综述指示克里格方法的原理及应用
克里格方法在大地电磁静校正中的应用
上， 在有 限 区域 内对 区域化 变量 的取值 进行 无偏 最 优 估计 的一 种 方 法 。克 里 格 法实 质 上是 利 用 区 域
化 变量 的 原始数 据 和变异 函数 的结 构 特点 ， 对未 采 样 点 的区 域化 变量 的取 值进 行线性 无 偏最 优估 计 。 从 数学 角 度讲就 是 对 空 间 分 布 的 数据 求 线 性 最 优 无偏 内插估 计量 的一种 方法 。更 具体 的讲 ， 是根 它 据待 估样 点 （ 或待估 地段 ） 限 区 域 内若 干 已测 定 有 的样 点数 据 ， 在认 真 考 虑 了样 点 的 形 状 、 小 和 空 大 间相 互位 置关 系 ， 及其 与待 估样 点空 间 相互位 置关 系， 以及 由变 异 函数 提 供 的结 构 信 息 之后 ， 该 待 对 估样 点值 进 行 的一 种 线性 无偏 最优估 计 。 设 Ｚ（ ） ｚ 是场 变量 ， 一 维 、 维 或 三维 空 间 ｚ是 二 中 的某 一个 位 置 ， 量 Ｚ ｚ） ｚ处 的值 表 示为 变 （ 在
状， 大小和空 间相互位置关 系， 它们与待估样点空 间相 互位置关 系 ， 变异 函数提供 的结构 信息之 后 ， 以及 对该待
估样点 值进 行的一种线性无偏最优估计 。根据这一思路 ， 编制 了大地 电磁测深 数据校 正软 件 ， 且进行 了理论 并
模 型试验 和实际资料 的处理 ， 取得 良好 的效果 。 关键词 ： 大地 电磁测深 ； 校正 ； 里格 法 ； 静 克 静位移 ； 地质统计学
场。在这里的研究 中， 把一定量 的先验信息（ 未受 干扰 的信 息 或 干扰 较 小 的 信 息 ） 成 是 区域 化 变 看
克立格插值_2
n
l 0,1,k
泛克立格估值的最优条件
E[ Z
2 E n * UK
Z ( x)] E[ Z ( x ) Z ( x)]2
2
n
1
E{[ Z ( x )] 2 Z ( x )Z ( x) [ Z ( x)]2 }
1 1 1
{E[ Z ( x )]} 2 E[ Z ( x)]{ E[ Z ( x )]} {E[ Z ( x)]}2
2
n
n
1
1
* * {E[ ZUK ( x)]}2 2 E[ Z ( x)]E[ ZUK ( x)] {E[ Z ( x)]}2
2 k l 0
k
（2）求x处的Z(x)值
Z UK ( x) Z ( x )
*
n
1
（2）求x处的Z(x)值
无偏条件
* E[ Z UK ( x 1 1
n
n
m( x ) al f l ( xa )
k0 1
k0
] mk0 k
k k0
nk
k 1
nk0 k0 1 k0 1 无偏条件 nk k 0 k 1,2....K , k k0 k 1
协同克立格方程组的条件
估计方差
2 * E E[ ZV ZV ]2
1 1 1
n
{C ( x, x) E 2 [ Z ( x)]} C ( x , x ) 2 C ( x , x ) C ( x, x)
1 1
n n n n
1
克立格估计的分析解释与协方差函数的代数确定
克立格估计的分析解释与协方差函数的代数确定克立格估计（Kriging）是一种空间插值方法，它可以利用已知点的值和距离关系对未知点进行预测，是一种广泛应用于地质勘探、环境科学和气象学等领域的技术。
克立格估计的基本思想是通过建立样点之间的空间自相关关系，推广到整个空间域，并利用该空间自相关关系对未知点进行预测。
在克立格估计中，我们需要确定两个关键的参数：协方差函数和插值误差。
协方差函数是衡量空间自相关关系的指标。
它通过计算样点之间的距离和它们之间的差异来描述它们之间的相似或不相似程度。
通常情况下，协方差函数会随着距离的增加而减小，因为样点之间的差异越来越大。
此外，不同的协方差函数对应于不同的空间结构，这将导致预测的结果存在差异。
插值误差是克立格估计的另一个关键概念，它是预测值与实际值之间的差异。
插值误差可以用来确定预测结果的精度和置信度。
在克立格估计中，我们常常使用交叉验证技术来估计插值误差。
协方差函数的代数确定是克立格估计中的一个重要步骤。
代数确定可以通过一系列数学公式来得到，以建立样点之间的空间自相关关系。
常见的协方差函数有指数函数、高斯函数和膨胀函数等。
这里以指数函数为例进行说明。
