具有粗糙核的奇异积分算子的加权有界性

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θ型奇异积分算子在加权Morrey空间中的有界性

调递增。
从而可以定义０Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子为定义４设（ｆ）满足Ｄｉｎｉ条件．＜ ∞，是带有核（，ｙ）ＪｔＬ。）有界的线性算子，满足：
注意到当＝０时，。（ｗ）＝（ｗ）是对经典的加权Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间的推广。
下面给出权的如下定义
，，
、击
定义２设１＜＜。Ｄ，若存在常数Ｃ ≥１使得对于任意的正方体Ｑ有
收稿日期：２０１３．０２．１７
奇异积分算子尤其是Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子在各种函数空间中的有界性的讨论是当代调和分析研究的主要问题。１９５２年，Ｃａｌｄｅｒ６ｎ和Ｚｙｇｍｕｎｄ将这一算子推广到了上，他们运用实变方法解决了算子在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间￡ｐ）的有界性问题从而使调和分析在高维空间中有了新的发展。１９８５年，Ｙａｂｕｔａ
理论，我们得到了在￣ｔ．Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性，即是
中图分类号：０１７４．２文献标志码：Ａ
（ｗ）到 ’ （有界的。
关键词：连续模；０型Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ核；加权Ｍｏｒｒｅｙ空间；外推法；Ａｐ权
ห้องสมุดไป่ตู้
在文［１０］中首次提出了型奇异积分算子，并得到了有界性，ｌ＜ｐ＜ｏｏ。最近文［１１］讨论了０型奇异积

一类特殊粗糙核算子的有界性

∞ ）有界的．
予Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度ｄｏ－：ｄ－ｏ（・）的单位球面．对非零点 ∈Ｒ，记＝ｘ／ｌ１．设 ∈Ｌ（ｓ）为Ｒ “ 的
零次齐次函数，且满足
设算子如（２）式所示，若／２∈
Ｖｏ１．３７Ｎｏ．６
ＮＯＶ．２０１３
文章编号：１０００．５８６２（２０１３）０６－０６２４－０４
一
类特殊粗糙核算子的有界性
谢显华，马丽
３４１０００）（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州
Ｉ１
６（Ｊｆ）ｌｌ／，Ｐ（ ≤ＣｌＩｌｌ胛（ｓ一）ＩＩｆｌｌ琏（㈣，
基金项目：国家自然科学基金（１１３６１００４），江西省自然科学基金（２０１２ＢＡＢ２０１０１４）和江西省科技计划（ＧＪＪ１３６５９）资助
（
Ｉｂ（ｔ）Ｉｄｔ）＜＋∞｝・
６
，
）＝
显然，当１≤ ｓｌ≤ ｓ２＜＋∞ 时，则有
△ Ｃ △ ， △ ， △１．
６（ＩＹＩ）２（１ｙ，）ｌｙ
— ｙ）ｄｙ，
∈Ｈａ（ｓ）满足
摘要：主要研究一类特殊粗糙核奇异积分算子
）＝Ｐ６（１ｙ１）Ｏ（Ｙ）Ｊ，，Ｊ一
—ｙ）ａｙ，当

粗糙核向量值奇异积分算子的几个加权赋范不等式

Some Weighted Norm Inequalities for the Vector-Valued Singular Integral Operators with Rough
Kernel
作者：冯文莉;商美娟;刘晓娣
作者机构：石家庄学院数学与信息科学系,河北石家庄050035
出版物刊名：石家庄学院学报
页码： 42-44页
年卷期： 2013年第3期
主题词：向量值奇异积分算子;粗糙核;加权赋范不等式
摘要：向量值奇异积分算子的核决定着算子的性质和加权不等式．标准核向量值奇异积分算子的研究内容已经日趋完善，弱Dini型核以及粗糙核向量值奇异积分算子也有所研究，但研究内容不够完善，现继续研究粗糙核向量值奇异积分算子，得到了这类算子的几个加权赋范不等式，丰富了向量值奇异积分算子的理论．。

带粗糙核的多线性奇异积分算子在加权Herz空间上的有界性

２１０２年９月第１８卷第３期
安庆师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｌｆｎｉｅｃｅＣｏｌｇ（ｔｒｌｃｎｅＥｉｎｏｍａｑｎＴａｈｍｌｅＮａｕａＳｉｃｄｔ）ｏＡｇｅｅｉｏ
Ｓｅｔ２１ｐ．０２
则易知：的核可表示为：
，；，√＋，）； …√一ｇ； … 。。 √）
（）５
（）６
Ｋ。，ｌ … ，１＋，，，＝Ｋ（ｊＹ，，ｌ乃＋，，（），一，，，１ … Ｙ）ｙ，ｌ … 一，，１ … Ｙ）
ｉ＝１ … ，＝０，，，有：，ｍ，１ … ｍ，Ｊ（，，， ’’ ，１ … ， ≤ ，ｌ … ，）一，， “ （，，Ｙ）Ｊ，
咖（
其中，ｔ ≤ｌ —ＹＩ２。
）＋
等
（８）
（）９
假定Ｈ：ｚ假定存在算子｛。Ｂ｝其核６Ｙ满足条件（）（）并存在核霹（，一Ｙ），（）３，４，Ｙ，可表示
（，，（）（ｇ）】ｄｄｘ一ｙＹ・）（ｄ … ｙｘｙｍ１・ｙ
（）７
，， … ｇ∈ＳＲ）ｎｓｐｆｎｓｐｇ＝，（且ｐｐ则存在函数 ∈ＣＲ且ｓｐ￣ ∈ ［，］对８＞０ｕ￣ｕ（）ｕｐｂ一１１，，
Ｒｒ（），Ｒ
（）１
其中， √ ｇ ∈ ＳＲ）且ｎｓｐｆｎｓｐｇ＝，Ｙ，， ∈ （｛＝Ｙ … ，（ｕｐｊｕｐ，。… ＹＲ）’＼。＝ … ＝）｝，

