减少约束条件的灵敏度分析
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
管 理 运 筹 学
4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
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筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
线性规划约束矩阵的灵敏度分析
增 加一 个 变 量 ＋＋ 实 际 问题 中反 映为 增 加 在
一
种 新 的产品 ， 际上 是求 它的取值 范 围 ， 实 使 ＋
表 ｌ 四种 产 品 的 利 润 、 现 有 原 料 数 及 消 耗 原 料
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ ｆ ｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ｍｉ ｇ ｂ ｏ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｔ ｄ ｈ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍ ｉ ｙ ｎ ｙ ｃ ｍｂｉ ｉ ｇ ａ ａｙ ｉ ｌ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ ｎ ｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｇ ｒｔ ｈ ｗｉ ｈ ｓ ｍｅ ｅ ａ ｌ ｓ ｆ ｏ ｔ ｅ ａ ｐ ｃ ｆ ｃ ａ ｇ ｎ ｅ ｔａ ｎ ｍａ ｒｘ ｏ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｅ ｔｏ ｈ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓｒ ｉ ｔｉ ，ｗｈ ｃ ｓ ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｒ ｄ ｃ ｅ ｓ ｎ ａ ｉ ｂ ｅ ａ ｄ ａ ｉ ｈ ｉ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ａ ｖ ｒａ ｌ ｎ ｒ ｓｒ ｉ ｏ ｄ ｔｏ ．Ｗ ｅ ａ ｓ ｉ ｃ ｓ ｔ ｍｐ ｃ ｓ ｏ ｈ ｐ ｉ ａ ｅ ｉｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｉ ｃ ａ ｇ ｎ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｈ ｅ ｔａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｎ ｉ ｌｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉｓ ｉ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｌ ｄ ｃ ｓｏ ｏ ｈ ｓ ｈ ｎ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ｔｏ ｎ ｔ ｅ ｃ ｅ ｏ ｏ ｃ ｆｅ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉ ｌ ．
的 ，特 定数 学模 型 的最 优解 一般是 针对 这一 特定模 型的 。除找 到最优 解之外 ，管 理层 还希望 知道 各种假 设
条件变 化可 能产生 的结果 ，并通 过分 析变 化 的结 果 ，指导 决策 。如 由于市场 条件 的变化 ，价值 系数 Ｃ 会 发 生变化 ；为 了充分 利用 资源 ，增加 生产项 目，会增 加 变量个 数 ；为提 高产 品质量 ，增 加资源种 类或 生产 工 艺 ，会增 加约 束条件 个数 ，由于生产 工艺 的改进 ，单 耗（ 约束 条件 系数或 叫技术 系数 ） ， ａ 会发 生变 化［ ］ 。 ， 等 由此 可 见 ，线性 规 划 中的约束 矩阵对 规划 结果 有着 重要 的影 响 ，因此 ，运用 线性 规划方 法要 分析约 束 矩 阵的灵 敏度 。本 文通 过增加 或减 少变量 个数 、约 束条件 个 数 ，分 析线性 规 划 的灵 敏度 ，研究 当参 数发 生 变 化或 波动 时 ，问题最 优解 的变化 ；或这 些参 数在 什 么变化 范 围内波 动时 ，最优解 不变 ，从 而为线 性规 划
