普朗克公式的推导
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式是描述黑体辐射能谱的一个基本公式，它可以推导出维恩公式和瑞利金斯公式。
普朗克公式为：
$$B_\lambda(\lambda,
T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda
k_BT}-1}$$
其中，$B_\lambda(\lambda, T)$表示单位面积、单位波长的辐射能量密度，$\lambda$为波长，$T$为温度。
$h$为普朗克常数，
$c$为光速，$k_B$为玻尔兹曼常数。
当求导$B_\lambda(\lambda, T)$关于$\lambda$，并令导数为零时，可以得到$\lambda_{\rm{max}}T= 2.898\times 10^{-3}\
\rm{m\cdot K}$，即维恩位移定律，它告诉我们，对于不同温度的黑体，辐射能量密度的峰值波长$\lambda_{\rm{max}}$和温度成反比。
当波长$\lambda$趋近于零时，可以将普朗克公式化简为瑞利金斯公式：
$$B_\lambda(\lambda,
T)\rightarrow\frac{2hc^2}{\lambda^4}$$
这表明在紫外光区，辐射能量密度与波长的四次方成反比。
这就是瑞利金斯定律。
普朗克黑体辐射公式推导(精.选)
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
普朗克公式的推导
普朗克公式的推导Derivation of Planck’s law首先，考虑一个边长为L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波。
我们假设这些波不发生干涉，所以可以被划分为在三个笛卡尔坐标系方向上。
波长如下：是非零自然数，i代表笛卡尔坐标系的三个维度）根据量子力学，一个给定态的能量可以用如下表示：h代表普朗克常量，N代表这种这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数。
重要的是，不像电子，无限数量的一种态或是光子，其给定的能量是存在的。
其符合玻色爱因斯坦统计。
其次考虑光子气的统计力学：为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态可能和哪些物理量有关。
我们求助于统计力学，其揭示的公式如下：这里代表的是热力学能量的倒数，即, Z（）是一个因子，被称为分割函数。
其公式如下：=其中=，即单个光子的能量根据统计力学，一种给定态的平均能量（其和平均光子数有关）可表示为=光子气的能量密度：现在，我们有了给定态的平均能量的表达式，我们可以积分所有态的表达式，来寻找光子气的总能量，其可表示为：=是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔中，允许存在的态的个数。
可表示为所以单位体积的能量为：被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达=黑体辐出度：现在假设，黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进。
而且这些辐射出的波以2的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的所以光谱辐出度可以被定义为单位波长的单位立体角的单位区域的辐射出的能量。
普朗克定律推导
普朗克定律推导普朗克定律是物理学中重要的一条定律，描述了辐射能量与频率之间的关系。
下面我们将对普朗克定律进行推导，从而进一步理解该定律的原理和应用。
1.黑体辐射和能量量子化假设普朗克定律最初是由德国物理学家马克斯·普朗克在1900年提出的。
他研究黑体辐射时发现，按照经典电磁理论，预测的黑体辐射能谱与实验结果发现的不一致。
为了解决这一矛盾，普朗克提出了能量量子化假设。
他认为辐射能量是以离散的形式存在的，而不是连续的。
根据这一假设，能量以量子的形式，即能量子，进行传递和吸收。
2.能量量子和频率的关系根据普朗克的能量量子化假设，辐射能量E和频率ν之间存在简单的线性关系。
将这种关系表示为：E=ℎ⋅ν其中，E表示能量，ν表示频率，h是普朗克常数，其值约为6.63 × 10^-34 J·s。
这个表达式告诉我们，能量的大小与频率成正比，也就是说，频率越高，能量就越大。
3.普朗克辐射定律基于能量量子化假设和热平衡原理，普朗克进一步推导出了描述黑体辐射能谱的数学公式，即普朗克辐射定律。
该定律表明，黑体辐射的能量密度与频率之间的关系。
普朗克辐射定律的数学表达式为：Bν(T)=2ℎν3c2⋅1eℎν/(kT)−1其中，Bν(T)表示频率为ν时的黑体辐射能量密度，T表示温度，c表示光速，k表示玻尔兹曼常数。
这个公式告诉我们，黑体辐射的能量密度与温度和频率有关。
随着温度的升高，能量密度增加，频率越高的辐射能量密度越大。
4.普朗克定律的应用普朗克定律在物理学和工程学的多个领域都得到了广泛应用。
4.1 量子力学在量子力学中，普朗克定律为量子化的能量提供了理论基础，并启发了波粒二象性的理解。
它为我们理解物质和能量之间的关系提供了一个重要的框架。
4.2 光子学普朗克定律的能量量子化假设为光子学的发展奠定了基础。
光子是能量量子的传播单位，普朗克定律描述了光子能量与频率之间的关系。
光子学的应用包括激光技术、光通信和光学传感器等。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。
它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。
普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。
最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。
它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。
普朗克公式的推导
结果：公式中包含了能量与频 率、波长的关系，与实验结果
相符
影响：为后续研究黑体辐射 奠定了基础
普朗克提出能量量 子化假设
能量子具有离散性，不能连 续变化
普朗克提出能量量子化假设
能量子的能量与频率成正比
能量子的存在解释了黑体辐 射实验的现象
时间：1900年 人物：普朗克 背景：为了解释黑体辐射实验结果 假设内容：能量是由离散的能量子组成，而不是连续变化的
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量子力学：普朗克公式是量子力学的基础，为研究微观粒子提供了重要 的理论支持。
黑体辐射：普朗克公式用于描述黑体辐射的能量分布，是理解热辐射和 能量传输的重要工具。
光电效应：普朗克公式解释了光电效应中光子能量与光电子动能之间的 关系，为光电器件的设计和应用提供了理论依据。
普朗克公式的推导汇报人：来自X目录普朗克公式的背景
普朗克提出能量量 子化假设
普朗克公式的推导 过程
普朗克公式的意义 与影响
普朗克公式的应用
普朗克公式的背景
背景：19世纪 末，物理学家 发现经典物理 学无法解释黑 体辐射的实验
结果
推导过程：普 朗克提出能量 量子化假设， 解决了黑体辐
射问题
意义：普朗克 公式成为量子 力学的基石之 一，对物理学 的发展产生了
普朗克公式的推导过程是量子力学发展的重要里程碑，为后续的量子理论奠定了基础
普朗克假设：能量只能以离散的形式发射或吸收，且其值为E=nhf，其中n为正整数。
推导过程：根据量子化条件和经典力学中的能量连续性，普朗克通过数学推导得到能量子公 式E=nhf，其中h为普朗克常数。
意义：常数h的引入，使得能量不再是连续变化的，而是量子化的，从而奠定了量子力学的 基础。
黑体辐射的普朗克公式推导
黑体辐射的普朗克公式推导普朗克公式描述了黑体辐射的能量分布。
为了推导普朗克公式，我们可以按照以下步骤进行。
首先，我们考虑一个处于热平衡状态的黑体辐射腔室。
由于电磁波是由光子组成的，我们可以将其视为一种粒子，具有能量E和频率ν的量子。
根据量子理论，光子的能量与其频率之间存在关系：E = hν，其中h是普朗克常数。
接下来，我们考虑在辐射腔室中的光子数目与能量之间的关系。
根据统计物理学中的玻尔兹曼分布定律，光子数目n与能量E之间满足以下关系：n(E) = (1 / (exp(E / (kT)) - 1)在这里，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。
该公式描述了光子在不同能量级上的分布情况。
为了得到黑体辐射的能量分布，我们需要计算每个能量级上光子的平均能量。
因此，我们可以使用平均能量公式：<E> = Σ(n * E) / Σn其中，Σ表示对所有能量级求和。
我们将这个表达式应用到光子数目公式中，得到：<E> = Σ((E / (exp(E / (kT)) - 1)) / Σ(1 / (exp(E / (kT)) - 1))接下来，我们将求和转化为积分，以便对能量连续变化的情况进行处理。
通过引入积分变量x = E / (kT)，我们可以将上述表达式重写为：<E> = ∫((x^3 / (exp(x) - 1)) / ∫(x^2 / (exp(x) - 1))这就是普朗克公式的推导过程。
最后，我们可以根据上述公式计算不同温度下黑体辐射的能量分布。
需要注意的是，上述推导过程涉及了一些复杂的数学运算和近似方法，包括积分转换、级数展开等。
因此，要完整地推导出普朗克公式需要更详细的数学推导。
黑体辐射普朗克公式推导
黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。
这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。
设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。
将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。
根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。
由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。
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1 / 11 / 11 / 1 普朗克公式的推导
普朗克在解释热辐射时提出了一个能量量子化的假设辐射中心是带电的谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量 hv ε=谐振子的能量是不连续的，是一个量子能量的整数倍 /n kt n e εε-∞根据经典理论，能量为的几率p
()/////0/2
323/E 1
E 111
8,81
n kt
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n ny ny n n kt n kt p ae p n a n e p a n e n e p e d x ne e x dy E e v dv dv c
v dv dv c e εεεεεεεεεεεε
ππερ-----∞∞--=--==∑•=∑∑=∑∑•=∑∑=∑=--=-=•-∑∑n=0
设则谐振子平均能量为
而且故=利用级数展开公式和可得空腔内单位体积内频率在v v+的振动数目为所以能量密度为v 将()33/811
n kt hv hv dv dv c e εεπρ-==•-代入可得
v 这就是普朗克黑体辐射公式
参考资料：
《量子力学导读》 浙江大学出版社 《热力学与统计物理》 科学出版社。