增加一个约束条件的灵敏度分析
2.9 解 将原问题划为标准形式得
54321001355max x x x x x z ⨯+⨯+++-=
s.t. ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥=+++=+++-0,,,,90104122035432153214321x x x x x x x x x x x x x
对于此线性规划问题，用单纯形法进行求解，见表2-5
由表2-5可知，原线性规划问题的最优解为()T
*1000200X ，，，，
=，目标函数的最优值100m ax =z 。
∵非基变量1x 的检验数01=σ，∴原线性规划问题有无穷多最优解。
(5) 增加一个约束条件③50532321≤++x x x
首先，增加约束条件表明以前的单纯形迭代还是有效的，即原来的约束方程组进
行了多次等价变换，所以增加约束条件，就只要增加基变量，然后将基变量的系数矩阵化为单位矩阵，重新计算非基变量的检验数。
在③式加入松弛变量6x 得505326321=+++x x x x ，显然6x 可以作为增加的基变量。
在表2-5的基础上加入上述约束条件后用对偶单纯形表进行求解，见表2-8
T
*0150252250X ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，，，，，，目标函数的最优值为95max =z 。
线性规划约束矩阵的灵敏度分析
增 加一 个 变 量 ＋＋ 实 际 问题 中反 映为 增 加 在
一
种 新 的产品 ， 际上 是求 它的取值 范 围 ， 实 使 ＋
表 ｌ 四种 产 品 的 利 润 、 现 有 原 料 数 及 消 耗 原 料
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ ｆ ｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ｍｉ ｇ ｂ ｏ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｔ ｄ ｈ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍ ｉ ｙ ｎ ｙ ｃ ｍｂｉ ｉ ｇ ａ ａｙ ｉ ｌ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ ｎ ｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｇ ｒｔ ｈ ｗｉ ｈ ｓ ｍｅ ｅ ａ ｌ ｓ ｆ ｏ ｔ ｅ ａ ｐ ｃ ｆ ｃ ａ ｇ ｎ ｅ ｔａ ｎ ｍａ ｒｘ ｏ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｅ ｔｏ ｈ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓｒ ｉ ｔｉ ，ｗｈ ｃ ｓ ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｒ ｄ ｃ ｅ ｓ ｎ ａ ｉ ｂ ｅ ａ ｄ ａ ｉ ｈ ｉ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ａ ｖ ｒａ ｌ ｎ ｒ ｓｒ ｉ ｏ ｄ ｔｏ ．Ｗ ｅ ａ ｓ ｉ ｃ ｓ ｔ ｍｐ ｃ ｓ ｏ ｈ ｐ ｉ ａ ｅ ｉｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｉ ｃ ａ ｇ ｎ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｈ ｅ ｔａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｎ ｉ ｌｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉｓ ｉ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｌ ｄ ｃ ｓｏ ｏ ｈ ｓ ｈ ｎ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ｔｏ ｎ ｔ ｅ ｃ ｅ ｏ ｏ ｃ ｆｅ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉ ｌ ．
的 ，特 定数 学模 型 的最 优解 一般是 针对 这一 特定模 型的 。除找 到最优 解之外 ，管 理层 还希望 知道 各种假 设
条件变 化可 能产生 的结果 ，并通 过分 析变 化 的结 果 ，指导 决策 。如 由于市场 条件 的变化 ，价值 系数 Ｃ 会 发 生变化 ；为 了充分 利用 资源 ，增加 生产项 目，会增 加 变量个 数 ；为提 高产 品质量 ，增 加资源种 类或 生产 工 艺 ，会增 加约 束条件 个数 ，由于生产 工艺 的改进 ，单 耗（ 约束 条件 系数或 叫技术 系数 ） ， ａ 会发 生变 化［ ］ 。 ， 等 由此 可 见 ，线性 规 划 中的约束 矩阵对 规划 结果 有着 重要 的影 响 ，因此 ，运用 线性 规划方 法要 分析约 束 矩 阵的灵 敏度 。本 文通 过增加 或减 少变量 个数 、约 束条件 个 数 ，分 析线性 规 划 的灵 敏度 ，研究 当参 数发 生 变 化或 波动 时 ，问题最 优解 的变化 ；或这 些参 数在 什 么变化 范 围内波 动时 ，最优解 不变 ，从 而为线 性规 划
