2014届河南省开封高级中学等中原名校高三高考仿真模拟统一考试理科数学试题(含答案解析)word版
河南省中原名校2014届高三上学期期中联考试卷 数学(理) 含答案
中原名校2013－2014学年上学期期中联考高三数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．－≤0}，则A∪B＝1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3｝，B＝｛x｜2xxA．｛x｜－1≤x＜2｝B．{x｜－1≤x≤2} C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1} 2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0,f（3）＞0,则方程的根落在区间A．（2，2．25) B．（2．25，2．5)C．（2．5，2．75）D．（2．75,3）3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件π）的4．函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（其中A＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2图象如图所示,为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f(x ）的图象 度单位 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长5．已知｛na ｝为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，nS 为｛na ｝的前n 项和，n ∈N ﹡，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1106．已知x ＞0，y ＞0，若222y x m m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2 7．已知向量a ＝（cos θ,sin θ)，向量b ＝（3,－1),则｜2a －b ｜的最大值与最小A ．42B ．6C ．4D ．168．已知函数f （x ）＝nx ＋11n n ax --＋22n n a x --＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N﹡）设0x 是函数f(x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是A ．0()0f x '≠ B ．0()f x '＝0 C ．0()f x '＞0 D ．0()f x '＜09．给出下列四个命题:①命题p:x∀∈R，sinx≤1,则p⌝：x∃∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4|＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋1ln x≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．310．已知F是双曲线2221xa b 2y－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为A．(1，＋∞）B．（1，2）C．(1,1＋2）D．(2，1＋2）11．已知na＝1()3n，把数列｛n a}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A(10，12）＝A．931()3B．921()3C．941()3D．1121()312．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0),对于某个正实数k,存在函数f(x）＝a2x(a＞0）．使得OP＝λ·（OAOA ＋OQOQ）(λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P （1，f （1））,Q （k,f （k ）），则k 的取值范围为A ．（2，＋∞)B ．（3，＋∞）C ．［4，＋∞）D ．［8,＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．81()2x x＋的展开式中常数项为___________________．14．设z ＝2x ＋y,其中x,y 满足000x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y ≤≤≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为_________．15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2x 与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为__________．16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝｜AD ｜＝2,｜CB －CD ｜＝23,且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形,则CB ·BA 的值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省开封高级中学等中原名校高三数学上学期第一次摸底考试试题 理(含解析)新人教A版
中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题第I 卷选择题（共60分）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，呈现了“注重学生对基本概念的理解”，“注重探索类问题”、“稳中求变、稳中求新”的几个特点，同时依旧“不追求题目的计算量”、“不强调死记硬背的结论”。
试题体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，应当说是一份很优秀的试题.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 【题文】1.己知集合\{}{}=|1,,|2A y y x x R B x x =-∈=≥，则下列结论正确的是A.3A -∈B.3B C. A B B ⋃= D. A B B ⋂=【知识点】集合.A1【答案解析】D 解析：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1； ∴A={y|y≥﹣1}，又B={x |x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B【思路点拨】先求出集合A ，从而找出正确选项.【题文】2.己知2(,)a ib i a b R i +=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b=A.-1B. 1C. 2 D ．3【知识点】复数代数形式的混合运算.L4 【答案解析】B 解析：解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1． 故选B ．【思路点拨】先化简复数，再利用复数相等，解出a 、b ，可得结果.【题文】3.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为A.73B.35C.53 D ．75【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.I3【答案解析】A 解析：解：∵随机变量ξ服从正态分布N （3，4）， ∵P （ξ＜2a ﹣3）=P （ξ＞a+2），∴2a ﹣3与a+2关于x=3对称， ∴2a ﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A【思路点拨】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a 的方程，解方程即可. 【题文】4某程序框图如右图所示，则输出的n 值是A. 21 B 22 C ．23 D ．24 【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：解：执行程序框图，有 p=1，n=2第一次执行循环体，n=5，p=11p ＞40不成立，第2次执行循环体，n=11，p=33 p ＞40不成立，第3次执行循环体，n=23，p=79 p ＞40成立，退出循环，输出n 的值为23． 故选：C ．【思路点拨】行程序框图，写出每次循环n ，p 的值，当p ＞40时退出循环，输出n 的值为23.【题文】5己知函数()ln 4xf x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是A.