带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey—Herz空间的有界性

带粗糙核的Ｍａｃｎｉｉ积分算子ｒｉｋｅｃｗｚ在齐次ＭｏｒｙＨｒ空间的有界性ｒｅ— ｅｚ
陶双平，司颖华
（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７０７）３００
摘要：证明了带粗糙核的Ｍａｃｋｅｉ积分算子在齐次ＭｏｒｙＨｅｚ空间ＭＫ嬲（，上的有界性；同时还得到了ｒｉｉｃｎｗｚｒｅ－ｒＲ１）谊算子在弱齐次ＭｏｒｙＨｅｚ空间ｗＭＫ∞上的有界性结果．ｒｅ－ｒ
是（）（＜ｐ＜２和弱（，）的．Ｂｎｄｋ，型１￣－）１１型ｅｅｅ，
Ｃｌｅｏａｄｒｎ和Ｐｎｏｅｚ证明了当０在Ｓ一上连续可微时，ａｚｎｃ
收稿日期；２０－０１０６１－８
为（）的（＜＜。）近年来，取掉，，型１。．ｌｆ
其一ｚｏ带糙的ａｎｅＣ分子义中裔，・粗核Ｍｒｋｉ积算定为 ≠ ｃｉＺｉｗ
，（，ｆ。）ｆＦ（（ｏＯ；Ｉ。，
其中
Ｆａ
．
（２）
（）Ｊｚ一Ｉ
ｆｙｄ．（）ｙ
ｒ＜
Ｓｅ［证明了当ｆ在Ｓ上满足Ｌｐｈｔ件时，ｔｉｎ２ｉｓｉｚ条
关键词：ＭｏｒｙＨｅｚ空间；Ｍａｃｎｉｃ积分算子；弱ＭｏｒｙＨｅｚ空间；粗糙核ｒ－ｒｅｒｉｋｅｚｗｉｒｅ－ｒ
中圈分类号：０１４２７．
文献标识码：Ａ
文章编号：１０。８２０）１００。７０１９８Ｘ（０７０。０１０

