体的重量。
帕斯卡原理： 帕斯卡原理： 施加与封闭流体任一部分的压强， 施加与封闭流体任一部分的压强，必然按照其 原数值由流体向各个方向传递。 原数值由流体向各个方向传递。 千斤顶原理
Fin Fout = Ain Aout
理想流体的定常流动 伯努利方程
1. 流体运动的描述 • 拉格朗日法 考察每个质元 质元的的位置随时间的变化 考察每个质元的的位置随时间的变化
x = f ( x0 , y0 , z0 , t) z = h( x0 , y0 , z0） 流体运动一般采用欧拉法描述。 流体运动一般采用欧拉法描述。 y = g( x0 , y0 , z0 , t) 代表了不同质元 牛顿定律适用
汽车的升力： 汽车的升力：
生活中的流体力学： 生活中的流体力学：
吹硬币：
抽气机
大风为什么会把屋顶刮翻？ 大风为什么会把屋顶刮翻？
马格努斯效应： 马格努斯效应：
香蕉球（足球）： 弧圈球（乒乓）
航海
流体力学
流体及其宏观物性
液体和气体统称为流体。 液体和气体统称为流体。 流动性， 流体的基本特征是具有流动性 流体的基本特征是具有流动性，即它的各个部 分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。 分之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。 流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及 流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及 流体与相邻固体之间相互作用规律。 流体与相邻固体之间相互作用规律。 流体的宏观物性
v1 x
Sh
1
由W = ∆E可得：
1 2 1 2 P∆ − P ∆ = ( mv2 + mgh2 )-( mv1 + mgh ) 1 V 2 V 1 2 2 ρ= m /∆V是流体的密度 是流体的密度 1 2 1 2 ∴ ρv2 + ρ gh2 + P = ρv1 + ρ gh + P 2 1 1 2 2 对同一流管的任一截面
五、伯努利方程 实际流体： 实际流体： 粘滞性：流动过程中，流体本身相邻两层间存在内摩擦， 粘滞性：流动过程中，流体本身相邻两层间存在内摩擦， 流动可能不稳定。 流动可能不稳定。 可压缩性：密度随压强不同而改变。 可压缩性：密度随压强不同而改变。 理想流体模型 绝对不可压缩、且完全没有内摩擦的流体。 绝对不可压缩、且完全没有内摩擦的流体。
伯努利方程的应用： 伯努利方程的应用： 1) 小孔流速
2) 虹吸现象
生活中的流体力学： 生活中的流体力学： 机翼的升力
1 2 1 2 pa + ρva = p0 + ρv0 2 2 1 2 1 2 pb + ρvb = p0 + ρv0 2 2 升力：
FL = ( pb − pa ) A = Aρ (Va2 − Vb2 ) / 2
流线
这一时刻的流线 这一时刻的流线 流线不会相交
在流动的流体中划出一个小截面， 在流动的流体中划出一个小截面，则通过其 周边各点的流线所围成的管状体。 周边各点的流线所围成的管状体。
流管
流体不会穿过流线流入或流出流管!!! 体不会穿过流线流入或流出流管
3、定常流动和不定常流动 、 不定常流动 v = v( x, y, z, t ) • 经过空间某处的质元速度随时间变化 • 流线的形状随时间变化,此时流线与流体质元 流线的形状随时间变化, 的运动轨迹不重合， 的运动轨迹不重合， 定常流动
1 2 ρv2 + ρ gh2 + P = 常量 --- 伯努利方程 2 =常 2
伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常 流动中的具体表现。 流动中的具体表现。
说明： 说明： 1) 惯性系中成立 其中p,v,h对应于同一根流线，不同流线对应的常数不同。 p,v,h对应于同一根流线 2) 其中p,v,h对应于同一根流线，不同流线对应的常数不同。
v = v( x, y, z) 流体的运动状态与参考系有关。 流体的运动状态与参考系有关。
• 流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间 流场中任一点的流速、 变化 • 流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合 流线的形状不变，
4、定常流动的连续性方程 、定常流动的连续性方程 研究对象： 研究对象：在定常流动的流场中任取 一段细流管 流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀 截面 S1 和 S2 处：流速分别为 v1 和 v2 ，流体密度分别 为 ρ1 和 ρ2 。 时间时间内： 在 ∆t 时间时间内： 通过截面S 进入的流体质量： 通过截面 1进入的流体质量：
• 欧拉法 考察经过空间某位置 y, z)处质元的运动 考察经过空间某位置(x, 处质元的运动
v = v( x, y, z, t) a = a( x, y, z, t) p = p( x, y, z, t)
这种方法把流体看成一 个场，考虑场中各点的 各个物理量。 各个物理量。
2、流场、流线和流管 、流场、 流体在流动过程的任一瞬时， 流体在流动过程的任一瞬时，流体所占据的空间 每一点都具有一定的流速。 每一点都具有一定的流速。 流体速度场（流场） 流速随空间的分布 → 流体速度场（流场） v = v(r , t ) 为了形象描述流场，在任一瞬间， 为了形象描述流场，在任一瞬间，可以在流场中划出 一系列假想的曲线， 一系列假想的曲线，使曲线上每一点的切线方向与处 在该点流体粒子的速度方向一致。 在该点流体粒子的速度方向一致。
dp = − ρg dy dp ρ 0 gp
dp = −ρgdy
=−
∵p ∝ ρ
p ρ ∴ = p0 ρ0
−
dp ρ0 g =− dy p p0
dy
p0
ρ0gy
p0
⇒ p = p0e
海拔越高， 气压越低。
压强的单位： 压强的单位： 1)国际单位（SI制） 托利拆利实验。 帕斯卡（帕，pa）1帕＝1牛顿/米2
• 流动性 • 可压缩性 • 粘滞性
流体力学 流体静力学:研究静止流体规律的学科， 流体静力学:研究静止流体规律的学科，如阿 基米德原理、帕斯卡原理等。 基米德原理、帕斯卡原理等。 流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、 流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、 空气动力学、 空气动力学、生物流体力学等学 科的理论基础。 科的理论基础。
流体中的静压： 流体中的静压：
受力平衡：
浮力 : f = dP ∗ S
重力： = ρSdy.g mg ∴ dP = ρgdy
∴ P( y ) = P0 + ρg ( y0 − y )
三个容器底部面积相等，液体高 度相等， 求液体对容器底部的 压力。