(0,1) B (1,2) C.(2,3) D(3,4) 【知识点】函数零点的判定定理.B9【答案解析】B 解析：解：∵f （1）=ln1﹣=﹣＜0，f （2）=ln2﹣=ln ＞0，∴f （1）f （2）＜0， 故选：B ．【思路点拨】将x=1，x=2代入函数的表达式，从而得出f （1）f （2）＜0，进而求出零点所在的区间.【题文】6.如图，在边长为e （e 为自然对数的 底数）的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为A.1eB.2eC.22eD.21e【知识点】几何概型.K3【答案解析】C 解析：解：由题意，y=lnx 与y=ex 关于y=x 对称， ∴阴影部分的面积为2（e ﹣ex ）dx=2（ex ﹣ex ）=2，∵边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故选：C ．【思路点拨】用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【题文】7.若4cos5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan21tan2θθ-+=A.12 B.12-C.35 D．-2【知识点】三角函数的化简求值.C7【答案解析】D解析：解：由，α是第三象限的角，∴可得.，∴故选：D．【思路点拨】将表达式式中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．.【题文】8.已知a>0，x，y满足约束条件13(3)xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z=2x+y的最小值为1，a= A.14 B.12 C. 1 D. 2【知识点】简单线性规划.E5【答案解析】B解析：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选B．【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可.【题文】9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时为 递增数列，则实数λ的取值范围为A. (-15,+∞) B[-15,+∞) C.[-16,+∞) D. (-16,+∞)【知识点】等差数列与等比数列.D2,D3【答案解析】B 解析：解：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n ，由二次函数的性质可知≤7即可满足数列{Sn}为递增数列， 解不等式可得λ≥﹣15 故选：B【思路点拨】利用函数的单调性，列不等式即可求解. 【题文】10若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则5501234552a a a a a a +++++-等于A ． 55B ．-l C.52 D ．52-【知识点】二项式定理.J3【答案解析】A 解析：解：由于（2﹣3x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x ）5的展开式的各项系数和， 令x=1，可得（2+3x ）5的展开式的各项系数和为55， 故选：A ．【思路点拨】由题意可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|即（2+3x ）5的展开式的各项系数和，令x=1，可得（2+3x ）5的展开式的各项系数和.【题文】11．”a<0”是”函数()(2)f x x x a=-在区间(0,)+∞上单调递增”的A.必要不充分条件B.充要条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2【答案解析】D 解析：解：，若a＜0，则f（x）=（x﹣a）2﹣a2在区间（0，+∞）上单调递增；反之不一定成立，例如a=0．∴a＜0”是”函数f（x）=|x（x﹣2a）|在区间（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选：D．【思路点拨】a＜0，则f（x）=（x﹣a）2﹣a2在区间（0，+∞）上单调递增；反之不一定成立，例如a=0．.【题文】12已知一函数满足x>0时，有2()'()2g xg x xx=>，则下列结论一定成立的是A．(2)(1)32gg-≤B．(2)(1)32gg->C.(2)(1)42gg-<D．(2)(1)42gg-≥【知识点】导数的运算.B11【答案解析】B解析：解：∵x＞0时，有g′（x）=2x2＞，∴g（x）=x3，∴g（2）=，g（1）=，∴，故选B．【思路点拨】. 利用g′（x）=2x2＞，可得g（x）=x3+c，c必须为0，不然的话当x趋于0的时候无穷大，得到g（x）的解析式求值．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
数学理卷2014届河南开封高级中学等中原名校高三高考仿真模拟统一考试20105扫描版
扎{(-JJXdJ)}B.C.[山 I] k z(3 + 40 = ^tl^f 则|D, ⑴[0- A /2]12 ~5c A12B.D.□ y 5un=n/2]缶血4年改月灯日下午囚中原名校2014年烏番仿冀模拟统一考试（理科）数学试题hiifi 躺粛：硒城一离補：可高申石家庄一中（曲试时问：】20 4呻 试卷满介："0分）.本试"和善（选评皿和和—非选释题】两部分・垮生柞尊幽持咨案》’ 題卡上,李车璘孝占箏與歩％ 注意事项：1. 荐题前.考生务必先将自己的蝕名・准考证号填写在答题卡上-,il2. 选择題荐秦便用2B 铅药填涂*如需改动・用操皮擦F 净后，再选徐Jt ■他答案的杯:’非选祁题答案便用0心毫米的黑色中性（签字）笔或戰素笔甘写，字体工轅+笔迹消楚° 3. 请按廡題号在荐趣的答题区域（黑色线椎）内柞答，趙出答题区域书写的符案无效° 4. 保持答题卡面清洁・不折叠，不就捌*第I 卷选择题（共60分）r 选择騷 本丈题共12小题，每小題予分・共60分。
在毎小题给岀的四个选项中，只有一 项是捋合题目要求前*L 已知集合 M = {yeR\y^x 2}f N = {x R\x 2 + y 2 ^2},则 AfpV=3.如图，在程序框图中输入x 14,按程序运行后输出的結果是 A. 0氏2C. 3D. 44・一只蚂蚁从正方枷CDW 阳的顶点A 处出黴经正方体的踰按盪短路线爬行 到达顶点q 位置，则卜列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 -尸0 /输入? n=(n~「〔结東］荼高三理舷学试题第1和典D,A T -1 S *设变耀石p 満足约朿条件x-^-2^0.御日标 Mz = 2x + 3y+ 1的嚴大垃为x>0A- UB. 109*设込占为单位向一出若tri#足仏-佃十助同盘一引*则［21的垠大值为A - 2血0. 2c. <5仮已知函数/⑴昭苗敷为广⑴，满足叭亦2他)=匹’且/何=丄・则/⑴ 的单调性情况为 “2eA.先增后减氐单调递増 U 嗔调递减 D.先减后増□.已^'^.f(x) = 2x- +bx + c(b,cER)的值域为［0,-HE ),若关丁乜的不等式/(x) < mC. 9D. 13D. 11A. 25B, -25C. 50D ・-5012,过原点的直线交咫曲线=4^2于P.二面角F 则折岛玛长攬的最小價等于A. 2^2Q 荊点・现将坐标平面沿克线$ =折成廉6已知取曲线匚-岭小"0』“)的一条渐近域方程是y = y/3x,它的一个粗点在哋 a' b物线戸“毗的推軽匕则瑕曲找的方程为A. ^Z = 1氏兰上“ °兰上" D 屈上“ 36 108927108 3627 9X 设随机变量百服从正态分布"3护)QaO) ^p(^<O) + p(f<l) = I r 则“的值为C. -1D. 12 2x+y-4<0的解集为(%科+ 1叭 则实数册的值为左事垄敬列衍J 的帕项轴为比+満足S 3i = S Wi = (l T aJ t S = (2014,a MM ).则2巧的 垃为A - 2014B. -2014 Cl D O口4 _A视'D.(S)@”三理曲学试琲需2丽(加页*第II眷业选择题严篇盘填緒题卡相应位置二、填空陋本丈麵共4小軀.割耐处妇吧J陈和U.（宀—羽的展幵式中丘的期熄一用数“ 14.己知盘它乩sin盘+ 3<：05疗=少，则怕口J疔二—__U,已知仙Q的二个顶点在以0为球心的球而上* "3畀^O-ABC的体积为羊，则球°的刖】枳为———呑 1 -16.已知数列｛斗｝的前沖项和为和満足尹近仙""项和"盼三、解幺题：（本大题共石小範共70分-解答应写出文字说明，证阴过程或演算步骤门17.（本小聰满分□分）_____________ilTiABC 中.已知2 摂才f=9* sinB - sifiC cos A, Z AABC 的由i 积为氐⑴^.AABC的三边長；（2）若D为BC边上的一点，且CD=1・求tan ZBAD.匾体小题满分12分）在乒乓球比赛中，甲与乙以“五局三胜”制进行比赛.