高等代数第六章1
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
高代第六章
第六章二次型·合同矩阵例在直角坐标系{O; x, y}中，任一条中心在原点的有心二次曲线(centered conic)的方程均有如下形式22++=ax bxy dcyΓ225564x y xy +-=例在直角坐标系{O; x , y }中，设二次曲线的方程为该方程等号左端是x , y 的二次齐次多项式(quadratic homogeneous polynomial)。
45{};,'O x y '将坐标系逆时针旋转得到坐标系相应的坐标变换公式为45454545cos sin sin cos x x y y x y ⎧''=-⎪⎨''=+⎪⎩Γ221224x y ''+=,'x y '由此可得曲线的新方程为其等号左端是的二次齐次多项式。
例在前面讨论过的弹簧振动系统中，利用两质点偏离平衡位置的位移可得系统的动能T 与势能V21 ,x x 22121[()()]2dx dx T m dt dt=+2221212111()()222V kx k x x k x =+-+-记dtdx x dt dx x 2211 ,==∙∙，则221211()()22T m x m x ∙∙=+221212V kx kx kx x =+-12, x x ∙∙12, x x 上式中，T 是关于的二次齐次多项式，V 是关于的二次齐次多项式。
§6.1二次型和它的标准形1．二次型与线性替换K 定义系数在数域中的n 个变量的二次齐次多项式12211112121313112222232322233333 ()222 22 2 n n nn nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x =+++++++++++++，，，2nn na x称为数域K 上的一个n 元二次型(quadratic form)2ixj i x x 称为二次型的平方项，称为二次型的交叉项或混合项。
高等代数第6章线性空间
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
高等代数课件 第六章
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
高等代数第六章
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
2) M 中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.
3) M 中不同元素的象可能相同. 4) 函数可以看成是映射的一个特殊情形：任意一个 在实数集R上的函数 y＝f(x)都是实数集R到自身 的映射. Ex
4. 映射的性质与运算
定义：映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M '' ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a)) a M
1. 若集合A有n个元素，则含有k(k<n)个元素的A 的子集有多少个？ 2. 已知 M { Ann | A A}, N {Bnn | B B},求 M N , M N , M N
3.映射的定义
定义：映射指一个对应法则，
设M、M´是给定的两个非空集合，通过法则σ，有 对于 a M , | a M 与之对应，则称 σ为M到M´的4来自 上两种运算满足下列8条规则：
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
0 ;（β 称为 的负元素） ⑤ 1 ⑥ k (l ) (kl )
高等代数§6.1 --§6.7总结
称 W W1 W2 Wn 为 W1,W2 ,,Wn 的和子空间
§.6.3. 向量的线性相关性 （一）线性组合
定义1（线性组合与线ห้องสมุดไป่ตู้表示）
给定向量空间 V F 设 1 , 2 ,, r V ， a1 , a2 ,, ar F 称 a11 a2 2 ar r 为 1 , 2 ,, r 的一个线性组合 并称数组 a1 , a2 ,, ar 为其组合系数 若 a11 a2 2 ar r 称 可由 1 , 2 ,, r 线性表示或线性表出 也称数组 a1 , a2 ,, ar 为表示系数或表出系数
1 , 2 ,, r 中
（四） （向量组的等价） 定义 3： 若 1 , 2 ,, r 中每一个向量都可由 1 , 2 ,, s 线性表示 且 1 , 2 ,, s 中每一个向量也都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 则称这两个向量组等价。 命题 5、若向量组 1 , 2 ,, r 与向量组 1 , 2 ,, s 等价 而 1 , 2 ,, s与 1, 2 ,, t 等价，则
1 , 2 ,, n 是 F n 的一组生成元，即 F n L(1, 2 ,, n )
n 且 1 , 2 ,, n 线性无关，故 1 , 2 ,, n 是 F 的一个基 n , , , F 一般称 1 2 的标准基或自然基 n 是
（三）维数 定义 2 ：向量空间 V 的一个基所含向量的个数，叫做这个 向量空间 V 的维数； 向量空间 V 的维数记作：dim V 特别，规定零空间 V 0 的维数是零，即： dim0 0 已经讨论过的向量空间的维数分别是
高等代数第六章1
结论得证。▌ 注 （1）式①称为二次型 f = X T AX 的标准形； 线性替换 X = QY 称为 （2） 当 Q 为正交矩阵时， 正交替换； （3）从 x , y, z 到 x ′, y′, z ′ 的正交替换
⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = Q ⎜ y′ ⎟ ⎜z⎟ ⎜ z′ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2
令
⎛ 2 ⎜− 5 ⎜ 1 η3 ] = ⎜ ⎜ 5 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 2 3 5 4 3 5 5 3 5 1⎞ − ⎟ 3⎟ 2 − ⎟， 3⎟ 2 ⎟ ⎟ 3 ⎠
Q = [η1 η 2
则 Q 是正交矩阵且
⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ −1 Q AQ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎠ ⎝
取正交替换 X = QY ，其中
12
X = [ x1 , x2 , x3 ]T , Y = [ y1 , y2 , y3 ]T ，
则二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 被化为标准形
2 2 2 y1 + y2 + 10 y3
▌
例 设实二次型
