第一轮复习11----函数与方程
2014届高考数学一轮复习方案 第11讲 函数与方程课时作业 新人教B版
课时作业(十一) [第11讲 函数与方程](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )图K11－1A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．能力提升5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 能用二分法求出的零点，其两侧函数值必须异号．2．C [解析] 知f (x )在R 上为单调增函数，又因为f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选C.3．D [解析] 构造函数f (x )＝lg x ＋x －2，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (1.75)＝f 74＝－14＋lg 74<0及f (2)＝lg2>0知x 0属于区间(1.75，2)． 4．(0，1) [解析] 画出函数f (x )的图象如图，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与直线y ＝m 的图象的交点有3个，所以0<m <1.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )在(－2，2)上有一个零点，不能说明f (－2)·f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．故选D.6．B [解析] 令f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则该函数在(0，＋∞)上是增函数，计算可得f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )的零点在区间(1，2)，即x 0∈(1，2)．故选B.7．B [解析] f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4＝(x －1)(x －2)g (x )＋3x －4，因为函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，所以函数f (x )的图象也是连续曲线，又因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝2>0，故f (x )＝0在区间(1，2)内必有实数根，故选B.8．C [解析] 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．B [解析] 由12x －sin x ＝0得12x ＝sin x ，在同一坐标系中作出h (x )＝12x，g (x )＝sin x在[0，2π]上的图象，可以看出交点个数为2.故选B.10．(1，＋∞) [解析] 当Δ＝1＋8a ＝0时，a ＝－18，此时方程2ax 2－x －1＝0的解为x ＝－2∉(0，1)，不合题意，故Δ>0.令f (x )＝2ax 2－x －1，故必有f (0)f (1)<0，即(－1)· (2a －2)<0，所以a >1. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ －32<x <1) [解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，变为－(4x 2＋2x －6)> 0，解得－32<x <1.12．4 [解析] 数形结合，作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |在y 轴右侧的图象，有2个交点，又这两个函数都是偶函数，根据对称性知有4个交点．13．(0，1)∪(1，4) [解析] 函数定义域为{x ∈R |x ≠1}，令g (x )＝|x 2－1|x －1，h (x )＝kx －2，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，作出函数g (x )和h (x )的图象，如图，当k ∈(0，1)∪(1，4)时，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．14．解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，所以2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点，不合题意，所以这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 【难点突破】15．解：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则g (x )＝0的两根为x 1和x 2.(1)由a >0及x 1<2<x 2<4，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋3·b 2a －34a <0，－4－2·b 2a ＋34a<0，两式相加得b 2a <1，所以x 0>－1.(2)由(x 1－x 2)2＝b －1a 2－4a，可得2a ＋1＝（b －1）2＋1. 又x 1x 2＝1a>0，所以x 1，x 2同号．∴|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2等价于⎩⎨⎧0<x 1<2<x 2，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧x 2<－2<x 1<0，2a ＋1＝（b －1）2＋1，即⎩⎨⎧g （2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1或⎩⎨⎧g （－2）<0，g （0）>0，2a ＋1＝（b －1）2＋1.解之得b <14或b >74.16．解：(1)函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0的图象有两个交点等价于直线kx －y －k ＋1＝0分别与线段y ＝2x (0≤x ≤1)和线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)都相交．直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝2x (0≤x ≤1)相交 ，则(－k ＋1)(－1)≤0，解得k ≤1. 直线kx －y －k ＋1＝0与线段y ＝－25x ＋125(1<x ≤5)相交，则⎝ ⎛⎭⎪⎫5k －25－k ＋1(－1)≤0，解得k ≥－320.故当－320≤k ≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点．(2)g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤1），－25x 2＋125x （1<x ≤5）.当0≤x ≤1时，g (x )是增函数，所以0≤g (x )≤2；当1<x ≤5时，g (x )＝－25x 2＋125x ＝－25(x －3)2＋185，在区间(1，3)上是增函数，在区间[3，5]上是减函数，所以2≤g (x )≤185.综上，函数g (x )＝xf (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，185.。
