江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：三角函数(含解析)

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2020版江苏高考数学一轮复习学案：第33课《三角函数在实际问题中的应用》(含解析)

____第33课__三角函数在实际问题中的应用____1. 会利用三角函数的概念和性质以及解三角形等知识解决有关三角函数的实际问题．2. 能灵活利用代数、几何知识建立三角函数模型，综合利用三角函数、不等式等知识解决实际问题1. 阅读：必修5第18～20页；必修4第41～44 页，第116～117 页，第122页．2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？②实际应用中常用的术语，如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角，你清楚含义吗？3. 践习：在教材空白处，完成必修 4 第116 页例5、第122页例5；完成必修 5第18～19页例2、例4，第20页练习第4题，第21页习题第6、7、8题.基础诊断1. 海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝__56__n mile .解析：由题意得在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°.由正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即BC ＝AB sin C·sin A ＝5 6. 2. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C ，D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__30__m .解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，即BC ＝10sin 30°·sin 120°＝10 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC·tan ∠ACB ＝103×3＝30，故AB ＝30m .3. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距82n mile ，则此船的航速是__32__n mile /h .解析：由题可知，∠S ＝75°－30°＝45°，由正弦定理可得BS sin 30°＝ABsin S ，即AB ＝16.又因为此船航行了0.5h ，所以此船的航速为16÷0.5＝32(nmile /h ).4. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a.则一定能确定A ，B 间距离的所有方案为①②③．(填序号)解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离．范例导航考向❶ 距离、高度问题例1 如图，点M 在A 城的南偏西19°的方向上，现有一辆汽车在点B 处沿公路向A 城直线行驶，公路的走向是A 城的南偏东41°.开始时，汽车B 到M 的距离为9km ，汽车前进6km 到达点C 时，到M 的距离缩短了4km .(1) 求△BCM 的面积S ；(2) 汽车还要行驶多远才能到达A 城.解析：(1) 在△BCM 中，BM ＝9，MC ＝5，BC ＝6.由余弦定理得cos ∠BCM ＝BC 2＋MC 2－MB 22×BC ×MC＝－13，则sin ∠BCM ＝223，所以S ＝12MC·BC·sin ∠MCB ＝12×5×6×223＝102(km 2)．(2) 由条件得∠MAC ＝π3.由(1)得cos ∠BCM ＝－13，sin ∠BCM ＝223则cos ∠ACM ＝cos (π－∠BCM)＝－cos ∠BCM ＝13，sin ∠ACM ＝223，所以sin ∠AMC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ACM －π3 ＝sin (2π3－∠ACM)＝32cos ∠ACM ＋12sin ∠ACM ＝3＋226. 在△AMC 中，由正弦定理得AC sin ∠AMC ＝MCsin ∠MAC ，则AC ＝MC·sin ∠AMC sin ∠MAC＝15＋1069(km )．故汽车还要行驶15＋1069km 才能到达A 城．如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为__60__m .解析：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin 15°·sin 90°＝30－103sin 15°＝206，过点A 作AN ⊥CD ，垂足为点N ，在Rt △ACN 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠ACN ＝60°.又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°. 在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，所以AC ＝60＋203，CN ＝30＋103，所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60(m ).【注】本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，求距离或高度实际就是选定或确定要创建的三角形，选择正弦定理还是余弦定理解三角形的边长. 考向❷ 角度问题例2 如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝45°.(1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点P(点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的视角为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问当点P 在何处时，α＋β最小？解析：(1) 过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝9，DE ＝6，设BC ＝x ，则tan ∠CAD＝tan(∠CAE＋∠DAE)＝tan∠CAE＋tan∠DAE1－tan∠CAE·tan∠DAE＝9x＋6x1－9x·6x＝1，化简得x2－15x－54＝0，解得x＝18或x＝－3(舍)．故BC的长度为18m.(2) 设BP＝t，则CP＝18－t(0<t<18)，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝9t＋1518－t1－9t·1518－t＝162＋6t－t2＋18t－135＝6（27＋t）－t2＋18t－135.设f(t)＝27＋t－t2＋18t－135，则f′(t)＝t2＋54t－27×23（－t2＋18t－135）2令f′(t)＝t2＋54t－27×23（－t2＋18t－135）2＝0.因为0<t<18，所以t＝156－27，当t∈(0，156－27)时，f′(t)<0，f(t)是减函数；当t∈(156－27，18)，f′(t)>0，f(t)是增函数，所以当t＝156－27时f(t)取得最小值，即tan(α＋β)取得最小值．因为－t2＋18t－135<0恒成立，所以f(t)<0，所以tan(α＋β)<0，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因为y＝tan x在(π2，π)上是增函数，所以当t＝156－27时，α＋β取得最小值，即当BP为156－27 m时，α＋β取得最小值．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路. 线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040m，BC＝500m，求sin∠BAC.解析：依题意设乙的速度为x m/s，则甲的速度为119x m/s，因为AB ＝1 040m ，BC ＝500m ，所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260m .在△ABC 中由余弦定理可知cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝513.【注】本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．考向❸ 综合问题例3 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN(P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1) 用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2) 若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析：(1) 连结PO 并延长交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)．△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过点N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于点G 和点K ，则GK ＝KN ＝10. 令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)．当θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1. 故矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1.(2) 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.所以设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2.设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2，则f′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π6时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，所以当θ＝π6时，f(θ)取到最大值．故当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【注】本例重点训练三角函数及导数在应用题中综合应用.自测反馈1. 已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ACB ＝30°，则A ，C 两地间的距离为__103__km .解析：由题意知AB ＝10km ，BC ＝20km ，∠ABC ＝30°，由正弦定理可得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB，则sin ∠CAB ＝1.又因为∠CAB ∈(0，180°)，所以∠CAB ＝90°，故∠ABC ＝60°，则AC ＝103km .2. 某路边一树干被台风吹断后折成与地面成30°角，树干也倾斜成与地面成60°角，树干底部与树尖着地处相距10 m ，树干折断方向与路垂直. 有一辆宽为2 m ，高为3m 的紧急救援车(纵截面近似矩形)__能__从树下通过．(填“能”或“不能”)解析：如图所示，四边形EFGH 为矩形，点E ，H 在边AB 上，点F 在边AC 上，点G 在边BC 上，CD ⊥AB ，垂足为D.由题意知当EF ＝3时，若FG ≥2，则救援车能从树下通过．因为EF ＝3，所以AE ＝EF tan A ＝ 3.又因为GH ＝EF ＝3，所以BH ＝GH tan B ＝33，所以FG ＝EH＝10－3－33＝10－43>2，所以救援车能从树下通过．3. 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__23__小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”在B 处相遇所需的最短时间为x 小时，由已知得在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos ∠ACB ，即(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·⎝⎛⎭⎫－12，整理得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍)，所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．1. 理解题意中各类角的概念．2. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．3. 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．4. 你还有哪些体悟，写下来：。

(江苏专用)2020年高考数学一轮复习考点17三角函数的图像与性质必刷题(含解析)