粗糙核Marcinkiewicz积分在Morrey-Adams空间上的有界性

第61卷第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022452粗糙核M a r c i n k ie w i c z 积分在M o r r e y-A d a m s 空间上的有界性朱小杰,陶双平(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:借助L e b e s gu e 空间上的有界性,利用函数分解方法和实变技巧,证明粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,并给出L i p s c h i t z 函数和B MO 函数交换子的相应结果.关键词:M a r c i n k i e w i c z 积分;M o r r e y -A d a m s 空间;交换子;粗糙核中图分类号:O 174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-0999-08B o u n d e d n e s s o fM a r c i n k i e w i c z I n t e gr a l w i t h R o u g hK e r n e l o n M o r r e y -A d a m s S pa c e s Z HU X i a o j i e ,T A OS h u a n g p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :W i t h t h eh e l p o f t h eb o u n d e d n e s so f t h eL e b e s g u es p a c e s ,b y a p p l y i n g t h ed e c o m po s i t i o n m e t h o do ff u n c t i o na n dr e a lv a r i a b l et e c h n i q u e s ,t h eb o u n d e d n e s so f M a r c i n k i e w i c zi n t e gr a lw i t h r o u g hk e r n e l w a s p r o v e d o n M o r r e y -A d a m ss p a c e s .M e a n w h i l e ,t h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l to fi t s c o mm u t a t o rw i t hL i ps c h i t z a n dB MOf u n c t i o n sw a s g i v e n .K e y w o r d s :M a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l ;M o r r e y -A d a m s s p a c e ;c o mm u t a t o r ;r o u g hk e r n e l 收稿日期:2022-11-18. 网络首发日期:2023-07-10.第一作者简介:朱小杰(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事调和分析的研究,E -m a i l :z h u x j _242@163.c o m.通信作者简介:陶双平(1964 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事调和分析及其应用的研究,E -m a i l :t a o s p@n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201500).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230707.1455.001.h t m l .1 引言与主要结果设Ω为ℝn 上的零次齐次函数,满足以下消失矩条件:ʏSn -1Ω(x ᶄ)d σ(x ᶄ)=0,(1)其中:x ᶄ=x x,x ʂ0;S n -1表示ℝn (n ȡ2)中的单位球面,d σ(x ᶄ)为其上的L e b e s gu e 测度.高维M a r c i n k i e w i c z 积分μΩ定义为μΩ(f )(x )=ʏɕ0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f (y )d y 2d s sæèçöø÷31/2.(2)设b 是一个局部可积函数,则由μΩ和b 生成的交换子定义为Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩ,b (f )(x )=b (x )μΩ(x )-μΩ(b f )(x )=ʏɕ0F Ω,b ,s (f )(x )2d s s æèçöø÷31/2,(3)其中F Ω,b ,s (f )(x )=ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1(b (x )-b (y ))f (y )d y . M a r c i n k i e w i c z [1]首次提出了一维M a r c i n k i e w i c z 算子:μ(f )(x )=ʏ2πF (x +t )+F (x -t )-2F (x )2t3d æèçöø÷t 1/2, x ɪ[0,2π],其中F (x )=ʏxf (t )d t ;之后,Z y g m u n d [2]证明了μ在L e b e s g u e 空间L p (ℝ)(1<p <ɕ)上是有界的;S t e i n [3]给出了高维空间上M a r c i n k i e w i c z 积分的定义如式(2)所示,并证明了当Ω连续且满足L i p s c h i t z 条件时,μΩ在L p (ℝn )(1<p <2)上是有界的;B e n e d e k 等[4]证明了当ΩɪC 1(S n -1)(1<p <ɕ)时,μΩ在L e b e s g u e 空间上是有界的;陶双平等[5]研究了M o r r e y 空间上M a r c i n k i e w i c z 积分算子与具有离散系数的正则有界平均振荡空间生成的交换子的有界性;王静等[6]给出了时空混合M o r r e y 空间的定义,同时证明了R i e s z 位势㊁M a r c i n k i e w i c z 积分算子及交换子在时空混合M o r r e y 空间上的加权有界性.定义1[7] 设0ɤλɤn ,1ɤp <ɕ,M o r r e y 空间定义为L p ,λ(ℝn )=f (x )ɪL p l o c: f L p ,λ=s u p x ɪℝn,r >0r -λ/p f L p (B (x ,r ))<{}ɕ,其中B (x ,r )={y ɪℝn:x -y <r }.定义1中的M o r r e y 范数㊃ L p ,λ可写成如下形式: f L p ,λ=s u p x ɪℝn㊃-λ/pf L p (B (x ,㊃)) L ɕ(0,ɕ).M o r r e y [7]在研究二阶椭圆偏微分方程解的局部特征性质时引入了M o r r e y 空间,该类函数空间可视为L e b e s g u e 空间的推广,且在偏微分方程等领域有重要应用.A d a m s [8]用L θ范数㊃ L θ(0,ɕ)代替M o r r e y 范数中的L ɕ范数㊃ L ɕ(0,ɕ),得到了一种范围更广的M o r r e y 空间L p ,λθ(ℝn ).目前,关于M o r r e y 型空间上算子有界性的研究已得到广泛关注[9-12].S a l i m 等[13]证明了粗糙核分数次积分算子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.受文献[5-6,13]研究结果的启发,本文主要讨论粗糙核M a r c i n k i e w i c z 算子及其与L i p s c h i t z 函数和B MO 函数生成的交换子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.定义2[13] 设1ɤp <ɕ,λɪℝ,1ɤθ<ɕ,M o r r e y -A d a m s 空间定义为L p ,λθ(ℝn )=f (x )ɪL pl o c : f L p ,λθ=s u p x ɪℝnʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (x ,r ))d ()r1/θ<{}ɕ.如果p θ<λ<n +p θ,则L p ,λθ空间是非平凡的.例如,取f (x )=χB (0,r 0),则有 χB (0,r 0) L p ,λθ=c n r (n -λ)/p +1/θ0,其中c n 是正常数,从而f ɪL p ,λθ,且在L p ,λθ空间中λ可以大于函数值域的维数.与L e b e s g u e 空间L θ(0,ɕ)和L ɕ(0,ɕ)之间的关系相似,空间L p ,λθ和L p ,λ之间不存在包含关系.例如,取f (x )=x-(n -λ)/p,则易证函数f 在空间L p ,λ上,但不在空间L p ,λθ上.另一方面,取f (x )=x-(n -λ)/pχB (0,1)(x ),其中λ-p θ<k <n ,则函数f 在空间L p ,λθ上,而不在空间L p ,λ上.为讨论M a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子μΩ,b 在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,需介绍粗糙核极大算子M Ω:M Ωf (x )=s u p r >0r -n ʏB (x ,r)Ω(x -y )f (y )d y ,当ΩɪL 1(Sn -1)时,算子M Ω在L p 空间上是有界的,其中p >1.定义3[14] B MO 空间定义为001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.B MO (ℝn )=f ɪL 1l o c (ℝn ): f *=s u p x ɪℝn,r >01B (x ,r )ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )d y <{}ɕ,其中f B =1BʏBf (y )d y .定义4[14] 设0<β<1,L i p s c h i t z 空间定义为L i p β(ℝn )=f : f L i p β=s u px ,y ɪℝn ,x ʂy f (x )-f (y )x -y β<{}ɕ. 本文的主要结果如下.定理1 设ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ由式(2)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ(f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ. 定理2 设b ɪL i p β(0<β<1),1<p <ɕ,0<β<m i n1,n ,n -λp +1{}θ,n -γq +1ψ=n -λp +1θ-β, θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,(4)当ΩɪL s (S n -1)时满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果s ȡp ᶄ=p p -1,且λɤγ<n 或n <γɤλ,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ,b (f ) L q ,γψɤC f L p ,λθ. 定理3 设b ɪB MO (ℝn ),ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 μΩ,b (f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ.2 主要结果的证明引理1[13] 若ΩɪL s (S n -1),且s ȡp ᶄ=p p -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 M Ω(f )L p ,λθɤC f L p ,λθ. 引理2[15]设f ɪB MO (ℝn ),则对ℝn 中的任意球B 和1<p <ɕ,有 f *ʈs u p x ɪℝn ,r >01B (x ,r)ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )pd æèçöø÷y 1/p. 引理3 设f ɪL p ,λθ,ΩɪL s (S n -1),s ȡp ᶄ=p p -1,且β<n -λp+1θ,则对几乎处处的x ɪℝn ,存在仅与Ω有关的常数C Ω>0,使得μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))ν f 1-ν,其中ν=1-βp θ(n -λ)θ+p .证明:固定x ɪℝn ,R >0,记f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,R ),f 2=f χB (x ,R )c .利用μΩ,b 的线性性质,有μΩ,b f (x )ɤμΩ,b f 1(x )+μΩ,b f 2(x )ʒ=A +B . 对于A ,由M i n k o w s k i 不等式,得A ɤC ʏɕ0ʏ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f 1(y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i p βʏB (x ,R )ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1-βf (y æèçöø÷)2d s s æèçöø÷31/2d y ɤ1001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C b L i pβʏB (x ,R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC b L i p βðɕj =1ʏB (x ,2-j+1R )\B (x ,2-j R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC R β b L i p βM Ωf (x ). 对于B ,因为β<n -λp+1θ,所以由F u b i n i 定理和H öl d e r 不等式,得B ɤC ʏɕ0ʏB (x ,R )c ɘ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f (y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i pβʏB (x ,R )cΩ(x -y )x -y n -βf (y )dy ɤC b L i pβʏB (x ,R )c Ω(x -y )f (y )ʏɕx -yh β-n -1dh d y ɤC b L i pβʏɕRʏB (x ,h )Ω(x -y )f (y )h β-n -1d yd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1ʏB (x ,h )Ω(x -y )pᶄd ()y 1/pᶄʏB (x ,h )f (y )pd ()y 1/pd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1h n /p ᶄ Ω L s (S n -1) fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh β-n /p -1 fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh -λθ/pf θL p (B (x ,h ))d ()h 1/θʏɕR(hβ-(n -λ)/p -1)θᶄd ()h 1/θᶄɤC b L i p βΩ L s (S n -1)R β-(n -λ)/p-1/θ f L p ,λθ.从而有μΩ,b f (x )ɤC b L i p β(R βM Ωf (x )+R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ).由文献[16]中引理4.1的方法可得μΩ,b f (x )ɤC b L i p βs u p R >0m i n {R βM Ωf (x ),R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ}=C b L i p β(M Ωf (x ))1-βp θ/((n -λ)θ+p ) f βp θ/((n -λ)θ+p )L p ,λθ Ω βp θ/((n -λ)θ+p )L s (Sn -1).取ν=1-βp θ(n -λ)θ+p,进而有μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))νf 1-νL p ,λθ,这里C Ω是指仅依赖于Ω的正常数.