高考数学常考题型：基本不等式在实际问题中的应用
基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）A ．a v <<B ．vC 2a b v +<D ．2a b v +=3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ）A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式35(06)814(6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，．已知每日的利润L ＝S -C ，且当x ＝2时，L ＝3．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．6.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？7.已知直角三角形的周长l （定值）．问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？参考答案:1.答案：C 设底面矩形的长和宽分别为a m 、b m ，则ab ＝4．容器的总造价为202()108020()80160()ab a b a b ++⨯=++≥+=元（当且仅当a ＝b 时等号成立）．故选C ．2. 答案：A 设甲、乙两地的距离为s ，则2211sv s s a b a b ==++．由于a ＜b，∴11a b +>v ＞a ，又11a b +>v ．故a v <<，选A ．3.答案：B 每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，每件产品的仓储费用是8x元，则800208x x +≥=，当且仅当8008x x =，即x ＝80时“＝”成立， ∴每批应生产产品80件，故选B ．4.解析 （1）令y ＝0，得221(1)020kx k x -+=，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故220202010112k x k k k==≤=++，当仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．（2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使2213.2(1)20ka k a =-+成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64＝0有正根⇔判别式Δ＝（-20a ）2-4a 2（a 2+64）≥0⇔a ≤6．所以a 不超过6（千米）时，可击中目标．5.解析 由题意得，每日的利润L 与日产量x 的函数关系式为22(06)811(6).k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， （1）当x ＝2时，L ＝3，即322228k =⨯++-，得k ＝18． （2）当x ≥6时，L ＝11-x 为单调递减函数，故当x ＝6时，L max ＝5． 当0＜x ＜6时，1818222(8)18688L x x x x =++=-++≤--， 当且仅当182(8)(06)8x x x -=<<-，即x ＝5时等号成立，即L max ＝6． 综上，当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．6. 解析 （1）依题意得m ＝0时，x ＝1，代入31k x m =-+，得k ＝2，即231x m =-+． 年成本为28168163()1x m ⎛⎫+=+- ⎪+⎝⎭万元， 所以2(1.51)81631y m m ⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 1628(0)1m m m =--≥+． （2）由（1）得1629(1)29211y m m ⎡⎤=-++≤-⎢⎥+⎣⎦． 当且仅当1611m m +=+，即m ＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．7.解析:设直角三角形的三边分别为,,a b c ，其中c 为斜边，则法1：222a b c +=，a b c l ++=， 面积为()()()()222222*********ab a b a b l c c l cl ⎡⎤⎡⎤=+-+=--=-⎣⎦⎣⎦ 而22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，∴2222c l c -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，()222c l l +≥，于是)1c l ≥．因此面积的最大值为)222132144l l -⎡⎤-=⎣⎦，当且仅当a b =，也即直角三角形为等腰直角三角形时，取得最大值．法2：∵a b +∴a b l ++(22l =，即2ab ．。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。
而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。
比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。
比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。
我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。
在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
- 1 -。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.问题的提出II.基本不等式的应用方法III.实际问题中的应用IV.结论正文（篇1）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题中发挥着越来越重要的作用。
本文旨在探讨基本不等式在解决实际问题中的应用方法。
首先，我们需要明确基本不等式的概念。
基本不等式是指两个或多个数相加或相乘，它们的和或积不超过另外两个数之和或积的等式。
基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程设计、财务管理、物流规划等领域。
其次，在解决实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的基本不等式。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度等。
最后，通过具体实例，我们可以看到基本不等式在解决实际问题中的有效性。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本，从而优化物流方案；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率，从而做出更明智的投资决策；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度，从而确保工程的安全性。
总之，基本不等式作为一种有效的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
目录（篇2）1.引言2.基本不等式的概念和性质3.应用基本不等式解决实际问题的方法4.结论正文（篇2）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为一种重要的数学工具，在解决实际问题中起到了关键作用。
基本不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来解决各种实际问题，包括但不限于最大值、最小值、平均值等问题。
基本不等式是指“和的平方等于各加和的平方和”，即“a+b≥2√ab”。
它具有以下基本性质：一、乘法分配律；二、乘法结合律；三、二次方差恒等式。
这些性质使得基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。
在解决实际问题时，我们需要将问题转化为基本不等式可以解决的问题。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用
x2
x
b
,则
x
2
x
b
≥1,由b>0得b≤x-x2,
即b≤
(
x
x
2
)
max
,∵x-x2=-
x
1 2
2
+
1 4
,x∈
1 4
,
3 4
,∴x=
1 2
时,(x-x2)max=
1 4
,则b≤
1 4
.
故0<b≤ 1 .
4
答案
0<b≤
1 4
例3
已知函数f(x)=x2,g(x)=
1 2
x
-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实
2.几个重要不等式
1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
4.双变量的恒成立与存在性问题 1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2 ,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max. 2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min. 3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max. 4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min. 5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2 ∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.
