2.2初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
行列式与矩阵的初等变换
行列式与矩阵的初等变换行列式和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍行列式和矩阵的概念，以及它们之间的关系，并探讨初等变换在行列式和矩阵运算中的作用。
一、行列式的定义与性质1.1 行列式的定义行列式是一个数学对象，用于表示方阵中各个元素的线性关系。
对于n阶方阵A = (aij)，其行列式记作det(A)或|A|。
1.2 行列式的性质- 行列互换：将方阵A的两行交换位置，行列式的值变号。
- 行列式倍乘：将方阵A的某一行乘以k，行列式的值乘以k。
- 行列相等：若两个方阵A和B除了某两行互换外其他行完全相等，则它们的行列式相等。
二、矩阵的初等变换2.1 矩阵的行初等变换- 互换：交换矩阵A中的两行。
- 消元：将矩阵A中的某行乘以k后加到另一行上。
- 缩放：将矩阵A中的某一行乘以k，k为非零常数。
2.2 矩阵的列初等变换列初等变换与行初等变换类似，只是变换的对象是列而非行。
三、行列式与矩阵的关系3.1 行列式的计算计算行列式的常用方法有展开法、方阵分解法和初等变换法。
其中，初等变换法是一种简便有效的计算方法。
通过对行列式进行初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，进而方便进行计算。
3.2 行列式与矩阵的关系行列式可以通过矩阵来计算，也可以通过矩阵的初等变换来求解。
对于n阶方阵A，其行列式等于A经过一系列行(列)初等变换后得到的方阵的行列式。
四、初等变换的应用4.1 线性方程组的求解通过初等变换可以将线性方程组转化为简化的梯形方程组，从而方便求解。
利用初等变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法。
4.2 矩阵的求逆矩阵的逆矩阵是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
通过初等变换，可以将矩阵转化为简化的阶梯矩阵，从而求得矩阵的逆。
4.3 线性方程组的克拉默法则利用行列式的性质，可以通过克拉默法则求解线性方程组。
克拉默法则使用了行列式的概念，通过计算方程组中各个方程的行列式来求解未知数。
02章矩阵(2)矩阵的初等变换及初等矩阵
1 2
3
4 1 2
( B3 )
3
4
4 2 3
( B4 )
3
4
用“回代”的方法求出解：
x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 x 3 4
其中x3为任意取值.
或令x3 c, 方程组的解可记作
x1 c 4 x2 c 3 x , x3 c 3 x 4 1 4 1 3 即x c 1 0 0 3
1.矩阵的初等变换引进 为了引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法 解线性方程组。 例 求解齐次线性方程组
2 x1 x 2 x 3 x4 2, x1 x 2 2 x 3 x4 4, 4 x1 6 x 2 2 x 3 2 x4 4, 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x4 9,
将下列矩阵化为标准形 .
1 2 3 0 1 2 3 0 A 2 3 0 1 1 2 3 0
(1)
解
A
r1 r4
2 3 0 1 1 2 3 0 2 3 0 1 0 1 2 3
2 1 1 1 1 1 2 1 增广矩阵 B 4 6 2 2 3 6 9 7 1 1 2 1 r1 r2 2 1 1 1 ~ 2 3 1 1 r3 2 3 6 9 7 2 4 4 9 4 2 B1 2 9
变换 r i
r j ,的逆变换就是其本身；
变换 r i×k 的逆变换就是 r i ×(1/k)（或记作 r i ÷k）； 变换 r i ＋kr j 的逆变换是 r i ＋(－k) r j （或记 作r i －kr j ）。
2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形
化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3
矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
课程名称：矩阵分析一、课程编码：1700002课内学时： 32 学分： 2二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业三、先修课程：线性代数，高等数学四、教学目标通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。
五、教学方式教师授课六、主要内容及学时分配1、线性空间和线性变换（5学时）1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换1.2子空间、线性变换1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时）2.1 λ-矩阵及Smith标准形2.2 初等因子与相似条件2.3 Jordan标准形及应用；3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时）3.1 欧式空间、酉空间3.2标准正交基、Schmidt方法3.3酉变换、正交变换3.4幂等矩阵、正交投影3.5正规矩阵、Schur 引理3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形4、矩阵分解（4学时）4.1矩阵的满秩分解4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）4.3矩阵的奇异值分解4.4矩阵的极分解4.5矩阵的谱分解5、范数、序列、级数（4学时）5.1向量范数5.2矩阵范数5.3诱导范数（算子范数）5.4矩阵序列与极限5.5矩阵幂级数6、矩阵函数（4学时）6.1矩阵多项式、最小多项式6.2矩阵函数及其Jordan表示6.3矩阵函数的多项式表示6.4矩阵函数的幂级数表示6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时）7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分7.2 函数向量的线性相关性7.3 矩阵微分方程(t)()() dXA t X t dt=7.4 线性向量微分方程(t)()()() dxA t x t f t dt=+8、矩阵的广义逆（3学时）8.1 广义逆矩阵8.2 伪逆矩阵8.3 广义逆与线性方程组课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线性代数的基础普遍较高，可以分配3学时，剩余2学时可在最后讲解第九章部分内容(Kronecker 积的概念和基本性质)。
2.2 矩阵的运算
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例8．求与矩阵 A=
0 1 0 0 0 1 可交换的一切矩阵。 0 0 0
a 解：设 B= a1 a2 0 AB= 0 0
b b1 b2 1 0 0
c c1 ，那么 c2 0 a b c a1 b1 c1 1 a1 b1 c1 = a2 b2 c2 ， 0 a2 b2 c2 0 0 0
。
9 15 21 6 = 6 0 12 9 0 3 6 9
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思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别？
答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行
（或列）； 而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个 元素。
即：行列式的某行（或列）有公因子即可提出 , 但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A);
(2) (λ + μ)A = λ A + μ A.
结合律
分配律
(3) λ(A + B) = λ A + λ B.
分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
AA A
m 个A
定义
Ａ1 = A,
设 A 是 n 阶矩阵, k 是正整数,
矩阵的初等变换教学设计
矩阵的初等变换教学设计引言：矩阵的初等变换是线性代数中重要的基础概念之一。
它被广泛应用于向量空间的研究、线性方程组的求解以及线性变换的描述等领域。