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
LINGO结果窗口内容解读与灵敏度分析
LINGO结果窗⼝内容解读与灵敏度分析1.结果窗⼝内容解读1. ⽬标函数值:Global option solution found.表⽰求出了全局最优解;Objective value表⽰最优⽬标值，Total solver iretion表⽰求解时共⽤了⼏次迭代2. 决策变量:Value给出最优解中各变量的值3. 变量的判别数：Reduced Cost表⽰最优单纯形表中判别数所在的⾏的变量的系数，表⽰当变量有微⼩变化时，⽬标函数的变化率。
其中基变量的reduced cost值应为零。
对于基变量相应的reduced cost值表⽰这个变量增加⼀个单位时⽬标函数值减少的量(max型问题)4. 紧约束与松约束：slack or Surplus给出松弛或剩余变量的值,其值为零的对应约束为"紧约束"，表⽰在最优解下该项资源已经⽤完；其值为⾮零的对应约束为"松约束"，表⽰在最优解下该项资源还有剩余5. 对偶价格(经济学:影⼦价格)：DUAl PRICE(对偶价格)表⽰当对应约束有微⼩变动时⽬标函数的变化率。
输出结果中对应每⼀个"紧约束"有⼀个对偶价格。
若其数值为怕，则表⽰对应约束不等式右端项正好增加⼀个单位，⽬标函数将增加P个单位(max)模型。
显然，如果在最优解处约束条件正好取等号(也就是"紧约束"，也称为有效约束或起作⽤约束)，对偶价格值才可能不是0.6. 变量框(Variables):Total表⽰当前模型的全部变量数，Nonlinear显⽰其中的⾮线性变量数，Integers显⽰其中的整数变量数。
⾮线性变量是指它⾄少处于某⼀个约束条件中的⾮线性关系中。
7. 约束(Constains)框：Total表⽰当前模型扩展后的全部约束个数，Nonlinear显⽰其中的⾮线性约束个数。
⾮线性约束是该约束⾄少有⼀个⾮线性变量。
如果⼀个约束中的所有变量都是定值，那么该约束就以定值不等式表⽰，该约束的真假由变量的具体值决定，仍计⼊约束总数中。
结构优化的灵敏度分析课件
02
灵敏度分析概述
灵敏度分析的定义
定义
灵敏度分析是一种研究模型输出 变化对输入参数变化的敏感程度 的方法。
解释
在结构优化中，灵敏度分析用于 量化模型性能对设计参数的敏感 性，以识别关键设计参数并优化 结构。
灵敏度分析的目的
01
02
03
目的1
目的2
目的3
识别关键设计参数。通过灵敏度分析，可 以确定哪些参数对模型输出影响较大，从 而重点关注和优化这些参数。
3. 根据灵敏度分析结果，调整设计参数以改善车身结构的 碰撞性能。
关键点：在车身结构碰撞性能优化中，灵敏度分析有助 于在众多设计参数中筛选出关键参数，提高优化效率， 同时保证汽车的碰撞安全性。
06
结构优化灵敏度分析展望 与挑战
结构优化灵敏度分析的未来发展趋势
多学科交叉融合
未来的结构优化灵敏度分析将更加注重多学科交叉融合， 涉及力学、数学、计算机科学等多个领域，以更全面地研 究和解决实际问题。
指导优化算法的改进方向
灵敏度分析可以揭示设计变量与目标函数之间的关系，为优化算法的改进提供指 导。例如，针对灵敏度较高的设计变量，可以采用更精细的搜索策略，以提高优 化精度。
结构优化中的参数灵敏度分析
参数定义与分类
参数灵敏度分析关注结构优化问题中的参数变化对目标函数的影响。参数可分为设计参数（如材料属 性、截面尺寸等）和约束参数（如载荷、边界条件等）。通过参数灵敏度分析，可以识别出对目标函 数影响显著的参数。
有限差分法适用于目标函数和约束条件难以显式表达或无法直接求导的情况。它是一种通用性较强的方 法，但受限于数值近似的精度和步长的选择。
伴随变量法
原理
伴随变量法通过引入伴随变量， 构建伴随方程来求解灵敏度。它 基于最优控制理论和拉格朗日乘 子法，将灵敏度分析问题转化为 求解伴随方程的问题。
运筹学24灵敏度分析
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
线性规划增减约束条件的灵敏度分析
２ 减 少 约 束 条 件
对 于减 少约 束条件 的 问题 ， 多的教 材Ⅲ嘲 和其 它文献 ［ ３ 没有涉及 。事 实上 它 和增 加约 束一 样 重 大 － 都 ６ 要 。减少 约束条 件还 有特殊 的经 济意义 。对 于资源利 用问题 ， 它意 味着解 除对某 些资 源的 限制 ； 而在工 厂 里 又相 当于去掉 一道 工序 ； 这些都 为创新 增值提 供途径 或指示 方 向［ ； ７ 故值 得详细讨 论 之 。