2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习重点总结第一章：函数与方程1. 函数的概念与性质；2. 一次函数与二次函数的基本性质与图像；3. 幂函数、指数函数、对数函数与三角函数的基本性质与图像；4. 常用函数的性质与应用；5. 一次方程、二次方程与方程的根与解法；6. 一元二次方程的解法及其应用。
第二章：图形的性质与变化1. 直线、抛物线、圆的基本性质与方程；2. 图形的平移、翻折、旋转与对称性；3. 图形的相似、全等与尺类定理；4. 平面直角坐标系与空间直角坐标系的基本概念与表示方法；5. 平面图形与解析几何的应用。
第三章：数列与数理统计1. 数列的概念、基本性质与表示方法；2. 等差数列与等比数列的通项公式与性质；3. 数列的求和公式与性质；4. 概率与统计的基本概念与应用。
第四章：平面向量与解析几何1. 平面向量的概念、基本运算与线性运算；2. 平面向量的共线与共面性质；3. 平面向量的数量积与向量积的定义与性质；4. 平面向量的正交与垂直性质；5. 解析几何的基本概念与性质；6. 解析几何的定位与判定问题。
第五章：立体几何1. 空间几何体的基本概念与性质；2. 直线与平面的关系与性质；3. 立体几何体的表面积与体积计算；4. 空间向量与几何关系的应用。
第六章：三角函数与三角方程1. 三角函数的基本性质与图像；2. 三角函数的定义与公式；3. 三角函数的图像变换与性质；4. 三角方程与三角恒等式的解法与应用。
第七章：导数1. 函数的导数的概念与性质；2. 函数的导数的基本运算与求导法则；3. 高阶导数与隐函数求导；4. 函数的极值与最值；5. 函数的单调性与凹凸性；6. 函数的导数与函数的图像。
第八章：微分与应用1. 函数的微分的概念与性质；2. 微分的基本运算与微分法则；3. 高阶微分的计算；4. 函数的近似与应用。
第九章：积分与应用1. 不定积分的定义、性质与基本运算；2. 定积分的定义、性质与基本运算；3. 反常积分的计算；4. 函数的定积分与曲线下面积；5. 积分与微分的关系与应用。
2024年高考数学第一轮复习知识点总结
2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。
3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。
4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。
5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。
6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。
7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。
二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。
2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。
3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。
4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。
三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。
2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。
3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。
4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。
四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。
2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。
3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。
4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。
五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业11
课时作业(十一) 函数与方程A 级1．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应表A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．03．(2012·天津模拟)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈[1,2]上近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在的区间为( )A ．[1,1.25]B ．[1.25,1.5]C ．[1.5,2]D ．不能确定5．已知a 是函数f (x )＝ln x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线y 2＝ax 的焦点的横坐标，则a ＝________. 8．下列是函数f (x )在区间[1,2]上一些点的函数值.有效数字)9．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，－1x(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点为______个． 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.11．