江西省景德镇市2009届高三下学期第一次模拟质量检测(数学理)

AA1江西省景德镇市2009年高三第一次模拟质量检测 数 学 (理 科)一、选择题：每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，仅有一项．．．．是符合题目要求的。

1.设集合{}{}1212,,,,,,,n m B a a a J b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，定义集合B J ⊕=()12{,a b a a a =++⋅⋅⋅ 12,}n m a b b b b +=++⋅⋅⋅+，已知{}51,21,28,B ={}89,70,52J =,则B J ⊕的子集为A. ()100,211B.{}(100,211)C. ,∅ {}100,211D.,∅ {}(100,211) 2. 若110a b<<，则下列结论不正确的是22.A a b < 2.B ab b <.2a b C b a+>.||||||D a b a b +>+3.下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3x π=对称的一个函数是 A ．sin()6y x π=-B ．sin(6y x π=+ C ．sin()3y x π=+D ．sin(23y x π=-4.公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =.A 2 .B 4 .C 8 .D 165. 欢欢和迎迎等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D 、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.则欢欢和迎迎不在同一岗位服务的概率为 A.110B.910C.14D.486256．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎢⎣⎦上的最大值为A ．2πB ．２C ． 6πD ．13π+7．若关于x 的方程|21|xm -=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是.(0,)A +∞ .(0,1)B .(1,)C +∞ .[0,1]D8. 下列命题不正确．．．的是 A ．,,,P A PB B ααα∉∈⊥为垂足，且A 与B 不重合，则PAB ∠为PA 与平面α所成的角 B ．,,,,l O l OA OB αβαβ⋂=∈⊂⊂,,OA l OB l ⊥⊥则AOB ∠为二面角l αβ--的平面角 C ．,,A l AB B α∈⊥为垂足，则AB 为直线l 到平面α的距离D ．//,,,A B AB αβαβα∈∈⊥，则AB 为平面α与平面β的距离9.设正三棱锥P －ABC 的内切球半径为r ，高为h ，则条件h ＝4r 是正三棱锥P －ABC 成为正四面体的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件10.在菱形ABCD 中，若2AC =,则CA AB ⋅=A.2B.2-C.cos AB AD.与菱形的边长有关11.已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若(2)1,(1)(2)(3)(2009)f f f f f =-++++= 则A ．0B ．1C ．－1D ． －1004.512.已知方程()f x =22x ax b ++的两个根分别在(0,1),(1,2)内，则22(4)a b +-的取值范围为A.B.C.(17,20) D.(,20)815二、填空题：每小题4分，共16分。

请把答案直接相应位置上。

13. 若9(2x的展开式的第7项为214，则x = ．14.过点4)1(:)1,21(22=+-y x C l M 与圆的直线交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 . 15.函数lg ||(0)()21(0)xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩ ，若()f a ＞0，则a 的取值范围是 ．16. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是 棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上 运动，有以下四个命题：A ．平面MB 1P ⊥ND 1； B ．平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；C ．△MB 1P 在底面ADD 1A 1上的射影图形的面积为定值；D ．△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2c b =，向量3(sin ,)2m A =，(1,sin )n A A =+，且m 与n 共线．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ac的值．18. （本小题满分12分）如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (Ⅰ)设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ， 当6x ≥时，则保证信息畅通。

求线路信息畅通的概率； (Ⅱ)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD，AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点. (Ⅰ)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(Ⅱ)在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC .20. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，侧棱AA 1与底面ABC 成600角，∠BAA 1＝∠CAA 1，BC ＝AA 1＝2，又点M 是BC 的中点，点O 是AM 的中点．（1）求证：A 1O ⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1―AC ―B 的大小；（3）求点B 到平面C 1AM 的距离．21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 22=--x f x x a，其中a 是不等于0的常数，e 为自然对数的底数。