证毕.2.1 定理1的证明设z ɪℝn ,任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩf 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=G +H .对于G ,由μΩ在L p(ℝn )空间上的有界性,易得G ɤC Ωʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (z ,r ))d ()r1/θɤC Ω f L p ,λθ.对于H ,注意到当x ɪB (z ,r ),y ɪB (z ,2r )c ⊂B (x ,r )c 时,有12z -y ɤx -y ɤ32z -y .因此2001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩf 2(x )ɤʏz -y0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2+ʏɕz -y ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2ʒ=I 1+I 2.对于I 1,注意到x -y ʈz -y ,结合中值定理,有1x -y2-1z -y2ɤCx -zx -y 3.再由M i n k o w s k i 不等式,得I 1ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏz -yx -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )x -z 1/2x -y 3/2d y ɤC 1z -y 1/2ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .对于I 2,同理有I 2ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏɕz -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .注意到如果y ɪB (z ,2r )c ,则y ɪB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )(j ȡ1),因此可得μΩf 2(x )ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y sᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/s.再利用球坐标变换,有ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/sɤʏB (x ,2jr )Ω(x -y )sd ()y 1/sɤʏB (x ,2jr +x -y )Ω(u )sd ()u 1/sɤʏB (x ,2j+1r)Ω(u )sd ()u 1/sɤʏSn -1ʏ2j+1rΩ(u ᶄ)sd δ(u ᶄ)ρn -1d ()ρ1/sɤC Ω L s (Sn -1)(2j+1r )n /s.由H öl d e r 不等式,得ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j +1r )-1ʏB (z ,2jr )f (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j r)-1ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y 1/pʏB (x ,2j+1r)d ()y1(p/s ᶄ)ᶄs ᶄɤC ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ-n f L p (B (z ,2j +1r)).所以μΩf 2(x )ɤC Ω L s (S n -1)ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ+ns -n f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ωðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)). 令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,可得3001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p (r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r))d r )1/θɤC Ωðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t ))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω f L p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j /θ.注意到当λ<n +p θ时,级数ðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ收敛.定理1证毕.2.2 定理2的证明固定z ɪℝn ,由引理3得ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψ.由已知条件(4)得ν=1-βp θ(n -λ)θ+p =(n -λ)/p +1/θ-β(n -λ)/p +1/θ=(n -γ)/q +1/ψ(n -λ)/p +1/θ=θψ.再由已知条件λɤγ<n 或n <γɤλ以及θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,可得νɤp q .令l =p νq,结合引理1和H öl d e r 不等式,有ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r))d ()r 1/ψɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)(M Ωf )νqd ()x ψ/q d ()r 1/ψɤ C Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)M Ωf νql d ()x ψ/(l q )ʏB (z ,r)d ()x ψ/(l ᶄq )d ()rν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r ψ(n -γ)/q -n θ/p ʏB (z ,r)M Ωf pd ()x θ/pd ()r ν/θɤ C Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -λθ/pM Ωf θL p (B (z ,r ))d ()r ν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθ M Ωf νL p ,λθɤC Ω b L i p βf L p ,λθ.定理2证毕.2.3 定理3的证明设z ɪℝn ,对任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=Q +P .对于Q ,由μΩ,b 在L p(ℝn )空间上的有界性,易得Q ɤC Ω b *ʏɕ0r -λθ/pf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωb * f L p ,λθ.对于P ,由定理1的证明,可得μΩ,b f 2(x )ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b (y )d y ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b B (z ,r )d y +C ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b (y )d y ʒ=J 1+J 2.对于J 1,有J 1ɤC b (x )-b B (z ,r)ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤ4001吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C Ωb (x )-b B (z ,r)ðɕj =1(2jr )-n /pf L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由引理2,得ʏɕ0r -λθ/pJ 1 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ωʏɕ0r -λθ/pðɕj =1(2j r )-n f pL p (B (z ,2j +1r))ʏB (z ,r)b (x )-b B (z ,r)pd ()x θ/pd ()r1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r ))1B (z ,r )ʏB (z ,r )b (x )-b B (z ,r )p d æèçöø÷x θ/p d æèçöø÷r 1/θɤ C Ω b *ðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤ C Ω b * fL p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ.对于J 2,有J 2ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )d y +C ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )Ω(x -y )x -y n f (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ʒ=J 21+J 22.注意到当b ɪB MO (ℝn )时,有b B (z ,2j +1r )-b B (z ,r )ɤC (j +1) b *,则J 21ɤC ðɕj =1b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC b *ðɕj =1(j +1)ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y .对于J 22,由Höl d e r 不等式,得J 22ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -ynf (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r )(f (y )b B (x ,2j +1r)-b (y ))s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )s d ()y1/sɤC Ωðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )s ᶄb B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y1/pʏB (z ,2j+1r)b B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄd ()y1s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄɤC b * Ω L s (S n -1)ðɕj =1B (x ,2j r )1s ᶄ(p /s ᶄ)ᶄ+1s -1 f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ω b *ðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,得ʏɕ0r -λθ/pJ 2 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2-j n /p r -λθ/p f θL p (B (z ,2j +1r))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω b * fL p ,λθðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p -j/θ.5001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.注意到当λ<n+pθ时,级数ðɕj=12j(λ-n)/p-j/θ收敛.定理3证毕.参考文献[1] MA R C I N K I E W I C ZJ.S u r Q u e l q u e sI n tég r a l e s D u T y p e d e D i n i[J].A n n a l e s d el a S o c iétéP o l o n a i s e d eM a t hém a t i q u e,1938,17:42-50.[2] Z Y GMU N D A.O nC e r t a i n I n t e g r a l s[J].T r a n sA m e rM a t hS o c,1944,55:170-204.[3] S T E I N E M.O n t h eF u n c t i o n s o f L i t t l e w o o d-P a l e y,L u s i n a n dM a r c i n k i e w i c z[J].T r a n sA m e rM a t hS o c,1958,88(2):430-466.[4] B E N E D E K A,C A L D E RÓN AP,P A N Z O N ER.C o n v o l u t i o nO p e r a t o r s o nB a n a c hS p a c eV a l u e dF u n c t i o n s[J].P r o cN a tA c a dS c iU S A,1962,48(3):356-365.[5]陶双平,逯光辉.M o r r e y空间上M a r c i n k i e w i c z积分与R B MO(μ)交换子[J].数学学报(中文版),2019,62(2): 269-278.(T A OSP,L U G H.C o mm u t a t o r s o fM a r c i n k i e w i c z I n t e gr a l sw i t hR B MO(μ)o n M o r r e y S p a c e s[J].A c t aM a t h e m a t i c aS i n i c a(C h i n e s eS e r i e s),2019,62(2):269-278.)[6]王静,陶双平.混合M o r r e y空间上M a r c i n k i e w i c z积分的加权估计[J].吉林大学学报(理学版),2022,60(5):1015-1022.(WA N GJ,T A OSP.W e i g h t e dE s t i m a t i o no fM a r c i n k i e w i c z I n t e g r a l o n M i x e d M o r r e y S p a c e s[J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(5):1015-1022.)[7] MO R R E YCB.O n t h eS o l u t i o n s o fQ u a s i-l i n e a rE l l i p t i cP a r t i a lD i f f f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[J].T r a n sA m e r M a t hS o c,1938,43(1):126-166.[8] A D AM SDR.L e c t u r e s o n L p-P o t e n t i a lT h e o r y[R].Um e㊃a,S w e d e n:Um e㊃aU n i v e r s i t e t,1981.[9] B U R E N K O V VI,G O L D MA N M L.N e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s f o r t h eB o u n d e d n e s so f t h e M a x i m a lO p e r a t o r f r o m L e b e s g u eS p a c e s t o M o r r e y-T y p eS p a c e s[J].M a t h I n e q u a lA p p l,2014,17(2):401-418. 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带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在加权Morrey-Herz空间的有界性

