五年级下第3讲 最值问题(二)
小学五年级奥数关于最值问题的讲解
【导语】“最⼩、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应⽤类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类⽬⼴泛，是数学、物理中常见的类型题⽬。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助！【篇⼀】 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，⼜要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最⼩的代价取得的效益。
这类应⽤题叫做最值问题。
【数量关系】⼀般是求值或最⼩值。
【解题思路和⽅法】按照题⽬的要求，求出值或最⼩值。
例1在⽕炉上烤饼，饼的两⾯都要烤，每烤⼀⾯需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟? 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了⼀⾯，这时将第⼀块饼取出，放⼊第三块饼，翻过第⼆块饼。
再过3分钟取出熟了的第⼆块饼，翻过第三块饼，⼜放⼊第⼀块饼烤另⼀⾯，再烤3分钟即可。
这样做，⽤的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在⼀条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千⽶，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到⼀个煤场⾥，每吨煤运1千⽶花费1元，集中到⼏号煤场花费最少? 解我们采⽤尝试⽐较的⽅法来解答。
集中到1号场总费⽤为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费⽤为1×100×10+1×400×30=13000(元) 集中到3号场总费⽤为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费⽤为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费⽤为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过⽐较，显然，集中到5号煤场费⽤最少。
第03讲极值与最值(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
所以 的最小值为 −2 = ln −2 − 2，无最大
值．
综上，当 ≥ 0时，�� 无最值；
当 < 0时， 的最小值为ln −2 − 2，无最大值．
题型四：求函数的最值（含参）
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = ln 1 + + e− ．
A．[−3,6]
B．(−3,6)
C．(−∞, −3] ∪ [6, +∞)
【答案】A
【解析】因为() = 3 + 2 + ( + 6)，
所以′() = 3 2 + 2 + + 6，
因为()无极值，所以(2)2 − 4 × 3 × ( + 6) ≤ 0，
解得−3 ≤ ≤ 6，所以a的取值范围为[−3,6]．
在 −1,0 内单调递增，
1
所以 > −1 = e > 0，
所以′ > 0， 在 −1,0 内单调递增，
π
2
【解析】因为函数 = tan + ln 1 − , ∈ − , 1 ，
所以′ =
1
cos2
+
−1
1−
=
1
cos2
+
1
−1
=
−1+cos2
，
−1 cos2
设ℎ = − 1 + cos 2 ，ℎ′ = 1 − 2cossin = 1 − sin2 ≥ 0，
有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值 ；
第03讲 二次函数的增减性与最值问题(原卷版)
第3讲 二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】❖ 无区间范围的二次函数最值由a 与定点纵坐标共同决定对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上⇔ a ＞0⇔二次函数有最小值ab ac 442-； 开口向下⇔a ＜0⇔二次函数有最大值ab ac 442-； ❖ 区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2，有最小值﹣2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D ．有最大值2，无最小值2．已知函数y ＝x 2﹣6x +2，当﹣1＜x ＜4时，则y 的取值范围为 ．3．设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a4．已知抛物线y ＝（x ﹣b ）2+c 经过A （1﹣n ，y 1），B （n ，y 2），C （n +3，y 3）三点，y 1＝y 3．当1﹣n ≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5B．3C．D．45．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1B．C．或﹣8D．1或﹣86．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤07．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或39．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A ．﹣B ．或﹣C ．2或﹣D ．2或﹣或﹣13．当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或514．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y ＝m （m 是常数）交于点A 、B ，AB ＝6，则m ＝ ．（3）当﹣3＜x ＜3时，y 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于A （﹣3，0）、B （0，﹣3），二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）若二次函数y ＝x 2+mx +n 图象与y 轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象上？（3）当n ＞0，m ≤5时，二次函数y ＝x 2+mx +n 的最小值为t ，求t 的取值范围．