指数函数的表达式为：C(h)=exp（-h/l）其中，C(h)为协方差函数，h为样点之间的距离，l为半方差距。
半方差距是协方差函数值下降50%所对应的距离。
协方差函数的代数确定包括两个步骤：确定半方差函数和估计半方差距。
半方差函数可以通过样点之间的差异来估计，例如，如果样点之间的值差别越大，则半方差函数的值也会越大。
半方差距可以通过协方差函数随距离变化的规律来估计。
在克立格估计中，协方差函数的代数确定可以直接影响预测的精度和置信度。
因此，我们需要认真选择适合的协方差函数，以建立样点之间的空间自相关关系。
同时，我们还需要根据样本数据来调整协方差函数的参数，以获得更准确的预测结果。
地球物理计算常用的插值方法-克里格法
克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。
如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。
这种变量反映了空间某种属性的分布特征。
矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。
区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。
一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。
在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。
二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。
在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为：区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。
一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。
克里金法
1n 2n nn 1
1 1 , 1 0
1 2 , n
( x1 , x) ( x , x) 2 D ( xn , x ) 1
克里格估计方差也可以写 为
2 K i ( xi , x) ( x, x) i 1 n
也可以将克立格方程组和估计方差用变异函数写成上述矩阵形 式。令
11 12 21 22 K n1 n 2 1 1
i 1
的偏导数，并令其为0，得克里格方程组
n F 2 j c( xi , x j ) 2c( xi , x) 2 0 i j 1 n F 2( 1) 0 i i 1
K D
K D 2 T K D ( x, x)
1
克里格方法根据不同的条件以及需要可以选择不同的估值 方法，常用的克里格方法主要有普通克里格法，泛克里格法， 协同克里格法，对数克里格法和指示克里格法等。其中以普通 克里格法为最基本的估值方法，在推估法的实际运用中也占有 重要地位。简单克里格法只是在变量满足二阶平稳并且均值m 已知条件下的一种特例。
假设在待估计点（x）的临域内共有n个实测点，即x1， x2，…，xn，其样本值为。那么，普通克里格法的插值公式为
Z ( x ) i Z ( x i )
* i 1
n
i 为权重系数，表示各空间样本点处的观测值对估值的影响度或者贡
献程度。 显然，克里格估值的关键问题就是在于求解 i 的值，同时根据估值 的基本原则，即无偏性和估计方差最小（最优性）的要求，具体就是要满 足以下条件：
克里格估值方法范文
克里格估值方法范文
Z(u)=Σλ_iZ(u_i)
其中，Z(u)是未知点位置u处的属性值，Z(u_i)是已知点位置u_i处
的属性值，λ_i是用于调整已知点权重的系数。
克里格估值方法的第一步是计算未知点与已知点之间的距离，常用的
距离度量有欧氏距离和马氏距离等。
然后，可以根据距离计算权重系数。
一般而言，距离越近的点具有更大的权重，距离越远的点具有更小的权重。
根据属性值之间的相关性来计算权重系数的具体方法有多种，例如，常用
的方法有指数模型和球面模型。
Z(u)=Σλ_iZ(u_i)
在使用克里格估值方法时，重要的一步是确定合适的参数。
参数对克
里格估值方法的结果具有重要影响，因此，需要通过试验和验证来选择合