根据以往比赛情况’甲在每一局胜3乙的概率均为已剜比赛中，乙先贏了第…局，求：<1>甲在这种情况下取胜的槪率；〔2）询比麝周数为儿求％的分布列及数学期望1均用分数作答）”19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边闿ABC D是導腰梯形,AB//CD，ZDAB=60叫FC丄平面ABCD, AEXBD, CB=CD=CF.⑴求证*平面ABCD丄平面AED；⑵直线AF与面BDF所成角的余弦值.却一（本小题满分辽分）已知椭圆^- + — -1 （a>b>0）的离柱率%~f KU 点（2,72）.（1'、求稱闖的标准方程：（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AG BD 过原点0,若% %仝._ a（i ）求刃刀的按值；：ij）求证；四边形ABCD的面积为定值.爭离三理科柚学试軀第3頁（共4页『常黑在第仝空举三题中任选一的貞如果參險则按所昨第一题记分做答时 用2B 铝笔在菩鯉卡上把所选曲目的题号涂弔22.⑴；Lx ⑴八⑴心他艸冷g 刖几町訴乜 ；?；f h 艸E 的劭E 札如皿"：门小）+ 2加作点引衍 g 弘吶等差数蜕叫）是 设＜7"）*（计—和列+ "阿］辛川J冷（刃的导歯數’求证t 匚认）" 劇满分10分）选4-1;几何证明选讲边形AB 「口址边反为“的疋方形，以D 豐3 需 呼径前圆弧与以BC 为理轻的半阅O 交于点° F.连接CF 井世 交AB 于点E.1） 求证；E 是AE 的屮点；2） 求线段BF 的长+卫.（本小题満分W 分｝选修 —b 塑标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线G psia 2& = 2acos&（a ＞0）,过点P （—2, 一4）的直线/的参数方程为:h 为参数几直线f 与曲线C 相交于M ，N 两点.（!）写出曲线C 的直角坐标方程和直线f 的普逋方稈， ⑵若IPMI. I MN I , IPN 丨成等比数列，求已的值.24.（本小题满分！0分）选修4—5：不等式选讲已知函数 /（r ）=|2x+l| + |2x + a| +⑴ x 亠3时,或不等式f （x ）＜6的解集； （2）若关于求的不等^f （x ）＞a 恒成立，求实数丑的取值范鬧.诱高三理科数学试題第4页（共A 页）楽mj EU. rtf中原名校2014年高考仿真模拟统一考试15. 16 二 16.11 312014.5.18兀17、解：(1)设三边分别为 a,b, c ,由 sinB = sinCcosA 可得 cosC = 0= C =— 2ABA C = | 晶 | Amicos A=9js=1两式相除可得tan A 二上3a = 4k,b =3k(k . 0),2 )” 9tan BAD =— 小 1 贝V Sab =6 = 2k = 1”三边长分别为3,12分18 .解：甲取胜的概率为3 3P(A)=(；)323 2 C 32(-)22 3297 2 2(2) P(X=3)=()5兰，P(X =4)3 2525 5625 2 3 23 32 J ,3、2 2 354 *— -J -5C 3 () 55512551 12553412512分19【解析】(I ［因为四边形ABCD 是等腰梯^^AB/ZCD,数学试题(理科)参考答案一、 选择题：DBCCA ADDAC CB4二、 填空题:13. -78414.3三、 解答题：-X 的分布列为:ZD4/?=60\所以£冲皿?二 Z/fC7J = l20D .又 CB =CD,所以乙 CDB =,因此 AADB = 90口亠 BD,乂 AEJ_BD,1L AEC\AD ^A.AE.AD 匚平面所以甘0丄」平面AED.所以：平面 ABCD丄平面 AED;(11)连搂心1( I )知也丄肋;所以葩丄RC又丄平面ABCD, W此曲工艮防两两垂直，以C为燮标原点，分别以CA f CB.CF所在的直线为龙轴汀轴皿轴，建立如圏所示的空间宜角坐标系，不妨设C月-1,则A （、3,0,0）,B （0,1,0）D ,中) JW *=0,所以兀二再/二疗蛊，取云零1,则酬=(75\1,1).5.2、、5 贝V cos ：：： AF , m，所以 COST5520•解：(1)由题意=^1,+ JL =1,又 a 2=b 2+c 2,a 2 ' ab '解得 a 2 =8, b 2 =4,2 2故椭圆的标准方程为 1+£=1 ............12分丄y 二 kx m222联立 22 ，得(1 2k )x 4kmx 2m -8 二 0,f*X 1 X 2—J ■12m12mx 1x 2 -1 21 22 2Wy =(kx m)(kx m)二 k x x km(x x ) m222m -8-4km2二 k2km --------- 2 mm 2_8k 21 2k 22 , 2 2m -4 m -8k1 2k 2(1 2k 2.-(m 2-4)二 m 2_8k 2, • 4k 22 二 m 2.2m 2 _I 1 k2OB ：： 2.1_2=2_4^OAOB当k = 0 （此时m 2=2满足①式）』直线又直线AB 的斜率不存在时， OA OB =2 ,)_28 m 2_ 21 +2k 2k 2AB 平行于g 轴时，OA OB 的最小值为一2. 二OAOB 的最大值为2.(ii)设原点到直线 AB 的距离为d ，贝US AOBI AB I d1 k\ x 2 - x1 |----- 2(x 1 x 2)2 - 4x 1x 222“1+k 22=也］1 广型)2.■- = (4km)2- 4(1 2k 2)(2 m 2-8) =8(8k 2- m 24) 0,①=2 4k 2-m 24 = 2/2,12分2 ■ 1 2k 1 2k 2二S 四边形ABCD = 4S AAOB = 8\/2，即四边形ABCD 的面积为定值16(m 2-4)&分1+—L12*（3分）亂解江"由F ⑴巳⑴/⑴叫::二氛解得⑴眄】*土十石•圉/（云与g"》有一牛袋共点（丄J ）,而函数氛工）=护在点.⑴D 的切级方程了弓？工一1*都庞立即可.设™Jn x+x^{2i —l'） t 即^{j} = ln 工一工十]鼻气工）之丄~]^匕壬工x显知其在3*1〉上蛊増•崔口・+«0上證减* 所H 旅刃柱x^l 时取軒叢:fc 值■施L ）=0, 所以血工十工£2工一1悄.曲立t由〜一2H +1AD*得 ＜孑旅7.知氛血一 1恒腔宜， 核存在这样的 k 和 r*i*且 k = Z ＞m™ — 1. ............... ,xh+4r.,,,,+ … ................................... ......... .............. .............{ II 】因均 G （j ）=g （j ：） + 2 —y （r ）=i I -j-2—aln 工一虹有两亍零点工〕f ^t t t-Ej + 2sa aln xj — ftjr 2=»0・两武相减碍-Xj 'jc? ~a （]n j ：s — In 工】"贰召—jj ） = O. 即T 仙+帀）f 一弘肝— bHJJi —Ji又 Xi +xt = 2i fl ,工i+业① 当Q SS 时冷空"=氐则t ＞l r且如F 丄_[心嗨P]矶;—工11 + E设 ^1（0 = 107 Cz ^T _（I+^-dFH?＞Ot则 2 柱m+如上为堆函«t.裔川口"。
河南省开封高级中学等中原名校2014届高三数学上学期第一次摸底考试试题 理 新人教A版
中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试理科数学试题（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设A ＝{1，4，2x}，若B ＝{1，2x }，若B ⊆A ，则x ＝ （ ） A ．0 B ．－2 C ．0或－2 D ．0或±22．已知m ，n ∈R ，mi －1＝n ＋i ，则复数m ＋ni 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若数列{n a }通项为n a ＝an ，则“数列{n a }为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥0 B ．a ＞1 C ． a ＞0 D ．a ＜0 4．若直线y ＝kx 与圆22x y ＋－4x ＋3＝0的两个交点关于直线x ＋y ＋b ＝0对称，则 （ ） A ．k ＝1，b ＝－2 B ．k ＝1，b ＝2 C ．k ＝－1，b ＝2 D ．k ＝－1，b ＝－2 5．执行右边的程序框图，若t ∈[－1，2]，则s ∈（ ） A ．（－1，2） B ．[－1，2） C ．[－1，2] D ．（－l ，2]6．正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥 P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π 7．已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且a 1,12a 3，2a 2成等差数列，则91098a a a a ＋＋＝（ ）A ．12B ．12C ．2D 2－1 8．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin （wx ＋ϕ）（ω＞0）图像与x 轴的交点，点P 在M ，N之间的图像上运动，当△MPN 面积最大时PM ·PN ＝0，则ω＝ （ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．8 9．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中的最大的面积是 （ ）A ．3B ．25C ．6D ．810．在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为 （ ） A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π11．等轴双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0,b ＞0）的右焦点为F （c ，0），方程20ax x c ＋b －＝的实根分别为1x 和2x ，则三边长分别为｜1x ｜，｜2x ｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x '＞f （x ），则 （ ）A ．f （2）＜2e f （0）B ．f （2）≤2e f （0） C ．f （2）＝2e f （0） D ．f （2）＞2e f （0）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河南省中原名校2014年高三下第二次联考数学(理)试题
河南省中原名校2014年高三下第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<<，则集合M N 等于（ ）A. {|x b x <<B. {|}x b x a <<C. {|}2a b x x +<<D. {|}2a bx x a +<< 2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ） A. 2i B. 2i - C. 12i D. 12i -3.下列命题正确的个数是（ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题；②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”；④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np =⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程. A.1 B.2 C.3 D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤ 5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（ ） A. (3)(1)(2)f f f << B. (2)(1)(3)f f f << C. (2)(3)(1)f f f << D. (3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ） A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠ 的平分线交BC 于D ，AB=4, 1()4AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为（ ）A. B. C. D.10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（ ） A. 2[0,)3 B. 4[0,)9 C. 12(,)33 D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠= 若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种. 1 2 3 4 4 3 1 2 21433 4 2 1A.432B.576C.720D.864第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x x y ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答）15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a 恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值. 18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望.ξE .19.如图，在直角梯形ABCP 中，221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C 上一点A 作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q 两点. （Ⅰ）若直线PQ 过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g 22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线与曲线C '相切，求实数a 的值.24.设函数.|,2||1|)(R a a x x x f ∈-+-=(Ⅰ)当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.中原名校2013－2014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题：13.0 14.16816.()3,+∞ 17.解：(Ⅰ)22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎭111112cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎭. ∴函数)(x f 的最大值为34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈. 故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………(6分)(Ⅱ)由题意111()sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ,132(,)666A πππ∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A 在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π.由3b c +=,知2924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,即294a ≥. ∴当32b c ==时,a 取最小值32.…………………………..……………………(12分)18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………(6分) (Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分) 19. (Ⅰ)证明：F 是PD 的中点时,EF //CD //AB ,EG //PB ,∴AB //平面EFG , PB //平面EFG ,AB PB B = ,∴平面PAB //平面EFG ,AP ⊆平面PAB , ∴AP //平面EFG .……………………………………………………..………(6分)(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有(1,2,0)G ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,设(0,0,)F a , (1,2,)GF a =-- ,(1,1,1)GE =-- ,平面EFG 的法向量1(,,1)n x y =,则有2010x y a x y --+=⎧⎨--+=⎩,解得21x a y a =-⎧⎨=-⎩. 1(2,n a a ∴=-- 平面EFD 的法向量2(1,0,0)n =,依题意,12cos ,n n ==, 1a ∴=.于是(1,2,1)GF =--. 平面PBC 的法向量3(,,1)n m n =,(0,2,2)PC =- ,(2,0,0)BC =-,则有22020n m -=⎧⎨-=⎩,解得01m n =⎧⎨=⎩. 3(0,1,1)n ∴= . FG 与平面PBC 所成角为θ,则有3sin cos ,GF n θ=== ,故有cos θ=分) 20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,依题意,22p =,则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分) 设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由22x my n y x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>, 122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221212,22y y x x ==,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=, ∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++. 又直线PQ过定点(3,T ,即3n =+,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+-=注意到上式对任意m 都成立,故有a =,从而A点坐标为(.…………………………………………(8分)(Ⅱ)假设存在以PQ 为底边的等腰直角三角形APQ ,由第（Ⅰ）问可知,将n用3n =+代换得直线PQ 的方程为3x my =++.设11(,),P x y 22(,)Q x y ,由232x my y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩消x ,得2260y my ---=.∴ 122y y m +=,126y y ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∵2222121212()2344y y y y y y m ++-==++,∴PQ的中点坐标为2(3,)m m ++.m =-,即3230m m ++-=.设32()3g m m m =++-则2()330g m m '=++>,()g m ∴在R 上是增函数.又(0)0g =<,(1)40g =>,()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)21.解：(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-. ∴432ab -=-,且ln 2462ln 22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. ……...…………(4分) (Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e 时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.………………………………………..………(8分)(Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立, 则有2111222212002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0xx x k x x x ----=.∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1xx x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+, 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0. ∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴()00g x '≠.……………………………………………………………..………(12分) 22. (Ⅰ)证明：设CF 与AE 交于点G ,连接DG .EF AD FD DB = ,ED ABFD DB ∴=,又△CDE ∽△DBE , CD DB DE BE ∴=.于是有CD ABFD BE=,注意到 C ABDEF GCDF ABE ∠=∠,∴△CDF ∽△ABE ,∴DCG DAG ∠=∠,∴A D G C 、、、四点共圆.从而有90AGC ADC ∠=∠=︒, ∴CF AE ⊥.………………………………………………………………………(5分) (Ⅱ)在Rt △CEF 中, ECF AED ∴∠=∠,5BC =,125DE =,45EF ∴=,由2CD CE CB =⋅,知95CE =, 4tan 9ECF ∴∠=.又4tan 3DCB ∠=,442439tan 1643127DCF -∴∠==+. 故24tan 43BAE ∠=.………………………………………………………………(10分) 23.解：(Ⅰ)曲线C ：222x y a +=,直线：2y =+.…….. ….…………(5分)(Ⅱ)曲线C '：2224x y a +=,与直线联立得222442x y a y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,消去y ,得22131640x a ++-=,由△0=知,2413a =,a ∴=. ……….…(10分) 24. 解：(Ⅰ)()|1||24|f x x x =-+-35,13,1235,2x x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩, ()5f x ∴≥的解集是10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.…………………... …….…………(5分)(Ⅱ)1x =时,()|2|,f x a =-2a x =时,()12af x =-,结合()f x 的图像知, 24142a a-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得10a ≥或6a ≤-, 故a 的取值范围是{}|106a a a ≥≤-或.…………………..……………..……(10分)。
2014年河南省开封高考押题卷理科数学
开封高中2014届高考理科数学押题卷命题人：张文伟 审题人：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）（1）集合{|2}x A y R y =∈=,{1,0,1}B =-,则下列结论正确的是 （ ） A ．{0,1}A B = B ．(0,)A B =+∞ C ．()(,0)R C A B =-∞ D ．(){1,0}R C A B =-（2）已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2（3）若复数z 满足|z |2＋2|z |－15＝0，则z 在复平面内对应点的轨迹图形的面积等于( )A ．9πB ．3πC ．25πD ．5π（4）已知,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的（A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） （5）已知函数)20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示,则点),(ϕωP 的坐标是A ． )2,2(π B ．4,2(π C ． 2,4(π D ．)4,4(π（6）如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A ．96B ．120C ．144D ．300(7) 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立（8）设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c三数( )A ．至少有一个不小于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于2(9) 在区间]1,0[上随机取一个数x ，则事件“212cos ≥xπ”发生的概率为（ ） A ．61 B.21 C.31D.32(10) 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若关于x 的不等式f (x －1)≥0的解集为[0,1]，则关于x 的不等式f (x ＋1)≤0的解集为( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[－2，－1]D ．(－∞，－2]∪[－1，＋∞) （11）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设m l ,是不同的直线，α是一个平面，若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m ；（3）已知βα,表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的充要条件；（4）b a ,是两条异面直线，P 为空间一点, 过P 总可以作一个平面与b a ,之一垂直，与另一个平行。
数学理卷·2014届河南省开封高级中学等中原名校高三高考仿真模拟统一考试(2014.05)扫描版
