高等代数第六章自测题.docx

第六章 线性空间 自测题

一 . 填空题 (20 分)

1. 若

1 ,

2 , , n 是线性空间 V 的一个基，则满足条件 (1)

1,

2 , , n 是

；

(2) 对 V 中任意向量

， .

2. 数域 P 上的线性空间 V 的非空子集 W 是 V 的子空间的充要条件为 .

3. 已知 W 1,W 2 为线性空间 V 的子空间 , W 1 W 2 为直和的充要条件为

.

4. 设 V 和 W 是数域 P 上两个线性空间， V 到 W 的一个同构映

射 f 满足如下三个条件：

（ 1 ） f 是 V 到 W 的

;

（ 2 ）对 , V ，有 ;

（ 3 ）对

V , k P ，有

.

5. 向量空间 V 的基

1 ,

2，L ， n 到基

n , n 1,L , 1 ,的过渡矩阵为 _______

.

6. 复数域

复数域

C

C 作为实数域

作为复数域 R

C 上的向量空间，则

上的向量空间，则

dim C

dim C

_____, 它的一个基为 __

__.

__ __, 它的一个基为 __

_ _.

二 . 选择题 (10 分)

1. 若 W 1 ,W 2 均为线性空间 V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）

（A ） W 1

(W 1 W 2) W 1 W 2 ； （B ）W 1 (W 1 W 2) W 1 W 2 ； （C ） W 1 (W 1 W 2) W 1 ；

（D ）W 1

(W 1

W 2) W 2

2. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成 P 上线性空间的是： （ ）

（A ） W 1 A P n n A A

（C ） W 3

A P n n A 0

；

（B ） W

A

P n n

tr ( A) 0 ；

2

；

（D ） W 4 A

P n n

AA .

3. 数域 P 上线性空间 V 的维数为 r , 1 ,

2 ,

, n

V ，且任意 V 中向量可由 1 , 2 , , n

线性表出，则下列结论成立的是： （ ）

（A ） r

n ；

（ B ） r n ；

（ C ） r n ；

（ D ） r n 4. 设 W 1 P 3[ x],W 2 P 4[ x] 则 dim( W 1 W 2 ) （

）

（ A ）2；

（B ） 3；

（C ） 4；

（ D ）5

5. 设线性空间

W (a,2a,3a) a R ，则 W 的基为：（

）

（ A ） (1,2,3) ； （ B ） (a, a, a) ； （ C ） (a,2a,3a) ；（ D ） (1,0,0) ( 0,2,0) (0,0,3)

3x 1 2x 2

5x 3 4x 4 0

三.(10 分)

在线性空间 P 4 中求由线性方程组： 3x 1 x 2

3x 3 3x 4 0 所确定的 P 4

3x 1 5x 2 13x 3 11x 4

的子空间 W 的基和维数 .

四.(15 分 ) 设 R 3

中的两个基分别为

11

0 1 , 2

0 1 0 ，

3

1 2 2

,

1

100,2 110,3

111.

（1）求由基 1, 2,

3到基 1, 2,

3 的过渡矩阵 .

（ 2）已知向量 在基 1, 2 ,

3 下的坐标为

1 3 0 ，求

在基

1 ,

2 ,

3 下的坐标 .

五.(15 分 ) 设

1

(1, 2,1 ,0),

2

( 1,1,1 ,1), 1

(2, 1, 0,1),

2

(1,1,3, 7)

,

W 1 L( 1

,

2 ),W 2 L( 1

,

2 )

，

求

dim( W 1 W 2 )

及

dim ( W 1 W 2) .

六 .(15 分 ) 设 A P n n :

1）证明：全体与 A 可交换的矩阵组成 P n n 的一子空间，记作 C ( A) ;

2）当 A=E 时，求 C( A) ;

1 0 0 L 0

3）当 A

0 2 0 L

0 时，求 C ( A) 的维数与一组基 . L

L L L L

0 L

n

七 .(15 分) 已知 P n n 的两个子空间 V 1 A P n n A A ， V 2 A P n n A

A ，

证明： P n n

V 1

V 2 ．

答案 :

一 .1.线性无关，可以由 1 , 2 ,,n 线性表示 2.对 V的加法和数乘封闭

3.W1W2{ o}或 dim( W1W2 )0

4.线性映射， f () f ( ) f ( ) ，

1

f (k)kf () 5.

N

1

1

6.dim C2, 它的一个基为 1, i;dim C2, 它的一个基为 1.

二． C C B C A

325432543254三 .解:由3 1 330 3 870 183 73

35131103870000

1 2 3 5 3 4 310 1 9 2 9

018 37 3018 37 3， W 的维数为2，

00000000

一组基为1 1 98 310'

2 97 30

' ,2 1 .

101

四. 解：(1) 由123=12301 2 =123 A ,

102

123=

123

123=

12

1 1 01

1

过渡矩阵AB=0 12

1 02

1

(2)=(1,2,3)3= 1

111

011=1 2 3B,

001

3 A 1B,

111201111221 01121201123 1 . 001101001110

1

23B1A3

1110101111112坐标为B1A 3= 011012311032 0001102010201

11211103

五.解:由1212

21110117 =

1030222 1

01170115

10141000

01170100 00412001,

00020001

dim W1 2,dim W2 2 ,dim( W1W2)=4,dim( W1I W2)=0

六. 证明1）设与A可交换的矩阵的集合记为C ( A).显然O C(A)，

B,D C(A), A(B D) AB AD BA DA (B D)A，故 B D C(A).

若 k 是一数， B C ( A) ，可得 A(kB) k( AB) k ( BA)(kB) A ，故 kB C ( A) .所以 C(A) 构成P n n 的子空间。

2）当 A E时，C(A)P n n.

3）设B(b) 为可与

A 交换的矩阵，由第四章习题

5

知，

B

只能是对角矩阵，

ij

故维数为 n ； E11, E22 ,L , E nn为一组基.

七. 证明:显然V1+V2P n n,又 A P n n , A A A' A A',

22

其中A

A'为对称矩阵 ,

A A

'为反对称矩阵 ,A A A' A A'V

1 V

2 2222

故 P n n V1 +V2,从而 P n n = V1+ V2.

又因为A V1 V2, A A', A A',有A O. 故V1V2{O} ,故V1+V2为直和.

故 P n n V1V2