考点17 三角函数的图像与性质1．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．2．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域____________.【答案】【解析】由题得y=g（x）=,因为，所以.所以函数y=g(x)的值域为.故答案为：3．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数的最小正周期为4，则=________.【答案】【解析】由周期计算公式可得，解得=4．（苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 5．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为_______．【答案】23【解析】因为函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，所以cos 123ππω⎛⎫⨯-=± ⎪⎝⎭，所以()23k k Z ππωπ⨯-=∈. 解得：()223k k Z ω=+∈，又0>ω，所以当0k =时，ω最小且为236．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(0)(1)(2)...(2019)f f f f ++++的值为_____．【答案】222+ 【解析】观察图像易知2A =，8T =，4πω=，0ϕ=所以()2sin4f x x π=所以()()040f f ==，()()132f f ==，()22f =，()()572f f ==-，()62f =-所以()()()0170f f f +++=L 因为2019除以8余3所以()()()()()()()()012201901230227222f f f f f f f f ++++=++++⨯=+L 故答案为：222+7．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）已知函数sin()(0,0,||)y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式是__________．【答案】2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】根据图象可以看出A ＝2，图像过（0,1）∴2sinφ=1,故φπ6=∵函数的图象过点（7π12-，0）所以7ππω126-+=2kππ+,k∈Z,故125ω2k76⎛⎫=-+⎪⎝⎭, k∈Z由题7π3,2124T T<<即1812ω77>>故当k=-1,ω2=∴函数的解析式是πy2sin2x6⎛⎫=+⎪⎝⎭．故答案为πy2sin2x6⎛⎫=+⎪⎝⎭8．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在中，若，则的最大值为______.【答案】【解析】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：9．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______.【答案】【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为，所以所以.因为函数的图象经过点所以.所以，所以.故答案为：10．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：11．（江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.12．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点3)，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(3 2sin 3ϕ∴=3sin 2ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴= ()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭13．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，π2<ϕ)的图象关于直线π6x =对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若3()5f A =-，求sin A 的值．【答案】（1）()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2433-. 【解析】（1）∵函数()sin()f x x ωϕ=+（ω＞0，π2<ϕ）的图象上相邻两个最高点的距离为2π， ∴函数的周期T ＝2π，∴2πω＝2π，解得ω＝1，∴f （x ）＝sin （x+φ），又∵函数f （x ）的图象关于直线π6x =对称，∴62k ππϕπ+=+，k ∈Z ， ∵π2<ϕ，∴ϕ＝3π，∴f （x ）＝sin （x+3π）．（2）在△ABC 中，∵3()5f A =-，A ∈（0，π），∴3sin 035A π⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，∴244,,cos 1sin 33335A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈∴+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴sin sin ()sin cos cos()sin 333333A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭3143433525210-⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(3cos )43sm ρθθ+=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.【答案】33【解析】直线:3430l x y +-= 设点(cos ,3sin )P αα，∴|3sin 3cos 43|d αα+-=23sin 436|2343|332πα⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==… 当且仅当262k ππαπ+=-，即223k αππ=-∈，(k Z)时取“=”所以P 到直线l 距离的最大值为33.15．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.16．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题）已知函数，．（1）求函数的单调增区间；（2）求方程在(0，]内的所有解．【答案】（1）,；（2）或【解析】（1）由,，解得：,.∴函数的单调增区间为,（2）由得，解得：，即,∵，∴或．17．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）在中，，．（1）求角的大小；（2）设，其中，求取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以，又因为，所以，解得，由余弦定理得，因为，所以.（2），因为，所以，所以取值范围为.18．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若，求函数的单调增区间．【答案】（1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．【解析】（1）．当，即时，取得最小值0．此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．（2）因为，令，解得，又，令，，令，，所以函数在的单调增区间是和．19．（江苏省清江中学2018届高三学情调研考试）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.【答案】（I）,;（II）.【解析】（I）.由得，，则的单调递增区间为，.（II）∵，∴，当，时，.。

2020版江苏省高考文科数学三轮复习三角函数、解三角形解答题专题练(5页)

解答题专题练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B＋c cos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．3．已知函数f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x (x ∈R )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中常数a ∈R .(1)求a 的值及函数f (x )的最小正周期T ；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最值及相应的x 值．4．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解答题专题练(一)1．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以T ＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 2．解：(1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin B sin B cos C ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cos A ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0<A <34π，所以0<t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)由(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S max ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.3．解：(1)f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x －1，由函数f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a 2sin π2－cos π2－1＝0，得a ＝2.从而f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )max ＝2－1；当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )min ＝－2.4．解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20，因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21，故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.。