基本不等式的几种应用技巧
（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。
x y ，且满足 ＝１，则 ３ ４
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基本不等式的几种应用技巧
6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３ 二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６ ２３ ２ ３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
即ymin ６ ２３
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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基本不等式的几种应用技巧
又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
1 1 １ １ 正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代 换法
高三数学基本不等式四种应用 专题辅导
高三数学基本不等式四种应用宁伟基本不等式ab 2b a ,0b ,0a ≥+>>是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。
灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的四种应用，供同学们学习时参考。
一、直接应用基本不等式直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
例1. 已知a ，R b ∈，求证：12b a 1b 1a 2222++≤+⋅+。
证明：由基本不等式得12b a 21b 1a 1b 1a 22222222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+⋅+二、间接应用基本不等式间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。
例2. 设x>0，求证：231x 22x ≥++。
分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。
证明：21x 1x 1x 22x ++=++ 232121x 121x 22121x 121x =-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-+++=等号成立时21x 121x +=+即21x =例3. 已知a ，+∈R b ，且a+b=1，求b2a 1+的最小值。
错解：因为1b a =+，所以4ab1,41ab ≥≤ 因此24ab 22b 2a 1≥≥+ 剖析：出错在于两次等号不能同时取到。
正解：223abba 223b a 2a b 3b b 2a 2a b a b 2a 1+=+≥++=+++=+当ba 2ab =时 即22b ,12a ,a 2b -=-==，取得最小值三、两次应用基本不等式连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。
例4. 设a>b>0，求)b a (b 16a 2-+的最小值。
高考数学：基本不等式在实际问题中的应用
试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。
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当且仅当 x 900 时等号成立，由 x 0 得 x 30 ．
x
因此，当处理量为 30 吨时，每吨的处理成本最少为10 万元．
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典例 2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的 闲置地中规划一个面积为 200m2 的矩形区域（如图所示），按规划要求： 在矩形内的四周安排 2m 宽的绿化，绿化造价为 200 元/ m2 ，中间区域 地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为 100 元/ m2 .设矩
（1）当 x10,15时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
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解：（1）根据题意得，利润 P 和处理量 x 之间的关系：
P (10 10)x y 20x x2 50x 900 x2 70x 900
（1）分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使 S 取得最大值，并求出最大值．
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形的长为 xm.
（1）设总造价 y （元）表示为长度 xm的函数；
（20220）/4/2当1 x m取何值时，总造价最119低5134，13 并求出最低总造价.
5
解：（1）由矩形的长为 x m ，则矩形的宽为 200 (m) ，
x
则中间区域的长为 x 4m ，宽为 200 4(m) ，则定义域为 x (4,50)
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四、迎接挑战
挑战题 1：首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”
为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化 碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为 y 1 x2 200x 80000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
2 （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至 少补贴多少元才能使该单位不亏损？
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挑战题 2：某市近郊有一块大约 500m500m的接近正方形的荒地，地方政府
准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中 总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个 矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运 动场地占地面积为 S 平方米．
x 352 325 ， x [10,15] . ∵ x 35[10,15]， P x 352 325 在[10,15]上为增函数，
可求得 P [300, 75].
∴国家只需要补贴 75万元，该工厂就不会亏损．
（2）设平均处理成本为
Q y x 900 50
x
x
2 x 900 50 10 ，
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三、归纳总结
●实际问题解题步骤： (1)审题弄清题意； (2)找出已知量与所求问题 之间的关系； (4)列出算式； (5)算出结果； (6)检验并作答.（所得的解是否符合实际意义 ） ●实际问题常见题型：（1）经济利润问题（2）几何问题 ●数学思想：转化化归，即将实际问题抽象概括成数学问题，也称 数学建模。基本不等式常用来求函数的最值，做到一正二定三相等。
微课：基本不等式在实际问题 中的应用
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一、温故知新
基本不等式：如果a, b∈R+，那么 a b ab 2
（当且仅当a=b时，式中等号成立）
（1）常用变形：① a b 2 ab ② ab (a b)2
4
（2）处理技巧： ①凑项使积成为定值 ②凑项使和成为定值
x
则
y
100
(
x
4)
200 x
4
200
200
(
x
4)
200 x
4
整理得
y
18400
0
x
200 x
，
x
(4,
50)
（2） x 200 2 x 200 20 2
x
x
当且仅当 x 200 时取等号，即 x 10 2 (4,50) x
所以当 x 10 2 时，总造价最低为18400 8000 2 元
“一正，二定，三相等”
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二、典例精讲
典例．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种 产品，经测算，处理成本 y （万元）与处理量 x （吨）之间的函数关系可近 似的表示为：y x2 50x 900 ，且每处理一吨废弃物可得价值为10 万元的某 种产品，同时获得国家补贴10 万元．