初中数学辅助线添加技巧：弦图

初中数学辅助线添加技巧：弦图勾股的几个重要证明方法证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．c b aHG F EDCBA∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2b a -． ∴()22142ab b a c ⨯+-= ．∴ 222a b c +=．证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．cb a HGFED CBA∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2a b +． ∴ ()22142a b ab c +=⨯+．∴ 222a b c +=．证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．c b a Ic b a HGF EDCBA∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，∴四边形AHFI 是正方形．∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+，∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：c b a cb ED C BA以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于212c ．又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()212a b +． ∴()221112222a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．证法五（总统证法变形）：如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设,,AB a BC b AC c ===．B'C'D'c b aD C BA∵四边形BCC'D'为直角梯形，∴()()2122'D'a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．∴2211122222ABC CAC'D'AC''D'c abS S S S ab c ab +=++=++=△△△梯形BCC ． ∴()22222a b c ab++=．∴222a b c +=．证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．a b c a b c a bc P cb a HG F E DC BA∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a ． ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形． 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形．设多边形GHCBE 的面积为S ，则222112,222a b S ab c S ab +=+⨯=+⨯∴222a b c +=．勾股定理的证明方法较多，这是其中的几种．方法总结：勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的． 观察上面的证明方法可发现：每个图形中都可以提炼出一个相同的模型——三垂直全等模型．如下图所示．三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型．图a 与图b 是三垂直全等模型经过直角三角形位置变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，在做题时可参考．图b图a典例精析例1．（1）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图1CBA（2）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积是5和11，则b 的面积为 ．b a cCEDBA解：（1）76；（2）16例2如图1——图3，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀，使之拼成一个新的正方形．（1）如图1，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线；（2）如图2，若正方形的边长分别为a 、b （a >b ），请画出剪切线并标出各边的长度； （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图3中画出剪切线．图3图2图1解：（1）、（2）、（3）的剪切线如图a 、图b 、图c 所示：图c图b图a点拨：图c 是证明勾股定理中非常有名的“朱青出入图”． 例3．如图，已知ADBC ，ABE △和CDF △是等腰直角三角形，90,2,5EAB FDC AD BC ∠=∠=︒==，求四边形AEDF 的面积．CFEDBA解：分别过点E 、B 作EN AD ⊥，BM AD ⊥交DA 的延长线于点N 、M ，分别过点F 、C 作FP AD ⊥，CQ AD ⊥，交AD 及AD 延长线于点P 、Q ．NM QP CFEDBAAED ADF EAFD S S S =+△△四边形 ()111222AD EN AD FP AD EN FP =+=+ ∵△AEB 和△FDC 都是等腰直角三角形， ∴90,,EAB FDC AE AB DF CD ∠=∠=︒==． ∵EN AD ⊥，BM AD ⊥，FP AD ⊥，CQ AD ⊥， ∴90BMN ENA FPD DQC ∠=∠=∠=∠=︒． ∴,ENA MBA FPD QCD ∠=∠∠=∠． ∴,ENA AMB FPD DQC △≌△△≌△． ∴,EN AM FP DQ ==．∴EN FP AM DQ MQ AD +=+=-． ∵ADBC ，BM CQ ，且90BMN ∠=︒，∴四边形BMQC 是矩形． ∴BC MQ =． ∵5,2BC AD ==，∴523EN FP +=-=． ∴12332EAFD S =⨯⨯=四边形．例4． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =a ，AC =b ，以其各边向外作正方形，得到一个凸六边形DEFGHI ．（1）求这个六边形的面积；（2）试判断线段EF 、GH 、DI 能否构成三角形，若能，探求该三角形的面积与△ABC 面积的关系；若不能，请说明理由．ZY XW 图3图2图1A B C H ID EF GAB C HI D E FGH P IC GFEDB A解：（1）如上图2，作出正方形ABDE 的内弦图，则易知四个直角三角形全等． 则AZ WB AF ==，那么AWB AZE DYE BXD ABC S S S S S ====△△△△△．又∵,,EAF EAZ DBI DBX GCH ABC S S S S S S ===△△△△△△，且AEF ABC CGH BID S S S S ===△△△△，4ABC AFGC BCHI ABDE DEFGHI S S S S S =+++△正方形正方形正方形六边形 222142a b c ab =+++⨯22222a b ab =++．