高中数学人教b版必修5学案：1.2应用举例名师导航学案及答案
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 1.2 应用举例(二)
1．2 应用举例(二)1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪演练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)， 于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.因为0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化． 跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10° D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile 答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之． (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( ) A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是________．答案16解析设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2ab cos α＝17，a2＋b2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cos α＝35，∴S▱ABCD＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.答案3a解析因为灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又因为AC和BC的距离都是a km，由余弦定理，得AB2＝a2＋a2－2×a×a×cos 120°＝3a2，所以A，B的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解如下图所示，将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与角C，可以通过正弦定理求AB，AC的长．将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC＝2.57 cm，B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BCsin A＝ACsin B，∴AC＝BC sin Bsin A＝2.57sin 45°sin 15°.利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)． 即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、能力提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ， 设公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？ 解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ， ∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理， 得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2， 故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？ 解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最后截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ，BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r. 在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10. 故30＋r 30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)． 所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307 cm 的同样大小的圆形钢板两块．。
新高中人教B版数学必修五课时作业：1.2应用举例(含答案)
§ 1.2应用举例(二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ________．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝ 90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、 B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋ 153mC． 15＋ 30 3m D ．15＋ 33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上行进600 m 后测仰角为原来的 2 倍，持续在平行地面上行进2003m 后，测得山岳的仰角为本来的 4 倍，则该山岳的高度是 ()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．平行四边形中， AC ＝ 65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是() A． 16B． 17.5C． 18D． 18.53二、填空题7．甲船在 A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了 ________海里．8．△ ABC 中，已知 A ＝ 60°，AB ∶ AC ＝ 8∶5，面积为 10 3，则其周长为 ________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长 AB ＝ 2，BC＝ 6， CD＝ DA ＝ 4，求圆内接四边形ABCD 的面积．能力提高13．如下图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m ，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF 的余弦值．14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．§ 1.2 应用举例 (二)答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B 2．A[h＝ 20tan 60 ＝°20 3(m)． h403(m)． ]甲 乙＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°31＝ PB60×＝ 303．A[ 在△ PAB 中，由正弦定理可得60 ，PB ＝ 2 ，－3sin 30 ° sin 15 °sin 15 °h ＝PBsin 45 ＝°(30＋ 30 3)m.]4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝ 2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝3，∴ θ＝ 15°，∴ h ＝ 200 3·sin 4＝θ300 (m) ． ] 26．A[ 设两邻边 AD ＝ b ， AB ＝ a ，∠ BAD ＝α，则 a ＋b ＝ 9， a 2＋ b 2－ 2abcos α＝ 17， a 2＋ b 2－ 2abcos(180 °－ α)＝65.解得： a ＝ 5， b ＝ 4， cos α＝ 35或 a ＝ 4， b ＝ 5， cos α＝ 35，∴ S＝ ab sin＝α16.]7．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BCAC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ， sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝ 1，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝30°， 2∴ BC ＝AB ＝ a ，∴ AC 2＝ AB 2＋BC2－ 2AB ·BCcos 120°＝ a 2＋ a 2－ 2a 2·－ 1＝ 3a 2，∴ AC ＝ 3a.28． 20分析1 3k 2＝10 3.设 AB ＝ 8k ， AC ＝ 5k ， k>0，则 S ＝ AB ·AC ·sin A ＝ 102∴ k ＝1， AB ＝ 8， AC ＝ 5，由余弦定理：222 221 BC ＝AB＋ AC－ 2AB ·AC ·cos A ＝ 8 ＋ 5－ 2×8×5× ＝ 49.2∴ BC ＝7，∴周长为 AB ＋ BC ＋ CA ＝ 20.27 π 9. 