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
线性规划增减约束条件的灵敏度分析
２ 减 少 约 束 条 件
对 于减 少约 束条件 的 问题 ， 多的教 材Ⅲ嘲 和其 它文献 ［ ３ 没有涉及 。事 实上 它 和增 加约 束一 样 重 大 － 都 ６ 要 。减少 约束条 件还 有特殊 的经 济意义 。对 于资源利 用问题 ， 它意 味着解 除对某 些资 源的 限制 ； 而在工 厂 里 又相 当于去掉 一道 工序 ； 这些都 为创新 增值提 供途径 或指示 方 向［ ； ７ 故值 得详细讨 论 之 。
经 济优 化 。
维普资讯
２
运 筹 与 管 理
２０ ０ ７年 第 １ ６卷
它 为实 际操作 提供最 优方 案 。由于现实世 界是 不断发 展变化 的 ， 现在 约束条件 上 ， 加或 减少 约束 体 增
条 件则 是随 时可能发 生 的 。这将 导致最 优方案 的变 化 ， 不 与时俱 进 ， 时做 相应 调 整 ， 将 造 成经 济 损 如 及 必 失 。本 文在灵 敏度 分析 的基 础上 ， 面对增 减约束 条件 的情形 ， 出新 最优 方案 的获得 方法 。 给
ｓｒ ｉ ｔａｎ
０ 引 言
设 线 性规划 问题
ｍｉ — ＣＸ ｎｆ
ＡＸ — ｂ
（） １
Ｘ≥ ０
的最 优单 纯形表 为
表 １ 最 优 单 纯形 表
＼
Ｚ１ ｉ
ｆ ２
ｆ ｌ
１
０
２
０… …
１… …
… …
０
０
ｍ ＋１ ＋１ 源自ｉ１ ｍ ＋… …
ｅ ｐ ｃａ ｌ ． ｄ ｃ ｅ ｓｎ ｅ ｔ ａｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｉｌ ｙ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ｒ ｓ ｒ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ，ｔ ｅ ｎ ｗ ｃ ｕ ｒｎ ｅ ｈ ｄ ｏ ｈ ｅ ｔｐ ａ ｄ ａ ｃ ｄ ｎ ｓ ｉ ｈ ｅ ａ ｑ ｉｉ ｇ ｍ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｂ ｓ ｌ ｎ ｉ ａ ｖ ｎ ｅ ；ａ ｄ ｉ ｓ ｔ ｓ ｅ ｉｌｅ ｏ ｏ ｉ ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｓ ｐ ｉ ｔ ｄ ｏ ｔ ｐ ｃａ ｃ ｎ ｍ ｃ ｓｇ ｉ ｃ ｎ ｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｕ ． ｉ
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料线性规划是一种数学优化方法，它提供了一种有效的方法来解决最优化问题。
灵敏度分析是线性规划中的一个非常重要的概念，它是用来研究一些关键参数的变化对于最优解的影响。
在Excel中进行线性规划和灵敏度分析非常方便，本文将介绍如何在Excel中进行线性规划的灵敏度分析。
首先，我们需要先了解Excel中进行线性规划的基本步骤。
以最简单的线性规划模型为例，我们可以用以下模型来说明：目标函数：Maximize f(x,y)=4x+3y约束条件：2x+y <= 8x,y >= 0要在Excel中求解这个问题，我们需要遵循以下步骤：1. 打开Excel，输入目标函数和约束条件。
公式应放在单元格中，约束条件应按行排列，用每行的最后一个单元格来设置限制。
还应设置变量的初始值，并将目标单元格格式设置为“最大值”或“最小值”。
2. 选择“数据”选项卡，在“分析”组内选择“规划问题”选项。
在弹出的窗口中，选择“线性规划”选项，并单击“确定”按钮。
3. 在线性规划窗口中，选择“目标单元格”和变量单元格，然后选择要优化的运算符（如“大于等于”或“小于等于”）。
选择“添加”按钮向模型添加约束条件，直到所有限制都添加完毕。
单击“求解”按钮，Excel将显示变量的最优解、目标函数的最优解以及约束条件的最佳值。
在完成线性规划模型的求解后，我们可以进行灵敏度分析来研究模型中不同参数的变化对最终解的影响。
在Excel中进行灵敏度分析有以下步骤：1. 求出每个决策变量的最优值和目标函数的最优值。
2. 使用Excel的数据表功能，建立一个数据表，将要变化的参数输入到数据表中。
可以一次性变化多个参数。
3. 将数据表的单元格链接到原始模型中的输入参数单元格。
4. 使用Excel的数据表的“展示数据表”功能，查看各参数的最优解或其他解所对应的目标函数的值。
5. 根据结果进行分析，确定哪些参数对最终结果有最大的影响。
MBA数据模型与决策：灵敏度分析
▪ 目标系数同时变动的百分之百法则：如果若干个目 标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该 系数允许变动量的百分比，再将所有系数变动百分 比相加，若所得之和不超过百分之一百，则最优解 不会改变，若所得之和超过了百分之一百，则不能 确定最优解是否改变。
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 如果未来的情况有变化的话，最优解将会如 何变化？(实际问题中获得所需的数据是相当 困难的，有时只能得到所需的数据的估计值)。