（2）线段EF 、GH 、DI 能构成三角形． 如图3，过点F 作FPGH 交AC 于点P ，连接EP 、IP ，易证四边形FPHG 是平行四边形，PHI ACB △≌△， ∴四边形PIDE 也是平行四边形． 那么,AFP GCH BID APE △≌△△≌△．∴EF 、GH 、DI 可能构成三角形，即EPF △，面积为3ABC S △．点拨：以三角形三边为边向外分别作正方形的题型，可能构造弦图或者作平行线构造平行四边形，利用弦图的性质，三角形全等或者面积关系来解题．例5． 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °． 问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．AB CEFG PQ图3解：情景观察：AD 或A′D ；90． 问题探究：结论：EP =FQ ． 证明：∵△ABE 是等腰三角形， ∴AB =AE ，∠BAE=90°． ∴∠BAG +∠EAP =90°． ∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP ． ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ． ∴AG =EP ．同理AG =FQ ． ∴EP =FQ ． 举一反三如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于点P ，FQ ⊥l 于点Q ．求证：EP =FQ ．图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'HNM QP Ll CGFEDBA点拨：这两道题图形较复杂，但解题的思路很清晰，仍是构造三垂直全等模型，添加了辅助线问题就迎刃而解了．例6． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P ．求证：2EP +AD =2CD ．M P l CFED BA解：作AH BC ⊥于点H ，延长EP 交AH 于点G ．54321M PlCFEDBA∵l 是AD 的垂直平分线， ∴1,2AM DM AD l AH ==．又∵ABCD 是梯形， ∴90C D ∠=∠=︒． ∴四边形AHCD 是矩形， ∴AH CD =． 又∵PE l ⊥，∴EH AH ⊥，∴四边形AGPM 是矩形， ∴12GP AM AD ==， ∴1290∠=∠=︒． ∴3490∠+∠=︒．在正方形ABFE 中，,90AB AE BAE =∠=︒， ∴4590∠+∠=︒． ∴35∠=∠．∵12∠=∠，35∠=∠，AB EA =， ∴ABH EAG △≌△．∴AH EG =，即CD AH EG ==．∴12CD GP PE AD PE =+=+，即22CD AD PE =+． 例7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设BCD α∠=，以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE ．CEDBA（1）当45α=︒时，求EAD △的面积； （2）当30α=︒时，求EAD △的面积；（3）当090α︒<<︒，猜想EAD △的面积与α的大小有无关系？若有关，写出EAD △的面积S 与α的关系式；若无关，请说明理由．解：（1）当45α=︒时，90BCE ∠=︒．延长AD 交DE 于点G ，则AG CE ⊥，点G 是CE 中点，CG EDBA∴四边形ABCG 是矩形，EG =DG =1． ∴112122EAD S AD EG ==⨯⨯△． （2）当30α=︒时，延长AD 交CE 于点G ，过点E 作EH AG ⊥于点H ．HCG ED BA∵30α=︒，∴30CDG ∠=︒，60EDG ∠=︒，DE CD ==． 在Rt EHD △中，12DH DE ==， ∴1， ∴112122EAD S AD EH ==⨯⨯△． （3）分别过E 、C 两点作AD 的垂线，交AD 延长线于点F 、G ，HCG ED BA∴90EFG AGC ∠=∠=︒， ∵,ADBC AB BC ⊥，∴90B BAD ∠=∠=︒， B BAD AGC ∠=∠=∠，∴四边形ABCG 是矩形． ∴3AG BC ==， ∴321DG =-=， ∵90CDE ∠=︒， ∴90CDG EDG ∠+∠=︒， ∵90CDG DCG ∠+∠=︒，∴DCG EDG ∠=∠， ∵CD DE =， ∴CDG DEF △≌△， ∴1DE DG ==， ∴112122EAD S AD EF ==⨯⨯△． ∴EAD △的面积与α的大小无关． 跟踪训练1．如图，点C 为线段AB 上一点，正方形ADEF 和正方形BCDG 的面积分别为10cm 2和5cm 2，则△EDG 的面积为 cm 2．CGFEDBA2．四边形ABCD 是正方形，直线1l ，2l ，3l 分别通过A 、B 、C 三点，且123l l l ，若1l 与2l 的距离为5，2l 与3l 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为 ．CDBA3．在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作,BE AG DF AG ⊥⊥，垂足分别为E 、F 两点．探究线段EF 、DF 、BE 三者之间的关系，并证明你的结论．CGFEDBA4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S．若12310S S S++=，则2S的值是．5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，—4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化？写出你的结论，并说明理由．例6．如图，Rt △PQR 的直角边为5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？95RQ P FEDCBA7．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图1所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6．5厘米，宽为2厘米的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．图2图1中考前瞻如图1至图3，点C 为定线段AB 外一动点，以AC 、BC 为边分别向外侧作正方形CADF 和正方形CBEG ，分别作1DD AB ⊥、1EE AB ⊥，垂足分别为1D 、1E ．当C 的位置在直线AB 的同侧变化过程中，（1）如图1，当∠ACB ＝90°，AC =4，BC =3时，求11DD EE +的值；（2）求证：如图2，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，11DD EE +的值为定值； （3）求证：如图3，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点．图3图2图1A1E 1GAD 1BE 1E GC FD E 1D 1GFEDC B A。