2020届高三数学过关题6 三角函数含解析

2020届苏州市高三数学过关题6 三角函数一、填空题1．已知角(02)αα<π≤的终边过点22(sin,cos )33P ππ，则α= ． 2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角为弧度时，该扇形的面积最大．3，则tan2α= ．4．已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ__________． 5．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是． 6．若1(0,),sin cos 2α∈πα+α=，则1tan tan αα-＝．7．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知060,3C b c ===，则角A ＝．8．（2019·全国卷Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=________．9．在ABC V 中，已知0120,sin 2sin C B A ==，且ABC V 的面积为，则AB 的长为________．10．（2019·天津卷）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．11．设函数()sin 3f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，其中0w >．若函数()f x 在[]0,2p 上恰有2个零点，则w 的取值范围是________．12．（2019·江苏卷）已知tan 2=3tan +4a p a -骣÷ç÷ç÷ç桫，则sin 24p a 骣÷ç+÷ç÷ç桫的值是________． 13．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_______．14．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．二、解答题15．（2019·江苏卷）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角a ，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角b ，其终边与单位圆交于点B，AB =．（1）求cos b 的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．17．（2019·全国卷III ）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ．已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．18．已知ABC ∆中，a b c ,,分别为三个内角A B C ,,的对边，3sin cos b C c B c =+．（1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值．19．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，6,3,2AD BD DC ===．（1）如图①，若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小；（2）如图②，若4ABC π∠=，求ADC ∆的面积．20．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地∆，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成块形状为CDP的角为θ．∆的面积，并确定sinθ的取值范围；（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．2020届苏州市高三数学过关题6 三角函数三角函数在高考中主要涉及到三角变换、三角函数的图象与性质、解三角形等几个方面的考查，其中：1. 三角函数的化简与求值问题一直是必考内容之一，其中三角恒等变换主要涉及到名的变化、角的变化和幂的变化．2. 三角函数图象与性质是高考数学的重点内容，要理解正弦函数、余弦函数及正切函数的图象与性质，会用三角函数图象与性质解决一些简单的实际问题，同时需要注意与平面向量、不等式、函数与导数等知识的交汇命题，注重考查学生的数形结合、转化与划归思想以及运算求解能力．3. 正、余弦定理因其建立了三角形的边长和角度的数量关系，从而使三角形兼具“数”与“形”两方面的性质，所以成为高中数学的主干知识．高考对正、余弦定理的考查主要有求边角的大小、判断三角形形状、寻找三角形中的有关数量关系等，其主要方法有：化角法，化边法，面积法等，在解题中要注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. 三、填空题1．已知角(02)ααπ<≤的终边过点22(sin,cos )33P ππ，则α= ．【答案】116π．［解析］因为22sin 0,cos 033ππ><，所以点P 在第四象限．又21cos3tan 2sin 3παπ-=== 且02απ<≤，所以116πα=． 2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角为弧度时，该扇形的面积最大．【答案】2．［解析］设半径为r ，则弧长62l r =-，所以扇形的面积211(62)322S lr r r r r ==-=-+，当32r =时，S 有最大值．此时，3l =，所以，得2lrα==． 3，则tan2α= ．［解析］由题意得: 4．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【答案】12-．[解析] 将条件中的两个式子平方得22sin cos 2sin cos 1αβαβ++=（①），22cos sin 2cos sin 0αβαβ++=（②），①②相加得22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，则1sin()2αβ+=-．5．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．【答案】6π-．［解析］由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，又22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，所以6πϕ=-．6．若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，则1tan tan αα-＝．［解析］将1sin cos 2αα+=两边平方，得到112sin cos 4αα+=，所以3sin cos 8αα=-．所以27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=．由于(0,)απ∈，且sin cos 0αα<，所以sin 0,cos 0.αα><所以sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=．根据同角三角函数的关系，得1tan tan αα-sin cos cos sin αααα=-22sin cos sin cos αααα-=(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=［说明］应重视二倍角公式与同角三角函数关系综合运用非常重要，尤其应关注以下几个三角函数式之间的互化：1πsin cos ,sin cos ,sin 2,sin cos ,tan tan +tan 4αααααααααα⎛⎫+-⋅+⎪⎝⎭，．涉及的公式如下：2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±⋅=± ，112πcos sin tan tan tan sin cos sin 24cos sin αααααααααα+⎛⎫+==+= ⎪⋅-⎝⎭，．7．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知060,3C b c ===，则A ＝____．【答案】 75°．［解析］由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin B ＝bsin C c ＝22，结合b <c ，可得B ＝45°，则0018075A B C =--=．8．（2019·全国卷Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=________．【答案】5． [解析](0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos 5α==，所以sin α==9．在ABC V 中，已知0120,sin 2sin C B A ==，且ABC V 的面积为，则AB 的长为________．【答案】［解析］因为sinB ＝2 sinA ，由正弦定理，得：b ＝2a ，S ＝21sin1202ab ︒==解得：a ＝2，b ＝4，AB ＝c 10．（2019·天津卷）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．．［解析］因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 28842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．设函数()sin 3f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，其中0w >．若函数()f x 在[]0,2p 上恰有2个零点，则w 的取值范围是________．【答案】54,63轹÷ê÷÷êøë．[解析] 当()f x 取零点时，()3x k k Z p w p +=?，即()3k x k Z p pw w=-+?，当0x >时的零点从小到大依次为123258,,,,333x x x p p p w w w ===L 所以满足52,382,3p p wp p w ìïïïïíïï>ïïïî≤解得54,63w 轹÷êÎ÷÷êøë． 12．（2019·江苏卷）已知tan 2=3tan +4a p a -骣÷ç÷ç÷ç桫，则sin 24p a 骣÷ç+÷ç÷ç桫的值是________．【答案】10． [解析] 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan 4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+== 当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10．13．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________．【答案】． [解析] 因为函数()2sin sin2f x x x =+的最小正周期为2π，所以只需考虑()f x 在[0,2)π上的最小值即可．