▪ 管理层在做出最终决策之前，必然想知道如 果这些估计量与实际情况有一定的误差时最 优解将会如何变化，或估计值在什么范围内 变化时，不会影响最优解
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 案例分析:丽欣公司广告投入与收益均衡问题(P14) 广告运动推销三种产品
(1) 儿童奶粉---目标: 增加市场份额 8% (2) 鲜牛奶---目标: 增加市场份额 13% (3) 成人奶粉---目标: 增加市场份额 5%
广告手段 (1) 促销会-----单位成本100万 (2) 电视-------单位成本 210万元 (3) 印刷媒体-------单位成本 160万元
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 分别讨论下列数据或条件变化时对于最优基 （最优解）的灵敏度分析： 1) 目标函数系数C的变化； 2) 右端常数的b变化； 3)增加新变量和新的约束条件的变化； 使用 Excel电子表格进行灵敏度分析
灵敏度分析 (what-if分析)
▪ 电子表格的一个很大的优点是方便展开各种 灵敏度分析，当某一参数发生变化时，只需 要改变电子表格中相应的数据，重新按“规 划求解”按钮求出新的解。
线性规划的灵敏度分析试题
线性规划的灵敏度分析试题一、填空题1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。
3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。
4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。
5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。
6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是Z*+y i△b(设原最优目标函数值为Z﹡)7．若某约束常数b i的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。
8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为C B，若新增变量x t，目标系数为c t，系数列向量为Pt，则当C t≤C B B－1P t时，x t不能进入基底。
9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。
10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。
11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量x j的目标系数C j代表该变量所对应的产品的利润，则当某一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。
二、单选题1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。
A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。
A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。
【精品】LINGO软件灵敏度分析
【精品】LINGO软件灵敏度分析LINGO是一种非常实用的数学建模软件，可用于线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、二次规划、非线性二次规划、全局优化、动态规划等方面。
在LINGO中，灵敏度分析可以帮助用户更好地理解线性规划问题的解，并探究约束、变量、最优值等因素的变化对于优化结果的影响。
下面将详细介绍LINGO软件的灵敏度分析功能。
一、约束灵敏度分析在LINGO中，可以通过在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，来进行约束灵敏度分析。
当我们需要对某一约束条件进行灵敏度分析时，可以在“PSens”一栏中选中要进行分析的约束条件，并选择需要分析的灵敏度类型：1. 左侧界（Lower Bound）灵敏度分析：在该约束条件的左侧界上下浮动，观察最优解随着左侧界的变化而产生的变化情况。
进行变量灵敏度分析时，LINGO会输出一个名为“Variable Sensitivity”的窗口，其中包含了与所选中变量相关的数据，如灵敏度系数、上/下限边界、最小可行解等。
另外，该窗口还提供了一个“Graph”选项卡，可以展示出灵敏度分析的图表，帮助用户更直观地理解灵敏度的变化情况。
在LINGO中，最优解灵敏度分析可以探究最优解随着目标函数系数的变化而产生的变化情况。
用户可以在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，然后在“Objective Sensitivity”选项卡中选中需要进行分析的目标函数变量。
总之，LINGO软件的灵敏度分析功能可以在优化过程中帮助用户更好地了解问题的解，探究约束、变量、目标函数系数等因素对应问题的影响，帮助用户优化模型，从而达到更好的优化效果。
第三章 第五节 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。