ｂｏｄｅｎｅｓｏｎｔｉｅｏｒｅ－ｅｚｓａｃ．ｕｎｄｓｈｅｗｅｇｈｔｄＭｒｙＨｒｐｅ
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：ｗｅｇｔｄＭｏｒｙＨｅｚｓａｅｉｈｅｒｅ－ｒｐｃ；Ｍａｃｎｉｗｉｚｉｔｇａｐｒｔｒｏｇｅｎｌｒｉｋｅｃｎｅｒｌｏｅａｏ；ｒｕｈｋｒｅ
１概念和引理
在叙述主要结果之前，给出一些必要的概念和引理．先
设ｋ ∈Ｚ，令
Ｂ＝Ｂ（，０２）一｛ ∈ Ｒ：Ｉ ≤ ２）ＣＩ，一Ｂ＼，ｚ女Ｂ一
收稿日期：０９１ — ０２０ — ２１
（１）
ｚ一）（
（。，
（２）
，ｕ和ＹｎＬａｇ研究了
其பைடு நூலகம் 中
Ｆｚ一ｌ＜ｚ．（．ａ）ｆｙ１Ｙ ‘ ｚ， — －ＩＹｌｆ
对于Ｍａｃｋｅｃ积分算子的加权有界性，ｉｇＬｒｉｉｚｎｗｉＤｎ，ｕ等给出了加权Ｌ一有界
设Ｓ为（ ≥２中的单位球面，ｄ＝ｄ（表示Ｓ上的Ｌｂｓｕ测度．ｎ∈Ｌ（一是零阶一）用ａａｘ）一ｅｅｇｅ设Ｓ）
齐次函数且满足
Ｉｎ）ｘ一０（ｄ，
其中ｚ一，＃Ｏ带粗糙核的Ｍａｃｎｉｃ积分算子定义为ｘ．ｒｉｋｅｚｗｉ
第２８卷第３期２１００年９月
徐州师范大学学报（自然科学版）