对函数()f x 求导得/2()2cos 2cos24cos 2cos 2f x x x x x =+=+-，令/()0f x =，得1cos 2x =或cos 1x =-，因为[0,2)x π∈，所以,3x x ππ==或53x π=，所以函数()f x 在[0,2)π上的最小值只能在0,,3x x x ππ===或53x π=中取得，因为5(0)0,()()0,()33f f f f πππ====所以函数()2sin sin2f x x x =+的最小值为． 14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．【答案】9．[解析] 在ABC △中，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，由三角形面积公式可得111sin120sin60sin60222o o o ac a c =+，化简得ac a c =+，则111a c+=，则1144(4)559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2c a =，即3,32a c ==时取等号，所以4a c +的最小值为9．四、解答题15．（2019·江苏卷）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．解：（1）因为23,2,cos 3a c b B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =. 所以3c =. （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB =25．（1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解：（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=．（2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β=．因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α=．所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=．所以点3356()6565B -，．17．（2019·全国卷III ）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=.因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=.由180A B C ++=︒，可得sin cos 22A CB+=，故cos 2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒.（2）由题设及（1）知ABC ∆的面积ABC S ∆=.由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2c A C a C C ︒-===. 由于ABC ∆为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S ∆<<因此，ABC ∆面积的取值范围是. 18．已知ABC ∆中，a b c ,, 分别为三个内角A B C ,,sin cos C c B c =+．（1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值．解：（1）由正弦定理得sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以cos 1B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B AC =，11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A Cπ++-+=+====所以211sin 123tan tan sin sin 3B A C B B +====． 19．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2．（1）如图①，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；（2）如图②，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β．因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tanα＝12，tanβ＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4．（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理，得AD sin π4＝BD sin α，解得sinα＝24．因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin 2α＝144．因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sinαcos π4＋cosαsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74． △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． 20．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】－π6【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.4含解析

§4.4　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用考情考向分析　以考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ≥0AT ＝2πωf ＝＝1T ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示　向左平移个单位长度．φω2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？提示　x ＝＋－(k ∈Z )．k πωπ2ωφω题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin 的图象是由y ＝sin 的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)(x －π4)(x ＋π4)π2(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．(　×　)(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　T2√　)(4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析12式为y ＝sin x .(　×　)12题组二　教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象向________(2x －π3)平移________个单位长度．答案　右　π63．[P40T5]y ＝2sin 的振幅、频率和初相分别为__________________．(12x －π3)答案　2，，－14ππ34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案　y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)解析　从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝×(30－10)＝10，12b ＝×(30＋10)＝20，12又×＝14－6，所以ω＝.122πωπ8又×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝，π83π4所以y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14]．(π8x ＋3π4)题组三　易错自纠5．将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(2x ＋π6)14________________．答案　y ＝2sin (2x －π3)解析　函数y ＝2sin 的周期为π，将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期，即(2x ＋π6)(2x ＋π6)14个单位长度，π4所得函数为y ＝2sin＝2sin .[2(x －π4)＋π6](2x －π3)6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案　π2＋4解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.π2＋47.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．(π4)答案　3解析　由题干图象可知A ＝2，T ＝－＝，3411π12π63π4∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝时，函数f (x )取得最大值，π6∴2×＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝＋2k π(k ∈Z )，π6π2π6又0<φ<π，∴φ＝，∴f (x )＝2sin ，π6(2x ＋π6)则f＝2sin ＝2cos ＝.(π4)(π2＋π6)π63题型一　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解　(1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6所以A ＝2，同时2×＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6π2φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6因为－<φ<，所以φ＝，π2π2π6所以f (x )＝2sin .(2x ＋π6)(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋∈，π6[π6，13π6]列表如下：2x ＋π6π6π2π3π22π13π6x 0π65π122π311π12πf (x )12－21描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解　由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ＝2sin 是偶函数，[2(x －m )＋π6][2x －(2m －π6)]所以2m －＝(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝＋，k ∈Z ，π6π2k π2π3又因为m >0，所以m 的最小值为.π3思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1　(1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin 的(2x ＋π3)图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为(0<φ<π2)________．答案　π6解析　y ＝sin 的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ，(2x ＋π3)(2x －2φ＋π3)又sin ＝0，∴－2φ＋＝k π(k ∈Z )，(－2φ＋π3)π3又0<φ<，∴φ＝.