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】❖ 常规问题需要由a 与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：a ＞0时，图象开口向上； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而减小，反之则y 随x 的增大而增大； a ＜0 时，图象开口向下； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而增大，反之则y 随x 的增大而减小； ❖ y 1、y 2比较大小问题规律总结：若点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上的两个点，则：当a ＞0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a ＜0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y ＝﹣x 2+2，下列说法正确的是（ ）A ．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜23．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2C．若x1+x2＞1，则y1＞y2D．若x1+x2＜1，则y1＞y24．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3B．3C．D．±35．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y26．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣110．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3 的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．。
部编版数学五年级暑假第3讲.棋盘中的数学.超常体系
国际象棋的历史
关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非 常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能 离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的 办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王， 另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗 便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子 必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改 变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。
(2)用若干个
和
能否恰好不重不漏地覆盖住 15×15 的方格棋盘．
(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 5×6 的方格棋盘． 【分析】(1)B，从奇偶性考虑
(2)不能，从奇偶性考虑 (3)不能， 俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 5×6 小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问 题也会用到此类思想．
【分析】不能，对 4 5 长方形作黑白染色
8 第 9 级上 超常体系 教师版
黑格数 白格数，但若对
、
①
②
、
、
③
、
④
这五个图形进行
⑤
黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑 白，所以办不到．
例7
(1) 能不能用 15 个
将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 1×2 的小长方形覆 盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到． (2)右图是一个 5×7 的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，
专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形
例 1 (1)(2021·南通模拟)已知 α∈0，π2，2sin 2α－cos 2α＝1，则 cos α 的 值为
A.15
B.
5 5
C.
3 3
√D.2
5 5
解析 由题意得4sin αcos α＋1－2cos2α＝1， 所以4sin αcos α＝2cos2α， 因为 α∈0，π2，所以 2sin α＝cos α， 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以14cos2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝45，因为 α∈0，π2，所以 cos α＝255.
b2＋c2－a2 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ 2bc . 3.三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
例 2 (1)在△ABC 中，AC＝ 5，BC＝ 10，cos A＝255，则△ABC 的面 积为
√A.52
B.5
C.10
10 D. 2
索
考点三
引
专题强化练
1 考点一 三角恒等变换
PART ONE
核心提炼
1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化.
跟踪演练 3 (2021·常州模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所
对的边.在①(2a－c)cos B＝bcos C；②
→ 3BA
五年级寒假奥数教案第3讲：最值问题
（一）星海遨游1（10分钟）
一把钥匙只能打开一个房间,现有20把钥匙和20个房间,但不知哪把钥匙开哪个房间,如要打开所有的房间,最多要开几次？
师：同学们!我们来看这道题,用钥匙开门我们在家里都看过吧?
生：看过。
师：一把钥匙是不是只能开一个房门?
生：是。
师：这里总共有20把钥匙和20个房间,要把所有房间都打开,我们先看第一扇门,如果运气很好,是不是一拿就能拿到这扇门的钥匙,但我们不可能每次运气都这么好的是不是?
二、太空遨游（30分钟）
（一）太空遨游1（10分钟）
有一架天平,只有5克和30克的砝码各一个,现在要把300克盐分成三等份,问最少需要用天平称多少次？
师：天平同学们还记得吗?
生：记得。
师：天平有什么啊,同学们告诉我?