Theta(t)型奇异积分算子在Banach空间值上的加权有界性

ＭＲ２０）题分类号：２２（００主４Ｂ０文献标识码：Ａ中图分类号：１４２Ｏ７．
文章编号：２５７９（０７０ —６７Ｏ０５ — ７７２０）６０８一８
１引言
对于奇异积分算子有界性的研究，已经取得了丰硕的成果，尤其是随着一些空间的分解理论的建立，使得它们在这些空间上的有界性问题得到解决．但对于彭立中和Ｙｂｔ分别ａｕａ在文献［］［］７和８中引进的（）Ｃｌｅｂ — ｙｍｕｄ算子的研究相对少一些，们引进这ｔ型ａｄｒｎＺｇｎ他类算子是有其较深刻的微分方程背景的．我们在文献Ｅｉ［］［］ｌ、２、３通过对这类算子的一些研究可以看到它要相对复杂一些，对于加权的情形有些是有一定难度的；于其在Ｂｎｃ对ａａｈ空间值上的有界性问题讨论更少，因之一是Ｂｎｃ原ａａｈ空间不完全具备通常的实空间的好性质，因此研究过程必然要复杂一些．我们曾在［］１］２和［４中得到过几个有界性的结论，这里我们将主要对满足某种条件的Ｂｎｃ的加权情形进行研究，过比较精细的讨论，到了ａａｈ值经得
ＪＲ
定义Ｂａａｈ值ＨａｄＢｎｃｒｙ空间Ｈｈ）（定义为：
Ｈ（）｛ ∈Ｌ（）ｆｈ一ｆ：一∑ ，ｌｌ。， ∑ ＜。）
竿ｌ＝ｌ
其中ａ均为Ｂ值子，数义为ｌｌ一ｉ｛ＪＪ原且范定ＪＪ厂ｎ∑ ）ｆ．