π2π6(2)已知函数f (x )＝sin (0<ω<2)满足条件：f ＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，(ωx ＋π6)(－12)可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________．答案　1解析　由题意得sin ＝0，即－ω＋＝k π(k ∈Z )，则ω＝－2k π(k ∈Z )，(－12ω＋π6)12π6π3结合0<ω<2，得ω＝，所以f (x )＝sin ＝cos ＝cos ，π3(π3x ＋π6)(π2－π3x －π6)[π3(x －1)]所以只需将函数g (x )＝cos x 的图象向右至少平移1个单位长度，π3即可得到函数y ＝f (x )的图象．题型二　由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝f 取得最(ω>0，|φ|<π2)(x ＋π6)小值时x 的集合为________________．答案　Error!解析　根据题干所给图象，周期T ＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，(7π12－π3)2πω因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，(7π12，0)7π12再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x )＝sin ，π2π6(2x －π6)∴f ＝sin ，(x ＋π6)(2x ＋π6)当2x ＋＝－＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－＋k π(k ∈Z )时，y ＝f 取得最小值．π6π2π3(x ＋π6)(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos 2＋sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如ωx23图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝，且x 0∈，求f (x 0＋1)的值．835(－103，23)解　①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋sin ωx ＝2sin ，33(ωx ＋π3)∴函数f (x )的值域为[－2，2]，33∴正三角形ABC 的高为2，从而BC ＝4，3∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即＝8，ω＝.2πωπ4②∵f (x 0)＝，835由①有f (x 0)＝2sin ＝，3(π4x 0＋π3)835即sin ＝，(π4x 0＋π3)45由x 0∈，知x 0＋∈，(－103，23)π4π3(－π2，π2)∴cos ＝＝.(π4x 0＋π3)1－(45)235∴f (x 0＋1)＝2sin 3(π4x 0＋π4＋π3)＝2sin3[(π4x 0＋π3)＋π4]＝23[sin (π4x 0＋π3)cos π4＋cos (π4x 0＋π3)sinπ4]＝2＝.3(45×22＋35×22)765思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的部分图象如图所示，将函(A >0，ω>0，|φ|<π2)数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点对称，则m(π3，32)的最小值为________．答案　π12解析　依题意得Error!解得Error!＝＝－＝，T 2πω2π3π6π2故ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋.332又f＝sin ＋＝，(π6)3(π3＋φ)32332故＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，即φ＝＋2k π(k ∈Z )．π3π2π6因为|φ|<，故φ＝，π2π6所以f (x )＝sin ＋.3(2x ＋π6)32将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝sin ＋的图象，3(2x ＋π6＋2m )32又函数g (x )的图象关于点对称，即h (x )＝sin 的图象关于点对(π3，32)3(2x ＋π6＋2m )(π3，0)称，故sin＝0，即＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝－(k ∈Z )．3(2π3＋π6＋2m )5π6k π25π12又m >0，所以m 的最小值为.π12题型三　三角函数图象、性质的综合应用命题点1　图象与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若f (0)＝，且·＝(ω>0，|φ|<π2)3AB → BC → －8，B ，C 分别为最高点与最低点．π28(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间上π6[0，π2]的最大值和最小值．解　(1)由f (0)＝，可得2sin φ＝，即sin φ＝.3332又∵|φ|<，∴φ＝.π2π3由题意可知，＝，＝，AB → (14T ，2)BC →(12T ，－4)则·＝－8＝－8，∴T ＝π.AB → BC → T 28π28故ω＝2，∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π3π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，5π12π12∴函数f (x )的单调递增区间为，k ∈Z .[－5π12＋k π，π12＋k π](2)由题意将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，π6∴g (x )＝f ＝2sin (x ＋π6)[2(x ＋π6)＋π3]＝2sin .(2x ＋2π3)∵x ∈，[0，π2]∴2x ＋∈，sin ∈.2π3[2π3，5π3](2x ＋2π3)[－1，32]∴当2x ＋＝，即x ＝0时，sin ＝，2π32π3(2x ＋2π3)32g (x )取得最大值，3当2x ＋＝，即x ＝时，sin ＝－1，2π33π25π12(2x ＋2π3)g (x )取得最小值－2.命题点2　函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0在上有两个不同的实数根，则m3(π2，π)的取值范围是____________．答案　(－2，－1)解析　方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0可转化为3m ＝1－2sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x 33＝2sin ，x ∈.(2x ＋π6)(π2，π)设2x ＋＝t ，则t ∈，π6(76π，136π)∴题目条件可转化为＝sin t ，t ∈有两个不同的实数根．m 2(76π，136π)∴y ＝和y ＝sin t ，t ∈的图象有两个不同交点，如图：m 2(76π，136π)由图象观察知，的取值范围是，m 2(－1，－12)故m 的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案　[－2,1)解析　由上例题知，的取值范围是，m 2[－1，12)∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3　三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最(A >0，ω>0，|φ|<π2)低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案　6 000解析　作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，12T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.2πT π6将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，π6π2故f (x )＝2 000sin x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．π6∴f (7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．7π6故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上的两个相邻的最高(ω>0，－π2≤φ≤π2)点和最低点的距离为2，且过点，则函数f (x )的解析式为______________．2(2，－12)答案　f (x )＝sin(πx 2＋π6)解析　根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2，可得＝2，解得T 2(T 2)2＋(1＋1)22＝4，故ω＝＝，即f (x )＝sin .2πT π2(πx2＋φ)又函数图象过点，(2，－12)故f (2)＝sin＝－sin φ＝－，(π2×2＋φ)12又－≤φ≤，解得φ＝，π2π2π6故f (x )＝sin.(πx 2＋π6)(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ＋.(x ＋π3)3①求f (x )在区间上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；[－π4，π6]②若方程f (x )－t ＝0在x ∈上有唯一解，求实数t 的取值范围．[－π4，π2]解　①f (x )＝4sin x ＋(cos x cos π3－sin x sin π3)3＝2sin x cos x －2sin 2x ＋33＝sin 2x ＋cos 2x 3＝2sin .(2x ＋π3)因为－≤x ≤，所以－≤2x ＋≤，π4π6π6π32π3所以－≤sin ≤1，所以－1≤f (x )≤2，12(2x ＋π3)当2x ＋＝－，即x ＝－时，f (x )min ＝－1；π3π6π4当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )max ＝2.π3π2π12②因为当－≤x ≤时，－≤2x ＋≤，π4π12π6π3π2所以－1≤2sin ≤2，且单调递增；(2x ＋π3)当≤x ≤时，≤2x ＋≤，π12π2π2π34π3所以－≤2sin ≤2，且单调递减，3(2x ＋π3)所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－，－1)或t ＝2.3三角函数图象与性质的综合问题例 (14分)已知函数f (x )＝2sin ·cos －sin(x ＋π)．3(x 2＋π4)(x 2＋π4)(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上π6的最大值和最小值．规范解答解　(1)f (x )＝2sin cos 3(x 2＋π4)(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝cos x ＋sin x [3分]3＝2sin ，[5分](x ＋π3)于是T ＝＝2π.[6分]2π1(2)由已知得g (x )＝f ＝2sin ，[8分](x －π6)(x ＋π6)∵x ∈[0，π]，∴x ＋∈，π6[π6，7π6]∴sin ∈，[10分](x ＋π6)[－12，1]∴g (x )＝2sin ∈[－1,2]．[12分](x ＋π6)故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝·；a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)第三步：(求性质)利用f (x )＝sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．