在教学过程中，通过生动有趣的教学设计，能够帮助学生更好地理解矩阵的初等变换的概念和运算规则。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解初等变换的定义及其应用场景；2. 掌握初等变换的运算规则和性质；3. 能够应用初等变换解决线性方程组问题。
二、教学内容1.初等变换的定义及应用场景；2.初等行变换的运算规则和性质；3.初等列变换的运算规则和性质；4.线性方程组的求解与初等变换的关系。
三、教学过程设计1. 导入（5分钟）引入矩阵的初等变换的概念，通过生活中的例子引起学生的兴趣，例如：两个人通过沟通和交流互相影响，这就是一种变换；沙漏的上下翻转也是一种变换，等等。
2. 知识讲解（20分钟）2.1 初等变换的定义及应用场景学生通过具体例子，了解初等变换的定义和应用场景。
例如，初等变换可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆等。
2.2 初等行变换的运算规则和性质详细讲解初等行变换的三种运算规则：交换两行、以非零常数倍乘某行、给某行加上另一行的常数倍。
同时，介绍初等行变换的性质，并结合实例进行说明。
2.3 初等列变换的运算规则和性质详细讲解初等列变换的三种运算规则：交换两列、以非零常数倍乘某列、给某列加上另一列的常数倍。
同时，介绍初等列变换的性质，并结合实例进行说明。
3. 讲解与练习（30分钟）3.1 线性方程组的求解与初等变换的关系通过一个线性方程组的例子，引导学生认识到初等变换与线性方程组之间的密切关系。
讲解如何通过初等变换将线性方程组化简为行阶梯型，进而解决线性方程组。
3.2 练习题讲解与批改设计一些练习题，让学生进行练习，并对答案进行讲解与批改。
通过练习巩固学生对初等变换的理解和应用。
4. 学习总结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调初等变换的重要性和应用价值。
线性代数讲义2
第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1这个排成4行5列的产值阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7680827088809090759076848570986478755880具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，，Λ2,1=）耗用第j 种材料（n j ，，Λ2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2这个由m 行n 列构成的消耗定额阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵.这n m ⨯个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素.一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ⨯表示，或记作()nm ija ⨯.二、几种特殊的矩阵1．n 阶方阵当n m =时，即A =()nn ija ⨯时，A 称为n 阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n OO A λλλO21 3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111O O OE 4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a aa a a ΛM O M M ΛΛ00022211211 或 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a aa ΛM O M M ΛΛ21222111000 5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作n m O ⨯，简记O . 6．行矩阵、列矩阵m =1时的矩阵，即()n a a a A Λ21=称为行矩阵；n =1时的矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A M 21称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵n n ij a A ⨯=)(中，若),,2,1,(n j i a a jiij Λ==则矩阵A 称为对称矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410781086076258051§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念. 定义1 在矩阵()nm ija A ⨯=和()nm ijb B ⨯=中，若它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ijij ΛΛ===则称矩阵A 与B 相等,记为A=B .定义2 设()nm ija A ⨯=，()nm ijb B ⨯=，矩阵()nm ijij b a ⨯±称为矩阵A 与矩阵B 的和或差，记作A +B 或A -B ，即n m ij ij b a B A ⨯±=±)(注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=846075120231321034022753B A则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+11670109142984834261007354102202273513 846075120231321034022753B A矩阵加法满足以下运算规律：（1）A B B A +=+（2）)()(C B A C B A ++=++（3）A O A =+ 矩阵()nm ija ⨯-称为矩阵()nm ija A ⨯=的负矩阵，记为()nm ija A ⨯-=-.显然，有（4）O A A =-+)(二、数与矩阵的乘法定义3 以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA .如果()nm ija A ⨯=，那么()()n m ij n m ij ka a k kA ⨯⨯==不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律： (1) kB kA B A k +=+)( (2) lA kA A l k +=+)( (3) )()(lA k A kl =(4) A A A A -=-=⋅)1(1， (5) O O k =⋅ (O 为零矩阵) 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=052110351234230412301321B A求3A -2B .解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-61941016151055011061094021223066910023496683052110351234223412301321323B A 例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=612379154257864297510213B A且B X A =+2,求X ..解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=1271211122223227212244446421)(21A B X 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有321,,A A A 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）1A车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）2A车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）3A车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元）1A车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）2A车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）3上述结果列成表2-5如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2738165.309820235790,3205.28414512,010322441305310161521C B A 从上述分析可以看出，矩阵A 、B 与C 之间的关系是：C 中第i 行第j 列)2,1;3,2,1(==j