5分析不如设三角形三边为a ，b ，c 且 a ＝ 6， b ＝ c ＝ 12，由余弦定理得：222222＝7，cos A ＝ b ＋ c － a ＝ 12 ＋12 － 62bc 2×12×12 8 ∴ sin A ＝1－ 7 2＝ 15.881 1 3 15由 (a ＋ b ＋ c) ·r ＝ bcsin A 得 r ＝5.22∴ S2 27π内切圆＝ πr＝5.210.3分析设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2×10×9tcos 120 ，°解得 2或 t ＝－5t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋β，∠ ABC ＝ 90°－ α，∠ BAC ＝ α－ β，∠ CAD ＝ β.依据正弦定理得：AC＝BC，sin∠ ABC sin∠ BAC即AC＝BC，－－∴AC＝BCcos α＝hcos α.－－在 Rt△ACD中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝hcosα sin β－.即山高 CD 为hcosα sin β－.12．解连结 BD ，则四边形面积S＝ S△ABD＋ S△CBD＝1A B·AD·sin A ＋1B C·CD·sin C.22∵A ＋ C＝ 180°，∴ sin A＝ sin C.1∴S＝2(AB ·AD ＋ BC·CD)·sin A ＝16sin A.由余弦定理：在△ ABD 中， BD 2＝22＋42－2×2×4cos A＝ 20－16cos A ，在△ CDB 中， BD 2＝ 42＋ 62－ 2×4×6cos C＝ 52－ 48cos C，∴20－16cos A＝ 52－ 48cos C.1又 cos C＝－ cos A，∴ cos A＝－2.∴ A＝ 120 °.∴四边形 ABCD的面积 S＝ 16sin A ＝ 8 3.13．解作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF于 M.DF＝MF 2＋DM 2＝302＋ 1702＝ 10 298(m)，DE＝DN 2＋ EN 2＝502＋ 1202＝ 130(m) ，EF＝－2＋BC 2＝902＋ 1202＝150(m) ．在△ DEF 中，由余弦定理的变形公式，得22－ DF222－ 10216DE ＋EF＝130 ＋150×298 cos∠ DEF＝2DE·EF ＝65.2×130 ×15016即∠ DEF 的余弦值为65.14．解如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ ADB ＝30°，∠ ACB ＝45°∵ AB ＝30，∴BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△ BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴ CD＝30，即两船相距30 m.。
高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修五第一章《1.2 应用举例》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能目标:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语,同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
2、过程与方法:通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题,初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法,进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力,提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3、情感、态度与价值观:通过解决“测量”问题,体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题,培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力,学习用数学的思维方式去解决问题,认识世界。
2学情分析
本节课是普通高中新课程人教B版《必修5》第一章1.2第一课时的内容 ,是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程,本节课主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的理论基础,让学生掌握建立“数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。
通过对解斜三角形在实际中应用的讲解,让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要的作用。
同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力,提高学生解决实际问题的能力。
激发学生学习数学的兴趣,并让学生体会数学的应用价值。
3重点难点
重点:如何将实际问题转化为数学问题,并利用解斜三角形的方法予以解决。
难点:如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
4教学过程。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 1.2 应用举例(一)
1．2应用举例(一)1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘．1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．2．方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是．从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．要点一测量底部不能到达的建筑物的高度例1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠CAD ＝β ，∠BAC ＝α－β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m ，sin 35°≈0.574)． 答案 812解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β).∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.要点三测量两个不能到达点之间的距离问题例3如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64( km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 所以河对岸A 、B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪演练3 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 两地的距离．解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°) ＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5∴AB ＝1005(米)．答 河对岸A 、B 两点间的距离为1003米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，a ，βD ．b ，α，γ 答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．如图，某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________．答案 4解析 由余弦定理：x 2＋9－3x ＝13， 整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4.3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m ，________m. 答案 2034033解析 甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(m)； 乙楼的高为：203－20tan30°＝203－20×33＝4033(m)． 4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为________m.答案 502解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， ∴AB ＝30(m)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离．2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10(n mile)，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)．2．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( ) A ．6 km B ．3 3 km C ．3 2 km D ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32(km)．3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( ) A ．10 m B ．