a 2＋b 21．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长π6度得到g (x )的图象，则g的值为________．(π2)答案　－12解析　由题意得，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长度，得到g (x )＝cos 的π6(2x －π3)图象，所以g＝cos ＝－.(π2)(π－π3)122．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案　3π8解析　f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝cos ，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得2(2x －π4)图象对应的函数为y ＝cos ，且该函数为偶函数，2(2x －π4－2φ)故2φ＋＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为.π43π83．函数f (x )＝cos (ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函(ωx ＋π6)π3数的单调递减区间是________________．答案　(k ∈Z )[π4＋k π，3π4＋k π]解析　由题意知ω＝＝2，将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2πππ3＝cos ＝sin 2x 的图象，由2k π＋≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，解得所求函数[2(x －π3)＋π6](2x －π2)π23π2的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π＋π4，k π＋3π4]4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为(ω>0，|φ|<π2)________．答案　[－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析　由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，2πT π4所以f (x )＝sin .把(1,1)代入，得sin ＝1，即＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，(π4x ＋φ)(π4＋φ)π4π2又|φ|<，所以φ＝，所以f (x )＝sin .由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4(π4x ＋π4)π2π4π4π2得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点，则φ的最小值为________．(π3，32)答案　π6解析　将y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin 2(x －φ)，代入点得＝sin ，(π3，32)32(2π3－2φ)因为φ>0，所以当－2φ＝时，第一个正弦值为的角，此时φ最小，为.2π3π332π66．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )(|φ|<π2)π6在上的最小值为________．[0，π2]答案　－32解析　将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y ＝sin ＝sin π6[2(x ＋π6)＋φ]的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3＋φ)π3又|φ|<，所以φ＝－，即f (x )＝sin .π2π3(2x －π3)当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π3[－π3，2π3]所以当2x －＝－，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－.π3π3327.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.(ω>0，|φ|<π2)(π24)答案　3解析　由题干图象知＝2×＝，πω(3π8－π8)π2所以ω＝2.因为2×＋φ＝k π＋(k ∈Z )，π8π2所以φ＝k π＋(k ∈Z )，π4又|φ|<，所以φ＝，π2π4这时f (x )＝A tan .(2x ＋π4)又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan .(2x ＋π4)所以f＝tan ＝.(π24)(2×π24＋π4)38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈，且f (x 1)＝(ω>0，|φ|<π2)(－π6，π3)f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案　32解析　由题图可知，＝－＝，T 2π3(－π6)π2则T ＝π，ω＝2，又＝，－π6＋π32π12所以f (x )的图象过点，(π12，1)即sin ＝1，(2×π12＋φ)所以2×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，π12π2又|φ|<，可得φ＝，所以f (x )＝sin .π2π3(2x ＋π3)由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈，(－π6，π3)可得x 1＋x 2＝－＋＝，π6π3π6所以f (x 1＋x 2)＝f＝sin ＝sin ＝.(π6)(2×π6＋π3)2π3329．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝(x ＋π3)12的交点的个数是________．答案　2解析　方法一　令sin ＝，可得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，(x ＋π3)12π3π6π35π6即x ＝2k π－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝或x ＝，π6π211π6π2故原函数图象与y ＝的交点的个数是2.12方法二　在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则m 的取值(3x ＋π3)[π6，m ][－1，－32]范围是________．答案　[2π9，5π18]解析　画出函数的图象如图所示．由x ∈，可知≤3x ＋≤3m ＋，[π6，m ]5π6π3π3因为f ＝cos ＝－且f ＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是，(π6)5π632(2π9)[－1，－32]只要≤m ≤，即m ∈.2π95π18[2π9，5π18]11．已知函数f (x )＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f (x )图象的一个对称中心．(2ωx ＋π6)(－π6，0)(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解　(1)因为点是函数f (x )图象的一个对称中心，(－π6，0)所以－＋＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋(k ∈Z )，ωπ3π612因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝.12所以f (x )＝2sin .(x ＋π6)令2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，2π3π3所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[2k π－2π3，2k π＋π3](2)由(1)知，f (x )＝2sin ，x ∈[－π，π]，(x ＋π6)列表如下：x ＋π6－5π6－π20π2π7π6x －π－2π3－π6π35π6πf (x )－1－202－1作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ＋sin ，其中0<ω<3.已知f ＝0.(ωx －π6)(ωx －π2)(π6)(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在上的最小值．π4[－π4，3π4]解　(1)因为f (x )＝sin ＋sin ，(ωx －π6)(ωx －π2)所以f (x )＝sin ωx －cos ωx －cos ωx 3212＝sin ωx －cos ωx ＝32323(12sin ωx －32cos ωx )＝sin .3(ωx －π3)由题设知f＝0，(π6)所以－＝k π，k ∈Z ，ωπ6π3故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝sin ，3(2x －π3)所以g (x )＝sin ＝sin .3(x ＋π4－π3)3(x －π12)因为x ∈，[－π4，3π4]所以x －∈，π12[－π3，2π3]当x －＝－，即x ＝－时，g (x )取得最小值－.π12π3π43213．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数(－π2<θ<π2)g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为________．(0，32)答案　5π6解析　g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，(0，32)所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，3232又－<θ<，π2π2所以θ＝，sin ＝.π3(π3－2φ)32又0<φ<π，所以－<－2φ<，5π3π3π3所以－2φ＝－.π34π3即φ＝.5π614．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若3相邻交点距离的最小值为，则f (x )的最小正周期为________．π3答案　π解析　f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ω>0)．3(ωx ＋π6)由2sin ＝1，得sin ＝，(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)12∴ωx ＋＝2k π＋或ωx ＋＝2k π＋(k ∈Z )．π6π6π65π6令k ＝0，得ωx 1＋＝，ωx 2＋＝，π6π6π65π6∴x 1＝0，x 2＝.2π3ω由|x 1－x 2|＝，得＝，∴ω＝2.π32π3ωπ3故f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π215．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝对称．该函数的部分13图象如图所示，AC ＝BC ＝，C ＝90°，则f的值为________．22(12)答案　34解析　依题意知，△ABC 是直角边长为的等腰直角三角形，22因此其边AB 上的高是，函数f (x )的最小正周期是2，12故M ＝，＝2，ω＝π，f (x )＝sin(πx ＋φ)．122πω12又f (x )的图象关于直线x ＝对称，13∴f＝sin ＝±.(13)12(π3＋φ)12∴＋φ＝k π＋，k ∈Z ，又0<φ<π，π3π2∴φ＝，π6∴f＝sin ＝.(12)12(π2＋π6)3416．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x12(A >0，0<φ<π2)＝对称，若存在x ∈，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．π12[0，π2]答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)解析　∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，12(A >0，0<φ<π2)∴A sin φ－＝1，即A sin φ＝.1232∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象关于直线x ＝对称，12π12∴2×＋φ＝k π＋，k ∈Z ，π12π2又0<φ<，∴φ＝，∴A ·sin ＝，π2π3π332∴A ＝，∴f (x )＝sin －.33(2x ＋π3)12当x ∈时，2x ＋∈，[0，π2]π3[π3，4π3]∴当2x ＋＝，即x ＝时，π34π3π2f (x )min ＝－－＝－2.3212令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形1第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数刷