i 元素恰好等于A 的第i 行各元素分别和矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C 定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记为C =AB , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2738165.3098202357903205.28414512010322441305310161521AB C 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵()l m ik a A ⨯=的列数与矩阵()nl kjb B ⨯=的行数相同，则由元素),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c lk kjik lj il j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=构成的m 行n 列矩阵n m lk kj ik n m ij b a c C ⨯=⨯∑==)()(1称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为C =A ·B 或AB .这个定义说明，如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 的乘积C 中第i 行第j 列的元素，等于矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和.并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数.例5 若,012321,132132⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=B A 求AB . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012321132132AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+-⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=97530367801)3(3)1(1)2(321130)2()3(1)1()2()2(12)2(1103)3(2)1(3)2(22312我们还可以求一下BA .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+⨯⨯-+⨯-+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=834910)2()1(32301)1(221)3()2()2(313)3(1)2(21132132012321BA显然,BA AB ≠.例6 若()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==530412,013B A ,求AB . 解()()()32500113)3(0)4(123530412013=⨯+⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ABBA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数，BA 不可进行运算.例7 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6342,2142B A ，求AB 及BA .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=168321663422142AB .000021426342BA AB BA ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB 有意义，BA 不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB 、BA 都有意义，AB 与BA 也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB =O 必然推出A =O 或B =O .例8 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021,1011B A ，求AB 与BA . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110211011AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110111021BA 显见，AB=BA .如果两矩阵A 与B 相乘，有AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵B 可交换. 矩阵相乘时必须注意顺序，AX 称为用X 右乘A ，XA 称为用X 左乘A . 矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB ）C=A （BC ）（2）k （AB ）=（kA ）B=A （kB ） （其中k 为数值）（3）A （B+C ）=AB+AC （4）（B+C ）A=BA+CA 设A 是n 阶方阵，规定：,,,,,1210A A A AA A A A E A k k ⋅====+Λ其中k 为正整数，k A 称为A 的k 次幂.例9 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4321A ，求E A A 5322+-. 解E A A 5322+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001543213432122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6127181650051296344181214四、矩阵的转置定义5 把矩阵A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为TA ，即若()nm ija A ⨯=，则()mn jiT a A ⨯=.例10 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=52134071A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=54201731T A 可见，若A 是对称矩阵，则有TA A =. 矩阵的转置具有下列性质： （1）A A TT=)(（2）TTTB A B A +=+)( （3）T TA A λλ=)(（4）TT T A B AB =)(五、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排列成的数表，而n 阶行列式是这些数（也就是数表A ）按一定运算法则所确定的一个数.由A 确定的A 的这个运算满足下述运算规律（设A ，B 为n 阶方阵，k 为数值）： （1）A A T = （2）A k kA n= （3）B A AB =由（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来BA AB ≠，但总有BA AB =例11 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=43522231B A ，，求AB . 解法1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22171143522231AB所以 56221711=-=AB解法256)7(843522231=-⨯-=⋅-==B A AB习题2.21． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321,111111111B A ，求 （1）3AB-2A （2）B A T2．已知011311232021132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X ，求X .3．计算下列乘积.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134 （2）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123321 （3）()132211-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--131201********* （5）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11212221211211y x c b b b a a b a a y x 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321431422,531531531,431541532C B A证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A ，CA=C （3）ACB=CBA5．