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 + 2 sx1 x 2 + 2tx1 x3 + 2 x 2 x3
其中 λ1 , λ2 , L, λn 是实对称矩阵 A 的全部特征值。 取线性替换
X = QY
这里 Y = [ y1 y2 L yn ]T ，则
9
f = X T AX = (QY )T A(QY ) = Y T (QT AQ )Y ⎛ λ1 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ λ2 y2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y2 L yn ]⎜ ⎟⎜ M ⎟ O ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λn ⎠⎝ yn ⎟ ⎝ ⎠
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里 所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得 多。线性空间有时也称为向量空间。以下我 们经常是用小写的希腊字母 , , ,代表线 性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 k,l, p, 代表数域F中的数
线性空间的性质
1.零元素是唯一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元素。
（1，0，，0），
显然
2 （0，1，，0），
n (0,0,,1)
是一组基。对每一个向量 (a1, a2,, an ) ，
都有 a11 a22 ann
所以
(a , 1
a 2
,,
a n
)
就是向量
在这组基下的坐
标。不难证明，
1 ' （1，1，，1）， 2 '（0，1，，1）， n ' (0,0,,1)
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
, ,,
1
2
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
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第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。
注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。
4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。
(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念 向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。
向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。
两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。
4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。
注 设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。
(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。
(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成 立，则称m ααα,,,21 线性无关。
注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。
4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系(1) β可由m ααα,,,21 线性表出⇔线性方程组[]βααα=x m ,,,21 有解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于矩阵[]βααα,,,,21m 的秩 (2)m ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 有非零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩小于m (3)m ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 只有零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论(1) 仅含一个向量α的向量组线性相关⇔0=α(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相关）注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m 个n 维向量，当n m >时必线性相关(6) 向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余向量线性表出(7) 向量组m ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21m 线性相关⇔β可由m ααα,,,21 线性表出，且表达式唯一(8) 若向量组（I ）r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组（II ）s βββ,,,21 线性表出，则s r ≤(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩(1) 定义：设（I ）r i i i ααα,,,21 是（II ）m ααα,,,21 的一个部分组，并且满足：①ri i i ααα,,,21线性无关，②（II ）中任一向量()m k k ,,2,1 =α都可由（I ）线性表出。