若A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1b ＋a ，1，且A ＝B ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)求f (x )零点的个数；(2)当x ∈[－1,2]时，求f (x )的值域；(3)若x ∈[1，m ]时，f (x )∈[1，m ]，求m 的值．B 级1．(2012·山东潍坊高考模拟)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________． 3．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a(1)判断命题“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的范围． 答案课时作业(十一)A 级1．C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点． 2．D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0，故选D.3．B ∵f (1)＝－1＋log 21＝－1<0，f (2)＝－12＋log 22＝12>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B.4．B 由于f (1)<0，f (1.5)>0，则第一步计算中点值f (1.25)<0， 又f (1.5)>0，则确定区间为[1.25,1.5]，故选B.5．C 易知f (a )＝0，函数f (x )＝ln x －log 12x 在(0，＋∞)上单调递增，因为0<x 0<a ，所以f (x 0)<f (a )＝0.6．解析： ∵f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案： (0,0.5) f (0.25)7．解析： 令f (x )＝log 2(x ＋1)－1＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1，于是抛物线y 2＝ax 的焦点的坐标是(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧a >014a ＝1，解得a ＝4.答案： 48．解析： ∵f (1.438)·f (1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5| ＝0.031 5＜0.1，∴f (x )＝0的一个近似解为1.4. 答案： 1.49．解析： 如图所示，因为函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为方程f (x )－g (x )＝0根的个数，即函数f (x )和g (x )图像交点的个数，所以画出图像可知有8个交点．答案： 810．证明： 令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0. 11．解析： (1)∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10＝c ＋b－1＝1b ＋a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，c ＝2∴f (x )＝x 2－2x ＋2.又Δ＝4－4×2＝－4<0，所以f (x )没有零点． (或因为f (x )＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )没有零点．) (2)∵f (x )的对称轴x ＝1，∴当x ∈[－1,2]时，f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－1)＝5， ∴f (x )∈[1,5]．(3)∵f (x )在x ∈[1，m ]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1f (m )＝m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＝1m 2－2m ＋2＝m， ∴m ＝1或m ＝2，m ＝1不成立，则m ＝2.B 级1．C 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图像及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像关于原点对称的图像如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.2．解析： 当a ＝0时，则f (x )＝－x －1，易知函数只有一个零点．当a ≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14，综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数只有一个零点．答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＝0或－143．解析： (1)“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意：f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R (R 为实数集)恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意：要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0f (0)<0f ⎝⎛⎭⎫12>0即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >01－2a <034－a >0，解得12<a <34.。
高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧
高考数学一轮总复习函数与方程的巧妙技巧函数和方程是高中数学重要的内容之一，在高考数学中占有很大的比重。
掌握函数和方程的巧妙技巧，将对我们的考试成绩起到明显的提升作用。
本文将介绍一些高考数学函数与方程的巧妙技巧，帮助同学们更好地备考。
一、函数的巧妙技巧1. 利用平移变换简化函数图像当函数图像进行平移操作时，可以通过学习特定的平移规律，快速推导出平移后函数的性质。
例如，对于$f(x)$的图像进行横向平移$h$个单位，得到$f(x-h)$。
同样，对于纵向平移$k$个单位，可得到$f(x)+k$。
利用这样的平移规律，可以简化函数图像的分析和计算。
