增加一个约束条件的灵敏度分析
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
线性规划增减约束条件的灵敏度分析
２ 减 少 约 束 条 件
对 于减 少约 束条件 的 问题 ， 多的教 材Ⅲ嘲 和其 它文献 ［ ３ 没有涉及 。事 实上 它 和增 加约 束一 样 重 大 － 都 ６ 要 。减少 约束条 件还 有特殊 的经 济意义 。对 于资源利 用问题 ， 它意 味着解 除对某 些资 源的 限制 ； 而在工 厂 里 又相 当于去掉 一道 工序 ； 这些都 为创新 增值提 供途径 或指示 方 向［ ； ７ 故值 得详细讨 论 之 。
经 济优 化 。
维普资讯
２
运 筹 与 管 理
２０ ０ ７年 第 １ ６卷
它 为实 际操作 提供最 优方 案 。由于现实世 界是 不断发 展变化 的 ， 现在 约束条件 上 ， 加或 减少 约束 体 增
条 件则 是随 时可能发 生 的 。这将 导致最 优方案 的变 化 ， 不 与时俱 进 ， 时做 相应 调 整 ， 将 造 成经 济 损 如 及 必 失 。本 文在灵 敏度 分析 的基 础上 ， 面对增 减约束 条件 的情形 ， 出新 最优 方案 的获得 方法 。 给
ｓｒ ｉ ｔａｎ
０ 引 言
设 线 性规划 问题
ｍｉ — ＣＸ ｎｆ
ＡＸ — ｂ
（） １
Ｘ≥ ０
的最 优单 纯形表 为
表 １ 最 优 单 纯形 表
＼
Ｚ１ ｉ
ｆ ２
ｆ ｌ
１
０
２
０… …
１… …
… …
０
０
ｍ ＋１ ＋１ 源自ｉ１ ｍ ＋… …
ｅ ｐ ｃａ ｌ ． ｄ ｃ ｅ ｓｎ ｅ ｔ ａｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｉｌ ｙ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ｒ ｓ ｒ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ，ｔ ｅ ｎ ｗ ｃ ｕ ｒｎ ｅ ｈ ｄ ｏ ｈ ｅ ｔｐ ａ ｄ ａ ｃ ｄ ｎ ｓ ｉ ｈ ｅ ａ ｑ ｉｉ ｇ ｍ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｂ ｓ ｌ ｎ ｉ ａ ｖ ｎ ｅ ；ａ ｄ ｉ ｓ ｔ ｓ ｅ ｉｌｅ ｏ ｏ ｉ ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｓ ｐ ｉ ｔ ｄ ｏ ｔ ｐ ｃａ ｃ ｎ ｍ ｃ ｓｇ ｉ ｃ ｎ ｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｕ ． ｉ
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料
用excel进行线性规划的灵敏度分析学习资料线性规划是一种数学优化方法，它提供了一种有效的方法来解决最优化问题。
灵敏度分析是线性规划中的一个非常重要的概念，它是用来研究一些关键参数的变化对于最优解的影响。
在Excel中进行线性规划和灵敏度分析非常方便，本文将介绍如何在Excel中进行线性规划的灵敏度分析。
首先，我们需要先了解Excel中进行线性规划的基本步骤。
以最简单的线性规划模型为例，我们可以用以下模型来说明：目标函数：Maximize f(x,y)=4x+3y约束条件：2x+y <= 8x,y >= 0要在Excel中求解这个问题，我们需要遵循以下步骤：1. 打开Excel，输入目标函数和约束条件。
公式应放在单元格中，约束条件应按行排列，用每行的最后一个单元格来设置限制。
还应设置变量的初始值，并将目标单元格格式设置为“最大值”或“最小值”。
2. 选择“数据”选项卡，在“分析”组内选择“规划问题”选项。
在弹出的窗口中，选择“线性规划”选项，并单击“确定”按钮。
3. 在线性规划窗口中，选择“目标单元格”和变量单元格，然后选择要优化的运算符（如“大于等于”或“小于等于”）。
选择“添加”按钮向模型添加约束条件，直到所有限制都添加完毕。
单击“求解”按钮，Excel将显示变量的最优解、目标函数的最优解以及约束条件的最佳值。
在完成线性规划模型的求解后，我们可以进行灵敏度分析来研究模型中不同参数的变化对最终解的影响。
在Excel中进行灵敏度分析有以下步骤：1. 求出每个决策变量的最优值和目标函数的最优值。
2. 使用Excel的数据表功能，建立一个数据表，将要变化的参数输入到数据表中。
可以一次性变化多个参数。
3. 将数据表的单元格链接到原始模型中的输入参数单元格。
4. 使用Excel的数据表的“展示数据表”功能，查看各参数的最优解或其他解所对应的目标函数的值。
5. 根据结果进行分析，确定哪些参数对最终结果有最大的影响。
线性规划的灵敏度分析试题
线性规划的灵敏度分析试题一、填空题1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。
3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。
4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。
5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。
6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是Z*+y i△b(设原最优目标函数值为Z﹡)7．若某约束常数b i的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。
8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为C B，若新增变量x t，目标系数为c t，系数列向量为Pt，则当C t≤C B B－1P t时，x t不能进入基底。
9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。
10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。