中原名校2014年高考仿真模拟统一考试数学试题（理科）参考答案 2014.5.18一、选择题: DBCCA ADDAC CB 二、填空题:13. 784- 14. 43- 15. 16p 16. 100711134æö-ç÷èø三、解答题：17、解：（1）设三边分别为,,a b c ,由cos sinB sinC A =可得cos 02C C p =Þ=又cos 9162AB AC AB AC A S AB AC inA ì×ïí=ïîuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ＝｜｜｜｜＝＝｜｜｜｜s 两式相除可得4tan 3a A b == 令4,3(0)a k b k k ==>, 则1612S ab k ==Þ=,\三边长分别为3，4，5，………8分（2）有两角差的正切公式可得tan BAD Ð=913………………12分 18．解:甲取胜的概率为32233323()((5555P A C =+××＝297625………………4分 （2）224(3)()525P X ===,132232351(4)()5555125P X C ==××+= 12223323232354(5)()()555555125P X C C ==××+××= X \的分布列为：534125EX \=………………12分所以：平面ABCD ⊥平面AED ； ………………5分1(0,1,0),,0)22A B D-(AF=uuuuu r则cos,5AF m<>=-uuu r u r,所以cos5q=………………12分20．解：（1）由题意2242,1,2cea a b==+=又222,a b c=+解得228,4a b==，故椭圆的标准方程为221.84x y+=………………4分（2）设直线AB的方程为1122,(,),(,),y kx m A x y B x y=+联立2228y kx mx y=+ìí+=î，得222(12)4280,k x kmx m+++-=22222(4)4(12)(28)8(84)0,km k m k mD=-+-=-+>①1222122412.2812kmx xkmx xk-ì+=ïï+í-ï=ï+î2122122212122211,,2211284.221212AC BDy ybk ka x xm my y x xk k×=-=-\=---\=-=-×=-++Q2222222 121212122222848 ()()(),121212m km m k y y kx m kx m k x x km x x m k km mk k k---=++=+++=++=+++ 222222222248,(4)8,42.1212m m km m k k mk k--\-=\--=-\+=++………………8分（ⅰ）222212122222284442412121212m m m kOA OB x x y yk k k k---+-×=+=-==++++uuu r uuu rQ242,12k=-+ 224 2.OA OB\-=-£×<uuu r uuu r当0k=（此时22m=满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA OB×uuu r uuu r的最小值为－2.又直线AB的斜率不存在时，2OA OB×=uuu r uuu r，∴OA OB×uuu r uuu r的最大值为2.（ⅱ）设原点到直线AB的距离为d，则211||||2AOBS AB d x xD=×=-=====∴S四边形ABCD = 4SΔAOB= ABCD的面积为定值. ………………12分1,2EBC OCD EB OC AB \D @D \==E \是AB 的中点。
数学理卷·2014届河南省开封高级中学等中原名校高三下学期第二次联考(2014.03)word版
中原名校2013-2014学年高三下期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（ ）A. {|x b x <B. {|}x b x a <<C. {}2a b x x +<D. {|}2a bx x a +<< 2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ）A. 2iB. 2i -C. 12iD. 12i -3.下列命题正确的个数是（ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np = ⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程. A.1 B.2 C.3 D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤ 5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（ ）A. (3)(1)(2)f f f <<B. (2)(1)(3)f f f <<C. (2)(3)(1)f f f <<D. (3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ） A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠ 的平分线交BC 于D ，AB=4, 1()4AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为（ ）A. 1B.C. 3D.10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠= 若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种.A.432B.576C.720D.864第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x xy ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答） 15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a 恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 2 3 4 43 1 2 2 14 3 342117.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值.18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望.ξE .19.如图，在直角梯形ABCP 中， 221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C 上一点A 作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q 两点. （Ⅰ）若直线PQ 过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g 22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线l 与曲线C '相切，求实数a 的值. 24.设函数.|,2||1|)(R a a x x x f ∈-+-=(Ⅰ)当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.中原名校2013－2014学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题：13.0 14.168 16.()3,+∞17.解：(Ⅰ)22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎝⎭111112cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数)(x f 的最大值为34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………(6分)(Ⅱ)由题意111()sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ,132(,)666A πππ∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由3b c +=,知2924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,即294a ≥. ∴当32b c ==时,a 取最小值32.…………………………..……………………(12分)18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………(6分) (Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分)19. (Ⅰ)证明：F 是PD 的中点时,EF //CD //AB ,EG //PB ,∴AB //平面EFG , PB //平面EFG ,AB PB B = ,∴平面PAB //平面EFG ,AP ⊆平面PAB , ∴AP //平面EFG .