高数各章综合测试题与答案
高等数学试题及答案完整版
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
大一高数1-9的习题答案
大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高数笔记单元测试题及答案
高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 \( y = \ln x \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)4. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 \( f(x) = 3x - 2 \) 的反函数是：A. \( x = 3y - 2 \)B. \( y = \frac{x + 2}{3} \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( x = \frac{y + 2}{3} \)6. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. 17. 函数 \( y = \sin x \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)8. 函数 \( y = e^x \) 的导数是：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( 1 \)9. 微分 \( dy \) 与 \( dx \) 的关系是：A. \( dy = f'(x) dx \)B. \( dy = f(x) dx \)C. \( dx = f'(x) dy \)D. \( dx = f(x) dy \)10. 若 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，则 \( \int f'(x) dx \) 是：A. \( f(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( F(x) \)D. \( C \)答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
大学高数考试题及答案详解
大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
因此，正确答案为 C。
2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
因此，正确答案为 A。
二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。
答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。
因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。
2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。
高数测试卷一及答案(第一章)
高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。
故选B 。
3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。
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第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然（ ) （A ） 绝对收敛; (B) 条件收敛; （C ） 发散； (D) 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ )。
（A) 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 1n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D ）11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑( )（A ） 1;S a + （B) 2;S a + （C ） 12;S a a +- （D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑（ )。
(A ） 绝对收敛; （B ） 条件收敛； （C ） 发散; (D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1()2S -等于（ ） (A) 1;2- （B) 1;4- （C) 1;4 (D ） 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑，则111()22n nn u ∞=-=∑（ ） 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-,则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为（ ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ） 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =（ )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为( ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛。
四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>,级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+，所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B;4、C;5、B. 二、1、1;2、()4,2-;3、32；4、2π3;5、cos1sin1-。
三、1、答案：[)0,6。
2、答案:53ln 284- 提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值。
而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可。
3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+。
提示： ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn nn n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑ 提示：()2011112!1!2!2nnn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ∞==--∈-∑提示:先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1nn f x x nx =+-，则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知，00110n x x n n -<=<，故当1α> 时,级数1n n x α∞=∑收敛。
四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于（ ) （A ） 1;- （B ） 0; （C ） 1; (D ） 2。
2、设闭曲线c 为1x y +=的正向,则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于（ ）(A ） 0; (B ） 2; （C ） 4; （D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=,则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于（ )（A) 29π;a （B) 26π;;a (C ） 23π;a （D) 0。
4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩,则d cx s ⎰等于（ )（A ） 23;a (B ） 0； (C ） 2;a （D ）213a 。
5、设∑为下半球z =的上侧,Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域,则d d z x y ∑⎰⎰不等于（ )(A ） d ;v Ω-⎰⎰⎰（B ） 2πd dr θ⎰⎰;（C) 2πd d ;ar θ-⎰⎰(D)()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a+=,则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( )4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于（ ）5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x -++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ） 三、计算与应用题 1、求()()xy sin d cos d LI ey b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值。
4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰。
5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x 。
答案:()e ()e 1x xf x x=- 提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可。
四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界,试证：(1）sin sin sin sin e d e d e d e d y xy xLLx y y x x y y x ---=-⎰⎰; （2）2sin sin 5πed e d 2yx Lx y y x --⎰≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、A;4、B;5、B 。
二、1、3πa -；2、4π-;3、；4、4π3;5、211x+。
三、1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式。
2、答案:32π3I a =。
提示：利用变量“对等性"22231d d d d 3LLLLI y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰。