清华大学 网络优化-第5章_最短路问题
可以证明：一定存在满足条件 I t 1 xt 0(1 t T )
的最优解.
3
可以只考虑
xt 0, dt , dt dt 1,, dt dt 1 dT
单产品、无能力限制的批量问题 记wij为第i时段生产量为 xi d i d i 1 d j 时所导致的费用 (包括生产准备费、生产费和库存费), 即 w s c x j 1h I
5
B
6 4
D
6 F (结束)
(开始) A
7
4
C
5 3 E
1
5
项目网络不含圈, 其最长路问题和最短路问题都是可解的.
最短路问题
s
t
给定有向网络N，弧（i，j）对应的权又称为弧长（或费用）. 对于其中的两个顶点s，t，以s为起点和t为终点的有向路称为 s-t有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和 称为该有向路的权（或弧长、费用）. 所有s-t有向路中权(或弧长、费用)最小的一条称为s-t最短路. 对于有向网络中的一个圈，定义它的权为圈上所有前向弧上的 权的和 , 减去圈上所有反向弧上的权 . 权为正的圈称为正圈 ; 权为负的圈称为负圈; 权为0的圈称为零圈. 对一个有向圈， 它的权就是圈上所有弧上的权的和 . 本章的 圈一般都是指有向圈, 我们直接将正有向圈简称为“正圈”， 负有向圈简称为“负圈”， 零有向圈简称为“零圈” , 而 6 “无圈”指的是不存在有向圈.
算法通过不断修改这些标号，进行迭代计算. 当算法结束时， 距离标号表示的是从起点到该顶点的最短路长度. 迭代进行计算的过程中，所有顶点实际上被分成了两类： 一类是离起点 s 较近的顶点，它们的距离标号表示的是从点s到 该顶点的最短路长度，因此其标号不会在以后的迭代中再被改 变（称为永久标号）； 一类是离起点 s 较远的顶点，它们的距离标号表示的只是从点 到该顶点的最短路长度的上界，因此其标号还可能会在以后的 16 迭代中再被改变（称为临时标号）.
大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之 间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间 完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每 一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分.
对偶问题为
max(ut us ) s.t. u j ui wij , (i, j ) A.
(5.4) (5.5)
根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解 时: xij (u j ui wij ) 0, (i, j) A. (5.6) 9
Bellman方程
5.2.3 正费用网络(Dijkstra,1959)
基本思想：对于V 中每一个顶点j，赋予两个数值（通常称为“标号”）： 一个是距离标号uj ，记录的是从起点到该顶点的最短路长度的上界；
另一个是前趋标号pred（j），记录的是当起点s到该顶点j 的一条路长取
到该上界时，该条路中顶点j 前面的那个直接前趋（节点）.
s1
10
2
1
3
-1
起点s到顶点的最短路长度分别是us=u1=0， u2 =10， u3 =11 但此时只要u3 = u2+1 11 (us=u1=0)就可以满足Bellman方程. 如 us=u1=0， u2 =8， u3 =9 等 对于一般的网络，Bellman方程只是最短路长度必须满足的必要 条件，而不是充分条件；
其中 I t d t 1 d i 2 d j (i t j 1)
ij
i
i i
t i
t t
网络：从所有节点i到j (> i)连一条弧, 弧上的权为wi,j-1 , 如T=4时：
w12
w11 w22
w23 3
w33
Hale Waihona Puke w3412
4
w24
w44
5
w13
w14
4
例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法)
min
( i , j )A
w
ij
xij i s, i t, i s, t ,
(5.1)
s.t.
1, x x 1, ij ji j:( i , j )A j:( j ,i )A 0, xij 0.
(5.2) (5.3)
思考：为什么xij 可以不限定为{0，1}？ 关联矩阵是全么模矩阵，因此0-1变量可以松弛为 区间[0,1]中的实数 不含负圈，变量直接松弛为所有非负实数
u j ui wij , pred( j) i .
转STEP1.
17
正费用网络（Dijkstra算法）
引理5.2 在上述Dijkstra 算法中, （ 1 ）对于 S 中的任一顶点 j ，其距离标号 uj 是从起点 s 到该顶点 j 的最短路路长；
（2）对于 S 中的任一顶点j，其距离标号uj是从起点s出发，只经 过S中的顶点到达顶点j 的最短路路长.
u s 0, u min{u w }. i ij i j j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
如果所有弧上的权全为非负（或非正）数，只需将无向图的 一条边代之以两条对称的有向弧即可. 如果弧上的权有负有正，一般来说问题要复杂得多。
7
最短路问题的数学描述
xij表示弧（i，j）是否位于s-t路上：当xij =1时，表示弧（i，j） 位于s-t路上，当xij =0时，表示弧（i，j）不在s-t路上.
u 3 min{u i wi 3 } =min{0+(-1)}=-1,
i 3
u 4 min{u i wi 4 } =min{0+5,1+(-2),-1+3}=-1,
i4
C
u 5 min{u i wi 5 } =min{-1+1, -1+4}=0. 15 i 5
最短路算法 -
12 对于只含正有向圈(或无圈)的连通有向网络，它才是充要条件 .