……………………………………………………..………(6分)(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有(1,2,0)G ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,设(0,0,)F a ,(1,2,)GF a =-- ,(1,1,1)GE =-- ,平面EFG 的法向量1(,,1)n x y =,则有2010x y a x y --+=⎧⎨--+=⎩,解得21x a y a =-⎧⎨=-⎩. 1(2,1n a a ∴=-- 平面EFD 的法向量2(1,0,0)n =,依题意,12cos ,2n n == ,1a ∴=.于是(1,2,1)GF =--. 平面PBC 的法向量3(,,1)n m n =,(0,2,2)PC =- , (2,0,0)BC =-,则有 22020n m -=⎧⎨-=⎩,解得01m n =⎧⎨=⎩. 3(0,1,1)n ∴= . FG 与平面PBC 所成角为θ,则有3sin cos ,GF n θ===, 故有cos 6θ=.………………………………………………………………(12分) 20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,依题意,22p =,则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分) 设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y . 由22x my ny x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>,122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 221212,22y y x x == ,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=,∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++.又直线PQ 过定点(3,T ,即3n =,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+=注意到上式对任意m 都成立,故有a =从而A 点坐标为(.…………………………………………(8分)(Ⅱ)假设存在以PQ 为底边的等腰直角三角形APQ ,由第（Ⅰ）问可知,将n 用3n =+代换得直线PQ 的方程为3x my =++.设11(,),P x y 22(,)Q x y ,由232x my y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩消x ,得2260y my ---=.∴ 122y y m +=,126y y ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∵2222121212()2344y y y y y y m ++-==++,∴PQ的中点坐标为2(3,)m m +.m =-,即3230m m +=.设32()3g m m m =+则2()330g m m '=++>,()g m ∴在R 上是增函数.又(0)0g =<,(1)40g =>,()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)21.解：(Ⅰ)()2a f x bx x '=-,()242af b '=-,()2ln 24f a b =-.∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. ……...…………(4分) (Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.………………………………………..………(8分)(Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立, 则有2111222212002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0xx x k x x x ----=.∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1xx x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+,即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0.∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴()00g x '≠.……………………………………………………………..………(12分) 22. (Ⅰ)证明：设CF 与AE 交于点G ,连接DG .EF AD FD DB =,ED ABFD DB ∴=,又△CDE ∽△DBE , CD DB DE BE ∴=.于是有CD ABFD BE =,注意到 CDF ABE ∠=∠,∴△CDF ∽△ABE ,∴DCG DAG ∠=∠,∴A D G C 、、、四点共圆.从而有90AGC ADC ∠=∠=︒, ∴CF AE ⊥.………………………………………………………………………(5分) (Ⅱ)在Rt △CEF 中, ECF AED ∴∠=∠,5BC =,125DE =,45EF ∴=,由2CD CE CB =⋅,知95CE =, 4tan 9ECF ∴∠=.又4tan 3DCB ∠=,442439tan 1643127DCF -∴∠==+. 故24tan 43BAE ∠=.………………………………………………………………(10分) 23.解：(Ⅰ)曲线C ：222x y a +=,直线l：2y =+.…….. ….…………(5分)(Ⅱ)曲线C '：2224x y a +=,与直线l联立得222442x y a y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,消去y ,得22131640x a ++-=,由△0=知,2413a =,a ∴=. ……….…(10分) 24. 解：(Ⅰ)()|1||24|f x x x =-+-35,13,1235,2x x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩,()5f x ∴≥的解集是10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.…………………... …….…………(5分)(Ⅱ)1x =时,()|2|,f x a =-2a x =时,()12af x =-,结合()f x 的图像知, 24142a a-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得10a ≥或6a ≤-, CABDEF Ga故a 的取值范围是{}|106a a a ≥≤-或.…………………..……………..……(10分)。
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中原名校2014年高考仿真模拟统一考试（理科）数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）本试卷分第1卷（选择题）和第．II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用0，5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4保持答题卡面清洁，不折叠，不破损。