则称部分组（I ）为原向量组（II ）的一个极大无关组，并称数r 为向量组（II ）的秩，记作r （II ）或{}m r ααα,,,21 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立⑥ 若向量组的秩为r ，则其中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系将n m ⨯矩阵A 按行或列分块[]n T m T T A βββααα 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=向量组（I ）T m T T ααα,,,21 ，（II ）n βββ,,,21 分别为A 的行向量组与列向量组，则r （A ）=r （I ）=r （II ）注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式注2 T m T T ααα,,,21 线性无关⇔ r （A ）=mn βββ,,,21 线性无关⇔ r （A ）=n注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换4.1.7 极大无关组的求法(1) 录选法① 在向量组中任取一个非零向量作为1i α② 取一个与1i α的对应分量不成比例的向量作为2i α③ 取一个不能由1i α，2i α线性表出的向量作为3i α，继续作下去便可求得极大无关组注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组4.1.8 向量空间(1) 定义：在非空集合V 的元素间定义加法αβαk 和数乘+，若V 对所定义的加法与数乘封闭，即任意的V k V V ∈∈+∈αβαβα，有,，且加法满足： ①αββα+=+②)()(γβαγβα++=++③ 存在零元素αα=+∈00，有V④ 对任一元素α，存在负元素α-，使0=-+）（αα 数乘满足： ⑤αα=⋅1 ⑥αα)()(kl l k = 两种运算满足： ⑦βαβαk k k +=+)( ⑧αααl k l k +=+)(则称带有这种线性运算的集合V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向量空间,我们仅讨论向量空间。
注 所有n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间nR ，本书中所讨论的向量空间仅限于nR 或其子空间(2) 子空间：设有向量空间21,V V ，若21V V ⊆，则称21V V 为的子空间 注 向量空间V 的一个非空子集，若对V 上的线性运算封闭则是V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组m ααα,,,21 ，则m ααα,,,21 的所有线性组合构成的向量空间，称为由m ααα,,,21 生成的空间，记作()m span ααα,,,21 ，即(){}m i R t t t t spani m m m ,,2,1,|,,,221121 =∈+++==ααααααα 4.1.9 向量空间的基和维数(1) 基与维若向量空间V 中的一组向量r ααα,,,21 满足： ①r ααα,,,21 线性无关 ②每个可由αα,V ∈r ααα,,,21 ，即r r t t t αααα+++= 2211，则称r ααα,,,21 为V 的一组基，其所含向量个数r 为向量空间V 的维数，记作r V =dim ，也称V 为r 维向量空间，而称系数r t t t ,,,21 为α在基r ααα,,,21 下的坐标。
注1 一个向量空间V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，即为V dim ，可以推出n R n=dim 注2 向量α在一组基下的坐标是唯一的注3 任一向量空间V 必是其一组基r ααα,,,21 的生成空间，即()r span V ααα,,,21 =*（2）基变换与坐标变换 ①设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是向量空间nR 的两组基，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n t t t t t t t t t αααβαααβαααβ 22112222112212211111上式称为由基n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的基变换公式，若记()n n ij t T ⨯=，则基变换公式可表示为[][]T n n αααβββ 2121=矩阵T 称为基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆② 对V 中任一向量α，若α在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的坐标分别为n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 ，则由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n x x x x x x 21212211ααααααα []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n y y y y y y 21212211ββββββα可得[][]Tn Tn y y y T x x x 2121=或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n n x x x T y y y 21121 称为坐标变换公式4.1.10 施密特正交化方法任给V 中的一组基r ααα,,,21 ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基r βββ,,,2111111111111212211,,,,,,-------=-==r r r rr r r r βββαββββαβαββββαβαβαβ4.1.11 标准正交基(1) 定义：若V 的一组基r ηηη,,,21 满足()r j i ji j i ji ,,2,1,10, =⎩⎨⎧=≠=ηη则称r ηηη,,,21 是V 的一组标准（规范）正交基。
(2) 求法：第一种：对V 中的任一组基r ααα,,,21 可先由施密特正交化方法，得到一组正交基r βββ,,,21 ，再把每个k β单位化),,2,1(1r k kkt ==ββη得到的r ηηη,,,21 即为V 的标准正交基第二种：对任一nn R ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααααα,021 ，可以扩充为n R 的一组标准正交基，设[]Tn x x x x 21=满足0,=αx 即(*)02211=+++n n x a x a x a求得（*）的一个基础解系121,,,-n βββ ，从而121,,,,-n βββα 必为nR 的一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基4.1.12 正交矩阵(1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足）或1(-===A A I A A AA T T T (2) A 为正交矩阵的充要条件是A 的列（行）向量组为标准正交向量组注 由(2)可知，若n ααα,,,21 是nR 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，以它们为列作出矩阵[]n Q ηηη 21=则Q 必为正交阵。