经 济优 化 。
维普资讯
２
运 筹 与 管 理
２０ ０ ７年 第 １ ６卷
它 为实 际操作 提供最 优方 案 。由于现实世 界是 不断发 展变化 的 ， 现在 约束条件 上 ， 加或 减少 约束 体 增
条 件则 是随 时可能发 生 的 。这将 导致最 优方案 的变 化 ， 不 与时俱 进 ， 时做 相应 调 整 ， 将 造 成经 济 损 如 及 必 失 。本 文在灵 敏度 分析 的基 础上 ， 面对增 减约束 条件 的情形 ， 出新 最优 方案 的获得 方法 。 给
ｓｒ ｉ ｔａｎ
０ 引 言
设 线 性规划 问题
ｍｉ — ＣＸ ｎｆ
ＡＸ — ｂ
（） １
Ｘ≥ ０
的最 优单 纯形表 为
表 １ 最 优 单 纯形 表
＼
Ｚ１ ｉ
ｆ ２
ｆ ｌ
１
０
２
０… …
１… …
… …
０
０
ｍ ＋１ ＋１ 源自ｉ１ ｍ ＋… …
ｅ ｐ ｃａ ｌ ． ｄ ｃ ｅ ｓｎ ｅ ｔ ａｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｉｌ ｙ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ｒ ｓ ｒ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ，ｔ ｅ ｎ ｗ ｃ ｕ ｒｎ ｅ ｈ ｄ ｏ ｈ ｅ ｔｐ ａ ｄ ａ ｃ ｄ ｎ ｓ ｉ ｈ ｅ ａ ｑ ｉｉ ｇ ｍ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｂ ｓ ｌ ｎ ｉ ａ ｖ ｎ ｅ ；ａ ｄ ｉ ｓ ｔ ｓ ｅ ｉｌｅ ｏ ｏ ｉ ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｓ ｐ ｉ ｔ ｄ ｏ ｔ ｐ ｃａ ｃ ｎ ｍ ｃ ｓｇ ｉ ｃ ｎ ｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｕ ． ｉ
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
灵敏度分析中的对偶问题
灵敏度分析中的对偶问题作者：胡宁杰来源：《决策与信息·下旬刊》2013年第12期摘要本文讨论了线性规划模型在增加或减少约束条件时的灵敏度分析问题，给出了一个简明有效的方法步骤。
关键词灵敏度分析约束条件对偶问题中图分类号：0221.1 文献标识码：A在讨论实际问题的线性规划模型时，一些数据有的是已知常数，有的并不很精确，实际上这些数据往往是一些估计和预测的数字，而情况总是在不断变化的，有可能增加或减少新的变量或新的约束条件。
当我们已求解了一个线性规划后遇到上面这些变动时，一种处理方法是根据新的数据从头开始计算，可以求出新的最优解，另一种比较好的办法是对原最优单纯形表进行适当的修改，继续迭代求解，或用对偶问题解决，这就是所谓的灵敏度分析，或优化后分析。
考虑到论述目的及篇幅，这里以一个简单的线性规划模型为例。
可以预见，对于大型的线性规划模型，这种处理方法更有效。
设某经济问题的数学模型是如下线性规划问题：maxZ= 5x1+8x2+6x3用单纯形方法求解如下：再增加一个新的约束条件2x1+x2+2x3≤7，为了节省计算量，直接在上表中增加新的一行和一列，计算如下利用两次对偶单纯形方法，迭代得：最优解：x1=0，x2=7，x3=0，对应最优解为maxZ=56。
这个方法是利用原来单纯形表中最优基一栏，新增一个约束方程，即多加一行，多加一列需使原来最优基，再添入一个松弛变量后，仍是一个可行基，不然的话，要用对偶单纯形方法换基迭代。
这个方法相对于从新开始要方便一些，但是还是略显复杂，而该问题借助对偶理论来做就显得简单的多，计算如下：原问题的对偶问题为：ming=-12y1-20y2-7y3根据对偶原理：最优解：x1=0，x2=7，x3=0，对应最优解为maxZ=56。
原问题增加一个约束条件，对偶问题只增加一个变量，这在计算上并没有增加太多的麻烦，所以，对偶理论用的恰当，可以大大减少计算量。
同理，去掉某个约束条件，也可根据实际情况采取类似方法解决。
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0 引言
设线性规划问题
min f=CX
AX=b
X≥0(1)
的最优单纯形表为