第I 卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合 {}{}222||2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，则 M N =A {}(1,1),(1,1)- B.{1}C ．[0，1] D. ⎡⎣2. 512z (34)ii i+=+=，则z = A ． 125 B ．135C ． 512 D. 5133如图，在程序框图中输入n-14，按程序运行后输出的结果是 A ．0 B ． 2 C ． 3 D ．44．一只蚂蚁从正方体 1111ABCD A B C D -,的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是5．等差数列 {}n a 的前项n 和为 n S ，满足 3539922014,(1,),(2014,a )n S S a a b ===，则a b ⋅的值为A. 2014B. -2014C. 1D. 06．已知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线 248y x =的准线上，则双曲线线的方程为A. 22136108x y -= B ． 221927x y -= C ． 22110836x y -= D ．221279x y -=7．设随机变量 ξ服从正态分布 2(,),(0)N μδδ>若 (0)(1)1p p ξξ<+<=，则 μ的值为A. -1B. lC. 12-D.128设变量x ，y 满足约束条件 40200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z= 2x+3y+l 的最大值为A. 11B. 10C. 9 .D. 13 9设 ,a b 为单位向量，若 c 满足 ()c a b a b -+=-，则c 的最大值为 A. B. 2C.D. 110．已知函数 ()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x xf x f x x +=，且1()2f e e=，则()f x 的单调性情况为A ．先增后减B 单调递增C ．单调递减D 先减后增11已知函数 2()2(,)f x x bx c b c R =++∈的值域为 [)0,+∞，若关于x 的不等式()f x m <的解集为 (,10)n n +，则实数m 的值为A. 25B. -25C. 50D. -5012．过原点的直线交双曲线 22x y +=P ，Q 两点，现将坐标平面沿直线y= -x 折成直二面角，则折后PQ 长度的最小值等于A. B. 4 C. D.第II 卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案填在答题卡相应位置。
13. 27(2)x x +-的展开式中 3x 的系数是_________（用数字作答）14．己知 ,sin 3cos a R a a ∈+=，则tan 2a=_________．15．已知 ∆ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且 cos A =,BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC 的体积为O 的表面积为__________。
16已知数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，满足 1(1)2n n n nS a =-+， {}n S 的前n 项和为 n T ，则2014T =_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
勰答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，己知 9AB AC ⋅=，sinB= sinCcos A ，又△ABC 的面积为6(1)求△ABC 的三边长；(2)若D 为BC 边上的一点，且CD=1，求 tan BAD ∠． 18．（本小题满分12分）在乒乓球比赛中，甲与乙以“五局三胜”制进行比赛，根据以往比赛情况，甲在每一局胜乙的概率均为35。
已知比赛中，乙先赢了第一局，求： ， (1)甲在这种情况下取胜的概率；(2)设比赛局数为X ，求X 的分布列及数学期望（均用分数作答）。
19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD//CD ， 60DAB ∠= FC ⊥平面ABCD, AE ⊥BD,CB =CD=-CF.(1)求证：平面ABCD ⊥平面AED; (2)直线AF 与面BDF 所成角的余弦值20．（本小题满分12分）已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，且过点(1)求椭圆的标准方程； j(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O,若 22AC BDb k k a⋅=-．(i)求 OA OB ⋅的最值：（i i ）求证：四边形ABCD 的面积为定值．21（本小题满分l2分）设函数 2()ln (0),()f x a x bx a g x x =+>= (1)若(1)g(1),f'(1)g'(1)f ==，是否存在k 和m ，使得 f(x)kx m ≤+， g(x)kx m?≥+若存在，求出k 和m 的值，若不存在，说明理由(2)设 G(x)g(x)f(x)2=-+有两个零点 1,2x x ，且 102x ,x ,x 成等差数列， G'(x)是 G (x)的导函数，求证： 0G'(x )0>【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点C 、F ，连接CF 并延 长交AB 于点E ．(l)求证：E 是AB 的中点。
(2)求线段BF 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半辐为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点P(-2，-4)的直线 l的参数方程为：24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(l)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ()212f x x x a =+++(1) a=-3时，求不等式 ()6f x ≤的解集；(2)若关于x 的不等式 ()f x a >恒成立，求实数a 的取值范围中原名校2014年高考仿真模拟统一考试数学试题（理科）参考答案一、选择题1. D2. B3. C4. C5. A6. A7. D8. D9. A 10. C 11. C 12. B 二、填空题13. -784 14. 43- 15. 16π 16. 100711134⎛⎫- ⎪⎝⎭三.解答题.17、解（1）设三边分别为,,a b c由cos sinB sinC A =可得cos 02C C π=⇒=又cos 9162AB AC AB AC A S AB AC inA ⎧⋅⎪⎨=⎪⎩＝｜｜｜｜＝＝｜｜｜｜s 两式相除可得4tan 3aA b== 令4,3(0)a k b k k ==> 则1612S ab k ==⇒=∴三边长分别为3，4，5，………………（8分）（2）有两角差的正切公式可得tan BAD ∠=913…………(12分)18． 甲取胜的概率为32233323()()()5555P A C =+⋅⋅ ＝297625………………（4分）（2）224(3)()525P X ===132232351(4)()5555125P X C ==⋅⋅+=12223323232354(5)()()555555125P X C C ==⋅⋅+⋅⋅= X ∴的分布列为：534125EX ∴=………………………………….12分所以：平面ABCD ⊥平面AED ；………..5分1(0,1,0),0)2A B D -(3,0,1)AF =-则cos ,AF m <>=所以cos θ=………………（12分）20．解：（1）由题意22421,c e a a b==+= 又222,a b c =+解得228,4a b ==，故椭圆的标准方程为221.84x y += ................ （4分）（2）设直线AB 的方程为1122,(,),(,),y kx m A x y B x y =+联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4280,k x kmx m +++-= 22222(4)4(12)(28)8(84)0,km k m k m ∆=-+-=-+>①1222122412.2812km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2122122212122211,,2211284.221212AC BDy y b k k a x x m m y y x x k k ⋅=-=-∴=---∴=-=-⋅=-++又1212()()y y kx m kx m =++22121222222222()28412128,12k x x km x x m m km k km mk k m k k =+++--=++++-=+ 222222222248,(4)8,121242.m m k m m k k kk m --∴-=∴--=-++∴+=……………….. (8分) （ⅰ）222212122222284442412121212m m m k OA OB x x y y k k k k---+-⋅=+=-==++++ 242,12k =-+224 2.OA OB ∴-=-≤⋅<当0k =（此时22m =满足①式），即直线AB 平行于x 轴时，OA OB ⋅的最小值为－2.又直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，∴OA OB ⋅的最大值为2. （ⅱ）设原点到直线AB 的距离为d ，则211||2||AOB S AB d x x ∆=⋅=-=====∴S 四边形ABCD = 4S ΔAOB= ，即四边形ABCD 的面积为定值. ………………………….（12分）1,2EBC OCD EB OC AB ∴∆≅∆∴==E ∴是AB 的中点。