10 2 m C ．10 3 m D ．10 6 m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10(m)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m)．在△BCD 中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中， AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300(m)，故选B. 方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos2θ，即300＝2003cos2θ.cos2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ ＝2003×32＝300(m)， 故选B.5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 (m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.6．如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在G 、H 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高是h . 那么，在ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .二、能力提升7．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 mB ．5 mC．10 m D．12 m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝ 3 h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．8．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 (m)．故选D.9．如图所示，在高出地面30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60 m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则△ABC 中，tan α＝3060＝12.又∠DAB ＝45°＋α， tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060＝tan(45°＋α)． 又tan(45°＋α)＝tan 45°＋tan α1－tan 45°tan α＝3. ∴x ＋3060＝3，解得x ＝150 m. 答 所以电视塔的高度为150 m.10．如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．解 在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC＝40sin 30°sin 135°＝202(m)． 在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小， 即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在△BCD 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD ·sin ∠BDE＝202sin 15°＝10(3－1)(m)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB＝10(3－1)·tan 30°＝103(3－3)(m)． 答 塔的高度为103(3－3) m. 11.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角是140°.A 处有一灯塔，其方位角是110°，在C 处观察灯塔A的方位角是35°，由B 到C 需航行半个小时，求C 到灯塔A 的距离．解 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC ＝75°.由正弦定理，得AC sin 30°＝BC sin 75°， ∴AC ＝BC sin 30°sin 75°＝10sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝406＋2＝10(6－2)(km)． 答 C 到灯塔A 的距离为10(6－2)km.三、探究与创新12．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ADC 中，∠DAC ＝30°.∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1(km)．又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)． 因此，BD ＝32＋620≈0.33(km)， 故B ，D 的距离约为0.33 km.。
2017-2018学年高中数学(人教B版)5名师讲义：第一章1.2 应用举例含答案
错误!(1)方向角和方位角各是什么样的角?（2)怎样测量物体的高度？（3)怎样测量物体所在的角度？错误!实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方预习课本P12~14,思考并完成以下问题时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√",错误的打“×”）(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边（)(2）两个不可到达的点之间的距离无法求得( )(3)方位角和方向角是一样的（）解析：（1）错误,要解三角形,至少知道这个三角形的一条边长．（2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．（3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）．答案：（1)×（2)×(3）×2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（)A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C 如图所示．3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析:选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β,故应选B.4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km)，灯塔A 在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间距离为（)A.2a kmB.3a kmC．a km D．2a km解析:选A △ABC中,AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝错误!a.测量高度问题[典例] 如图，AB可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB。
数学人教B版必修五教案1.2应用举例含答案
教学分析本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．三维目标1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．重点难点教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．思路2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？(2)回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？(3)如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？(4)对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？(5)解决实际问题的一般程序是什么？活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？图1图2教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：(1)～(4)略．(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．应用示例例1(教材问题1)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m 的误差，可让学生分析误差产生的原因．变式训练如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD.(精确到1 m)解：如下图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α.根据正弦定理，BC sin (α－β)＝AB sin (90°＋β)， 所以AB ＝BCsin (90°＋β)sin (α－β)＝BCcosβsin (α－β). 解Rt △ABD ，得BD ＝ABsin ∠BAD ＝BCcosβsinαsin (α－β).