苏教版高中数学必修4三角函数的周期性
苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性 (习题+解析)
苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性（习题+解析）②从f （x ＋T ）＝f （x ）来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如f （2x ＋T ）＝f （2x ）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2)2T f x T f x f x ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦，则2T 是f （x ）的周期。
③对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。
④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。
例如常数函数()(f x C C =为常数），其周期T 是任意实数，没有最小正数。
⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f （x ）的周期，那么kT （k ∈Z ，k ≠0）也一定是函数的周期。
【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若x 是定义域D 内的一个值，则且,(Z k kT x ∈+)0≠k 也一定属于定义域D ，因此周期函数的定义域D 一定是无限集，而且定义域D 一定无上界且无下界。
（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D 内任意一个x ，是否有()()f x f x T =+恒成立。
如果成立，则是周期函数。
否则，不是周期函数。
二、sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的周期一般地，函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝ωπ2。
【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。
（1）定义法；（2）公式法，对y ＝A sin （ωx ＋φ）或y ＝A cos （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），T ＝||2ωπ； （3）图象法。
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。
苏教版高中数学必修4《三角函数的周期性》参考课件3
1.3.1
4．已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝____－__15__.
f(x＋2)＝f1x，若
本
解析 由已知 f(x＋4)＝fx＋1 2＝f(x)
课 时
∴f(x)是周期为 4 的函数
栏 目
∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求
f 53π的值．
本
课 时
解 ∵f(x)的最小正周期是 π，
栏 目 开
∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3
关
∵f(x)是 R 上的偶函数，
1.3.1
问题 3 满足条件：f(x＋a)＝－f1x(a 为常数且 a≠0)的函数 y
＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，
说明理由．
本 课
答 ∵f(x＋a)＝－f1x，
时 栏 目 开 关
∴ ∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－fx＋1 a＝－－1f1x＝f(x)．
则 x＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是
无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
3.周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(k∈N*)一定
本 也是周期.
课 时
4.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正
栏 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如
目
探究点三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)
推荐-高中数学苏教版必修四课件第1章 1.3.1 三角函数的周期性
典例导学 即时检测 一 二 三
周期函数的证明一般利用周期函数的定义;对抽象函数的 周期性证明,要注意利用条件,结合定义进行灵活的转化.对于函数 最小正周期的证明,不仅可以用周期函数的定义,而且还可以运用 反证法.
典例导学 即时检测 一 二 三
二、求三角函数的周期
求下列函数的周期:
(1)y=3sin
解方法一(直接计算): ∵f(2+x)=-f(x),f(x)为奇函数,当x∈[0,1] 时,f(x)=x,∴f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 方法二(利用周期性): ∵f(4+x)=f[2+(2+x)] =-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x+4)=f(x),故函数的周期为4. ∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5). ∵0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(7.5)=-0.5.
12
交流2 所有周期函数都有最小正周期吗?为什么? 提示并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,常数函数 f(x)=5,x∈R.当x为定义域内的任何值时,都有f(x)=C,即对定义域内 的每一个x值,f(x)都有f(x+T)=C=f(x),因此f(x)是周期函数.由于T是 不为零的任意常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)=C没有最小 正周期.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5
4.导学号51820020已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,
且f(1)=1,则f(5)=
.
高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性课件PPT
1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性
栏目导航
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解周期函数的定义．(难点)
2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重 通过学习本节内容提升学
点)
生的数学运算和逻辑推理
3.会求函数 y＝sin(ωx＋φ)和 y＝cos(ωx＋φ)的 核心素养.
栏目导航
利用公式求 y＝Asinωx＋φ或 y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注 意 ω 的正负，公式可记为T＝|2ωπ|.
栏目导航
±10 已知 f(x)＝cosωx－π6的最小正 ±10.]
[由题意可知|2ωπ|＝π5，ω＝
周期为π5，则 ω＝______.
栏目导航
栏目导航
2．(变结论)本例条件不变，求 f－196π的值． [解] ∵f(x)的最小正周期为 π， ∴f－196π＝f－3π－π6＝f－π6， ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π6＝fπ6＝sin π6＝12. ∴f－196π＝12.
栏目导航
[解] (1)T＝21π＝6π，∴最小பைடு நூலகம்周期为 6π. 3
(2)T＝|－2π3|＝23π，∴最小正周期为23π. (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应为 π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的最小正周期是 π. (4)T＝|22πa|＝|πa|，∴最小正周期为|πa|.
栏目导航
1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．( ) (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ) (3)周期函数的周期可以有无数多个．( )
苏教版高中数学必修4-1.3《三角函数的周期性》参考教案3
课题：三角函数的周期性一、教学目标：1.了解周期函数的定义，学会简单三角函数周期求法；2.通过实例分析来认识周期和周期函数;通过讨论比较（与函数其他性质比较）使学生理解和掌握函数周期的概念；二、教学过程（一）问题情境根据单位圆中三角函数线，正弦、余弦值呈现什么样的现象?sin(2π+x)=sinx,cos(2π+x)=cosx,问题1、若记f(x)=sinx，则f(x+2π)=_______1.概念1 周期函数：对于函数f(x),如果存在一个________T，使得当x 取定义域内的______ 时，都有_______________, 那么函数f(x)就叫着__________.T叫做这个函数的_________.问题2、如果T是周期函数f(x)的一个周期，nT(n∈Z且n≠0)是否是这个函数的周期？问题3、一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2.概念2:对于周期函数()f x，如果所有周期中存在一个最小正数，则这个最小________叫做最小正周期.函数()sinf x x=最小正周期是=最小正周期是_______,余弦函数()cosf x x____.练习1 正切函数中，tan(π+x)=tanx，正切函数的最小正周期是______。
问题2 已知函数f(x)=c, x∈R，该函数是周期函数吗? 它有没有最小正周期？练习3 已知f(x+1)= f(x-1)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是___。
（二)典型例题例１ 求下列函数的周期（１）f(x)=cos2x ； （2）g(x)=2sin(12 x-3)定理：函数y=Asin(ωx+ϕ)及y=cos(ωx+ϕ)（其中A,ω, ϕ为常数，且A≠0,ω>0）的周期T=2πω问题4 函数y=Atan(ωx+ϕ)（其中A,ω,j 为常数，且A≠0,ω>0）的周期是______.练习：1、函数()sin()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则正数k=_________. 2、函数()cos()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 3、函数()tan()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 例2、已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|,证明函数f(x) 是周期函数.问题5 （1）已知f(x+1)= -f(x)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？（2） 已知函数y=f(x)，满足f(x+4)= - 1f(x) ，问该函数是否是周期函数？若是,周期多少？三、回顾反思四、课后作业。
高中数学苏教版必修四《1.3.1三角函数的周期性1》课件
2024/11/14
12
苏教版 高中数学
1.3.1
谢谢大家
周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2024/11/14
4
单击此处编辑母版标题样式
判断下列说法是否正确
• 单•击第此二处级 编（辑1母）版x 文 本时样式，sin(x 2 ) sin x 则 2
11
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此1.下处面编函辑数母是版周期文函本数样吗式？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？
• 第二f (级x) 5 • 第三级 2.已• 知第奇四• 级第函五数级f(x)是R上的函数，且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).
3.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函 数吗？如果是，它的周期是多少？
是 2 ，那么下列函数的周期是多少呢？
• 单击(此1) f处(x编) 辑2c母os 3版x 文本T样 2式
• 第(2二) 级f (x) sin 1 x • 第三级 2
3
T 4
2
3
2
1
2
一般•地第，四• 级第函五级数 y Asin(x )及 y Acos(x )
（其中A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T
2
若 0
则
T 2
2024/11/14
9
单击此处编辑母版标题样式
1.求下列函数的最小正周期
• 单击此处(1编) 辑f (母x)版文si本n(样2式x )
•
第二级
高中数学苏教版必修四课件：1.3.1 三角函数的周期性
问题导学
知识点一 周期函数
思考
单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的 规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由. 答案 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化 呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角 的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2π＋x) ＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.
解答
引申探究 将例3中的条件f(x＋2)＝－f(x)改为：f(x)的图象关于x＝1对称，其余条件 不变，求f(7)的值. 解 函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x). 又函数f(x)的图象关于x＝1对称， 则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴f(4＋x)＝f [(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， 从而得f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
解答
类型三 函数周期性的综合应用
例3 设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求 f(7)的值. 解 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数， ∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1). 又当0≤x≤1时，f(x)＝x， ∴f(7)＝－f(1)＝－1.
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
思考
6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ 答案 是的.由sin(6π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义， 可知6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.
答案
高中数学苏教版必修4课件 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件2
• 终边落在x轴正半轴的角的集合:
{α|α=2kπ,k∈Z}
• 终边落在x轴负半轴的角的集合: {α|α=（
2k-1）π,k∈Z}
• 终边落在y轴正半轴的角的集合:
{α|α=π/2+2kπ,k∈Z}
• 终边落在y轴负半轴的角的集合:
第九页，编辑于星期一：点 二十七分。
示？ 示？
终边落在x轴上的角的集合如何表
终边落在y轴上的角的集合如何表
终边落在坐标轴的角的集合如何
第十页，编辑于星期一：点 二十七分。
• 终边在x轴上的角的集合为：S1={α|α =n·180°,n∈Z}.
• 终边在y轴上的角的集合为： S2={α|α=n·180°+90°,n∈Z}.
• 终边在坐标轴上的角的集合为； S={α|α=k·90°,k∈Z}.
第十一页，编辑于星期一：点 二十七分。
课堂练习
• • -265°的终边相同角的集合是？ • -384°的 终边相同角的集合是？ • 3900°的终边相同角的集合是？ • 23°终边相同角的集合是？ • 4108°的终边相同的角的集合是？
第十二页，编辑于星期一：点 二十七分。
答案
•
1. -265°+k*360°（k∈z）
第一章 三角函数
§1.3.1 三角函数的周期性
高中数学必修4·同步课件
第一页，编辑于星期一：点 二十七分。
引入课题
• 讨论: 与30°终边相同的角还有哪些？都 可以用什么代数式表示？
• 探究：终边相同的角都可以表示成一个0°
到360°的角与K（k∈z）个周角的和
• 390°＝30°+360°（k=1）
（） • A．60°与-300° B．230°与950° • C．1050°与-300° D．-1000°与80°
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的周期性
班级_______姓名______学号_________成绩_________
[基础过关]
1、若函数)(x f y =满足)3()1(-=+x f x f ，则此函数是周期函数，则（ ）为其一个
周期。
A ．1
B 。
3
C 。
－3
D 。
４
2、函数)6
52cos(3π-=x y 的最小正周期为（ ） A ．52π B 。
2
5π C 。
π2 D 。
π5 3、在函数|sin ||,|sin x y x y ==,)32sin(π
+=x y ,
)3
22cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数有（ ） A ．１个 B 。
２个 C 。
３个 D 。
４个
4、由函数⎩
⎨⎧++∈+∈=)22,12[1)12,2[0)(n n x n n x x f （)Z n ∈的图象，可知此函数的周期为（ ） A ．
2k B ．2
3k C ．kD ．2k （以上k 0,≠∈k Z ） 5.已知|sin |x y ω=的周期是x y 4sin =周期的４倍，则正数ω的值为（ ） A ．
2
1 B 。
１ C 。
２ D 。
４ 6、已知函数)53sin(2π+=kx y 的周期为23π，则ｋ的值为 。
7、函数|)62sin(|π+=x
y 的周期为 。
8、已知函数7)3
4sin(3++=πx k y 的最小正周期不小于４，则正整数ｋ的最小值为 。
9、)(x f 是以2π为周期的奇函数，且1)2(-=-πf ，那么)2
5(πf = 。
10.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()()()61,21+=+=x f x f f ,求
()()()5.224100f f f ++的值；
11、已知()()x f x f -=+2，当[]6,4∈x 时()12-=x x f ，求
()x f 在[]2,0上的表达式。
12、已知定义域为R 的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+11，
当
()0,1-∈x 时,()512+=x x f ,求()20
2log f 的值；
[智能升级]
13.设)3
5sin()(π+=kx x f ，其中Z k k ∈≠,0。
（１） 写出其最大值M 和最小值ｍ和最小正周期T ；
（２） 试求最小正整数ｋ，使得当自变量ｘ在任意两个整数间（包含整数本身）变化时，
函数)(x f 至少有一个值是M 和ｍ。