生：称重的砝码。
师：是的,你们太棒了。今天我们要用天平把这300克等分成3等份,你们告诉我,等分之后,每份多少克？
师：同学们,今天我们来玩个游戏好不好？
生：好。
师：（拿出猪头）你们知道这是什么吗？
生：猪头。
师：你们太聪明了,没错这就是猪头,老师手上还有猪眼睛和鼻子,现在我要请两位小朋友上来,在这里找出猪鼻子和眼睛并贴在相应的位置,谁用的时间最少,谁就赢了。
师：谁想上来试一试？
生：我……（游戏结束,给予奖励）
师：同学们,你们知道吗,在我们平时生活中,会出现很多这种要求最大值或者最小值的问题,这就是我们今天要学的最值问题。【出示课题：最值问题】
板书:
长+宽=36÷2=18(米)
长=宽=18÷2=9(米)
9×9＝81（平方米）
答：围成菜园的最大面积是81平方米。
三、火星漫步（5分钟）
第3讲(学生)完全平方公式----讲义
第3讲 完全平方公式【知识及方法】（一）整式的除法1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的_________一起作为商的一个.2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这多项式的每一项___________这个单项式，再把所得的商__________.(二)完全平方公式：(a+b )2=a 2+2ab +b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2其中a 、b 可以是一个数，也可以是一个代数式。
注意公式的逆用【范例及拓展】1.单项式除以单项式【例1】计算：（1）-a 7x 4y 4÷（-43ax 4y 2）； （2）2a 2b·（-3b 2）÷（4a b 3）．2.多项式除以单项式【例2】计算：（1）（14a 3-7a 2）÷（7a ）； （2）（15x 3y 5-10x 4y 4-20x 3y 2）÷（-5x 3y 2）．3．完全平方公式例3、⑴、（2a －b ）2⑵19982 (3)2012(4).(31x +y )(31x －y )(91x 2-y 2) (5)已知x + y = 5, ,求x －y 之值拓展（1）已知4,1222=+=+y x y x 求xy 的值(2)已知,1)(,3)(22=-=+y x y x 求22y x +的值（3）已知，求的值(4)已知x 2+x-8=0,求代数式x 5+2x 4+4x 3+4x 2-87x+1的值(6)若(x+a)(x+b)=x 2+mx+n,则m=______,n=______,(x÷a+2)(x÷b+2)=_____.平方差公式及完全平分公式一．平方差公式 (a+b)(a –b )＝a 2–b 2例题1 20052÷(2006×2004+1) 例题2 已知m=3,n=2.求代数式(m+n)2-(m-n)2的值二．完全平方公式 (a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2 (a －b )2=a 2－2ab ＋b 2例题3 若4x 2+mx+196是一个完全平方式,则m 的值是多少?例题4 的最小值是多少？2011692+--x x 的最大值是多少？训练题一．计算题1．20032–2004×2. (x-y+3)(x-y-3) 3.(3a-2b)(-2b-3a)4. (x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)(x2y-3)5. (2x+3y)(4x+5y)(2x-3y)(-4x+5y)6. 2(3a+1)(1-3a)+(a-2)(2+a)7．97×99×101×103 8. 10.2×9.8 9．(x－3y) 2－(x+3y) 2 10. (2x-3y)(2x+3y)(4x2-9y2)11.(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) 12. (4x+5y) 2 (4x-5y) 2二．解答题1 . 化简(a-b) 2+b(a-b) 2．已知a2-b2=4,a-b=2, 求(a+b) 2的值3．计算199319922÷(199319912+199319932-2)4.计算：199319922199319912+199319932-2= ？练习计算2119992+200120012-2的结果为.2、平方差公式的逆向应用例1计算:199****1192+9311999932129932-2.逆用多个公式例2、 若 a=19952+19952·19962+19962 求证：a 是一个完全平方数．平方差公式和完全平方公式巩固及拓展练习一．选择题1、若x 2－k xy +16y 2是一个完全平方式，则k 的值是（）A.8B.16C.±8D.±162、(x +y )2－M =(x －y )2，则M 为（）A.2xyB.±2xyC.4xyD.±4xy3、已知a +a 1=3，则a 2+21a的值是（） A.9B.7 C.11D.54.在多项式x 2+xy +y 2，x 2－4x +2，x 2－2x +1，4x 2+1，a 2－b 2，a 2+a +41中是完全平方式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如果x 2+mx +4是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.4B.－4C.±4D.±86、整式(－x －y )( )=x 2－y 2中括号内应填入下式中的（）A.－x －yB.－x +yC.x －yD.－x +y7、在下列各多项式乘法中不能用平方差公式的是（） A.(m +n )(－m +n ) B.(x 3－y 3)(x 3+y 3) C.(－a －b )(a +b ) D.(31a －b )( 31a +b ) 二．填空题8、用完全平方公式计算：（1）992=___________=_____________=_____________. （2）9x 2+(_________)+y 2=(3x －y )2（3）.m 2－4mn +_________=(m －_________)29、(2x －3y )2=_____,(41a +52b )2=_____. 