将测量数据代入上式，得 BD ＝27.3cos50°1′sin54°40′sin (54°40′－50°1′)＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)，CD＝BD－BC≈177－27.3≈150(m)．答：山的高度约为150 m.例2(教材问题2)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？变式训练如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b答案：C解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sinA ＝AB sinC ，BC ＝ABsinA sinC ＝5sin15°sin10°≈7.452 4(km)， CD ＝BC ×tan ∠DBC ≈BC ×tan8°≈1 047(m)．答：山的高度约为1 047 m.点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．知能训练1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A 和B ，观测对岸标记C 点，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河宽为__________ m.答案：20(3＋3)解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知AB sin ∠ACB ＝AC sin75°， ∴AC ＝sin75°sin60°·120＝20(32＋6)． 在Rt △ACD 中，CD ＝ACsin45°＝20(3＋3)，即河的宽为20(3＋3) m.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：156米解析：在△DBC 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC， ∴BC ＝30sin30°sin135°＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，即塔高为156米．课堂小结先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．作业课本本节习题1—2A 组1、2、3.设计感想本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．备课资料一、拓展资源1．利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求证：a sinA＝b sinB ＝c sinC. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－(b 2＋c 2－a 2)2(2bc )2＝(2bc )2－(b 2＋c 2－a 2)2(2bc )2 ＝(2bc ＋b 2＋c 2－a 2)(2bc －b 2－c 2＋a 2)4b 2c 2＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )4b 2c 2. ∴a 2sin 2A ＝4a 2b 2c 2(a ＋b ＋c )(－a ＋b ＋c )(a ＋b －c )(a －b ＋c ). 记该式右端为M ，同理可得b 2sin 2B ＝M ，c 2sin 2C＝M ， ∴a 2sin 2A ＝b 2sin 2B ＝c 2sin 2C. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 2．如图，P 为△ABC 内的一点，且∠PAB ＝∠PBC ＝∠PCA ＝θ，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，求证：1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C .证明：在△PAC 中，由正弦定理，得AP sinθ＝b sin ∠APC. ∴∠APC ＝180°－θ－(A －θ)＝180°－A.∴AP sinθ＝b sinA. 从而S △PAB ＝12c·APsinθ＝12c·bsinθsinA ·sinθ＝12bcsinA·sin 2θsin 2A ＝S △ABC ·sin 2θsin 2A. 同理可得S △PBC ＝S △ABC ·sin 2θsin 2B ，S △PCA ＝S △ABC ·sin 2θsin 2C. 相加后即得S △ABC ＝S △ABC (sin 2θsin 2A ＋sin 2θsin 2B ＋sin 2θsin 2C)． ∴1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C. 二、备用习题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋3) m C ．10(6＋2) m D ．20(6＋2) m2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，β3．如图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.asinαsinβcos (β－α)B.asinαsinβsin (β－α)C.a sinαcosβsin (β－α)D.acosαcosβcos (β－α)4．如图，有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．10 3 m5．如下图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)6．如下图，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得A 点的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB.参考答案：1．B 解析：如图，AB 为楼，CD 为塔，AM 为水平线，则有AB ＝20.∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，∴MD ＝20，AM ＝20，CM ＝20 3.∴CD ＝20(1＋3)(m)．2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC.3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC ＝β－α，由正弦定理，得a sin (β－α)＝AC sinα， ∴AC ＝asinαsin (β－α). 在Rt △ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin (β－α).4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知x sin45°＝10sin30°，∴x ＝10 2 m.5．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°， 由正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝63·CD.同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°. 由正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理，得 AB ＝AD 2＋BD 2＝(63)2＋(22)2·CD ＝426CD ＝1 00042 m. 答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m. 6．解：设AB 的高为x.∵AB 与地面垂直， ∴△ABM ，△ABN ，△ABP 均为直角三角形．∴BM ＝x·cot30°＝3x ，BN ＝x·cot45°＝x ，BP ＝x·cot60°＝33x. 在△MNB 中，BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN·BN·cos ∠MNB ， 在△PNB 中，BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP·BN·cos ∠PNB ， 又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos ∠MNB ，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos ∠PNB.② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x ＝2506(m)．答：塔高AB 为250 6 m.第2课时导入新课思路1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．思路2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆前面是如何测量距离和高度的？(2)在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？(3)回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.(4)日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1(教材问题3)活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．