2. 利用对称性简化函数的运算对称性是函数图像常见的性质之一。
利用函数的对称性，可以简化函数的运算过程。
例如，假设函数$f(x)$满足奇函数的性质，即$f(-x)=-f(x)$，如果我们需要计算$f(-3)$，可以直接利用奇函数性质得出结论，即$f(-3)=-f(3)$，从而省去了对函数图像的具体计算过程。
3. 复合函数的分解求解对于复合函数的求解，有时会比较复杂，需要进行多次代入和运算。
这时，我们可以灵活运用分解的技巧，将复合函数拆解成多个简单的函数。
通过简化复合函数的形式，可以更加快速地求解和计算。
二、方程的巧妙技巧1. 倍角公式的巧妙应用倍角公式是高中数学中常用的公式之一，可以用来求解一些特定的方程。
例如，对于$sin2x=0$的方程，我们可以运用倍角公式将其转化为$sinx\cdot cosx = 0$，从而得到$x=0$或$x=\frac{\pi}{2}$。
这样，在方程的求解过程中，我们可以通过巧妙地应用倍角公式，将方程转化为更简单的形式，减少计算难度。
2. 参数法的灵活运用参数法是解二元一次方程组的一种常用方法，也可以用于求解高中数学中的一元方程。
通过引入一个新的参数，将方程转化为参数方程，则可以通过参数的取值范围，最终求解得出方程的解。
3. 方程的化简与转化有时，方程较为复杂，难以直接进行求解。
江苏专用2024年高考数学一轮复习考点11函数与方程必刷题含解析
考点11 函数与方程1．（江苏省连云港市2025届高三上学期期中考试）已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.【答案】（2，＋∞）【解析】由于，函数在上单调递增，当时有最小值为.在时，函数为增函数，要使存在，使得，则需，解得.2．（江苏省徐州市2025届高三上学期期中质量抽测）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】（1）＝0时，，只有一个零点，不合题意；（2）＜0时，，＞0，在R上单调递增，所以，不行能有3个解，也不合题意。
（3）＞0时，，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，＝0，得x=x 在（0，）递减，在（，）递增，＜0，解得：3．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷）已知()f x 是定义在R上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__． 【答案】72【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数， 函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：724．（江苏省镇江市2025届高三考前三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞5．（2024年江苏省高考数学试卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满意()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 6．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过其次、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；若12133a a -≥⇒≥，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为12(1)12333a a a f ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 明显2(1)12033a a ----<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.7．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）定义在R 上的奇函数满意，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5 【解析】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个 故答案为58．（江苏省南通市通州区2024-2025学年第一学期高三年级期末考试）已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】【解析】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．9．（江苏省南通市基地学校2025届高三3月联考）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，须要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：.10．（江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2025届高三第一学期期末联考）函数有3个不同零点，则实数a的取值范围____【答案】【解析】解：当x＜﹣1时，由f（x）＝0得x2﹣2ax＝0,得a，∵x＜﹣1，∴a且此时函数f（x）只有一个零点，要使f（x）有3个不同零点，则等价为当x≥﹣1时，f（x）＝0有且只有2个不同的零点，由f（x）＝e x﹣|x﹣a|＝0得e x＝|x﹣a|，作出函数g（x）＝e x和h（x）＝|x﹣a|在x≥﹣1的图象如图，当x≥a时，h（x）＝x﹣a，当h（x）与g（x）相切时，g′（x）＝e x，由g′（x）＝e x＝1得x＝0，此时g（0）＝1，即切点坐标为A（0，1），此时h（0）＝0﹣a＝1，得a＝﹣1，当x＝﹣1时，g（﹣1），当直线h（x）＝x﹣a经过点B（﹣1，）时，﹣1﹣a，则a＝﹣1，要使e x＝|x﹣a|在x≥﹣1时，有两个不同的交点，则直线h（x）＝x﹣a应当在过A和B的直线之间，则﹣1a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1），故答案为：[﹣1，﹣1）.11．（江苏省扬州市2024-2025学年度第一学期期末检测试题）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满意f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满意题意；综上所述，a或﹣1．12．