2011年福建省莆田市中考真题(word版含答案)

2011年莆田市初中毕业、升学考试试卷数学试题（满分150分；考试时间120分钟）注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置．一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．1．2011-的相反数是（ ） A ．2011- B ．12011-C ．2011D ．120112．下列运算中，正确的是（ ）A ．22x x -=B ．336()x x =C ．824x x x ÷= D ．2x x x += 3．已知点(1)P a a -，在平面直角坐标系的第一象限内，则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）4．在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．等边三角形C ．菱形D ．等腰梯形5．抛物线26y x =-可以看作是由抛物线265y x =-+按下列何种变换得到（ ） A ．向上平移5个单位 B ．向下平移5个单位C ．向左平移5个单位D ．向右平移5个单位 6．如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ） A ．长方体 B ．三棱柱C ．圆锥D ．正方体7．等腰三角形的两条边长分别是3、6，那么它的周长是（ ） A ．15 B ．12 C ．12或15 D ．不能确定C ． B ．D ． 主视图左视图 俯视图第6题8．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处．若4AB =，5BC =，则t an AFE ∠的值为（ ）A ．43 B ．35C ．34D ．45二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 9．一天有86400秒，用科学记数法表示为___________秒．10．数据1212x --，，，，的平均数是1，则这组数据的中位数是_______． 11．1O ⊙和2O ⊙的半径分别为3cm 和4cm ，若1O ⊙和2O ⊙相外切，则圆心距12O O =_____cm ． 12．若一个正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是_______边形．13．在围棋盒中有6颗黑色棋子和n 颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是35，则n ＝_________． 14．如图，线段AB DC 、分别表示甲、乙两座建筑物的高，AB BC ⊥，DC BC ⊥，两建筑物间距离30BC =米，若甲建筑物高28AB =米，在A 点测得D 点的仰角45α=°，则乙建筑物高DC ＝_________米．15．如图，一束光线从点(33)A ，出发，经过y 轴上的点C 反射后经过点(10)B ，，则光线从A 点到B 点经过的路线长是________． 16．已知函数2()1f x x=+，其中()f a 表示当x a =时对应的函数值，如222(1)1(2)1()112f f f a a=+=+=+，，，则(1)(2)(3)(100)f f f f =··……__________． 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）计算：0(π3)3-+-化简求值：24362a a a --+-，其中5a =-． 19．（本小题满分8分）如图：在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，过点C 作CF AB ∥交AE 的延长线于点F ，连接BF . （1）（4分）求证：DB CF =； （2）（4分）如果AC BC =，试判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论．20．（本小题满分8分）“国际无烟日”来临之际，小敏同学就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度（彻底禁烟、建立吸烟室、其他）进行了调查，并把调查结果绘制成如图1、2的统计图，请根据下面图中的信息回答下列问题：（1）（2分）被调查者中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有________人； （2）（2分）本次抽样调查的样本容量为_________； （3）（2分）被调查者中，希望建立吸烟室的人数有_________人； （4）（2分）某市现有人口约300万人，根据图中的信息估计赞成在餐厅彻底禁烟的人数约有_________万人．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°．O D 、分别为AB BC 、上的点，经过A D 、两点的O ⊙分别交AB AC 、于点E F 、，且D 为EF 的中点． （1）（4分）求证：BC 与O ⊙相切；（2）（4分）当AD =30CAD ∠=°时，求AD 的长．22．（本小题满分10分）如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A B 、重合），过点E 的反比例函数ky x=（x >0）的图象与边BC 交于点F ．（1）（4分）若OAE OCF △、△的面积分别记为1S 、2S ，且122S S +=，求k 的值； （2）（6分）若24OA OC ==，，问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大，其最大值为多少？23．（本小题满分10分）某高科技公司根据市场需求，计划生产A B 、两种型号的医疗器械．其部分信息如下： 信息一：A B 、两种型号的医疗器械共生产80台．信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元，且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．信息三：A B 、两种医疗器械的生产成本和售价如下表：根据上述信息，解答下列问题： （1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ （2）（4分）根据市场调查，每台A 型医疗器械的售价将会提高a 万元（a >0），每台B 型医疗器械的售价不会改变，该公司应该如何生产可以获得最大利润？ （注：利润＝售价-成本） 24．（本小题满分12分） 已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，其中(10)(03)A C -，，，. （1）（3分）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．①（4分）如图1，当PBC △面积与ABC △面积相等时，求点P 的坐标； ②（5分）如图2，当PCB BCA ∠=∠时，求直线CP 的解析式．25．（本小题满分14分）已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=°，等边AEF △两边分别交边DC CB 、于点E F 、． （1）（4分）特殊发现：如图1，若点E F 、分别是边DC CB 、的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点O 即为等边AEF △的外心；（2）若点E F 、始终分别在边DC CB 、上移动，记等边AEF △的外心为点P .①（4分）猜想验证：如图2，猜想AEF △的外心P 落在哪一直线上，并加以证明； ②（6分）拓展运用：如图3，当AEF △面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M，交边DC的延长线于点N，试判断11DM DN是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2011年莆田市初中毕业、升学考试试卷数学参考答案说明：（一）如解答的某一步计算出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（二）以上解答各行右端所注分数表示正确做完该步骤应得的累计分数． （三）评分的最小单位1分，得分或扣分都不能出现小数点． 一、精心选一选1．C 2．Ｄ 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 二、细心填一填9．48.6410⨯ 10．1 11．7 12．9 13．4 14．58 15．5 16．5151 三、耐心做一做17．解：原式＝13+-4． 18．解：原式＝2236236282a a a a a a a +--+=+-+=-+-（）()．当5a =-时，原式＝2(5)818-⨯-+=．19．（1）证明：AB CF ∥，DAE CFE ∴∠=∠．又DE CE AED FEC =∠=∠，． ADE FCE ∴△≌△． AD CF ∴=． AD DB DB CF =∴=，．（2）解：四边形BDCF 是矩形． 证明：CF DB CF DB =∥，， ∴四边形BDCF 为平行四边形． AC BC AD DB ==，，CD AB ∴⊥． ∴四边形BDCF 是矩形．20．（1）82；（2）200；（3）56；（4）159. 21．（1）证明：连接OD ，则OD OA =.OAD ODA ∴∠=∠．DE DF OAD CAD ODA CAD =∴∠=∠∠=∠，，．OD AC ∴∥．又9090C ODC ∠=∴∠=°，°．即BC OD ⊥．BC ∴与O ⊙相切．（2）解：连接DE ，则90ADE ∠=°． 30120OAD ODA CAD AOD ∠=∠=∠=∴∠=°．°．在Rt ADE △中，4cos AD AE EAD ===∠．O ∴⊙的半径2r =．AD ∴的长120π24π1803l ⨯==． 22．解：（1）点E F 、在函数(0)ky x x=>的图象上， ∴设111()(0)k E x x x >，，222()(0)kF x x x >，．112212112222k k k kS x S x x x ∴===··，= ． 1222222k k S S k +=∴+=∴=，．．（2）四边形OABC 为矩形，24OA OC ==，设(2)(4)24k k E F ，，，． 4224k kBE BF ∴=-=-，．211(4)(2)422416BEF k k S k k ∴=--=-+△．14248242OCF OABC k kS S =⨯⨯=⨯=△矩形，=，22218(4)162141621(4)516BEF OCF OABC OAEF S S S S kk k k k k ∴=--=--+-=-++=--+△△矩形四边形．∴当4k =时，52OAEF S AE ∴=四边形=，． 当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5．23．解：（1）设该公司生产A 种医疗器械x 台，则生产B 种医疗器械（80-x ）台，依题意得2025(80)18002025(80)1810x x x x +-⎧⎨+-⎩≥，≤． 解得3840x ≤≤．取整数得383940x =，，．∴该公司有3种生产方案：方案一：生产A 种器械38台，B 种器械42台． 方案二：生产A 种器械39台，B 种器械41台． 方案三：生产A 种器械40台，B 种器械40台．公司获得利润：(2420)(3025)(80)400W x x x =-+--=-+． 当38x =时，W 有最大值．∴当生产A 种器械38台，B 种器械42台时获得最大利润． （2）依题意得：(4)5(80)(1)400W a x x a x =++-=-+．当10a ->，即1a >时，生产A 种器械40台，B 种器械40台，获得最大利润； 当10a -=，即1a =时，（1）中三种方案利润都为400万元．当10a -<，即01a <<时，生产A 种器械38台，B 种器械42台，获得最大利润.24．解：（1）由题意，得0322a b c c b a ⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，，．解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．（2）①令2430x x -+-=，得1213(30)x x B ==∴、．，． 过点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点1P . 设直线BC 的解析式为y kx m =+.直线BC 过点(30)(03)B C -，，，，303k m m +=⎧∴⎨=-⎩，．13k m =⎧∴⎨=-⎩，．∴直线BC 的解析式为3y x =-． ∴设直线1AP 的解析式为y x n =+．直线1AP 过点(10)A ，， 101n n ∴+=∴=-．．