适的参数。
常用的参数包括克里格变异函数的类型（如指数模型，球形模
型等）、用于计算距离的方法、权重计算方法和权重调整参数等。
然而，克里格估值方法也有一些限制。
首先，它假设属性值具有稳定
的空间关系，即属性值的变异在空间上是稳定且连续的。
然而，在现实应
用中，地质属性通常具有非稳定性和离散性。
其次，克里格估值方法通常
对异常值比较敏感，即离群值可能对插值结果产生较大影响。
此外，克里
格估值方法只能提供关于预测值的估计，而无法提供有关估计误差的信息。
因此，在实践中，可以通过与其他插值方法相结合来克服克里格估值
方法的这些局限性。
例如，可以使用地统计学模型和数据激发方法来改进
插值结果的准确性和稳定性。
克里格估值方法(一)
克里格估值方法(一)克里格估值方法详解什么是克里格估值法？克里格估值法（Kriging）是一种通过插值方法对未知地点进行估值的统计技术。
它将已知地点上的观测值用于预测未知地点上的数值，常用于地质、地理、环境等领域的研究。
克里格估值法通过建立空间相关性模型，可以提供对未知地点上现象的可信度估计。
克里格估值法的基本原理克里格估值法的基本原理是空间相关性。
其假设对空间上相邻点之间的值存在一定的相关性，且该相关性可通过距离进行量化。
基于该假设，克里格估值法可以通过已知点与未知点之间的空间距离进行权重的计算，进而进行预测。
克里格估值法的步骤1.数据获取：克里格估值法需要已知点的观测值作为输入，可以通过采集现有数据或者实地测量获得。
2.空间相关性分析：通过观测值之间的空间相关性判断模型类型，常用的模型包括球型模型、指数模型和高斯模型等。
3.参数估计：使用已知观测值中的半方差数据，通过最小二乘法或最大似然法对模型的空间相关参数进行估计。
4.半方差图绘制：通过绘制半方差图，可以了解观测值之间的空间相关性和变化趋势。
5.克里格估值：根据已知点的观测值和模型的参数，计算未知点上的估值。
常用的克里格估值方法包括简单克里格法、普通克里格法和泛克里格法等。
6.估值验证：通过验证估值和实际值之间的误差，评估克里格估值方法的精度和可靠性。
克里格估值法的优缺点克里格估值法作为一种插值方法具有以下优点： - 利用空间相关性进行预测，能够充分利用已知数据的信息； - 通过建立空间模型，可以对估值进行可靠的分析和解释； - 适用于各种数据类型和标度水平，可用于多种研究领域。
然而，克里格估值法也存在一些缺点： - 对观测值的空间相关性要求较高，如果空间相关性较弱，克里格估值的精度可能较低； - 克里格估值法对异常值敏感，对异常值进行处理是很重要的一步； - 克里格估值法无法考虑其他外部因素的影响，如地形、土壤等因素。
克里格估值法的应用领域克里格估值法广泛应用于地理信息系统（GIS）、环境调查和资源评价等领域，常见的应用包括： - 土壤污染程度评估； - 水资源管理及水质预测； - 土地利用规划和生态环境研究； - 地质勘探和矿产资源评估。
技能训练(克里格方法及应用)
掌握植物的分布对我们管理或控制 植物种群是必要，例如对杂草的控制。 按照杂草在农田中的分布图制订出的 杂草控制方案可使除草剂大幅度减少。 这样既减少投入又减少对环境的污染， 同时还保证了农作物产量。
掌握重金属在农田的分布有利于我 们对农田进行绿色作物生产进行规划 和管理，即我们有可能按照不同作物 对重金属的富集特点和土壤重金属含 量制定出合理的作物种植规划以保证 生产出来的农产品达到有关食品卫生 标准。
(h) a0 a1h a2h2
(h)
求出任意一个已知点xi，与未知点x0距
离并代入可求出的该点与未知点x0的半变异
函数值 ，i0 i=1, 2, …n。同样可求出任意
两个已知点xi和xj 的半变异函数值 ij = ji
i, j=1, 2, …n，并且。应用这些半变异函数
值构造矩阵A和向量R分别为[8]：
2131=651 m2
应用克立格方法估计的甘草分布图
2、土壤重金属分布
以遵义县某镇耕地内土壤铅分布为例：
3025平方米 共51个样
3025平方米
3、土壤营养元素分布（配方施肥）
（1）贵阳国家科技园核心区
氮分布图
氮、磷、钾分布
3、土壤营养元素分布（配方施肥）
（2）以我们校园的花园为例： 取样地点：招待所旁的地 面积：20×50平方米
0 12 13 ... 1n 1
21 0 23 ... 2n 1
A
...
