样本空间
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概率与统计中的抽样与样本空间
概率与统计中的抽样与样本空间概率与统计是数学的一个重要分支，涉及到很多与现实生活相关的问题。
在概率与统计中，抽样与样本空间是两个重要的概念。
本文将详细介绍抽样与样本空间的概念及其在概率与统计中的应用。
一、抽样的概念抽样是概率与统计中的一个重要概念，指的是从总体中选择部分个体进行观察、测量和研究的过程。
在实际应用中，总体往往很大，很难对每一个个体进行研究分析。
而通过抽样，我们可以通过对样本的研究来推断总体的特征。
1.1 简单随机抽样简单随机抽样是指在总体中每个个体被选入样本的概率相等的抽样方法。
简单随机抽样的优点是操作简单且具有代表性，能够更好地反映总体的特征。
1.2 系统抽样系统抽样是指按照一定的规则，每隔一定的间隔选择一个样本元素的抽样方法。
通过系统抽样，可以较好地保持总体特征。
1.3 分层抽样分层抽样是按照总体的某些特征将总体划分为若干层次，然后在每一层中进行简单随机抽样或系统抽样的方法。
分层抽样能够更好地反映总体的特征和差异。
二、样本空间的概念在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验中所有可能结果的集合。
例如，掷硬币的随机试验中，样本空间为{正面, 反面}；掷骰子的随机试验中，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2.1 样本点样本空间中的每个元素称为样本点。
对于掷硬币的随机试验，样本点即为{正面, 反面}中的每个元素；对于掷骰子的随机试验，样本点即为{1, 2, 3, 4, 5, 6}中的每个元素。
2.2 事件在样本空间中，根据我们感兴趣的问题，可以定义一些子集，称为事件。
事件即为一个或多个样本点的集合。
例如，对于掷硬币的随机试验，事件A可以定义为“出现正面”，即A={正面}；事件B可以定义为“至少出现一次反面”，即B={正面, 反面}。
三、概率与统计中的应用概率与统计中的抽样与样本空间具有广泛的应用。
以下是一些应用场景的例子：3.1 市场调查在市场调查中，常常使用随机抽样的方法来选择调查对象。
1-2节 样本空间和随机事件
(3) 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ),
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
样本空间
相等关系
事件B 事件 相等(或称等价) ,记作 A = B .
若 A B 且B A,则称事件A与
概率论
2. 和事件: 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的
∪ 事件叫做事件 A与事件 B的和.记作 A∪ B .
类似地, 称事件 A 、A2、 、An 中至少有一个发 … 1
生的事件为事件 A、A 、 、A 的和事件. 记之为 1 2 … n n A ∪ A2 ∪…∪ An , 简记为 ∪ Ai . 1
互为对立事件.事件 A的对立事件记为 A .
概率论
对立事件与互斥事件的关系:
. 对立一定互斥, 但互斥不一定对立
两事件A 互斥： 两事件 、B互斥： AB = 互斥 不可能同时发生. 即A与B不可能同时发生 与 不可能同时发生 两事件A 两事件 、B互逆或互为对立事件 互逆或互为对立事件 除要求A 互斥( 除要求 、B互斥 AB = )外，还要求 互斥 外
试验有一个需要观察的目的
概率论
我们注意到 试验是在一定条件下进行的 试验有一个需要观察的目的 根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果. 根据这个目的 试验被观察到多个不同的结果 试验的全部可能结果,是在试验前就明确的 试验的全部可能结果 是在试验前就明确的; 是在试验前就明确的 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果 但可 知道它不超过某个范围. 知道它不超过某个范围
S = {t ：t ≥0｝ ｝
概率论
调查城市居民（以户为单位） 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支 出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、 结果可以用（ ）表示， 分别是烟、 分别是烟 酒年支出的元数. 酒年支出的元数
这时， 这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域 内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三 这时，样本点有（ 高 （ 中），…， 档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中）， ， (低,低）等9种，样本空间就由这 个样本点构成 . 低低 种 样本空间就由这9个样本点构成
1.2样本空间
§1.2样本空间
试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点，通常用字母ω表示.
试验的所有样本点 ,,,,21n ωωω构成的集合叫做样本空间，通常用字母Ω表示，于是，我们有
}.,{n 21 ωωω，，，=Ω
任一随机事件A 都是样本空间Ω的一个子集，该子集中任一样本点ω发生时事件A 即发生.
因为样本空间Ω中任一样本点ω发生时，必然事件U 都发生，所以U 是所有样本点构成的集合；这就是说，必然事件U 就是样本空间Ω .今后我们就把必然事件记作Ω. 因为样本空间Ω中任一样本点ω发生时，不可能事件V 都吧发生，所以V 不是任何样本点的集合；这就是说，不可能事件V 是空集φ.今后我们就把不可能事件记作φ. 应该指出，试验的任一样本点ω也是随机事件，今后我们把试验的样本点称为试验的基本事件.显然，基本事件就是样本空间Ω的仅由单个样本点构成的子集.。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
样本空间样本点
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件)
事件 A B { x x A 且 x B}称为事件 A 与事件 B 的积事件.