变式训练有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，重力记为CG →.由C 为绳子的中点，知|CE →|＝|CF →|.由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos ∠FCG ＝cos ∠DCB ＝0.2102＋(0.2)2≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos ∠FCG ＝8.90.02＝445，即绳子所受的张力为445 N.例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．解：在△ABC 中，∠ABC ＝180°－ 75°＋ 32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15. 根据正弦定理，BC sin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC，sin ∠CAB ＝BCsin ∠ABC AC ＝54.0sin137°113.15≈0.325 5，所以∠CAB ≈19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．变式训练如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？解：由条件知∠CAD ＝60°，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△BCD 中，由余弦定理，得 cosβ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD·BD ＝－17.∴sinβ＝1－cos 2β＝437.∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.在△ABC 中，由正弦定理，得CD sin ∠CAD ＝ADsinα，∴AD ＝CD·sinαsin ∠CAD ＝15 n mile.答：此时轮船离港口还有15 n mile.例3(教材问题4)活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ 到Q ′，使∠AQQ ′＝40.3°，台风沿PQ 方向过点Q ′时，则台风终止侵袭A 城．侵袭A 城的时间为台风经过Q 到Q ′所用的时间．解△AQQ ′，求出Q 与Q ′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A 城的时间．(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知能训练1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m ⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B ＝__________.2．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？答案：1.π6解析：由题意，得3cosA －sinA ＝0，即tanA ＝ 3. 又∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.由正弦定理，得sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin 2C ，即sinC ＝sin 2C. ∵sinC ≠0，∴sinC ＝1. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π2.∴B ＝π－(π2＋π3)＝π6.2．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠A ＝15°.由正弦定理，知AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，∴A 到BC 所在直线的距离为AC ×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)． ∵40.98海里＞38海里，∴船继续向南航行，没有触礁的危险．课堂小结先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．作业课本本节习题1—2A 组4；习题1—2B 组3.设计感想本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．备课资料一、备用习题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系是()A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．(1)起初，两人的距离是多少？(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？6．在某时刻，A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？7．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A 北偏东45°，且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 参考答案： 1．B2．B 解析：由题意可画出平面示意图，如图，则∠ACB ＝80°， ∵AC ＝BC ， ∴∠ABC ＝50°.因此灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初两人的距离是7千米．(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，。
2020-2021学年高二数学人教B版必修5 学案：1.2 应用举例 Word版含解析
§1.2 应用举例1．常见的有关名词、术语名词、术语 意义仰角与俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角．如图 1 方位角一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．如方位角60°是指北偏东60°坡角 坡面与水平面的夹角坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)，如图22．测量距离的基本类型及方案类别 两点间不行通或不行视两点间可视但点不行达两点都不行达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD 中用正弦定理求AC 在△BCD 中用正弦定理求BC 在△ABC 中用余弦定理求AB结论 AB ＝a 2＋b 2－2ab cos CAB ＝a sin Csin (B ＋C )①AC ＝a sin ∠ADCsin (∠ACD ＋∠ADC )；②BC ＝a sin ∠BDCsin (∠BCD ＋∠BDC )；③AB ＝ 3.测量高度的基本类型及方案类别 点B 与点C 、D 共线点B 与C 、D 不共线图形方法 先用余弦定理求出AC 或AD ，再解直角三角形求出AB在△BCD 中先用正弦定理求出BC ，在△ABC 中∠A 可知，再用正弦定理求出AB结论AB ＝a ⎝⎛⎭⎫1tan ∠ACB －1tan ∠ADBAB ＝a sin ∠BDC ×tan ∠ACB sin (∠BCD ＋∠BDC )4．解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系； (2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)正确选择正、余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，留意实际问题中的单位、近似计算的要求． 可用下图描述：一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解．当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法．例1如图所示，某炮兵阵地位于A 点，两观看所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标毁灭在B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(结果保留根号)分析 要求AB 的长，可转化为解△ABC 或△ABD ，不管在哪个三角形中，AB 边所对的角∠ACB 或∠ADB 都是确定的，AC ＝AD ＝CD ＝3，所需要的是BC 边(或BD 边)，所以需先求BC 边(或BD 边)，可在△BCD 中，结合余弦定理求解．解 在△BCD 中，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°， ∴∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝12(6＋2)．在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋14(6＋2)2＋2×3×12(6＋2)×14(6－2)＝5＋2 3.∴AB ＝5＋2 3 (km)．∴炮兵阵地与目标的距离是5＋2 3 km.二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要留意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形．