...
... ... ... ... R ( 10 , 20 ,..., n0 ,1)
n1 n2 n3 ... 0 1
1
1
1
... 1
0
例如我们要求点x1和点x2的半变异函数
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综述指示克里格方法的原理与应用学号：18 ：在土壤质量评价、大气污染物浓度分布评估等研究中，克里格空间插值方法是一个有力的工具。
但是观测数据中往往存在一些特异值，观测数据不成(对数)正态分布，影响了变异函数的稳健性。
如果用参数地质统计学方法, 则必须剔除这些特异值或者对观测值进行非线性转换，以使观测值的概率分布满足正态，但这会影响变量空间变异的真实信息。
非参数地质统计学中的指示克里格法是处理有偏数据的有效方法，它能在不必去除重要而实际存在的特异值的条件下处理不同的现象，并能抑制特异值对变异函数的稳健型的影响。
指示克立格法是一种最常用的非参数地质统计学方法,它是因把对区域化变量的研究转换为对其指示函数的研究而得名.有关指示克里格方法的研究与应用，国外学者已经做了很多工作，但是大部分研究都是单元指示克里格在单一尺度下的应用。
本文将主要讨论指示克里格方法的基本原理，指示克里格的应用方法(比如多尺度指示克里格、多元指示克里格等)以及指示克里格法的限制和不足。
1 基本原理克里格(Kriging)插值法是空间统计分析方法的重要容之一，它是建立在半变异函数理论分析基础上的，是对有限区域的区域化变量取值进行无偏最优估计的一种方法。
基于这种方法进行插值时，不仅考虑了待预测点与邻近样点数据的空间距离关系，还考虑了各参与预测的样点之间的位置关系，充分利用了各样点数据的空间分布结构特征，使其估计结果比传统方法更精确，更符合实际，更有效避免了系统误差的出现。
在空间统计分析方法中，可以通过选择阈值，将一个连续的变量转换成一个值为0或1的二进制变量。
比如在研究区域D,Z(X)表示采样点X上的采样值,设Z为研究区域D上的一个临界值(阈值),则在D上的每点X∈D上定义一个Z 的指示函数如下:对于指示函数,可以用条件概率来描述:当Xa, a=1,2,⋯,n为采样点时,这时,某待估点X的指示函数估计值可以表示为：对于采样点来说,指示值可解释为已知该点的实测值为Za时,该点的真实值小于等于阈值的概率,而对于待估点,其指示函数估计值可解释为已知待估点周围信息(样本的实测值) 时,该点的真实值小于等于阈值的概率。
克里格插值法的研究工具是半变异函数，指示克里格插值法的研究工具是指示半变异函数：在实际应用中，半变异函数可由下式(实验半变异函数)进行计算其中，表示分隔距离为的样本对的数量。
半变异函数是在假设Z(X)为区域化变量且满足平稳条件和本证假设的前提下定义的。
数学上可以证明，半变异函数越大，空间相关性越弱。
使用指示值，通过实验半变异函数进行半变异函数的模拟计算，并使用半变异函数的理论模型进行拟合，拟合得到最佳的半变异函数模型。
常用的半变异函数的理论模型包括球面模型、高斯模型和线性有基台模型。
在已知采样点数据值的情况下，根据最佳半变异函数模型，使用普通克里格插值方法可以计算出待估点的数据值在给定阈值下对应的指示值(即条件概率)，最后就能得到整个研究区域的相对于某一阈值的概率空间分布图。
2 应用方法若在指示克里格应用的各个步骤中采用不同的方法，就产生不同的指示克里格方法。
根据采样尺度的不同，指示克里格可以分为单一尺度指示克里格和多尺度指示克里格；根据研究变量的数目，可以分为单元指示克里格和多元指示克里格；根据设置的阈值的数目，可以分为单指示克里格和多指示克里格。
以下将分别介绍单一尺度单元指示克里格、多尺度指示克里格、多元指示克里格和多克里格法。