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若对随意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对随意(，0)，总存在[2，)，使得，即当随意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为微小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满意题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为微小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是.13．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0>，则与的图象有两个交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.14．（江苏省无锡市2025届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.15．（江苏省南通市2025届高三年级阶段性学情联合调研）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为：.16．（江苏省常州市2025届高三上学期期中教学质量调研）已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为17．（江苏省镇江市2025届高三上学期期中考试）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满意t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3.18．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当0⩽x⩽1时,=0，易知x=0不是方程=0的解，故m=−x在(0,1]上是减函数，故m−1=−；即m时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx+2=0得,m=−，故−2<m<0，即当−2<m<0时,方程f(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是．19．已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．【答案】（1）m＝1（2）奇函数（3）见解析【解析】解：(1)∵f(4)＝72，∴4m－24＝72，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x ＋2x ＝－(x －2x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1－12x －(x 2－22x )＝(x 1－x 2)(1＋122x x )，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0,1＋122x x >0. 所以f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．20．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）已知函数(a ，bR)．（1）当a ＝b ＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a ＝0时，若的解集为(m ，n)，且(m ，n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是和（2）（3）【解析】（1）当a ＝b ＝1时，，令，解得或所以f （x ）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或， 因为函数f （x ）有两个不同的零点，所以或，当时，得a ＝0，不合题意，舍去： 当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，，设，令，得，当时，，h(x)递减：当时，,递增当时，，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，，所以时，方程恰有一个根－2，此时函数恰有两个零点-2和1．（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满意，解得. ①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. ②设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由①和②得，.21．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以. 令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.。
高三数学第一轮知识点总结
高三数学第一轮知识点总结高三是每个学生都要经历的一段重要的时间，尤其是对于理科生来说，数学的学习显得尤为重要。
在高三的数学学习中，第一轮的知识点总结是至关重要的，这些知识点直接关系到高考的成绩。
一、函数与方程在高三的数学学习中，函数与方程是一个非常重要的基础知识点。
函数是数学中的一种重要的关系，可以帮助我们描述事物之间的变化规律。
而方程则是函数的一种特殊情况，通过方程我们可以求出未知数的值。
在高三中，我们需要掌握各种基本的函数与方程，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并能够灵活运用它们解决实际问题。
二、数列与数列的极限数列是一种按照一定规则排列的数的集合。
在高三数学中，数列与数列的极限是一个重要的知识点。
我们需要掌握数列的概念、数列的通项公式以及数列的极限运算规则等。
同时，我们还需要能够理解数列极限的几何意义，例如递推数列的极限可以用来求解一些几何问题。
三、不等式不等式是数学中的一种重要的关系，可以帮助我们描述事物之间的大小关系。
在高三的数学学习中，我们需要掌握不等式的概念、不等式的性质以及不等式的解法。
特别是在解一元二次不等式时，需要综合应用函数与方程、图像与不等式的关系等知识进行解题。
四、空间几何与向量空间几何与向量是高三数学中的一大难点，但同时也是一大亮点。
我们需要掌握三维空间的坐标表示、平面与直线的方程、点、向量的加减与数量积、向量的线性相关与线性无关等基本概念与性质。
在学习过程中，我们应该注重提高几何直观思维能力，善于运用向量的几何性质解决实际问题。
五、概率与统计概率与统计是高三数学中的一门应用型学科，它与现实生活的各个领域有着密切的联系。