最短路算法 -
5.2.2 无圈网络
引理5.1 (拓扑排序, Topological Ordering) 设有向图D不含 有向圈,则D的顶点总可以重新编号,使得 i j, (i, j ) A .
如果采用邻接矩阵表示法，可首先计算各节点的入度； O(n ) 然后找入度为零者编号； O(n) 去掉已编号节点及相关弧，同时修改相邻节点入度（只需扫描 该去掉的节点的对应行） ； O(n n) O(n2 ) 依次类推。 O(n2 )
最短路问题 – 两点说明
最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可. 必须指出：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈 的网络有效. 对于含负有向圈的网络，最短路问题是NP困难的. 因此，本章中除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈 .
无向网络上的最短路问题一般可以转化为有向网络上的问题.
当某弧(i,j)位于最短路上时， 即变量xij>0时, 一定有 u j ui wij
如果u为对偶问题最优解,易知u+c (c为任意实数)仍为最优解.
不妨令 us=0 ，则u的具体数值就可以唯一确定了. 相当于对节点j赋予的一个实数值uj（通常称为 “标号”），在 us=0时表示的正好是节点s到节点j的最短路的长度. Bellman方程(最短路方程、动态规划基本方程 )
8
5.2.1 Bellman方程
min
( i , j )A
w x
ij ij
(5.1) i s, i t, i s, t , (5.3) (5.2' )
s.t.
1, xij x ji 1, j:( i , j )A j:( j ,i )A 0, xij 0.
正费用网络（Dijkstra算法）
u s u1 0, pred(s) 0 ；对V 中 S =V， STEP0. (初始化) 令S= ， 的顶点j(j s)令初始距离标号 u j .
STEP1. 如果S=V, 则uj为节点s到节点j的最短路路长(最短路可 以通过数组pred所记录的信息反向追踪获得 ), 结束. 否则继续 STEP2. STEP2. 从 S 中找到距离标号最小的节点i，把它从 S 删除，加 入S. 对于所有从i出发的弧 (i, j ) A , 若 u j ui wij ，则令
5
A 7 4
B
6 4
D
6 F
5
C
3
E
1
前一部分实际上是Bellman最优化原理的直接结果； 后一部分中Bellman方程解的唯一性可以用反证法证明（略）
11
最短路树（树形图）
如果将定理中的条件“只含正有向圈”改为“不含负有向圈”： 上述最短路仍然存在；
Bellman方程的解的唯一性可能不成立.
/~jxie/courses/netopt
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
网络优化最短路问题
s.t.
xij
x ji
1,
i t,
j:(i, j )A
j:( j,i)A
0,
i s,t,
xij 0.
(5.1) (5.2' ) (5.3)
对偶问题为
max(ut us )
(5.4)
s.t. u j ui wij ,(i, j) A.
(5.5)
根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解
例5.4 计算如下网络(图5.4 (a))中从节点A到所有其它节点的最短路.
1 E -2
A
5
D
-1 3
4
1 1 -1
2E -2
5
4
3
4
B
1 A -1 B
1
C
3
1
5
E -2
计算过程: u1 =0,
u2 mii2n{ui wi2} =min{0+1}=1,
D
u3 mii3n{ui wi3} =min{0+(-1)}=-1,
5
w13 w14
w24
3
例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法)
大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之 间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间 完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每 一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分.
运筹学 网络最优化问题
D 6 4 3 4 0 7 7 4
E 1 3 3 7 0 5 11
F 6 11 7 8 7 5 0 6
T 3 1 4 1 1 6 0
A
(1 )
再构造由两个中间点的矩阵:
a ij
(2)
m in{ a ij , a i 2 a 2 j },
11.阶和度:图G的顶点个数称为它的阶数， 与某顶点关联边的数称为该顶点的度(也称 为次)(degree）,如图a的阶为5，其中 d(v1)=3.d(v4)=4(环包括入次与出次) 12.孤立点:度为“0”的点,如图a中v5;
13.悬挂点:度为“1”的点,如图a中v3; 14.悬挂边:与悬挂点相连的边,如图a中 e3. 15.奇点:度为奇数的点,如图a中v1和v3 16.偶点:度为偶数的点;
1 0
2 1 0
3 2 1 0
4 3 2 0
6 5 4 3 6 0
A
(4)
0
6 5 4 ( 5) ( 6) A A 3 6 0
a 16 6 表示从 v 1到 v 6的最短有向路的长度为 a 35 2 表示从 v 3到 v 5的最短有向路的长度为 a 42 表示从 v 4 到 v 2 没有有向路。
5
F
在所有弧的权都非负的
[例]单线程最短路问题.求v1到各点的最短路.