2.1单一尺度单元指示克里格本文以土壤盐分空间分布的研究为例，介绍单一尺度单元指示克里格方法的应用。
步骤如下。
1）分析研究区域概况。
在研究土壤成分(如盐分、重金属等)分布时，要获得研究区域的位置、气候、地形地貌以及其他影响研究对象分布的信息。
2）采样。
根据采样区域的位置和大小，可以使用GIS技术将研究区域划分成均匀的格网，获取格网中心的坐标作为准采样位置，利用GPS进行野外采样导航。
实际采样过程中有些采样点落在村庄、河流、道路等位置，就要在附近进行调整，并使用GPS记录下采样点的实际位置坐标，如不能采样，则将该采样点删除。
3）土壤样品的测定。
将土壤样品带回实验室，使用正确的方法测定土壤中盐分的含量。
4）数据处理与分析。
首先根据问题的要求确定评价指标的阈值，原则上阈值是可以任选的，可以是一个临界值，也可以是一个区间围；然后，未评价指标确定指示函数，根据指示函数将相应的采样点数据进行二进制指示变换，得到各个采样点的指示值(0或1)，指示值可以用来评价采样点上的土壤盐分的高低状况；然后，利用指示值进行变异函数的模拟计算，拟合得到最佳半变异函数模型；最后，利用拟合得到的半变异函数模型和普通克里格插值，得到土壤盐分相对于某一阈值的概率空间分布图。
2.2多尺度指示克里格上文介绍了单元指示克里格法在单一采样尺度下的应用，但是土壤的空间特异性是尺度的函数，即在不同尺度下，同一变量的自相关程度相差很大，且随着样点间的距离而增加，变异函数值的随机成分也在增加，更小尺度下的结构特征被掩盖，不利于深入分析土壤空间变异的结构特征，但是在多尺度下进行分析可以解决此问题。
多尺度指示克里格就是在多个采样尺度下运用指示克里格法对土壤盐分的空间异质性进行分析。
该方法与单一尺度的指示克里格方法相比，重点的是如何选择多个不同的尺度，既能反映研究区域整体的分布特征，又能揭示小尺度上的结构特征。
在不同的采样尺度上，可以分别运用单一尺度指示克里格方法进行采样和数据分析。
参考文献研究表明，随着研究尺度的增大，地形、母质、土壤类型等大尺度结构因素对土壤性质的影响逐渐增强，而随机因素影响逐渐减弱，从而使土壤盐分的块基比变小、变程明显增加。
当然，不同的研究对象会有不同的分布状态，也受研究区域具体情况影响，所以针对不同的具体问题可能会有不同结论。
2.3 多元指示克里格多元指示克里格法(MVIK, Multiple Variable Indicator Kriging)是美国农业部和华盛顿州立大学的研究者提出的。
多元指示克里格法是将多个土壤性质指标综合成一个总体的土壤质量指数，即通过多变量指标转换(MVIT)将测定值进行转换，建立整体的土壤质量指数。
其步骤如下：1）分析研究区域概况。
2）对不同的变量进行采样。
3）对不同的变量设置不同的阈值，并进行指示变换。
按照一定的规则，根据多个变量对应的指示值求出综合指标的指示值。
规则的选择要根据实际情况确定。
比如在黄河三角洲地区的地下水与土壤盐分空间分布分析中，当不同的指示值都为1时，综合指标为1，否则为0。
4）计算综合指标的指示半变异函数，进行普通克里格插值，得到综合指标的概率分布图。
区域土壤资源利用风险的评价指标不仅有地下水性质和土壤盐分，还包括重金属含量、各种养分的含量等，各个指标之间可能相关，也可能相互独立，可能是水土资源的在特性，也可能是外界赋予的属性。
多元指示克里格法允许同时1这些因素，绘制出综合指标的概率分布图，可以为土壤或其他资源环境区域的合理化管理决策提供有力的证据，为综合、全面的评价土壤及其他资源的质量提供了有效的方法。