证明矩阵下列运算性质.（1）)()(C B A C B A ++=++ （2）TTTB A B A +=+)( （3）A A nλλ= （4）AE =EA =A 6．求下列矩阵的幂. （1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA ，求kA A A ，，，Λ32 （2）求nO O⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλOO7．若矩阵AB =BA ，则称B 与A 可交换，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵.§2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b ，当0≠a 时，存在一个数1-a ，使b a x 1-=为方程组的解.那么在解矩阵方程AX =B 时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA=E那么矩阵A 称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵. 如果A 可逆，A 的逆矩阵是唯一的.因为如果B 和1B 都是A 的逆矩阵,则有E A B AB E BA AB ====11,那么 1111)()(B EB B BA AB B BE B ===== 即 1B B =所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A .定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称A 为非奇异的. 为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念. 定义3 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式A 中的元素ij a 代数余子式，那么矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*称为矩阵A 的伴随矩阵.定理1 矩阵A 存在逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A 可逆，则有1-A使E A A AA==--11.因此，01111≠====---E A A A A AA ，即0≠A .充分性：若0≠A ，作矩阵*1A AB =由§1.2定理1和定理2，可得E A A AA AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00*O ， 即得AB=E .同理，可证，BA=E .故*11A AA B ==- 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质： （1）A A =--11)( （2）111)(---=A B AB（3）11)()(--=TTA A （4）AA11=- （5）111)(--=A kkA 下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明. 证（2） 因为E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((， E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以 111)(---=A B AB证毕 由定理1,可得由矩阵A 的伴随矩阵*A 求逆矩阵1-A 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵*A ；由*11A AA=-便得1-A .这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题. 例1 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4312A 的逆矩阵. 解 因为011≠=A ，所以1-A 存在.由于213422211211=-===A A A A因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2314*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-11211311111423141111*1A A A 例2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=631321222A 的逆矩阵. 解 因为,02≠=A 所以1-A 存在，由于 131213613136332131211==-=-===A A A ,4312210612266322232221-=-===-=-=A A A221224312223222333231=-=-=-===A A A因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-122125231323241410326321211332313322212312111*1A A A A A A A A A A A A 例3 试用逆矩阵求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--353042231321321x x x x x x x x 解 令,302,,503411112321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B x x x X A 于是原方程组可写成AX=B （2-3-1）因为 ,0653411112≠=--=A 故1-A 存在，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-3339137355611*1A A A对（2-3-1）式两侧左乘1-A ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-63613613131613023339137355611B A X即线性方程组的解为21,613,61321=-==x x x .习题2.31． 验证矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123124321B A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012015120110141101510075504321B A 2．写出下列初等方阵的逆矩阵。
浅谈对行列式,矩阵及线性相关性的理解
浅谈对行列式，矩阵及线性相关性的理解［摘要］行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了，所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
矩阵是线性代数课程中的最重要的一章之一，学好矩阵，对我们学习线性代数有着关键性的作用，故在此我也对矩阵这一章做出归纳总结。
线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对我们来说是很难理解的，故我把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，这样在学习上可收到较好的效果。
［关键词］行列式性质，展开法则，初等矩阵，初等变换，线性相关，线性无关，多余，没有多余。
[正文] 1.行列式1.1、行列式定义举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。
（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
1.2、行列式性质行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。
这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
矩阵及其初等变换
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (3) 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 .