∴直线1AP 的解析式为1y x =-．解方程组2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，． 得12121201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，．． ∴点1P 的坐标为21（，）． 当点P 在x 轴下方时，如图1． 设直线1AP 交y 轴于点(01)E -，. 把直线BC 向下平移2个单位，交抛物线于点23P P 、． 得直线23P P 的解析式为5y x =-．解方程组2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，．得1222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩23P P ∴⎝⎭⎝⎭，． 综上所述，点P坐标为：123(21)P P P ⎝⎭⎝⎭，，，．②(30)(03)345B C OB OC OCB OBC -∴==∴∠=∠=，，，，．°．设直线CP 的解析式为3y kx =-． 解法一：如图2，延长CP 交x 于点Q ． 设OCA α∠=，则45ACB α∠=-°．45PCB BCA PCB α∠=∠∴∠=-，°．OQC OBC PCB ∴∠=∠-∠． 45(45)αα=--=°°． OCA OQC ∴∠=∠．又90AOC COQ ∠=∠=°，139(90)3OA OC OQ Q OC OQ OQ∴=∴=∴=∴．．．，． 直线CP 过点(90)Q ，，19303k k ∴-=∴=．． ∴直线CP 的解析式为133y x =-．解法二：如图3，过点B 作x 轴的垂线，交CP 于点Q ．4545ABC CBQ ∠=∴∠=°，°．ABC QBC ∴∠=∠．又QCB ACB BC BC ∠=∠=，，CAB CQB ∴△≌△．2BQ AB ∴==．∴点Q 的坐标为(32)-，． 直线CP 过点Q (32)-，，332k ∴-=-．13k ∴=． ∴直线CP 的解析式为133y x =-． 解法三：如图4，过点A 作x 轴的垂线交CB 于点Q ，交CP 于点G ．则452CQG AQB ABQ AQ AB ∠=∠=∠=∴==°．．BQ ∴=又BC =CQ BC BQ ∴=-=又45ACQ QCG CQG ABC ∠=∠∠=∠=，°，CAB CGQ ∴△∽△．223BC AB QG QC QG QG∴==∴=．．． 2882(1)333AG AQ QG G ∴=+=+=∴-．，．直线CP 过点8(1)3G -，，∴81333k k -=-∴=．．∴直线CP 的解析式为133y x =-． 解法四：如图5，过点B 作CP BE ∥交y 轴于点E .设PCB BCA α∠=∠=，则EBC ACB α∠==∠．又45OCB OBC ∠=∠=°， OCB ACB OBC EBC OCA OBE ∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠．．又90OC OB COA BOE =∠=∠=，°，COA BOE ∴△≌△． (10)1OA OE A OE OA ∴=∴==．，，．(01)E ∴-，．设直线BE 的解析式为1y mx =-．直线BE 过点1(30)3103B m m ∴-=∴=，，．．∴直线BE 的解析式为113y x =-． ∴直线CP 的解析式为133y x =-． 25．解：（1）证明：如图1，分别连接OE OF 、．四边形ABCD 是菱形，AC BD BD ∴⊥．平分ADC AD DC BC ∠==，．90COD COB AOD ∴∠=∠=∠=°． 11603022ADO ADC ∠=∠-⨯=°°． 又E F 、分别为DC CB 、中点，111222OE CD OF BC AO AD ∴===，，． OE OF OA ∴==．∴点O 即为AEF △的外心．（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上．证明：如图2，分别连接PE PA 、，过点P 分别作PI CD ⊥于I ，PJ AD ⊥于J ，9060PIE PJD ADC ∴∠=∠=∴∠=°．°． 360360909060120IPJ PIE PJD JDI ∴∠=-∠-∠-∠=---=°°°°°°． 点P 是等边AEF △的外心，120EPA PE PA ∴∠==°，．IPJ EPA IPE JPA ∴∠=∠∴∠=∠．．PIE PJA PI PJ ∴∴=△≌．．点P 在ADC ∠的平分线上，即点P 落在直线DB 上． ②11DM DN+为定值2． 当AE DC ⊥时，AEF △面积最小．此时点E F 、分别为DC CB 、中点．连接BD AC 、交于点P ，由（1）可得点P 即为AEF △的外心． 解法一：如图3，设MN 交BC 于点G .设(00)DM x DN y x y ==≠≠，，，则1CN y =-．BC DA GBP MDP BG DM x ∴∴==∥，△≌△．．1CG x ∴=-．11DA BC NCG NDM CN CG y xxy x y xy DN DM y x ∴∴--∴=∴=∴-=-∥．△∽△．．．．2x y xy ∴+=．112x y ∴+=，即112DM DN +=．解法二：连接PE ，点P E 、分别为AC DC 、的中点，1122DA PE DA PE ∴==∥，．NE EPNEP NDM ND DM ∴∴=△∽△．．设DM x DN y ==，，则111222y NE y y x -=-∴=．1122xy x y ∴-=．112x y ∴+=，则112DM DN +=．解法三：如图5，过点P 作PI DC ⊥于I ．PJ DA ⊥于J，则PI PJ ==DNP DMP DMN S S S +=△△△，111sin 60222DN PI DM PJ DM DN ∴+=·······°．111242422DN DM DM DN ∴+=······· 2DN DM DM DN ∴+=·．112DN DM∴+=． 解法四：如图6，以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设直线MN 的解析式为y kx b =+．可求得点P 的坐标为3(44，．344k b ∴+=34b k ∴=． ∴直线MN的解析式为34y kx k =． 求得直线DN的解析式为y =．令34kx k +-=，33cos 60k k x x DN -∴=∴==°令333444404k k y kx k x DM k k=-=∴=∴=．．．112(32DM DN k ∴+===．。