10、9x 2+_____+25y 2=(_____)2；_____+10xy +1=(_____+1)2. 11、用完全平方公式计算1972=( )2=________________=_______.12、x 2－2x +_____=(_____)2；m 2+4mn +_____=( )2.13、(a +b )2=(a －b )2+_____,(x +21)2=x 2+_____. 14、若4x 2+mx +49是一个完全平方式，则m =_____.15、若(x －m )2=x 2+x +a ,则m =_____,a =_____.16、(x +x 1)2=x 2+21x +_____. 17、若(3x +4)2=9x 2－kx +16,则k =_____. 18、41a 2++9b 2=(21a +3b )2. 19、(a －2b )2+(a +2b )2=.20、(5x +3y )·( )=25x 2－9y 220、 (－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 221、 (－23x －11y )( )=－49x 2+121y 222、若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A =，B =.23、(1－5n )(1+5n )=_______________ 24、1002－972=(_____+_____)(_____－_____)=_____25、(x －1)(x +1)=_____，(2a +b )(2a －b )=_____，(31x －y )(31x +y )=_____. 26、(x +4)(－x +4)=_________，(x +3y )(_________)=9y 2－x 2,(－m －n )(_________)=m 2－n 227、98×102=(_________)(__________)=( )2－( )2=_________.28、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=__________, (a －b )(a +b )(a 2+b 2)=___________.29、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 230、(xy －z )(z +xy )=___________，(65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 31、(41x +y 2)(____________)=y 4－161x 2 三．计算题 32、498233、(a m +1－b n +1)234、 (a +21b )2－(a －21b )235、(x +y )2－2(x +y )(x －y )+(x －y )236、(m +3)2(m －3)237、(x －y )(x +y )－(x +y )2+2y (y －x ),其中x =1,y =3.38、已知(x +y )2=8,(x －y )2=4,求x 2+y 2及xy 的值.39、(2x 2+3y )(3y －2x 2). 40、(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).41、(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).42、设x+y=6，x－y=5，求x2－y243、计算(x+y－1)(x+y+1)44、若m、n为有理数，式子(8m3+2n)(8m3－2n)+(2n－3)(3+2n)的值及n有没有关系？为什么？45、计算a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果46、已知a+b=7，ab=12，求(a－b)2的值.47、如图，是一个机器零件，大圆的半径为r+2，小圆的半径为r－2，求阴影部分的面积.整式的运算A 卷（100分）一.选择题.（每小题3分，共30分）1.代数式:πab x x x abc ,213,0,52,17,52--+-中,单项式共有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列各式正确的是( )A.2224)2(b a b a +=+ B.C.32622x x x -=÷-D.523)()()(y x x y y x -=-- 3.计算结果为( ) A.591a B.691a C.69a - D. 4.的运算结果是( )A. B. C. D.5.若))((b x a x +-的乘积中不含x 的一次项,则b a ,的关系是( )A.互为倒数B.相等C.互为相反数D.b a ,都为06.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( )A.)43)(34(x y y x ---B.)2)(2(2222y x y x +-C.))((a b c c b a +---+D.))((y x y x -+-7.若y b a 25.0及的和仍是单项式，则正确的是( )A.x=2,y=0B.x=－2,y=0C.x=－2,y=1D.x=2,y=18.观察下列算式：12=2，22=4，32=8，42=16，52=32，62=64，72=128，82=256，…… 根据其规律可知108的末位数是 ……………………………………………（ ）A 、2B 、4C 、6D 、89.如果(3x 2y －2xy 2)÷M =－3x +2y ，则单项式M 等于( )A 、xyB 、－xyC 、xD 、－y10.若A ＝5a 2－4a ＋3及B ＝3a 2－4a ＋2,则A 及B( )A 、A ＝B B 、A ＞BC 、A ＜BD 、以上都可能成立二.填空题.（每小题4分，共24分） 11.多项式13254242+---x y x y x π是一个 __ 次 __ 项式,其中最高次项的系数为. 12.当k =时,多项式8313322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 13.)