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20 17 12 A 30 20 10 4 80 68 48 B 4 A 120 80 40
17
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数与矩阵的乘法运算规则
( ) A ( A) ( ) A A A
4
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a11 a21 A a m1
a12 aLeabharlann 2 am 2 a1n a2n amn
这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a ij 位于矩 阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 a ij 为(i,j)元的矩 阵可简记作 ( a ij ) 或 ( a ij ) m n . m n 矩阵A也记作 Am n . 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵. 矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在 数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念. 矩阵的行数和列数不一定相等.
22
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特别注意-乘积不可交换
AB乘积一般不可以交换， (1) A21 , B13 , AB为 2 3矩阵，但BA无意义； (2) A23 , B3 2 , AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.
若 AB BA, 则称矩阵 A、B 乘积可交换. 由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
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例1.3 n个变量 x1 , x2 ,, xn 与m个变量之间的 y1 , y2 ,, ym 关系式
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Em (i(k))Amn 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 ri k.
Amn En (i(k )) 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 ci k .
Em( j( k )，i )A AEn( j( k )，i )
把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 ri krj. 把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 c j kci.
8/20
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
本节难点
定理1 设A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的m
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
20/20
AEn( j( k )，i )
a11
a21
am1
a1i ka1 j a2i ka2 j
ami kamj
a1 j a2 j amj
a1n
a2n
amn
19/20
结论
Em (i, j)Amn 把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 ri rj .
Amn En (i, j) 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 ci c j .
a11
a12
ai1
ka j1
ai2 ka j2
Em ( j( k )，i )A
a j1
aj2
am1
am 2
a1n
ain
a
jn
a jn
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
18/20
类似地，以 En( j( k )，i ) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 ( cj kci ).
,
3
1 4
即x
c
1 1
3 0
0 3
（2）
其中c为任意常数.
5/20
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如
下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
3/20
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
11/20
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
1
0 1
第
i
行
1
E(i, j)
1 1 0
第
j
行
1
1
12/20
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11 a12 a1n
a
j1
aj2
就称这两个线性方程组等价
10/20
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a jn
第
i
行
Em(i, j)A
ai1
ai2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
13/20
a11 a12 a13 a14
A34
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
4/20
于是解得
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
其中x3为任意取值.
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
15/20
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
a11 a12
Em
(
i(
k
))
A
kai1
kai 2
am1 am2
a1n
kain
第
i
行
amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri k)；
类似地，以 En(i(k)) 右乘 矩阵 A，其结果 相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k).
1/20
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
2/20
解
a11
AEn
(i
,
j)
a21
am1
a1 j a2 j amj
a1i a2i ami
a1n a2n amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
14/20
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
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3．上述三种变换都是可逆的． 若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
1 0 0
E3
(2,
3)
0
0
1
0 1 0
1 0 0 a11 a12 a13 a14
E3
(2,
3)
A34
0
0
1
a21
a22
a23
a24
0 1 0 a31 a32 a33 a34
a11 a31
a12 a32
a13 a33
a14 a34
a21 a22 a23 a24
类似地， 以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
16/20
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
E( j( k )，i )
1
k
1
第i行
第j行
1
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以 Em( j( k )，i ) 左乘矩阵 A，
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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
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二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.