2.4多指示克里格多指示克里格(Multiple Indicator Kriging)是一个非线性非参数插值方法，常用于矿区勘探、矿石储量评估问题，可以根据部分钻孔采样值估算出某块体的矿石品位(矿石或产品中所含有用成分（元素或化合物）的百分含量)高于某阈值的概率分布。
多指示克里格基于指示函数，对于一个特定的阈值，我们可以计算出某一点的估计值大于(或小于等于)该阈值的概率。
多指示克里格对指示函数设置了多个阈值，因此可以估算出估计值在不同围的概率分布。
比如，在评估某矿石块体的矿石品位的应用中，设定一系列的阈值非常重要，可以根据最低工业品位和边界品位来确定阈值，其主要的目的是能够有效地区分矿石和废石。
如果研究的问题没有实际意义的阈值，可以把采样值按大小顺序平均分成若干份，每相邻两份的中间值可以设为阈值。
比如分成11份，就有10个阈值，然后分别对10个阈值分别进行指示克里格分析，就能得到研究区域在11个数值区间的概率分布。
如果某一数值围更能反映研究对象的特征或对某一数值围的准确估计更重要，可以在这一围设置更多的阈值。
比如在贵重金属分布研究中，由于大部分金属都包含在占小比例的高品位的矿石中，所以用指示克里格法估计高阈值区间的概率分布更加重要。
3 限制和不足尽管指示克里格法有着广泛的应用，指示克里格法在局部估计中仍然有一些限制和不足：1）由于阈值接近采样值，当待估点的位置接近采样点时，估计的精度会比较低。
2）对于一个由一些原始采样值得到的局部分布，当增加一个样本时，其数值会发生较大的改变。
也就是说，估计结果不是很稳定。
3）传统上对于上尾部数据的后处理的外插可能产生偏差。
4）当使用全局方差折减系数改变支撑时，待估值的变异性会被夸大；而当使用普通克里金插值改变支撑时，待估值的变异性会被低估。
5）指示克里格的优点(不要求完整的空间分布模型)有时候也是个障碍。
由于其不能为点支撑和块支撑的联合行为建立模型，所以它不适用于支撑改变的情况。
这样的缺点在矿石储量评价中有深远的影响，已经有很多研究者证实指示克里格在评估可开采矿石的储量估计中表现较差。
4 结论指示克里格方法是处理有偏数据的有效工具，其可以在不删除特异值的前提下，保持半变异函数的稳健性，在土壤特性评价、大气质量评估等应用中有着特殊的作用。
基于指示克里格的基本原理，我们可以灵活地运用指示克里格方法来处理不同的问题，因此衍生出多元指示克里格等方法。
指示克里格方法有一些自身固有的缺点，在选择运用指示克里格方法时，要注意尽量避免这些缺点造成的问题。
参考文献：[1] 奇勇，劲松，荣江.不同尺度下土壤盐分空间变异的指示克里格评价.土壤(Soils),2011,43(6):998-1003.[2]继龙，马孝义，振华.土壤入渗特性的空间变异性及土壤转换函数.水科学进展，2010.[3] 如雪. 聊城市土壤质量时空演变及可持续利用研究.2009.[4] 荣江, 劲松.黄河三角洲典型地下水位与土壤盐分空间分布的指示克里格评价.农业环境科学学报，2007,26(6):2118-2124.[5]淑娟，何勇，方慧.基于GPS和GIS的田间土壤特性空间变异性的研究.农业工程学报，2003.[6]孟健，马小明.Kriging空间分析法及其在城市大气污染中的应用.数学的实践与认识,2002.[7]郭旭东等.省遵化平原土壤养分的时空变异特征——变异函数与Kriging插值分析.地理学报，2000.[8]雷志栋，诗秀.土壤特性空间变异性初步探究.水利学报，1985.[9] Xavier Emery, Julián M. Ortiz. Shortings of multiple indicator kriging forassessing local distributions. Applied Earth Science, 2013.。