()()(12y x y x x y n n --⋅--=.14.(1)29___))(________3(x x -=--；(2)-+2)23(y x =2)23(y x -. 15.计算:02397)21(6425.0⨯-⨯⨯-=. 16.若、a b 互为倒数,则20122011b a ⨯=.三.计算题.(每小题5分，共10分)17、25223223)21(})2()]()2{[(a a a a a -÷⋅+-⋅-18、)2(3)121()614121(22332mn n m mn mn n m n m +--÷+--四．用简便方法计算（每小题6分，共18分）22、)21)(12(y x y x --++23、22)2()2)(2(2)2(-+-+-+x x x x2424422222)2()2()4()2(y x y x y x y x ---++五．解答题26.解方程:0)1)(1(3)12)(23()3(2=-++-+--x x x x x （8分）27.已知将32()(34)x mx n x x ++-+乘开的结果不含3x 和2x 项.（10分） （1）求m 、n 的值；（2）求22()()m n m mn n +-+的值。
一元二次不等式所表示的平面区域及求最值问题
3.3.2（二）
x＋2y－5>0， 2．设实数 x，y 满足不等式组2x＋y－7>0，
x≥0，y≥0
且 x，y 为整
数．则 3x＋4y 的最小值是
(B )
A．14
B．16
C．17
D．19
本 讲
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，
栏
目
开
关
点 A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故 3x＋4y 的最小值是 3×4＋4×1＝16.
x∈Z，y∈Z
时，求 z＝5x＋
4y 的最大值及最优解．
本 讲 栏 目 开
解 若不考虑 x∈Z，y∈Z，则当直线经过点 A95，2130时， z＝1815，∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.
关
令 z＝18，则 5x＋4y＝18.
∵4y 为偶数，18 为偶数，∴5x 为偶数，∴x 为偶数． 结合可行域可知 x＝2，从而 y＝2. 经检验(2,2)在可行域内．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.2（二）
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近
的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每
辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙
本 讲
型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至
栏 目
故当 x＝20，y＝24 时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
答案 20 24
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.2（二）
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
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第3讲最值问题（二）
一、教学目标
1.熟练分析题目的意思找到突破口
2.熟练掌握几种常见的解决最值问题的办法。
3.培养综合分析问题的能力。
二、知识要点
1.从极端的情况考虑问题。
2.用枚举法解决最值问题。
3.公式法解决最值问题。
（和一定时，数越接近，乘积越大。
积一定时，数越接近，和越小）
4.综合法解决最值问题
三、例题精选
【例1】有10个同学要进行乒乓球比赛，他们准备分成三组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？
【巩固1】有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？
【例2】长方形的面积是144cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
【巩固2】长方形的面积是1260cm2，当它的长和宽分别为多少时（长和宽都是整厘米数），它的周长最短？【例3】有20个自然数，其中奇数比偶数多，它们的总和是100。
那么，这20个数中最多有多少个偶数？
【巩固3】一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
【例4】有13个不同的自然数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？
【巩固4】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。
问：这组数之和的最大值是多少？
【例5】一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个？
【例6】23个不同自然数的和是4845，这23个数的最大公因数最大可能是多少？
四、回家作业
【作业1】在一个直角三角形中，两条直角边的和为9厘米，则三角形的最大面积是多少？
【作业2】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
【作业3】一个长方形的面积是600cm2，如果它的长和宽都是整数，那么当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
【作业4】90个自然数，它们的和是10000，在这些数里，奇数的个数比偶数多。
那么，这些数中最多有多少个偶数?
【作业5】15个不重复的自然数的和是130，其中最多有多少个偶数？。