粗糙算子在加权Herz-Morrey空间上的有界性

且ＩＩ
＜ ∞ ｝。
在文献［］中，ｏｉ１Ｓｒａ和Ｗｅｓ更一般的权 ∞ ｉ用ｓ
∈Ａ，得到了
ｓｐｕ
２２ “
∞（２）≤ ｃ＇
２
ｉｎｆ
…
．
∞ （， ∈ Ｚｏ２）
２
（）１
其中ｃｋ∈ｚ无关。与
ＩＩ
）ｌｑ：ｌ（）≤ Ｌ
Ａ，并且２满足（）设 ∈Ｌ（一１， ≤ ∞ ，Ｉ。ｒ５）１＜
并且是０次齐次函数。如果ｎ在（）ｚ上有界・
ｃｈ．２－）（Ｉ）（ｃ ≤ ２｛（Ｉ（ｙＩ））一上上１ＸＩ。）ｆｙ
Ｃ［ｕ（】２ｓｐ２）
ＥＢ
那么在譬，：上也有界，（）只要，和ｒｇ满
足下列条件之一：１ｒ，ｎ｛（／一／）一１ｒ０）＞口ｍｉｎ１ｒ８ｑ／，｝＜Ｏ＜ｎ１ｔ（
中图分类号，＝Ｂ＼ｌＶｋＩ ≤２｝ＥＢ一， ∈ｚ。设：，ｚ是的特征函数。ＶＪｉ｝∈
定义１设０≤ Ａ＜ ∞ ，１≤ ｇ＜ ∞ ，Ｐ＜０≤ ∞ ， ∈Ｒ，定义Ｈｒ— ｒｅ问如下：ｅｚＭｏｒｙ空ｆ∈ （Ｒ）＝
≤（，ｃＩＩＩ …，Ｅ
且
是非负的权函数。定义加权的Ｈｒ— ￣ｅ间ｅｚＭｏｙ空
Ｍ￣（ｌＯ）Ｋ２ｔ，２为ｐＯｔ暑ｔ，２（ｌＯＯｔ）＝
｛ＬＲ＼０，２：ＩＩ膏）＜ ∞ ｝ｆ∈ Ｌ（｛｝ｔ）Ｉ（ｏｆＩ。其中

一类粗糙核奇异积分算子与Lipschitz函数生成的交换子的有界性估计

设Ｑ）零次（为齐次且【Ｏｘｘ０定（ｄ＝，义）
Ｔｋｂ
，
ｗｐ ∈Ａ，则算子是（，（）ｃ上的有界算子．ｗ（）ｂ
１９９３年Ｊｖｒｚ．ａｂ，Ｄ．ｕｔＣＰｒｚ】．ａｅ，ＲＢｇｙＫｒＡｌｚ和．ｅｅ［３进
圭吉罟一，＝一ｃ．
Ｋｅｒｓｓｎｕａｔｇａｐｒｔｒｃｍｍｕａｏ；ｌｐｉｒｏｅａｏ；ｐｃｉｐｃｙｗｏｄ：ｉｇｌｒｉｅｒｌｅａｏ；ｏｎｏｔｔｒｍｕｔｌｐｒｔｒＬｉｓｈｔｓａｅｉｅｚ
作者简介：曹前（９８），１７一，男讲师，硕士，研究方向为调和分析．－ａ：８９１＠ｑ．ｒＥｍｉ５６１１ｑｏｌｃｎຫໍສະໝຸດ Ｖｌ１２３ＮＯ．０．４
Ｄｅ．０１ｃ２１
ｄｉ１．６／ｉｎ１７－１６２１．．０ｏ：０３９．ｓ．２６４．０１４０６９ｊｓ６０
一
类粗糙核奇异积分算子与Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ函数生成的
交换子的有界性估计
曹前马柏林，
（．１湖南文理学院数学与计算科学学院，南常德，１００湖４５０；２嘉兴学院数理与信息工程学院，．浙江嘉兴，１００３４０）
ＭａｍａｃｄｈｓｓｎｆｒｔｍＥｇｎｅｉｇＣｌｇ，ｉｉｇｏｌｇ１００ＣｉａｔｔｓｎｙｉｄｎｏｍａｉｎｉｅｒｏｌｅＪｘｎｌｅ０，ｈｎ）ｈｉａＰｃａＩｏｎｅａＣｅ３４