情况下，目前公认最好的 求最短路的方法是 Dijkstra标号法。用实例 介绍如下：
6 v2 7 3 0 v1
2
8 v6
3 7
11 v8
4 v9 15
3 2
v3 3 2
8
6 5 10 3 v7 14 4
最短路的问题装名词解释
最短路的问题装名词解释在计算机科学领域中，最短路问题是一类经典的算法问题，其主要解决的是在加权图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际应用中非常重要，例如在网络路由中，寻找两个节点之间最短路径的算法可以帮助我们优化数据传输的效率。
为了更好地理解最短路问题，我们首先来解释一些关键的术语。
在计算机科学中，图是由一组节点和连接这些节点的边组成的抽象数学模型。
每个节点代表一个实体，而边则代表节点之间的连接关系。
加权图是一种特殊的图，其边上带有权重。
这个权重可以代表任何实际应用中的度量，例如距离、时间、费用等。
最短路径是指连接两个节点之间的路径中，权重总和最小的路径。
更具体地说，我们可以定义一个函数d(u,v)，它表示节点u到节点v的最短路径的权重。
这个函数可以通过使用不同的算法来计算得到。
最短路问题的目标就是找到这个函数的值，并找到代表最短路径的实际路径。
在解决最短路问题时，有两种常见的算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，它从一个节点开始，逐步扩展到其他节点，直到找到最短路径。
该算法通过维护一个距离数组来记录到达每个节点的当前最短路径长度。
开始时，所有节点的距离被初始化为无穷大，然后逐步更新距离数组，直到找到最短路径。
与之相比，Bellman-Ford算法则更加灵活，可以处理带有负权边的图。
该算法通过使用一种松弛操作来逐步减小节点之间的距离估计值。
开始时，所有节点的距离估计值被初始化为正无穷大，然后通过对每条边进行一系列松弛操作，不断更新距离估计值，直到没有更多的更新为止。
如果在这个过程中发现了负权环，说明图中存在无穷小权重的路径，就会报告一个负权环的存在。
最短路问题的解决方法不仅限于这两个算法，还有其他一些算法，例如Floyd-Warshall算法和A*算法等。
Floyd-Warshall算法可以找到图中任意两个节点之间的最短路径。
它通过迭代更新一个矩阵来计算最短路径权重。
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
第5章 网络最优化问题
RUC, Information School, Ye Xiang
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
2、最小费用流问题的假设 （1）至少一个供应点； （2）至少一个需求点； （3）剩下都是转运点； （4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流 量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中 产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本 和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通 过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
RUC, Information School, Ye Xiang
本章节内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题基本概念 最小费用流问题 最大流问题 最短路问题 最小支撑树问题 货郎担问题和中国邮路问题
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RUC, Information School, Ye Xiang
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
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RUC, Information School, Ye Xiang
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式 存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生 活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同 领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划 、厂址选择、资源管理和财务策划等等。 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提 供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应 用于科学、社会和经济活动的各个领域中。 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人 心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应 用方面都取得了不同寻常的飞速发展。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、通信网络、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们需要找到图中两个顶点之间的最短路径，即使得路径上的边的权值之和最小。
针对不同的图，我们可以采用不同的方法来求解最短路问题，下面将介绍几种常见的求解方法。
首先，最简单直接的方法是暴力搜索法。
暴力搜索法适用于小规模的图，它通过穷举所有可能的路径来找到最短路径。
虽然这种方法在理论上是可行的，但是在实际应用中由于时间复杂度过高，通常不适用于大规模的图。
其次，我们可以使用迪杰斯特拉算法来解决最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步扩展离源点距离最短的节点来逐步求解最短路径。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，因此适用于稠密图。
另外，我们还可以使用贝尔曼-福特算法来求解最短路问题。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
贝尔曼-福特算法适用于存在负权边的图，但是由于其时间复杂度为O(VE)，因此在稠密图中效率较低。
最后，我们还可以使用Floyd-Warshall算法来解决最短路问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它通过逐步考察所有顶点对之间的路径来求解最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，因此适用于小规模图。
总的来说，不同的最短路求解方法适用于不同的图，我们需要根据具体的情况来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还可以结合启发式算法、并行算法等方法来进一步提高求解效率。
希望本文介绍的内容能够对读者有所帮助，谢谢！。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
网络优化 最短路问题
S （3） 设v 是使 l (v) 取最小值的
*
中的顶点，则令 S=S∪{ v
*
}，
u v* （4） 若S φ ，转 2，否则，停止.
且e是未选边中的最小权边，直到选够n-1条边为止。
算法2 (破圈法)基本步骤： (1)从图G中任选—棵树T。 (2)加上一条弦e，T1十e中立即生成一个圈。去掉此中最大 权边，得到新树T2。以T2代T1．重复(2)再检查剩余的弦，直到 全部弦检查完毕为止。
固 定 起 点 的 最 短 路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
2 2
2
Outline Outline
Outline
1. 最短路问题
本讲内容
1、图 论 的 基 本 概 念 2、最 短 路 问 题 及 其 算 法 3、最 短 路 的 应 用 4、作业
本讲目的
1、了解最短路的算法及其应用 2、会用Matlab软件求最短路
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数
V，E e E1 时， (1) 若 V1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． 1 E,且当 特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图． (2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1] (3)设 E1 E, 且 E1 , 以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图 , 记为 G[E1].
v1 v2 v3 v4 0 2 7 v1 A= 2 0 8 3 v2 8 0 5 v 3 7 3 5 0 v 4