11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量x j的目标系数C j代表该变量所对应的产品的利润，则当某一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。
二、单选题1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。
A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。
A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。
1.7 灵敏度分析
L=3
K=3
-1/4 1/2 3/8 -1/4 0 -1 -5/4 -1/2
由此得最优解：x1=22.5，x2=15，x3=10，x4=x5=0
最优值：Z﹡=195
3.改变某非基变量的系数列向量的分析 设非基变量xj的系数列向量变为Pj′，试分析原最优解 有何变化。 该变化只影响最优单纯形表的第j列及其检验数。因此， 可以先计算B-1Pj′及σj′=Cj-CBB-1Pj′，若σj′≤0，则原最优解 不变，反之，若σj′＞0，则以B-1Pj′替代原最优表的第j列， 用单纯形法继续求解。 4.改变某基变量的系数列向量的分析 设基变量xj的系数列向量变为Pj′，试分析原最优解有何变化。 显然，Pj的变化将导致B的变化，因而原最优表的所有元素都 将发生变化，似乎只能重新计算变化后的模型。但是，经过认真 分析，还是可以利用原最优解来计算新最优解的。 我们可以将xj看作新增加的变量，用B-1Pj′替代原最优表的第 j列（单位列向量），然后再利用初等行变换将表中的B-1Pj′恢复 到原来的单位列向量,并重新计算检验数。则变化后的单纯形表有 以下几种情况：
C
CB XB 4 6 8 6 X2 X1 σ X3′ X1 σ 16 18 B-1b 20 20
6
X1 0 1 0 0 1 0
4
X2 1 0 0 4/5 -1/10 -9/8
0
X3 1/2 -1/4 -1/2
0
X4 -1/4 3/8 -5/4
8
X3 ′ 5/4 1/8 9/8 已知线性规划问题的初始解及最优解见例3。 ⑴求△b1的范围，使原最优基不变； ⑵若b1变为200，试求新的最优解。 20 1/4 1/2 , X -1 B 解：⑴由已知单纯形表可知 B = 3/8 20 1/4 用基变量的负值与B-1的第一列相应元素去比，得 -40≤△b1≤80 时，原最优基不变。 200 70 1/2 1/4 ⑵变化后基变量的取值为 X B 1b B 1/4 3/8 120 5 不是可行解，须用 XB 替换原最优表中基变量的值，并采用 对偶单纯形法继续求解，结果如下：
【精品】LINGO软件灵敏度分析
【精品】LINGO软件灵敏度分析LINGO是一种非常实用的数学建模软件，可用于线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、二次规划、非线性二次规划、全局优化、动态规划等方面。
在LINGO中，灵敏度分析可以帮助用户更好地理解线性规划问题的解，并探究约束、变量、最优值等因素的变化对于优化结果的影响。
下面将详细介绍LINGO软件的灵敏度分析功能。
一、约束灵敏度分析在LINGO中，可以通过在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，来进行约束灵敏度分析。
当我们需要对某一约束条件进行灵敏度分析时，可以在“PSens”一栏中选中要进行分析的约束条件，并选择需要分析的灵敏度类型：1. 左侧界（Lower Bound）灵敏度分析：在该约束条件的左侧界上下浮动，观察最优解随着左侧界的变化而产生的变化情况。
进行变量灵敏度分析时，LINGO会输出一个名为“Variable Sensitivity”的窗口，其中包含了与所选中变量相关的数据，如灵敏度系数、上/下限边界、最小可行解等。
另外，该窗口还提供了一个“Graph”选项卡，可以展示出灵敏度分析的图表，帮助用户更直观地理解灵敏度的变化情况。
在LINGO中，最优解灵敏度分析可以探究最优解随着目标函数系数的变化而产生的变化情况。
用户可以在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，然后在“Objective Sensitivity”选项卡中选中需要进行分析的目标函数变量。
总之，LINGO软件的灵敏度分析功能可以在优化过程中帮助用户更好地了解问题的解，探究约束、变量、目标函数系数等因素对应问题的影响，帮助用户优化模型，从而达到更好的优化效果。
第三章 第五节 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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2.9 解 将原问题划为标准形式得
5
4321001355m ax x x x x x z ⨯+⨯+++-=
s.t. ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥=+++=+++-0,,,,90
104122035432153214321x x x x x x x x x x x x x
对于此线性规划问题，用单纯形法进行求解，见表2-5
由表2-5可知，原线性规划问题的最优解为()T
*10
00200X ，，，，=，目标函数的最优
值100
max =z 。
∵非基变量1x 的检验数0
1
=σ，∴原线性规划问题有无穷多最优
解。
(5) 增加一个约束条件③50
532321
≤++x x x
首先，增加约束条件表明以前的单纯形迭代还是有效的，即原来的约束方程组进
行了多次等价变换，所以增加约束条件，就只要增加基变量，然后将基变量的系数矩阵化为单位矩阵，重新计算非基变量的检验数。
在③式加入松弛变量6x 得50
5326321
=+++x x x x ，显然6x 可以作为增加的基变
量。
在表2-5的基础上加入上述约束条件后用对偶单纯形表进行求解，见表2-8
T
*
0150252250X
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，，，，，，目标函数的最优值为95
max
=z 。