第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．答案：四2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝(1＋233)r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶93．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________．解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案：124．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．解析：因为θ是第三象限角，所以θ2为第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．答案：二5．已知角α的终边上一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝12y ，则cos α－1tan α＝________.解析：由已知得r ＝OP ＝3＋y 2，所以sin α＝y 2＝y3＋y2. 所以2＝3＋y 2，所以y 2＝1，所以y ＝±1，故sin α＝±12，cos α＝－32， tan α＝±33. 则cos α－1tan α＝32或－332. 答案：32或－3326．(2019·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为________．解析：因为(sin 2π3，cos 2π3)＝(32，－12)，所以角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32. 所以角α的最小正值为11π6. 答案：11π67．若角β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________．解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 8.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)相交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________．解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.所以cos α－sin α＝－75. 答案：－759．函数y ＝sin x ＋ 12－cos x 的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12. 所以x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 10．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ， S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 211．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝l r＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.12．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．。

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江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练三角函数一、填空题 1、（南京市2018高三9月学情调研）若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则f (－π)的值为 ▲ ．2、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6 对称，则f (0)的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）函数的最小正周期为 ▲ ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知10cos()410πθ+=-，(0,)2πθ∈，则s i n (2)3πθ-=▲ ．6、（苏州市2018高三上期初调研）将函数()()20y sin x ϕϕπ=+<<)的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =的图象过原点，则ϕ的值是．7、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝＿＿ 8、（苏州市2019届高三上学期期中）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示，则ϕ的值为 ▲ ．9、（无锡市2019届高三上学期期中）已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的函数f (x )＝2a sin x cos x ＋b (a ＜0)的最大值为4，最小值为52，则a ·b ＝10、（徐州市2019届高三上学期期中）已知函数()2sin(2)3f x x π=-，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，则12x x -的最大值为 ▲ ．11、（盐城市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则角C ＝．12、（扬州市2019届高三上学期期中）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若26a =，6b =，cosB ＝12-，那么角A 的大小为．13、（如皋市2019届高三上学期期末）在△锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222cos 3a ab C b +=，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ ．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则以函数()f x 与()g x 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为．15、（苏州市2019届高三上学期期末）已知3sin()cos απα-=，则tan()πα-的值是．16、（无锡市2019届高三上学期期末）已知θ是第四象限角，且 cosθ＝45，那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为．17、（镇江市2019届高三上学期期末）若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））设定义在区间(0，2π)上的函数33sin y x=的图象与3cos 22y x =+的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为．19、（盐城市2019届高三第三次模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的三边分别为c b a ,,，且ab b a c ++=222，则222cb a -的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在斜三角形ABC 中，112tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值是21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则()4f π的值为 . 22、（南京市2019届高三第三次模拟）函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)，其中ω＞0．若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π．则当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为 ▲二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．2、（南京市2018高三9月学情调研）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3sin cos b A a B =．（1）求角B ；（2）若3b =，sin 3sin C A =，求a ，c ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）已知为钝角，且sin α=，cos2β＝（1）求tan β的值. （2）求cos(2)的值.5、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且sin 2sin C Bc b= (1)求角C(2)若3sin()=35B -π，求cos A 的值6、（无锡市2019届高三上学期期中）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(b －a cos C )＝c sin A .(1) 求角A 的值；(2) 若AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 面积的最大值. 7、（徐州市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos24cos()=1B A C -+. （1）求角B 的值；（2）若13cos 13A =，3c =，求ABC ∆的面积.8、（盐城市2019届高三上学期期中）若函数()sin()3f x ax b π=++(a ＞0，b ＞0)的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a ，b 的値；（2）求()f x 在[0，4π]上的最大值和最小值．9、（如皋市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R ，其部分图象如图所示．