积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
“骰子出现1点” 互斥
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合
格”
与 “直径合格” . 图示 A 与 B 的差的差 .
B A
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
S
样本空间，必然事件
不可能事件
空间
空集 元素
基本事件 e 子集 随机事件 A A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件 由一个样本点组成的单点集. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件)
事件 A B { x x A 且 x B}称为事件 A 与事件 B 的积事件.
积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
“骰子出现1点” 互斥
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合
格”
与 “直径合格” . 图示 A 与 B 的差的差 .
B A
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
S
样本空间，必然事件
不可能事件
空间
空集 元素
基本事件 e 子集 随机事件 A A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件 由一个样本点组成的单点集. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
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注：（样本空间由试验内容决定，而不由试验形式决定）
§1.2 样本空间
（3）掷骰子 i : 出现 i 点(i 1, 2, 3, 4, 5, 6) ,
{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
（4）考察灯泡的寿命
x : 灯泡的寿命为 x (0 x ),
{x 0 x }.
§1.2 样本空间
2. 随机事件与样本空间的关系
eg2 上面的eg1(2)：一枚硬币抛两次 ① A : 恰好正面朝上一次
对 1 ,
对 2 ,
A 发生. 当出现“正反”或“反正” 时， A ｛正反 , 反正} .
1
当出现 1 时， A 发生.
A {1} 2 .
§1.2 样本空间
eg1 （1）抛硬币 1 : 正面朝上,
2 : 反面朝上，
{ 1 , 2 }.
（2）抛硬币：一枚硬币抛两次 ① 观察正、反面朝上的情况
1 { 正正, 正反, 反正, 反反 }.
② 观察正面朝上的次数
i : 正面朝上 i 次 (i 0, 1, 2),
2 { 0 , 1, 2 }.
§1.2 样本空间
② B : 至少正面朝上一次源自对 1 ,对2 ,
B {正正, 正反, 反正} 1.
B {1 , 2 } 2 .
§1.2 样本空间
随机事件可以用样本空间的子集来描述， 该子集 中任意一个样本点发生时事件就发生，即
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
第一章 随机事件及其概率
§1.2 样本空间
§1.2 样本空间
1. 样本点与样本空间的概念
样本点 试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的 样本点， 用 表示.
样本空间 试验的所有样本点 1 , 2 ,, n , 构成的集合 称为样本空间， 用字母 表示.
{1,2 ,,n , }.
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
在eg2中:
A {正反, 反正} 1 , B {正正, 正反, 反正} 1 .
特别地， U , V .
基本事件就是样本空间的仅由单个样本点构成的 子集. 在eg2中: A {1} 2 .
§1.2 样本空间
小 结
1. 主要概念：样本点，样本空间. 2. 用样本空间的子集表示随机事件：该子集中任 意一个样本点发生时事件就发生.
§1.2 样本空间
（3）掷骰子 i : 出现 i 点(i 1, 2, 3, 4, 5, 6) ,
{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
（4）考察灯泡的寿命
x : 灯泡的寿命为 x (0 x ),
{x 0 x }.
§1.2 样本空间
2. 随机事件与样本空间的关系
eg2 上面的eg1(2)：一枚硬币抛两次 ① A : 恰好正面朝上一次
对 1 ,
对 2 ,
A 发生. 当出现“正反”或“反正” 时， A ｛正反 , 反正} .
1
当出现 1 时， A 发生.
A {1} 2 .
§1.2 样本空间
eg1 （1）抛硬币 1 : 正面朝上,
2 : 反面朝上，
{ 1 , 2 }.
（2）抛硬币：一枚硬币抛两次 ① 观察正、反面朝上的情况
1 { 正正, 正反, 反正, 反反 }.
② 观察正面朝上的次数
i : 正面朝上 i 次 (i 0, 1, 2),
2 { 0 , 1, 2 }.
§1.2 样本空间
② B : 至少正面朝上一次源自对 1 ,对2 ,
B {正正, 正反, 反正} 1.
B {1 , 2 } 2 .
§1.2 样本空间
随机事件可以用样本空间的子集来描述， 该子集 中任意一个样本点发生时事件就发生，即
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
第一章 随机事件及其概率
§1.2 样本空间
§1.2 样本空间
1. 样本点与样本空间的概念
样本点 试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的 样本点， 用 表示.
样本空间 试验的所有样本点 1 , 2 ,, n , 构成的集合 称为样本空间， 用字母 表示.
{1,2 ,,n , }.
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
在eg2中:
A {正反, 反正} 1 , B {正正, 正反, 反正} 1 .
特别地， U , V .
基本事件就是样本空间的仅由单个样本点构成的 子集. 在eg2中: A {1} 2 .
§1.2 样本空间
小 结
1. 主要概念：样本点，样本空间. 2. 用样本空间的子集表示随机事件：该子集中任 意一个样本点发生时事件就发生.