2．与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，留意直角三角形中边角关系的运用． 3．解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形．例2 (1)如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，求山高BC ；(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解 (1)∵∠SAB ＝∠CAB －∠CAS ＝45°－30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－15°＝30°， ∴∠ASB ＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002(米)．∴BC ＝AB ·sin 45°＝ 1 0002×22＝1 000(米)．答 山高BC 为1 000米． (2)依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 测塔的仰角，只有B 到CD 最短时，仰角才最大，这是由于tan ∠AEB ＝ABBE ，AB 为定值，要求出塔高AB ，必需先求BE ，而要求BE ，须先求BD (或BC )．在△BDC 中，CD ＝40(米)，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°.由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠DCB ，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．在Rt △BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. ∴BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) (米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．三、测量角度问题方法链接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出相关角度．例3 一缉私艇发觉在北偏东45°方向且距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃跑．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．解 设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上，则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°.∴(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，∴x ＝2，AB ＝28，BC ＝20，sin α＝20sin 120°28＝5314.∴所需时间为2小时，sin α＝5314.四、三角形中的求值问题方法链接：涉及三角形中的计算问题时，一些基本关系式经常用到，这些关系式是： (1)A ＋B ＋C ＝π，A ＝π－(B ＋C )； (2)A ＋B 2＋C 2＝π2，B ＋C 2＝π2－A 2；(3)sin C ＝sin (A ＋B )，cos(A ＋B )＝－cos C ； (4)tan(A ＋B )＝－tan C ，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(5)sin C 2＝cos A ＋B 2，cos C 2＝sin A ＋B 2，tanA ＋B 2·tanC 2＝1； (6)A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C .例4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 在三角形中，∵sin A >0，∴2cos B ＝1， ∵B 是三角形的内角，∴B ＝60°. (2)在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos B ， 将b ＝7，a ＋c ＝4，代入整理，得ac ＝3. 故S △ABC ＝12ac sin B ＝32sin 60°＝334.五、证明平面几何问题。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教B版必修5学案：1.2 应用举例(一)
1．2 应用举例(一)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培育同学提出问题、正确分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]“遥不行及的月亮离我们地球到底有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇特的方法探究到这个奇特的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奇特． [预习导引] 1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．2．方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是[0,2π]．从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度例1 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠CAD ＝β ，∠BAC ＝α－β.依据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m ，sin 35°≈0.574)． 答案 812解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，由于∠DAC ＝20°，所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， 所以CD ＝AD .在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)． 即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 跟踪演练2 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)， ∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝ssin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s .在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴ABBC ＝tan θ，∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s .要点三 测量两个不能到达点之间的距离问题例3 如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离． 解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64( km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 所以河对岸A 、B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不行到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决． 跟踪演练3 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 两地的距离．解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°) ＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5∴AB ＝1005(米)．答 河对岸A 、B 两点间的距离为1003米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，a ，βD ．b ，α，γ 答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．如图，某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离动身点恰好13千米，那么x 的值是________．答案 4解析 由余弦定理：x 2＋9－3x ＝13， 整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4.3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m ，________m. 答案 2034033 解析 甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(m)； 乙楼的高为：203－20tan30°＝203－20×33＝4033(m)． 4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为________m.