AC C 1M A 1 B 1 O⑴当0>a 时，求函数()f x 的单调区间；⑵若()f x 在0x 处取得极值，且202,2⎡⎤∉++⎣⎦x e e ，，而()0≥f x 在22,2⎡⎤++⎣⎦e e 上恒成立，求实数a 的取值范围；22. （本小题满分14分）若数列{}n a 满足221n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 为等方差数列.已知等方差数列{}n a 满足0,n a >11251,,,a a a a =成等比数列且互不相等.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}21()2nn a 的前n 项和；（Ⅲ）是否存在实数m ，使得对一切正整数n ，总有2210n n a m a ≤-成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.江西省景德镇市2009年高三第一次模拟质量检测数学(理科)参考答案 2009.02.13一、选择题：每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的。

二、13. 3-14. 0342=+-y x 15.(,1)(0,)-∞-⋃+∞ 16. BC三、17.（Ⅰ） m n ，∴ 3sin (sin )02A A A +-= 即sin(2)16A π-=11(0,),2(,)666A A ππππ∈∴-∈- 262A ππ∴-= 3A π∴=（Ⅱ）由2222cos a b c bc A =+- , 222()2cos 223c c a c c π=+-2234a c =，∴2ac =18．解：(I)所求x 的可能取值为6、7、8、9411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P431012034141)6(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P(II)203)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P ∴线路通过信息量的数学期望EX 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：(I)线路信息畅通的概率是43. (II)线路通过信息量的数学期望是6.5．19．解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、0,0)B 、0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473(Ⅱ)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==163z x ∴在侧面PAB 内所求点N 的坐标为)1,0,63( (其它解法参照给分)20. （1）证明：⎭⎬⎫AB ＝AC ∠BAA 1＝∠CAA 1⇒A 1在底面ABC 上的射影H 必在∠BAC 的平分线AM 上， ⎭⎬⎫在△AA 1H 中，∠HAA 1＝600，AA 1＝2，得AH ＝1又在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，得AM ＝2⇒H 为AM 的中点，即H 与O 重合，故A 1O ⊥平面ABC ；………………4分 （2）如图，过O 作ON ⊥AC 于N ，连A 1N ，由三垂线定理知 ∠ONA 1就是二面角A 1―AC ―B 的平面角，在Rt △ONA 1中，ON ＝12AM·MC AC ＝55， A 1O ＝3，则tan ONA 1＝15故二面角A 1―AC ―B 为arctan 15；…………8分（3）如图，过C 作CP ∥AM ，且CP ＝AO ，延长AM 至Q ， 使MQ ＝AO ，连PQ ，则平行四边形PQMC ，则点B 到平面C 1AM 的距离＝点C 到平面C 1AM 的距离 ＝点P 到平面C 1AM 的距离d ，⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫CM ⊥AA 1AA 1∥CC 1⇒CM ⊥CC 1CM ⊥AM ⇒CM ⊥平面C 1AM PQ ∥CM⇒PQ ⊥平面C 1AM ，又PQ ⊂平面C 1PQ ，平面C 1PQ ⊥平面C 1AM ，过P 作PS ⊥C 1Q 于S ，则PS ⊥平面C 1AM ， 即PS 就是点P 到平面C 1AM 的距离d ，在△C 1PQ 中，PS ＝d ＝PQ·C 1P C 1Q ＝3·12＝32．…………12分 故点B 到平面C 1AM 的距离为32．(第（2）（3）问用向量坐标法按相应步骤给分) 21.C 1 A 1 B C MO B 1P Q S A22. （Ⅰ）由2152a a a =得，224152a a a =即 21(14)(1)d d ⨯+=+0,2d d ≠∴=21(1)221n a n n =+-⨯=-，0,n n a a >∴=数列{}n a 的通项公式为n a =；（Ⅱ） 211()(21)22nn na n =-设 231111135(21)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①234111111135(21)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ② ①-②，得∴ 2311111112()(21)222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+--⋅111(1)14221212n --=+⋅--11(21)2n n +-⋅2332n nn S +∴=-. 即数列21()2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为2332nn +-； （Ⅲ）假设存在实数m ，使得对一切正整数n ，总有2210nna m a ≤-成立，即 21101211211n m n n -≥=+--.设 ()f n =101211n +-，当 5n ≤时，()1f n <，且()f n 递减；当 5n ≥时，()>1f n ，且()f n 递减；故 (6)f 最大， ∴()11man f n =.11m ∴≥故存在11m ≥，使得对一切正整数n ，总有2210nna m a ≤-成立.。