在高三的数学学习中，我们需要学习概率与统计的基本概念、常见的概率分布、统计数据的收集与整理方法等。
我们还应该培养自己的概率思维能力，能够应用概率知识解决实际问题。
六、解析几何解析几何是高三数学中的一大难点，它要求我们掌握平面直角坐标系、点、直线、圆的方程等基本概念与性质。
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数学中非常重要的概念之一。
在高中数学中，我们常常遇到各种各样的函数问题，理解函数的定义与性质对于解决这些问题至关重要。
1.1 函数的定义函数是一个集合与集合之间的映射关系，它可以将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值上。
通常表示为：f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值。
1.2 函数的性质•定义域：函数的自变量所能取到的值的集合。
•值域：函数的因变量所能取到的值的集合。
•单调性：函数在整个定义域内的增减关系。
•奇偶性：函数的对称性质。
2. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过解两个一次方程来求解原方程。
例如：x2−5x+6=0可以分解为(x−2)(x−3)=0，解方程得x=2或x=3。
2.2 配方法当一元二次方程的一次项系数为 2 或 -2 时，可以采用配方法来求解方程。
例如：2x2−7x−3=0。
我们可以通过将2x2−7x−3=0看作(ax+b)x+ c=0的形式，其中a、b、c分别表示方程的系数。
然后，我们将x的系数−7分解为两个数，使得这两个数相乘等于ac，即2∗(−3)=−6，并且这两个数的和等于b，即−7。
在这个例子中，可以写成−3和2。
然后将方程改写为(2x−3)(x+ 1)=0，解得 $x=\\frac{3}{2}$ 或x=−1。
2.3 求根公式当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来求解时，我们可以使用求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
通过代入方程的系数a、b、c到公式中，就可以得到方程的解。
3. 三角函数三角函数是解决与角相关问题的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
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k , k 1k N , 求k的值。 在的区间为
3
零点位置 若a b c, 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分
别位于区间（ C.b, c 和c, 内 A.a, b 和b, c 内 B.- , a 和a, b 内 ) D.- , a 和c, 内
x
个数为（ ） A.1 B.2
C.3
D.4
B
若定义在R上的偶函数f x 满足 f x 2 f x , 且当x 0,1时， ） D.2个 f x x, 则函数y f x log3 | x | 的零点个数是（ A.多于4个 B.4个 C.3个
零点个数
3
若函数g x f x loga | x | 至少有5个零 点，则a的取值范围是（ A.1,5 1 C. 0, 5, 5 ） 1 B. 0, 5, 5 1 D. ,1 1,5 5
f x 2 f x , 当 - 1 x 1时，f x x ,
5 1 a 4
零点问题的取值范围
1 若存在负实数使得方程 2 a x 1 成立，则实数a的取值范围是（ ） A.2, B.0, C.0,2 D.0,1
x
C
零点问题的取值范围
若函数f x a x aa 0且a 1
x
有2个零点，则实数 a的取值范围是__
第一轮复习-函数与方程
上饶中学数学组 俞振
函数的零点：函数 y f x 的图像与x轴的 交点的横坐标。
方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像
函数的零点存在性定理 若函数y f x 在区间a, b上的图像是连续曲线， 并且在区间端点的函数 值符号相反即 f a f b 0, 则在区间a, b 内，函数y f x 至少有一个零点，即 相应方程f x 0在区间a, b 内至少有一个实数解。
A
零点位置
方程 log3 x x 3 0的解所在的区 间是（ ） A.0,1 B.1,2 C.2,3 D.3,4
C
零点个数 2 2 方程 | x 2 x | a 1(a 0)的解 的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
B
零点个数
函数f x 2 | log0.5 x | 1的零点
二次函数的零点问题
1，零点的个数：判别式 △ 2，零点的正负：韦达定 理 3，零点的范围：数形结 合
三次函数的零点问题
1，有3个零点：f 极大 f 极小 0 2，有2个零点：f 极大 f 极小 0 3，有1个零点：f 极大 f 极小 0
一般函数的零点问题
1，分类讨论 数形结合 2，分离参数 数形结合 3，超越方程：分离 数形结合
B
零点问题的取值范围
2 ,x 2 已知函数f x x 若 x 13 , x 2
关于x的方程f x k有两个不同
的实根，则实数 k的取值范围是__
0,1
零点问题的取值范围
直线y 1与曲线y x | x | a有
2
四个交点，则 a的取值范围是__
2
e g x x x 0。 x （ 1）若y g x m有零点，求m 的取值范围。
m 2e
（2）确定m的取值范围，使得 g x
f x 0有两个相异实根。 e2 2e 1,
已知定义在R上的函数y f x 满足
零点问题的取值范围
B
零点问题的取值范围
是否存在这样的实数 a, 使函数f x
2
x 3a 2 x a 1在区间- 1,3上
恒有一个零点，且只有 一个零点？ 若存在，求出a的范围；若不存在， 说明理由。
1 a 或a 1 5
零点问题的取值范围
已知f x x a 1 x a 2的
1,
零点问题的取值范围
若关于x的方程 | a 1 | 2aa 0且a 1
x
有两个不等实根，则 a的取值范围是（） 1 A.0,1 1, B.0,1 C.1, D. 0, 2
D
2 2
一个零点比 1大，一个零点比 1小， 求实数a的取值范围。
2,1
零点问题的取值范围
若关于x的方程2 2 a a 1 0
2x x
有实根，求实数 a的取值范围。
,2 2 2
已知函数f x x 2ex m 1,
2
零点问题的取值范围
零点位置
函数f x e 2 x 3的零点所在的
x
一个区间是（
）
1 1 1 3 A. ,0 B. 0, C. ,1 D.1, 2 2 2 2
C
零点位置
已知函数f x ln x x 2有一个零点所