答案 502解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知 AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， ∴AB ＝30(m)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不行到达点间的距离”，而测量“两个不行到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不行到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离． 2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10(n mile)，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)．2．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的大路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32(km)．3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10(m)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m)．在△BCD 中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中， AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300(m)，故选B. 方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos2θ，即300＝2003cos2θ.cos2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ ＝2003×32＝300(m)， 故选B.5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 (m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，∴120sin 90°＝CDsin 30°，∴CD＝60(m)．∴河的宽度为60 m.6．如图，AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．解选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在ACD中，依据正弦定理可得AC＝a sin βsin(α－β)，AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝a sin αsin βsin(α－β)＋h.二、力量提升7．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15 m B．5 mC．10 m D．12 m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝ 3 h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．8．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 (m)．故选D.9．如图所示，在高出地面30 m 的小山顶上建筑一座电视塔CD ，今在距离B 点60 m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则△ABC 中，tan α＝3060＝12.又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060＝tan(45°＋α)．又tan(45°＋α)＝tan 45°＋tan α1－tan 45°tan α＝3.∴x ＋3060＝3，解得x ＝150 m. 答 所以电视塔的高度为150 m.10．如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度． 解 在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°， ∠DBC ＝45°＋90°＝135°. 由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD，∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝40sin 30°sin 135°＝202(m)．在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小， 即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在△BCD 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°， ∴BE ＝BD ·sin ∠BDE＝202sin 15°＝10(3－1)(m)． 在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB ＝10(3－1)·tan 30°＝103(3－3)(m)．答 塔的高度为103(3－3) m.11.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角是140°.A 处有一灯塔，其方位角是110°，在C 处观看灯塔A 的方位角是35°，由B 到C 需航行半个小时，求C 到灯塔A 的距离．解 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋35°＝75°， ∴∠BAC ＝75°. 由正弦定理，得AC sin 30°＝BCsin 75°， ∴AC ＝BC sin 30°sin 75°＝10sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝406＋2＝10(6－2)(km)． 答 C 到灯塔A 的距离为10(6－2)km. 三、探究与创新12．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.摸索究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ADC 中，∠DAC ＝30°.∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1(km)． 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)．因此，BD ＝32＋620≈0.33(km)，故B ，D 的距离约为0.33 km.。
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1.2 应用举例
知识梳理
1.在解决与三角形有关的实际问题时的一些名词、术语
(1)铅直平面：与海平面垂直的平面.
(2)仰角与俯角：在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角.当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线以下时，称之为俯角，如图1-2-1所示.
(3)方位角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东60°,如图1-2-2所示.
图1-2-1 图1-2-2
2.应用解三角形知识解实际问题的解题步骤
(1)根据题意画出示意图；
(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元素和未知元素；
(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；
(4)给出答案.
知识导学
本节知识在现实生活中应用广泛,如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等.这些都要对正弦定理及余弦定理以及三角形的相关性质有一个全面而准确的把握，所以在学习本节前要对这些相关知识进行系统地复习回顾,才能在此类问题中熟练应用，从而解决问题.该部分知识在高考中单独命题的可能性较小，所以我们不需要学习的太深太难，关键是把握该类题型的求法.
疑难突破
1.对于与解三角形有关的题目一般方法是怎样的？
剖析:解三角形问题都是以三角形为载体，解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角关系，能依据题设条件合理地设计解题程序，进行三角形中边角关系互化.判断三角形的形状是常见题型，主要的方法有两种：一是利用已知条件寻找边的关系；二是寻求角的值或
角的关系，有时已知条件中有边角混杂的式子，可用正弦定理或余弦定理进行边角互化，以达到化异为同的效果.对三角函数式的变形仍以常用的三角公式为基础.
2.“方位角”“仰角”“俯角”等一些表示方位的角有何区别?
剖析:在实际生活中，方位角是大家所熟悉的，首先在地图上，东西南北这四个基本方位要能区分开来.“仰角”就是由低处往高处望，相应视线与水平线所成的角；而“俯角”就是由高处往低处看，相应的视线与水平线所成的角.另外，常见的还有其他一些角，对于在具体问题中所出现的新名词，自己应该根据具体问题体会其含义,从而正确地将问题解决.只有这些角能正确地区分开来，才能将问题恰当地解决.。