它为实际操作提供最优方案。
由于现实世界是不断发展变化的，体现在约束条件上，增加或减少约束条件则是随时可能发生的。
这将导致最优方案的变化，如不与时俱进，及时做相应调整，必将造成经济损失。
本文在灵敏度分析的基础上，面对增减约束条件的情形，给出新最优方案的获得方法。
1 增加约束条件
设增加的一个约束条件为
则应在原问题的最优表1中按（2）提供的数据，增加一行，然后用消去法，把这行中基变量的系数消为0，这显然对检验数没有影响，从而可化为仅缺少一个基变量且的问题，故可沿用对偶单纯形法［1］或联合算法［2］的规则，于新增之行确定主元，实行 Gauss 消元，便得一正则解，继之用对偶单纯形法迭代求优。
如果增加的约束不止一个，可一并处理。
由于比较简单这里不详述，参见文献［3］。
2 减少约束条件
对于减少约束条件的问题，大多的教材［4］［5］和其它文献［6］都没有涉及。
事实上它和增加约束一样重要。
减少约束条件还有特殊的经济意义。
对于资源利用问题，它意味着解除对某些资源的限制；而在工厂里又相当于去掉一道工序；这些都为创新增值提供途径或指示方向［7］；故值得详细讨论之。
当需要减少一个约束时，并不是将最优表中，与该约束相应的行去掉就可以的，因为此约束的影响已通过 Gauss 消元施加在其它各行里了。
那么，如不重新求解，应如何利用最优表而达到去掉某些约束的目的呢？
设初始单纯形表中含有一个单位矩阵，不妨假定它是由辅助变量（松弛变量，剩余变量或人工变量等）形成，而最优单纯形表为：
表2 初始单纯形表中含有单位矩阵的最优表
现在要去掉原约束条件AX=b中的一个约束，不妨设为第t个约束，则对上表应采取如下步骤：
考虑原第t个约束所加辅助变量这一列，即（n+t）列，若为基变量，则去掉最优表中第t个约束行和（n+t）列即可（此时最优解与最优值均不变）。
否则，若列某系数考察新检验数是否仍非正，是，则已得去掉原第t个约束后的最优解；否，用单纯形法迭代求优。
例1 某工厂去年根据市场需求和自身生产能力可以生产A，B两种产品，当时的条件如下表所示
文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/article/666fe7fa-87df-4816-aeaa-e1603275f6d9.htm这已经是最优表，按它进行
调整，可增加利润180-168=12（百元）。
注意：由（3）知，主元所在之行未必一定是原约束中要去掉的那一行，如在例1中，若因进口设备而欲将第二个约束去掉，计算结果，主元是，因而消元之后，去掉的却是第三行。
此外,之所以先考虑(3)式是因为去掉约束，一般将使目标函数值减少，但绝不会增大。
方法的原理是很简单的，通过比较，不难看出，初始表中将要去掉的约束行所加辅助变量那一列仅有一个1而其余都是0，而在最优表中该列一般将发生变化,说明将要去掉的约束行的影响已经通过迭代施加到别的行中。
注意，若从一开始就去掉那个约束，则所加辅助变量那一列全为0，并且在迭代中保持不变；因此，只有经过上面的处理，使所加辅助变量那一列又全变回为0，要去掉之约束在单纯形迭代中对其它约束施加的影响（即指此行的若干倍加于其它诸行），才被消除。
此外，按照（3）或（4）选主元是为了保证所得解的可行性。
如果初始表中没有单位矩阵,注意到前面的分析只涉及辅助变量增减约束条件在不少方面有应用，例如求解变量有上限问题［8］就用到增加约束，利用增减约束条件的手段还可以顺利地求得一个基可行解，限于篇幅有关内容将另文叙述。
参考文献：
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［2］夏少刚.线性规划联合算法的理论和应用［J］.运筹与管理,2004,13(1):1-16.
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［5］胡运权.运筹学教程［M］.北京：清华大学出版社,1998.
［6］摩特J J，爱尔玛拉巴S E.运筹学手册（基础和基本原理）［M］.上海：上海科学技术出版社，1987.
［7］杨德权，等.线性经济系统管理创新的数量方法研究［J］.预测,2002,21（6）：32-35.
［8］夏少刚.有界变量线性规划的一种简易解法［J］.运筹与管理,2005，14（6）：12-18. 文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/article/666fe7fa-87df-4816-aeaa-e1603275f6d9_2.htm
农业系统科学与综合研究2002年18卷3期。