（1）求函数y ＝f (x )的解析式；（2）若f (α)＝233，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos2α的值．10、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2sin 3A =，A π(,π)2∈．（1）求sin2A 的值；（2）若1sin 3B =，求cosC 的值．11、（苏州市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2b cosA ＝2c ﹣3a ．（1）求B ；（2）设函数3()cos sin()34f x x x π=⋅+-，求(A)f 的最大值． 12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 2cos a B b A =，3cos 3A =．（1）求角B 的值；（2）若6a =，求△ABC 的面积．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．14、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32cos Asin Ca c -=．（1）求角A 的大小；（2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．15、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若0≤x ≤4π，求函数()f x 的值域；（2）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A 为锐角且3(A)2f =，b ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．参考答案一、填空题1、－12、13、10433+4、π5、43310+6、34π7、8、3π9、－391610、32π 11、23π 12、4π13、6 14、32π15、1316、5214 17、－7818、3 19、(1,1)- 20、3- 21、3 22、－1 二、解答题1、解：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45． ………………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510． ……………………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝bc，所以sin B sin C ＝3510． ……………………………6分解法2因为cos B ＝45，B ∈(0， )，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ． ………………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510． ………………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725． …………………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425． …………………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250． …………………………………14分2、解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分因为β为钝角，所以cos β＝－55．从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分3、【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得3sin sin sin cos B A A B =． ………………2分又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．所以3sin cos B B =． ………………………………………………………4分法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin 3tan cos 3B B B ==，所以6B π=． ……………………………………………………6分法二：3sin cos 0B B -=即2sin()06B π-=， …………………………4分所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=． …………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin 3sin C A =，所以3c a = ，① …………………………………9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即2239a c ac +-=， ② …………………………………12分把①代入②得3a =，33c =. …………………………………14分4、（1）cos2β＝2cos 2β-1＝－35，得cos β＝－55，sin β＝255， tan β＝－2（2）cos α＝－45，cos2α＝725，sin2α＝－1225， cos(2)＝725×（－55）－（－1225）×255＝1751255、6、解：(1) 因为3(b －a cos C )＝c sin A ，由正弦定理得3(sin B －sin A cos C )＝sin C sin A .(2分) 即 3sin B ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，即 3sin A cos C ＋3cos A sin C ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，(4分) 所以 3cos A sin C ＝sin C sin A .因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.(6分)因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(8分)(2) 在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋AD 2－2·AB ·AD ·cos A ＝BD 2，即13＝c 2＋b 24－c ·b 2≥bc 2，(10分)所以bc ≤26.(12分)所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×26×32＝1332，即△ABC 面积的最大值为1332.(14分)7、8、解：（1）因为图像与x 轴相切，且0b >，所以)(x f y =的最小值为0，即1=b ，又由最高点间距离为π，故2aππ=，即2a = …………4分（2）由（1）得()sin 2+13f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有52336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ………8分当2=32x ππ+时，即12x π=，()f x 有最大值2；当52=36x ππ+时，即4x π=，()f x 有最小值32………… …14分9、【解】（1）由图可知，A ＝2，15πππ4632T =-=，所以2πT =，所以2π2πω=，1ω=． …… 4分又π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ22ϕ-<<，所以ππ5π636ϕ-<+<，故ππ32ϕ+=，π6ϕ=．所以()π2sin 6x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …… 7分（2）因为()233f α=，所以π22sin 363α⎛⎫+=⎪⎝⎭，即π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02α<<，所以ππ2π663α<+<．又因为π32sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ664α<+<．所以22ππ36cos 1sin 16633αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， …… 10分所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦336116323226=⨯-⨯=-． …… 12分所以221616cos212sin 122663αα⎛⎫=-=-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭． …… 14分 10、（1）由2sin 3A =，(,)2A π∈π，则2225cos 1sin 1()33A A =--=--=-，…………2分所以45sin 22sin cos 9A A A ==-． ……………………………………………………6分（2）由(,)2A π∈π，则B 为锐角，又1sin 3B =，所以2122cos 1()33B =-=， ………………………………………8分所以cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=-- ……………………………12分522212102()33339+=--⨯-⨯=． ……………………………………………14分 11、12、【解】（1）在△ABC 中，因为3cos 3A =，0π<<A ，所以26sin 1cos 3=-=A A ．………………………………………………………2分因为cos 2cos a B b A =，由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos 2sin cos =A B B A ．所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠．于是sin tan 1cos ==B B B ．又因为0π<<B ，所以π4B =． …………………………………………………………………………7分（2）因为6a =，6sin 3A =，由（1）及正弦定理sin sin =a b A B ，得66223=b ，所以322=b ． ………………………………………………………………………9分又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B632362232326+=⋅+⋅=．……………………………………………12分所以△ABC 的面积为2363263211sin 622264++==⨯⨯⨯=S ab C .……14分13、（1）在△ABC 中，因为(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，所以()()()a a b b c c b -=+-． …… 3分即222a b c ab +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =． …… 5分又因为0πC <<，所以π3C =． …… 7分（2）方法一：因为4a b =及222a b c ab +-=，得2222216413c b b b b =+-=，即13c b =， …… 10分由正弦定理sin sin c b C B =，得13sin 32b b B =，所以39sin 26B =． …… 14分方法二：由正弦定理sin sin =a b A B ，得sin 4sin =A B ．由++=πA B C ，得sin()4sin +=B C B ，因为3π=C ，所以31sin cos 4sin 22+=B B B，即7sin 3cos =B B ． …… 11分又因为22sin cos 1+=B B ，解得，23sin 52=B ，因为在△ABC 中，sin 0>B ，所以39sin 26=B . …… 14分14、。