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摘要：运用极坐标分解法研究了具有粗糙核Ｐｖ．．Ｑ（）的卷积型Ｃｌｅｂｚ／ｌｌｚａｄｒｎ—
Ｚｇｎ奇异积分算子从到Ｌ：ｙｍｕｄ是有界的。足的条件不同于以往的Ｑ∈ ＨＳ）Ｑ满（。目的是完善具有粗糙核的奇异积分算子的加权有界性，之系统化。使关键词：奇异积分算子；；粗糙核；有界性权
１ｌ（ｌ南＜ｊ（１ｒＱ）＋
其中ａ＞０那么Ｔ，ｎ在上是有界的（＜Ｐ＜Ｃ）１ ×。３在粗糙核的前提下研究Ｔｎ在上的加权有界性，具有一定的难度和技巧。本文的主要结果是：
Ｑ ∈ ＨＳ）（（）３
那么Ｔ在上是有界的（＜Ｐ＜Ｃ）在［］Ｌｕａｒｆｏ和Ａａａｅｎｖｎ１ × 。１中ｏｋｓａｋｓ３ｇａｔｎｓｔｆｏ用更具现实意义的条ｓａ件来取代了条件（）他们证明了：３，如果
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第ｚ卷第４０期
２００７１年２月
青岛大学学报（自然科学版）
ＪＵＡＦＱＮＧＤＯＵＩＥＳＴ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎＯＲＮＬＯＩＡＮＶＲＩＹＮａｕａｉｅＥｉｏ）Ｓｎｉ
ｖ１０Ｎ．０２。４．
Ｄ２７００
文章编号：０６０７２０）４０８—０１０ —１３（０７０ —０１４
具有粗糙核的奇异积分算子的加权有界性
周淑娟，张晶，赵凯，任晓芳。
（．岛大学数学科学学院，青岛２６７；２青岛科技大学数理学院，岛２６７；１青６０１．青６０１３青岛大学师范学院数学系，青岛２６７）．６０１
１９
２定理的证明
在证明定理之前，我们先运用ＪＤｏｎｉｅ— ｅ和Ｊ一ｕｉ在文献Ｉ］．ｕａｄｋｔｘａ．ＩＲｂｏｏ．－中的经典的方法来将Ｑ分４解。义定
（ｚ）一ｚ点来计算（）令一２，。
，极坐标来表示，到用得
（－（］ｆＱ［腩（＿
运用Ｑ的零均值条件，到得
（５）
（）６
ｆ。）ｆ丌１２ｆｆｆＣｆｌ（ ≤ ２（）ｌｌ — ，ｎＩＱ其中ｆｆ ≤２
（４）
定理 ∞ ｚ（）∈ Ａ（＜Ｐ＜。）令Ｑ ∈ Ｌ（）１。，Ｓ是零测度均值函数，Ｑ满足（）那么从到且４，是有界的，中（＋ａ／１ａ＜Ｐ＜２ａ其２）（＋）＋。
作为推论，我们得到：如果Ｑ满足（）且ａ＞０那么Ｔ从到Ｌ：４，ｎ是有界的，对所有的１Ｐ＜Ｃ均＜ＸＤ
中图分类号：Ｏ１４２７．文献标识码：Ａ
１问题
本文中的Ｑ是一个定义在球面Ｓ上的复值可积函数，Ｑ关于表面测度是零均值。且如下给出的Ｔ是ｎ具有粗糙核的卷积型Ｃｌｅ６ａｄｒｎ—Ｚｇｎ异积分算子：ｙｍｕｄ奇
（ａ））ｌＴｆ（一Ｐｚ／ｘ＂
其中厂∈ ＳＲ）（。
ＩＹｌ
ｆｘｙｙ（— ）ｄ
（１）
我们在讨论的有界性之前先来看它的Ｌ有界性。显然，如果Ｑ满足一定的光滑性条件，么那
就具有甚至Ｌ的有界性（＜ＰＣ）参见文献［］本文我们所讨论的Ｑ是粗糙的，：１＜ ×，３７。在不具有光滑性的前提下难度加大。这一领域的讨论始于Ｃｌｅ６ — ｙｍｕｄａｒｎＺｇｎ在文献［］ｄ２中对Ｑ∈ Ｌ（）ｓ证明了Ｔ从ｎ到是有界的。此Ｑ的条件逐渐被有意义的弱化，进。从改［］中ＣｌｒｎＺｇｎ证明了：２ａｅ６ — ｙｍｕｄｄ如果
Ｑ（）ｌｎ２）Ｏ＜ｃ（＋ｌ）１ｄｌＱ（）ｏ（）２
那么Ｔｎ在上是有界的（＜Ｐ＜Ｃ）若干年后条件（）被Ｃｎｅｔ］ＲｃｉＷｅｓ［分别用下列条１ ×。３２ｏｎｔ。及ｉ和［ｃｉｓ］件取代，们分别证明了：他如果
当ｌｌ２时，５ ≥ （）中括号内的积分
ｌｌｒｌ－ｚ・ ≤ ｆｃ：・
由（）和（）我们得到７４，
。
ｃ７
（）８（）９（０１）
，
（）≤ Ｃ（１一，中ｌｌ２Ｉｌ）其ｎ ≥
收稿日期：２０ —００７９—２５
作者简介：周淑娟（９８）女，岛人，１７一，青讲师，研究方向为调和分析。
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第４期
成立。
周淑娟，：有粗糙核的奇异积分算子的加权有界性等具